Transcript Suryadi MT - Blog Mahasiswa UI

MATEMATIKA DISKRIT
K-9
KOMBINATORIAL
Departemen Matematika
Fakultas MIPA Universitas Indonesia
Suryadi MT
Matematika Diskrit
1
Pendahuluan

Kombinatorial adalah cabang
matematika untuk menghitung banyaknya
penyusunan objek-objek tanpa harus
mengenumerasi semua kemungkinan
susunannya.
Suryadi MT
Matematika Diskrit
2
Pendahuluan

Sebuah password panjangnya 6 sampai 8
karakter. Karakter boleh berupa huruf atau
angka. Berapa banyak kemungkinan
password yang dapat dibuat?
abcdef
aaaade
a123fr
…
er1sm4n
k0mput3r
…
????
Suryadi MT
Matematika Diskrit
3
Kaidah Dasar Menghitung

Kaidah perkalian (rule of product)
Percobaan 1: p hasil
Percobaan 2: q hasil
Percobaan 1 dan percobaan 2: p  q hasil

Kaidah penjumlahan (rule of sum)
Percobaan 1: p hasil
Percobaan 2: q hasil
Percobaan 1 atau percobaan 2: p + q hasil
4
Suryadi
MT
Matematika Diskrit

Ketua angkatan 2011 hanya 1 orang (pria atau
wanita, tidak bias gender). banyak pria = 65 orang
dan banyak wanita = 15 orang. Berapa banyak cara
memilih ketua angkatan?
Penyelesaian: 65 + 15 = 80 cara.

Dua orang perwakilan angkatan 2011 mendatangai
Bapak Dosen untuk protes nilai ujian. Wakil yang
dipilih 1 orang pria dan 1 orang wanita. Berapa
banyak cara memilih 2 orang wakil tesrebut?
Penyelesaian: 65  15 = 975 cara.
5
Suryadi
MT
Matematika Diskrit
Perluasan Kaidah Dasar Menghitung
Misalkan ada n percobaan, masingmasing dg pi hasil
1. Kaidah perkalian (rule of product)
p1  p2  …  pn hasil
2. Kaidah penjumlahan (rule of sum)
p1 + p2 + … + pn hasil
6
Suryadi
MT
Matematika Diskrit
Contoh 3 :

Bit biner hanya 0 dan 1. Berapa banyak
string biner yang dapat dibentuk jika:
(a) panjang string 5 bit
(b) panjang string 8 bit (= 1 byte)
Penyelesaian:
(a) 2  2  2  2  2 = 25 = 32 buah
(b) 28 = 256 buah
7
Suryadi
MT
Matematika Diskrit
Contoh 4 :

Berapa banyak bilangan ganjil dari 1000
sampai dengan 9999 yang :
(a) semua angkanya berbeda
(b) boleh ada angka yang berulang.
8
Suryadi
MT
Matematika Diskrit
Penyelesaian:
(a) posisi satuan: 5 kemungkinan angka (1, 3, 5, 7, 9)
posisi ribuan: 8 kemungkinan angka
posisi ratusan: 8 kemungkinan angka
posisi puluhan: 7 kemungkinan angka
Banyak bilangan ganjil seluruhnya = (5)(8)(8)(7) = 2240
(b)posisi satuan: 5 kemungkinan angka (yaitu 1, 3, 5, 7 & 9);
posisi ribuan: 9 kemungkinan angka (1 sampai 9)
posisi ratusan: 10 kemungkinan angka (0 sampai 9)
posisi puluhan: 10 kemungkinan angka (0 sampai 9)
Banyak bilangan ganjil seluruhnya = (5)(9)(10)(10) = 4500
9
Suryadi
MT
Matematika Diskrit
Contoh 5

Ditetapkan bahwa password suatu sistem
komputer panjangnya 6 sampai 8
karakter. Tiap karakter boleh berupa huruf
atau angka; huruf besar dan huruf kecil
tidak dibedakan. Berapa banyak password
yang dapat dibuat?
Suryadi MT
Matematika Diskrit
10
Penyelesaian:
banyak karakter password = 26 (A-Z) + 10 (0-9) = 36
banyak kemungkinan password dengan panjang 6
karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36) = 366 = 2.176.782.336
banyak kemungkinan password dengan panjang 7
karakter: (36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 367 =
78.364.164.096
umlah kemungkinan password dengan panjang 8 karakter:
(36)(36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 368 =
2.821.109.907.456
banyak seluruh password (kaidah penjumlahan) adalah
2.176.782.336 + 78.364.164.096 + 2.821.109.907.456
=
2.901.650.833.888 buah.
11
Suryadi
MT
Matematika Diskrit
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Setiap byte disusun oleh 8-bit. Berapa banyak jumlah byte yang
dimulai dengan ‘11’ atau berakhir dengan ‘11’?
Penyelesaian:
Misalkan
A = himpunan byte yang dimulai dengan ‘11’,
B = himpunan byte yang diakhiri dengan ‘11’
A  B = himpunan byte yang berawal dan berakhir dengan ‘11’
maka
A  B = himpunan byte yang berawal dengan ‘11’ atau berakhir
dengan ‘11’
A = 26 = 64, B = 26 = 64, A  B = 24 = 16.
maka
A  B = A + B – A  B
= 26 + 26 – 16 = 64 + 64 – 16 = 112.
12
Suryadi
MT
Matematika Diskrit
Permutasi
Bola:
m
b
p
Kotak:
1
2
3
Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola
ke dalam kotak-kotak tersebut?
13
Suryadi
MT
Matematika Diskrit
Kotak 1
Kotak 2
Kotak 3
Urutan
b
p
mbp
p
b
mpb
m
p
bmp
p
m
bpm
m
b
pmb
b
m
pbm
m
b
p
Jumlah kemungkinan urutan berbeda dari penempatan bola ke
dalam kotak adalah (3)(2)(1) = 3! = 6.
14
Suryadi
MT
Matematika Diskrit








Definisi: Permutasi adalah banyak urutan berbeda dari
pengaturan objek-objek.
Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi kaidah
perkalian.
Misalkan banyak objek adalah n, maka
urutan pertama dipilih dari n objek,
urutan kedua dipilih dari n – 1 objek,
urutan ketiga dipilih dari n – 2 objek,
…
urutan terakhir dipilih dari 1 objek yang tersisa.
Menurut kaidah perkalian, permutasi dari n objek adalah
n(n – 1) (n – 2) … (2)(1) = n!
15
Suryadi
MT
Matematika Diskrit

Contoh 6. Berapa banyak “kata” yang
terbentuk dari kata “HAPUS”?
Penyelesaian:
Cara 1: (5)(4)(3)(2)(1) = 120 buah kata
Cara 2: P(5, 5) = 5! = 120 buah kata

Contoh 7. Berapa banyak cara mengurutkan
nama 25 orang mahasiswa?
Penyelesaian: P(25, 25) = 25!
16
Suryadi
MT
Matematika Diskrit
Permutasi r dari n elemen

Ada enam buah bola yang berbeda warnanya dan 3
buah kotak. Masing-masing kotak hanya boleh diisi 1
buah bola. Berapa banyak urutan berbeda yang
mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam
kotak-kotak tersebut?
Bola:
m
b
p
h
k
j
Kotak:
1
17
Suryadi
MT
2
3
Matematika Diskrit
Permutasi r dari n elemen
Bola:
m
b
p
h
k
j
Kotak:
1
2
3
Penyelesaian:
kotak 1 dapat diisi oleh salah satu dari 6 bola (6 pilihan);
kotak 2 dapat diisi oleh salah satu dari 5 bola (5 pilihan);
kotak 3 dapat diisi oleh salah satu dari 4 bola (4 pilihan).
Jadi banyaknya urutan berbeda dari penempatan bola
= (6)(5)(4) = 120
18
Suryadi
MT
Matematika Diskrit
Secara Umum :
Ada n buah bola yang berbeda warnanya dan r buah kotak
(r  n), maka
kotak ke-1 dapat diisi oleh salah satu dari n bola  (n pilihan)
kotak ke-2 dapat diisi oleh salah satu dari (n – 1) bola (n–1
pilihan)
kotak ke-3 dapat diisi oleh salah satu dari (n – 2) bola (n– 2)
pilihan
…
kotak ke-r dapat diisi oleh salah satu dari (n–(r – 1)) bola
 (ada n – r + 1 pilihan)
banyak
urutan berbeda dari penempatan bola adalah:
n(n – 1)(n – 2)…(n – (r – 1))
19
Suryadi
MT
Matematika Diskrit
Definisi 2. Permutasi r dari n elemen adalah jumlah kemungkinan urutan r
buah elemen yang dipilih dari n buah elemen, dengan r  n, yang dalam hal
ini, pada setiap kemungkinan urutan tidak ada elemen yang sama.
P ( n, r )  n ( n  1)( n  2)...( n  ( r  1)) =
20
Suryadi
MT
Matematika Diskrit
n!
(n  r )!
Contoh 7 :

Berapakah banyak kemungkinan
membentuk 3 angka dari 5 angka berikut :
1, 2, 3, 4 , 5, jika:
(a) tidak boleh ada pengulangan angka,
(b) boleh ada pengulangan angka.
Suryadi MT
Matematika Diskrit
21
Contoh 7 :

Penyelesaian:
(a) Dengan kaidah perkalian :
(5)(4)(3) = 120 buah
Dengan rumus permutasi
P(5, 3) = 5!/(5 – 3)! = 120
(b) Tidak dapat diselesaikan dengan
rumus permutasi.
Dengan kiadah perkalian:
(5)(5)(5) = 53 = 125.
Suryadi MT
Matematika Diskrit
22
Contoh 8 :

Kode buku di sebuah perpustakaan
panjangnya 7 karakter, terdiri dari 4 huruf
berbeda dan diikuti dengan 3 angka yang
berbeda pula?

Penyelesaian:
P(26, 4)  P(10,3) = 258.336.000
Suryadi MT
Matematika Diskrit
23
Contoh 8b :


Angka 1, 2, 3, 4 disusun ke dalam bentuk 24
bilangan 4 digit yang berbeda. Jika ke-24
bilangan tersebut disusun dari yang terkecil
sampai yang terbesar, maka tentukan posisi dari
bilangan 3214 ?
Penyelesaian:
bilangan diawali angka 1 ada 6 bil pertama
bilangan diawali angka 2 ada 6 bil kedua
bilangan diawali angka 3 ada 6 bil ketiga :
3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421
Jadi bilangan 3142 ada pada posisi ke-15
Suryadi MT
Matematika Diskrit
24
Contoh 8c :


Suatu bilangan bulat positif disebut Palindrom jika
digit-digitnya dibaca dari depan dan belakang
sama nilainya (misal : 1,33, 272, 1881). Berapa
banyak bilangan palindrome paling banyak 3 digit
yang dapat disusun dari angka-angka 5,6, dan 7 ?
KASUR NABABAN RUSAK
Jawab :
Palindrom 1 digit  3 bilangan
 Palindrom 2 digit  3 bilangan
 Palindrom 3 digit  9 bilangan
Suryadi
Jadi
total ada 3 + 3 + 9 = 15 bilangan
MT

Matematika Diskrit
25
Latihan :
6. Terdapat pasangan bilangan Palindrom 4
digit yang jika saling dijumlahkan akan
menghasilkan bilangan Palindrom 5 digit.
(misal : 2882 + 9339 = 12221). Berapa
banyak bilangan Palindrom 4 digit
tersebut ?
Suryadi MT
Matematika Diskrit
26
Contoh 8d :






Mari kita pikirkan bilangan ganjil dari 1 sampai
dengan 303. Berapa kali angka 3 muncul ?
Jawab :
Pada satuan : 3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93
1-100
: 10x
101-200
: 10x
201-300 : 10x
301-303
: 1x  31x
Pada puluhan : 31, 33, 35, 37, 39
1-100
: 5x
101-200
: 5x
201-300 : 5x
301-303
: 0x  15x
Pada ratusan : 301-303 : 2x
 2x
Jadi total ada 31 + 15 + 2 = 48 kali muncul angka 3
Suryadi MT
Matematika Diskrit
27
Soal 8e :

Alamsyah menulis bilangan dari :
1, 2, 3, 4, ..., 2010, 2011, 2012.
Berapa banyak angka 2 yang dia tulis
tersebut ?
Suryadi MT
Departemen Matematika FMIPA UI
28
Jawaban 8e :





Pada satuan : 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92
1-100
: 10x
1-1000
: 100x
1001-2000: 100x
2001-2012 : 2x
 202x
Pada puluhan : 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29
1-100
: 10x
1-1000
: 100x
1001-2000: 100x
2001-2012 : 0x
 200x
Pada ratusan : 200, 201, 202, 203, …, 299
1-1000 : 100x
1001-2000 : 100x
2001-2012: 0x
 200x
Pada ribuan : 2000, 2001, 2002, 2003, …,2012  13x
Jadi total ada 202 + 200 + 200 + 13 = 615 kali angka 2
yang Alamsyah tulis.
Suryadi MT
Struktur Diskrit
29
Soal 8f :

Putri menulis bilangan dari :
1, 2, 3, 4, ..., 2010, 2011, 2012.
Berapa banyak digit (angka) yang dia tulis
tersebut ?
Suryadi MT
Matematika Diskrit
30
Jawaban Soal 18 :





jika bilangan yang Putri tulis semuanya 4 digit
(ribuan) maka ada 4 x 2012 = 8048 digit.
bilangan dibawah 1000 akan kurang 1 digit 
kurang 999 digit
bilangan dibawah 100 akan kurang 2 digit  99
digit
bilangan dibawah 10 akan kurang 3 digit  9
digit
Sehingga banyaknya digit yang ditulis Putri
adalah 8048 – 9 – 99 – 999 = 6941 digit
Suryadi MT
Matematika Diskrit
31
Kombinasi

Bentuk khusus dari permutasi adalah
kombinasi. Jika pada permutasi urutan
kemunculan diperhitungkan, maka pada
kombinasi, urutan kemunculan diabaikan.

Misalkan ada 2 buah bola yang warnanya
sama dan 3 buah kotak. Setiap kotak
hanya boleh berisi paling banyak 1 bola.
Banyaknya cara memasukkan bola ke
dalam kotak tersebut adalah ....
32
Suryadi
MT
Matematika Diskrit
a
b
1
2
3
sama
b
a
1
2
3
1
a
2
b
3
hanya 3 cara
sama
1
b
2
a
1
a
3
b
2
3
sama
b
33
Suryadi
MT1
a
2
3
Matematika Diskrit
Kombinasi
Jadi banyaknya cara memasukkan bola ke dalam kotak =
3!
P(3,2) P(3,2) 1! (3)(2)
= 3.

 
2
2!
2!
2
34
Suryadi
MT
Matematika Diskrit
 Bila sekarang jumlah bola 3 dan jumlah kotak 10, maka
jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah
10!
P(10,3) 7! (10)(9)(8)


3!
3!
3!
karena ada 3! cara memasukkan bola yang warnanya sama.
 Secara umum, jumlah cara memasukkan r buah bola yang
berwarna sama ke dalam n buah kotak adalah
 n
n(n  1)( n  2)...( n  (r  1))
n!

= C(n, r) atau 
r!(n  r )!
r!
r
35
Suryadi
MT
Matematika Diskrit
Kombinasi

C(n, r) sering dibaca "n diambil r",
artinya r objek diambil dari n buah
objek.

Definisi 3. Kombinasi r elemen dari n
elemen, atau C(n, r), adalah banyak
pemilihan yang tidak terurut r elemen
yang diambil dari n buah elemen.
36
Suryadi
MT
Matematika Diskrit
Interpretasi Kombinasi
1. C(n, r) = banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari r elemen yang
dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen.
Misalkan A = {1, 2, 3}
Jumlah Himpunan bagian dengan 2 elemen:
{1, 2} = {2, 1}
{1, 3} = {3, 1}
{2, 3} = {3, 2}
3 buah
 3
3!
3!




 3 buah
atau  
 2  (3  2)!2! 1!2!
37
Suryadi
MT
Matematika Diskrit

2. C(n, r) = cara memilih r buah elemen
dari n buah elemen yang ada, tetapi
urutan elemen di dalam susunan hasil
pemilihan tidak penting.

Contoh: Berapa banyak cara membentuk
panitia (komite, komisi, dsb) yang
beranggotakan 5 orang orang dari sebuah
fraksi di DPR yang beranggotakan 25
orang?
Suryadi MT
Matematika Diskrit
38
Penyelesaian:

Panitia atau komite adalah kelompok yang
tidak terurut, artinya setiap anggota di dalam
panitia kedudukannya sama.

Misal lima orang yang dipilih, A, B, C, D, dan
E, maka urutan penempatan masingmasingnya di dalam panitia tidak penting
(ABCDE sama saja dengan BACED, ADCEB,
dan seterusnya). Banyaknya cara memilih
anggota panitia yang terdiri dari 5 orang
anggota adalah C(25,5) = 53130 cara.
Suryadi MT
Matematika Diskrit
39
Contoh 9 :
Di antara 8 orang mahasiswa Matematika UI
Angkatan 2011, berapa banyak cara membentuk
sebuah perwakilan beranggotakan 4 orang sehingga:
mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya;
mahasiswa bernama A tidak termasuk di dalamnya;
mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya, tetapi
B tidak;
mahasiswa bernama B selalu termasuk di dalamnya, tetapi
A tidak;
mahasiswa bernama A dan B termasuk di dalamnya;
setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama A
atau B termasuk di dalamnya.
Suryadi MT
Matematika Diskrit
40
Penyelesaian Contoh 9 :

Banyaknya cara untuk membentuk perwakilan yang
beranggotakan 4 orang sehingga A selalu termasuk
di dalamnya adalah :
7!
7.6.5.4!
C  7,3 

 35
3!(7  3)! 3.2.1.4!

Banyaknya cara untuk membentuk perwakilan yang
beranggotakan 4 orang sehingga A tidak termasuk di
dalamnya adalah :
7!
7.6.5.4!
C  7, 4  

 35
4!(7  4)! 4!.3.2.1
Suryadi MT
Matematika Diskrit
41
Penyelesaian Contoh 9 :

Banyaknya cara untuk membentuk perwakilan yang
beranggotakan 4 orang sehingga A selalu termasuk
di dalamnya tetapi B tidak, adalah :
6!
6.5.4.3!
C  6,3 

 20
3!(6  3)! 3.2.1.3!

Banyaknya cara untuk membentuk perwakilan yang
beranggotakan 4 orang sehingga B selalu termasuk
di dalamnya tetapi A tidak, adalah :
6!
6.5.4.3!
C  6,3 

 20
3!(6  3)! 3.2.1.3!
Suryadi MT
Matematika Diskrit
42
Penyelesaian Contoh 9 :

Banyaknya cara untuk membentuk perwakilan yang
beranggotakan 4 orang sehingga A dan B selalu
termasuk di dalamnya, adalah :
6!
6.5.4!
C  6, 2  

 15
2!(6  2)! 2.1.4!
Suryadi MT
Matematika Diskrit
43
Penyelesaian Contoh 9 :

Banyaknya cara untuk membentuk perwakilan yang
beranggotakan 4 orang setidaknya salah satu dari
mahasiswa yang bernama A atau B termasuk di
dalamnya, adalah :
A termasuk di dalamnya dan B tidak, atau
B termasuk di dalamnya dan A tidak, atau
A dan B termasuk di dalamnya

Jadi banyaknya adalah 20 + 20 + 15 = 55
Suryadi MT
Matematika Diskrit
44
Penyelesaian Contoh 9 :

Menggunakan Prinsip Inklusi-Eksklusi

X = banyak cara membentuk perwakilan menyertakan A
Y = banyak cara membentuk perwakilan menyertakan B
X  Y = banyak cara membentuk perwakilan menyertakan
A dan B, maka
X = C(7, 3) = 35;
Y = C(7, 3) = 35;
X  Y = C(6, 2) = 15;

X  Y = X + Y - X  Y = 35 + 35 – 15 = 55

Jadi banyaknya adalah 35 + 35 - 15 = 55


Suryadi MT
Matematika Diskrit
45
Permutasi dan Kombinasi
Bentuk Umum
Misalkan: ada n buah bola yang tidak seluruhnya berbeda warna
(jadi, ada beberapa bola yang warnanya sama - indistinguishable).
n1 bola diantaranya berwarna 1,
n2 bola diantaranya berwarna 2,

nk bola diantaranya berwarna k,
dan n1 + n2 + … + nk = n.
Berapa jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam kotak-kotak
tersebut (tiap kotak maks. 1 buah bola)?
46
Suryadi
MT
Matematika Diskrit
Jika n buah bola itu kita anggap berbeda semuanya, maka jumlah
cara pengaturan n buah bola ke dalam n buah kotak adalah:
P(n, n) = n!.
Dari pengaturan n buah bola itu,
ada n1! cara memasukkan bola berwarna 1
ada n2! cara memasukkan bola berwarna 2

ada nk! cara memasukkan bola berwarna k
Permutasi n buah bola yang mana n1 diantaranya berwarna 1, n2
bola berwarna 2, …, nk bola berwarna k adalah:
P ( n; n1 , n2 ,...,nk ) 
47
Suryadi
MT
P ( n, n )
n!

n1! n2 !...nk ! n1! n2 !...nk !
Matematika Diskrit
Jumlah cara pengaturan seluruh bola kedalam kotak adalah:
C(n; n1, n2, …, nk) = C(n, n1) C(n – n1, n2) C(n – n1 – n2 , n3)
… C(n – n1 – n2 – … – nk-1, nk)
n!
( n  n1 )!
=
n1!(n  n1 )! n2 !( n  n1  n2 )!
( n  n1  n2 )!
n3!(n  n1  n2  nk )!
( n  n1  n2  ...  nk 1 )!
…
nk !( n  n1  n2  ...  nk 1  nk )!
n!
=
n1! n2 ! n3 !...nk
48
Suryadi
MT
Matematika Diskrit
Kesimpulan:
n!
P ( n; n1 , n2 ,...,nk )  C (n; n1 , n2 ,...,nk ) 
n1! n2 !...nk !
49
Suryadi
MT
Matematika Diskrit
Contoh 10:
Berapa banyak “kata” yang dapat dibentuk
dengan menggunakan huruf-huruf dari kata
MISSISSIPPI?
Penyelesaian:
 U = { M, I, S, S, I, S, S, I, P , P , I }

huruf M = 1 buah (n1)

huruf I = 4 buah (n2)

huruf S = 4 buah (n3)

huruf P = 2 buah (n4)

Suryadi MT
n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah = | U |
Matematika Diskrit
50
Contoh 10:



Cara 1: Permutasi
Banyaknya kata yang dapat dibentuk adalah :
11!
P 11;1, 4, 4, 2  
 34650
1! . 4! .  4! .  2!
Suryadi MT
Matematika Diskrit
51
Contoh 10:


Cara 2: Kombinasi
Banyaknya kata yang dapat dibentuk adalah :
C 11;1, 4, 4, 2   C 11,1 .C 10, 4  .C  6, 4  .C 12, 2 
11!
10!
6!
2!

.
.
.
1! . 11  1!  4! . 10  4 !  4! .  6  4 !  2!.  2  2 !
11!
10!
6!
2!

.
.
.
1! . 10!  4! .  6!  4! .  2!  2!.  0!
11!

 34650
1! .  4! .  4! .  2!
Suryadi MT
Matematika Diskrit
52
Contoh 11:
Berapa banyak “kata” yang dapat dibentuk
dengan menggunakan huruf-huruf dari kata
MATEMATIKA ?
Penyelesaian:
Suryadi MT
Matematika Diskrit
53
Contoh 12:

Berapa banyak cara membagikan 8 buah mangga
kepada 3 orang anak, bila Burhan mendapat
empat buah mangga, dan Andi serta Ahmad
masing-masing memperoleh 2 buah mangga.




Penyelesaian:
n = 8, n1 = 4, n2 = 2, n3 = 2, dan n1 + n2 + n3 = 8
Banyaknya cara membagi seluruh mangga =
8!
 420
4!.2!.2!
Suryadi MT
Matematika Diskrit
54
Kombinasi Dengan Pengulangan
Misalkan terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n
buah kotak.
(i) Masing-masing kotak hanya boleh diisi paling banyak satu
buah bola.
Jumlah cara memasukkan bola: C(n, r).
(ii) Masing-masing kotak boleh lebih dari satu buah bola (tidak
ada pembatasan jumlah bola)
Jumlah cara memasukkan bola: C(n + r – 1, r).
C(n + r – 1, r) = C(n + r –1, n – 1).
55
Suryadi
MT
Matematika Diskrit
Penyelesaian:


Misal lima orang yang dipilih, A, B, C, D, dan
E, maka urutan penempatan masingmasingnya di dalam panitia tidak penting
(ABCDE sama saja dengan BACED, ADCEB,
dan seterusnya).
Banyaknya cara memilih bph yang terdiri dari
5 orang anggota adalah
C(25,5) = 53130 cara.
Suryadi MT
56
Soal 11 :
KPK dari bilangan-bilangan 16, 50 dan A
adalah 1200. Ada berapa banyak bilangan
bulat positif A yang memenuhi sifat
tersebut ?
 Jawab :
 16 = 24 dan 50 = 2 x 52.  KPK (16, 50)
= 400 dan 1200/400 = 3
 Faktorisasi prima dari A = 3 x 24 x 52
adalah (4+1) x (2+1) = 5 x 3 = 15.

Suryadi MT
57
Soal 12 :
Berapa banyak pasangan bilangan bulat
positif (x, y, z) yang merupakan
penyelesaian (solusi) dari persamaan
x + y + z = 10 ?

Suryadi MT
58
Jawab Soal 12 :
Jika z = 8 maka x + y = 2  (x,y) = (1,1)  (x,y, z) ada
1 solusi
 Jika z = 7 maka x + y = 3  (x,y) = (1,2), (2,1)  (x,y, z)
ada 2 solusi
 Jika z = 6 maka x + y = 4  (x,y) = (1,3), (2,2), (3,1) 
(x,y, z) ada 3 solusi
 :
 :
 Jika z = 1 maka x + y = 9  (x,y) = (1,8), (2,7), (3,6),
...(8,1)  (x,y, z) ada 8 solusi
 Jadi banyaknya pasangan bilangan bulat positif
yang merupakan solusi persamaan tersebut adalah
1 + 2 + 3 + ... + 8 = 36
Suryadi MT
59

Soal 13:
 Pada
persamaan x1 + x2 + x3 + x4 = 12,
xi adalah bilangan bulat  0. Berapa
jumlah kemungkinan solusinya?
Suryadi MT
60
Penyelesaian 13:


Analogi: 12 buah bola akan dimasukkan ke dalam 4
buah kotak (dalam hal ini, n = 4 dan r = 12).
Bagilah keduabelas bola itu ke dalam tiap kotak.
Misalnya,
Kotak 1 diisi 3 buah bola (x1 = 3)
Kotak 2 diisi 5 buah bola (x2 = 5)
Kotak 3 diisi 2 buah bola (x3 = 2)
Kotak 4 diisi 2 buah bola (x4 = 2)


x1 + x2 + x3 + x4 = 3 + 5 + 2 + 2 = 12
Ada C(4 + 12 – 1, 12) = C(15, 12) = 455 buah
solusi.
Suryadi MT
61
Soal 14 :

Berapa banyak cara berbeda untuk
menyatakan 90 sebagai penjumlahan dari
paling sedikit dua bilangan bulat positif
berurutan ?
Suryadi MT
62
Jawab Soal 14 :










Misalkan 90 = a + (a+1) + (a+2) + ... + (a+k) dengan k >= 1
90 = a + (a+1) + (a+2) + ... + (a+k) = a (k+1) + ½ k (k+1) = (a
+ ½ k)(k+1)
180 = (2a + k)(k + 1)  salah satu dari faktornya adalah
bilangan ganjil dan (2a + k) > (k + 1)
Faktor dari 180 :
 180 = 9 x 20
180 = 1 x 180
 180 = 10 x 18
180 = 2 x 90
 180 = 12 x 15
180 = 3 x 60
180 = 4 x 45
180 = 5 x 36
180 = 6 x 30
Suryadi MT
63
Jawab Soal 14 :

2a + k
k+1
k
a
180
1
TM
-
90
2
1
TM
60
3
2
29
29 + 30 + 31
45
4
3
21
21 + 22 + 23 + 24
36
5
4
16
16 + 17 + 18 + 19 + 20
30
6
5
TM
20
9
8
6
18
10
9
TM
15
12
11
2
90
6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14
2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13
Jadi ada 5 cara
Suryadi MT
64
Soal 15 :

Dari 100.000 buah bilangan bulat positif
pertama, berapa banyak bilangan yang
mengandung tepat 1 buah angka 2, 1
buah angka 4, dan 1 buah angka 5 ?
Suryadi MT
65
Jawab Soal 15 :




Bilangan 100.000 tidak memenuhi, jadi hanya
ada 5 digit yang harus dipenuhi
Ada 5 cara untuk menempatkan angka 5, sisa
tempat kosong tinggal 4
Ada 4 cara untuk menempatkan angka 4, sisa
tempat kosong tinggal 3
Ada 3 cara untuk menempatkan angka 2, sisa
tempat kosong tinggal 2
Suryadi MT
66
Jawab Soal 15 :



Selain angka, 2, 4, dan 5 boleh diisi berulang.
Jadi untuk kedua tempat yang masih kosong
dapat diisi masing-masing dengan 7 angka
Banyak bilangan yang dapat dibentuk sesuai
dengan aturan tersebut adalah
5.4.3.7.7 = 2940
Suryadi MT
67
Soal 16 :

Berapa banyak bangun segitiga yang
terdapat pada Gambar berikut
Suryadi MT
68
Soal 16 :
Jawab :
 Segitiga kecil

Suryadi MT
ada 11
69
Soal 16 :
Jawab :
 Segitiga kecil
ada 11
 Segitiga sedang ada 5

Suryadi MT
70
Soal 16 :
Jawab :
 Segitiga kecil
ada 11
 Segitiga sedang ada 5
 Segitiga besar
ada 1
 Jadi semuanya ada 11 + 5 + 1 = 17
segitiga

Suryadi MT
71
Soal 17

Berapa banyak bangun segitiga yang
terdapat pada Gambar berikut
Suryadi MT
72
Jawab soal 17 :






Banyaknya segitiga yang dibentuk dari 1 daerah
adalah 10 segitiga
Banyaknya segitiga yang dibentuk dari 2 daerah
adalah 10 segitiga
Banyaknya segitiga yang dibentuk dari 3 daerah
adalah 10 segitiga
Banyaknya segitiga yang dibentuk dari 5 daerah
adalah 5 segitiga
Jadi total banyaknya segitiga yang terdapat pada
gambar tersebut adalah
10 + 10 + 10 + 5 = 35 segitiga
Suryadi MT
73
Contoh 18:

Berapa banyak cara membagikan 5 buah
kartu kepada 4 orang pemain jika banyaknya
kartu ada 52 buah ?
Karena setiap pemain akan memperoleh 5 kartu
maka kartu yang tersisa adalah 52 - 5.4 = 32
Banyak cara untuk membagikan kartu tersebut
pada keempat pemain adalah:
52!
5! 5! 5! 5! 32!
74
Suryadi
MT
Matematika Diskrit
Koefisien Binomial
(x + y)0 = 1
(x + y)1 = x + y
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
5
1
1
n-1 1
n-k k
(x + y)n = C(n, 0) xn + C(n,
1)
x
y
+
…
+
C(n,
k)
x
y +…+
n
C(n, n) yn =  C ( n, k ) xn-k yk
k 0
Koefisien untuk xn-kyk adalah C(n, k). Bilangan C(n, k) disebut
koefisien binomial.
75
Suryadi
MT
Matematika Diskrit
Identitas Pascal:
untuk 1 < k < n, berlaku:
C (n  1, k )  C (n, k  1)  C (n, k )
76
Suryadi
MT
Matematika Diskrit
Segitiga Pascal
0

0

 
1
1
1


 0

1

 
 
 2
 2
 2



0

1

 2

 
 
 
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
 3   3  3   3

0
 
 
 
 
 
 

   1   2   3
 4  4  4  4  4

 0
 
 
 
 
 
 
 
 

   1  2  3  4
 5  5  5   5  5   5

0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   1   2   3  4   5
 6  6  6  6  6  6  6

 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   1  2  3  4  5  6
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
 6   5   5
       
 3   2   3
77
Suryadi
MT
Matematika Diskrit
…
Contoh 19 :

Jabarkan bentuk (3x – 2)3
Jawab :
 Misalkan a = 3x dan b = -2,

(a + b)3 =
C(3, 0) a3 + C(3, 1) a2b1 + C(3, 2) a1b2 + C(3, 3) b3
= 1 (3x)3 + 3 (3x)2 (-2) + 3 (3x) (-2)2 + 1 (-2)3

Jadi (3x – 2)3 = 27 x3 – 54x2 + 36x – 8
Suryadi MT
Matematika Diskrit
78
Contoh 20 :
Tentukan suku keempat dari penjabaran
perpangkatan (x - y)5.
 Penyelesaian:
n
n
nk k
C  n, k  x y
 Bentuk umum :  x  y  


k 0
(x - y)5 = (x + (-y))5.  n = 5
 Jadi suku keempat  k = 3 , adalah:
C(5, 3) x5-3 (-y)3 = -10x2y3.

Suryadi MT
Matematika Diskrit
79
Contoh 21 :
n
Buktikan bahwa
 Penyelesaian:
 Bentuk umum :
 C  n, k   2

n
k 0
 x  y
n
n
  C  n, k  x
nk
y
k
k 0
Ambil x = 1 dan y = 1n
n
nk k
 Didapat
1  1  C  n, k 1 1


k 0
n
2   C  n, k 
n
k 0
Suryadi MT
Matematika Diskrit
80
Soal 22 :

Jika BOOK + BOOK + BOOK + BOOK +
BOOK + BOOK = TEST maka carilah
bilangan yang ditunjukkan oleh BOOK dan
TEST tersebut, dengan BOOK dan TEST
masing-masing merupakan bilangan 4
digit (angka) dan setiap huruf yang
berbeda menunjukkan nilai angka yang
berbeda....!
Suryadi MT
Matematika Diskrit
81
Jawaban Soal 22 :





6 x BOOK = TEST berarti B=1 karena jika B> 1
maka hasilnya bilangan 5 digit
T ialah bilangan genap karena 6 x K dan T paling
kecil nilainya 6 (saat 6 x B = T, karena B = 1)
karena T satuan dari kelipatan 6 maka T=8 (saat
K=3, 6x3 =18).
O x 6 akan menghasilkan bilangan dua puluhan
maka O = 4
Sehingga di dapat B = 1 , K = 3, O = 4, T = 8, S =
5 dan E = 6
Jadi BOOK = 1443 dan TEST = 8658
Suryadi MT
Matematika Diskrit
82
Soal 23:

Diberikan suatu persegi panjang sebagai berikut
Jika kita tarik sebuah garis lurus yang
menghubungkan kedua sisi persegi panjang
maka akan terbentuk dua daerah didalam
persegi tersebut. Maksimum berapa banyak
daerah yang terbentuk jika kita membagi persegi
panjang tersebut dengan 2012 garis lurus ?
Suryadi MT
Matematika Diskrit
83
Soal 24

Hitunglah jumlah dari seluruh koefisien
hasil eskpansi
Suryadi MT
Matematika Diskrit
84
Jawaban Soal 23:

1 garis  2 = 1 + 1 daerah maksimum

2 garis  4 = 1+2+1
daerah maksimum
3 garis  7 = 1+2+3+1
daerah maksimum
4 garis  11 = 1+2+3+4+1 daerah maksimum
:
n garis  ½ n(n + 1) + 1 daerah maksimum
2011 garis  (½ x 2011 x 2012 )+ 1 = 2.023.067





Suryadi MT
Matematika Diskrit
85
Referensi :



Kenneth H. Rosen, Discrete
Mathematics and Application to
Computer Science 5th Edition, Mc
Graw-Hill, 2003.
Richard Johsonbaugh, Discrete
Mathematics, Prentice-Hall, 2009.
Rinaldi Munir, Matematika Diskrit
Penerbit Informatika, Bandung.
Suryadi MT
Matematika Diskrit
86
Latihan :
1.
(a) Berapa banyak bilangan genap 2-angka?
(b) Berapa banyak bilangan ganjil 2-angka
dengan setiap angka berbeda?
2.
Dari 100.000 buah bilangan bulat positif
pertama, berapa banyak bilangan yang
mengandung tepat 1 buah angka 3, 1 buah angka
4, dan 1 buah angka 5?
87
Suryadi
MT
Matematika Diskrit
3.
Tersedia 6 huruf: a, b, c, d, e, f. Berapa banyak
pengurutan 3 huruf jika:
(a) tidak ada huruf yang diulang;
(b) boleh ada huruf yang berulang;
(c) tidak boleh ada huruf yang diulang, tetapi huruf
e harus ada;
(d) boleh ada huruf yang berulang, huruf e harus
ada
4.
Tentukan banyak cara pengaturan agar 3 orang
mahasiswa Jurusan Teknik Komputer (TK), 4
orang mahasiswa Teknik Kimia (TK), 4 orang
mahasiswa Teknik Geologi (GL), dan 2 orang
mahasiswa Farmasi (FA) dapat duduk dalam satu
baris sehingga mereka dari departemen yang sama
duduk berdampingan?
88
Suryadi
MT
Matematika Diskrit
Tugas :
1.
2.
Terdapat 24 buah apel dan 15 buah
jeruk dibagikan kepada 5 orang anak, tiap
anak boleh mendapat lebih dari 1 buah
apel atau jeruk, atau tidak sama sekali.
Berapa banyak cara pembagian yang
dapat dilakukan?
Tunjukkan bahwa
n
 2C  n, k   3
n
k 0
Suryadi MT
Matematika Diskrit
89
Tugas :
3. Tentukan koefisien
12 13
x y
dari ekspansi ( x  y)
25
4. Terdapat 10 kandidat karyawan yang
terdiri dari 4 Sarjana Ekonomi dan 6
Sarjana Teknik. Berapa cara terpilih 3
orang yang terdiri dari 1 Sarjana Ekonomi
dan 2 Sarjana Teknik ?
5. Berapa banyak string bit yang memiliki
panjang delapan dimulai dengan bit 1
atau diakhiri bit 00 dapat dibuat?
Suryadi MT
Matematika Diskrit
90
Notes :
Suryadi MT
Matematika Diskrit
91