Transcript Örnek

A409 Astronomide Sayısal
Çözümleme
IV. Eğri Uyumlama ve Regresyon
Analizi
Eğri Uyumlama
• Trend Analizi
• İnterpolasyon ve Ekstrapolasyon
• Hipotez testi
Chapra (2004)
Biraz Temel İstatistik…
• Merkezi Eğilim Ölçütleri
– Aritmetik Ortalama
– Medyan
– Mod
• Dağılım Ölçütleri
– Standart Sapma
– Varyans
– Değişim Katsayısı
– Noktadan noktaya dağılım
i  n 1
 (y
i 1
 yi )
i 1
2N 1
2
Biraz Daha Temel İstatistik…
• Dağılım Şekilleri
– Normal Dağılım
– Poisson Dağılımı
Lineer Regresyon

Minimizasyon Stratejileri :
En uzak noktanın uzaklığı
Lineer Regresyon

ve
Katsayıların Hataları
( n  y i  (  y i )  a 1 ( n  x i  (  x i ) ))
2
a 
1
2
2
2
2
( n  2 )( n  x i  (  x i ) )
2
a 
0
a
2
1
2
x
n
2
i
Lineer Regresyon
Örnek :
Bir roketin hızına karşılık maruz kaldığı
hava direnci yandaki grafikte ve
aşağıdaki çizelgede verilmiştir. En küçük
kareler yöntemiyle en uygun doğru
uyumlamasını yapınız.
Lineer Regresyon
Bu doğru bu veri setine yapılabilecek en iyi (“the best”) doğru uyumlamasıdır.
Lineer Regresyon
Tahmin üzerindeki
standart hata
Regresyon katsayısı
Lineer Regresyon
Örnek :
Standart Sapma
Tahmin Üzerindeki Standart Hata
Regresyon Katsayısı
Yani, veriyi lineer bir modelle temsil
etmenin getirdiği iyileştirme bu
düzeydedir. Bir başka deyişle, veri
üzerindeki belirsizliğin %88.05’i lineer
modelle açıklanabilmektedir!
Regresyon Katsayısına Dikkat!
y = 3 + 0.5x lineer uyumlaması için regresyon katsayısı
eşit 4 farklı veri seti (Anscombe 1973)
Ders : Verinizi neyin daha iyi temsil edeceğini görmek
istiyorsanız program çıktılarının yanı sıra grafiğe de
mutlaka bakın!
Lineer Olmayan İlişkilerin Lineerleştirilmesi
Lineer Olmayan İlişkilerin Lineerleştirilmesi
Örnek :
Lineer Olmayan İlişkilerin Lineerleştirilmesi
Polinom Regresyonu
Polinom Regresyonu
x
i

n

xi
x
2
i
x
xi
x
i
x
i
2
3
2
i
x
x
3
i
4
i

a0
a1
a2
=

yi
xi yi
x
2
i
yi
Polinom Regresyonu
Bu ifadeyi genelleştirelim...

n

S r  ( y i  a 0  a1 x  a 2 x  ...  a m x )
2
x
i
m
2
x
xi
x
2
i
x
xi
x
2
i
3
i
2
i
x
x
3
i
4
i
x
...
...
...
...
...
...
x
...
...
...
x
m
i
m 1
i
m2
i

a0
a1
=

yi
xi yi
a2
x
2
i
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
x
m
i
x
m 1
i
x
Bu ifade için standart hata :
m2
i
x
2m
i
am
x
yi
m
i
yi
Polinom Regresyonu
Örnek :
2. dereceden bir polinomla modellemek istiyor olalım.

n

xi

xi
x
2

x
xi
2
i
xi
3
2
i
x

3
i
xi
4

a0
a1
a2
=

yi
xi yi
x
2
i
yi
Yani, verideki belirsizliğin %99.851’i 2. dereceden bir
polinom modeliyle temsil edilebiliyor!
Polinom Regresyonu
Örnek (devam) :
Regresyon katsayısı :
Çok Değişkenli Lineer Regresyon
Çok değişkenli Lineer Regresyon
Çok Değişkenli Lineer Regresyon
Örnek :
Çok değişkenli bir lineer model arıyor olalım.
Çok Değişkenli Lineer Regresyon
Bu ifadeyi genelleştirelim...

n

x1 , i
x
x
S r  ( y i  a 0  a1 x1  a 2 x 2  ...  a m x m )
2 ,i
x
x1 , i
2
1, i
x
1,i
x 2 ,i
x
1,i
x
...
2 ,i
x 2 ,i
2
2 ,i
...
...
... ...
...
... ...
...
x
m ,i
a0
x m ,i
a1
x 2 ,i x m ,i
a2
x

1,i
=

yi
x
1,i

yi
x 2 ,i y i
2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
x
m ,i
x
1,i
x m ,i

Bu ifade için standart hata :
Lineer olmayan bazı ifadeleri yine lineer
hale getirebiliriz :
x 2 ,i x m ,i
x
2
m ,i
am

x m ,i y i
En Küçük Kareler Yöntemi (Genel)
z 0  1, z1  x1 , z 2  z 3  ...  z m  0
Lineer Regresyon
z 0  1, z1  x1 , z 2  x 2 ,..., z m  x m
Çok Değişkenli Lineer Regresyon
z 0  1, z 1  x , z 2  x ,..., z m  x
2
m
Polinom Regresyonu
minimize edilirse
En Küçük Kareler Yöntemi (Genel)
ŷi : En küçük kareler
yöntemiyle belirlenen değer
ỹ : Aritmetik ortalama
Tüm durumlar için standart hata :
Fermi Gamma Işını Teleskobu ile M82 Gözlemleri
Örnek 1 :
Astronomlar, Fermi Gamma Işını Teleskobu’nu kullanarak, 12
milyon ışık yılı uzaklıktaki M82’nin önemli bir gamma ışını
kaynağı olduğunu keşfettiler. Yapılan araştırmalar bu cismin, aktif
çekirdekli mini bir kuasar olduğunu ortaya koydu. Aşağıda bu
cisimden alınan gamma ışınlarının MeV cinsinden enerjisine
karşılık santimetrekareye 1 saniyede ulaşan sayısı verilmektedir.
M82 için algılanan gamma ışını şiddeti ile sayısı arasındaki ilişkiyi
en küçük kareler yöntemi ile bulunuz. Bu sonuca dayanarak
20000 MeV için saniyede santimetrekareye düşen gamma
parçacığı sayısı için bir kestirimde bulununuz.
x (MeV)
F (x)
407.38
1.94984E-06
1122.02
2.0893E-06
4466.84
7.07946E-07
1047128.55
2.0893E-07
1288249.55
1.90546E-07
2089296.13
1.38038E-07
Küresel Isınmanın Ciddiyeti
Örnek 2 :
Karbondioksit seviyesinde 1960'dan bu yanaki değişim
Keeling Eğrisi adı verilen bir eğriyle ifade edililr. Söz konusu
değişim küresel ısınmaya neden olduğu gerekçesiyle endişe
konusudur. Aşağıda 1960'dan bu yana geçen süre içerisinde
onar yıllık ölçüm sonuçları milyon parçacık başına
verilmiştir. Keeling Eğrisinin bir parabolle (2. dereceden bir
polinomla) temsil edilebileceğini düşünerek ve eldeki veriyi
kullanarak eğriye en uygun formülü bulunuz. Keeling Eğrisi
yapısını korursa 2060 yılı sonunda parçacık başına kaç
karbondioksit molekülü düşer hesaplayınız.
Ötegezegen Keşif Sayıları
Örnek 3 :
Kullanılan teknikler ve gözlem araçlarının teknolojiye paralel
gelişimi ile birlikte astronomlar giderek daha fazla sayıda
ötegezegen keşfediyorlar. Başlangıçta sadece birkaç Jüpiter
kütlesinde ve yıldızının deyim yerindeyse “burnunun dibindeki”
gezegenleri keşfedebiliyorken artık Dünya kütlesine yakın ve
yıldızına yaşama uygun koşulların oluşabileceği kadar uzaktaki
gezegenleri de keşfedebiliyoruz.
Aşağıda 1995 yılında Mayor ve Queloz tarafından bir Güneş
benzeri (51 Peg) yıldızın etrafında bulunan ilk gezegenden bu
yana keşfedilen gezegen sayıları 1995 yılı milat kabul edilerek
verilmiştir. Keşfedilen ötegezegen sayısının geçen zamana
bağımlılığının 2. dereceden bir polinomla ifade edilebileceğini
düşünerek bu polinomu bulunuz ve 2000 ile 2020 seneleri için bu
polinomu kullanarak keşif sayısı konusunda bir tahminde
bulununuz. Sonuçlarınızı grafik üzerinde gösteriniz.
Ödev 5 :Uzaklık Modülü
Teslim Tarihi: 19 Aralık 2014, Cuma
Yanda bir grup yıldız için görsel parlaklıkları ile mutlak
parlaklıkları arasındaki farka karşılık uzaklıkları bir tablo
halinde verilmiştir. Bu tablodan yararlanarak uzaklık
modülünü (görsel parlaklık ile mutlak parlaklık arasındaki
farkın uzaklığa ne şekilde bağlı olduğunu) gözlemsel
(empirik) olarak bulunuz. Bu ifadeyi teorik uzaklık modeli ile
karşılaştırınız. Bulduğunuz ifadeyi d= 20 pc uzaklığındaki
bir yıldızın mutlak ve görsel parlaklıkları arasındaki farkı
hesaplamak üzere kullanınız. Bulduğunuz değer üzerindeki
bağıl hatayı hesaplayınız.
Not 1:. Sorunun Python programlama dilini kullanarak
çözülmesi mecburidir!
Not 2:. Grafik çizdirmek zorunda değilsiniz. Ekrana
bulduğunuz ilişkinin parametreleri (a0,a1,korelasyon
katsayisi, modelle gozlenen noktalar arasindaki farklarin
kareleri toplami (Sr) ,standart hata) yazdirmaniz yeterlidir.
İpucu 1: egri_uyumlama_ornek1.py’yi iyi analiz ediniz!
İpucu 2: Gerçek değeri hesaplayacağınız teorik uzaklık
modülü denklemini bir kenara yazınız!
Yıldız
m – M (kadir)
d (pc)
Antares
-6.15
170
Sirius
2.89
3
Castor
-0.96
16
Pollux
-0.08
10
Polaris
-5.61
133
Vega
0.57
7
Deneb
-8.18
430
Altair
1.45
5
Rigel
-7.12
264
Betelgeuse
-5.92
153
Kaynaklar
•
•
•
Numerical Analysis Using Matlab and Excel 3rd ed., Steven T. Karris, Orchard
Publications, 2007
Numerical Methods for Engineers 6th ed., Steven C. Chapra, Raymond P. Canale,
McGraw Hill, 2010
Numerical Methods, Rao V. Dukkipati, New Age International, 2010