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11. Sistemas Escalonados
Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um
coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o
número de coeficientes nulos antes do primeiro
coeficiente não nulo aumenta de equação para equação.
a11 x1 a12 x2 .... a1n xn b1
a22 x2 .... a2 n xn b2
............................................
ann xn bn
O sistema é também chamado sistema triangular, pois a
matriz associada é uma matriz triangular. Se fala também de
triangular superior ou inferior para caracterizar a posição dos
coeficientes não nulos.
11. Sistemas Escalonados
Sistema triangular (escalonado) – forma matricial
Superior
Inferior
Podem ser solucionados com Resolução Retroativa
11. Sistemas Escalonados
S1 =
3x y z 2
Resolva o sistema: 2 y z 1
z 5
Resolução:
Na 3ª equação: z = -5
Na 2ª equação: 2y – (-5) = -1
2y = -1 – 5
y = -3
Na 1ª equação: 3x – (-3) + (-5) = 2
3x = 2 – 3 + 5
3x = 4
x = 4/3
Logo, o conjunto solução será: (-5, -3, 4/3)
11. Sistemas Escalonados
S1 =
4 x y 5 z 3
Resolva o sistema:
3 y 2z 1
Resolução:
Primeiro perceba que este sistema tem mais variáveis que
equações. Perceba ainda que a variável z não aparece no
começo de nenhuma equação, ela será chamada de variável
livre.
Para resolvermos este sistema, primeiro vamos atribuir um
valor real arbitrário para a variável livre:
z = a, com a .
Agora vamos calcular o valor de y na 2ª equação:
3y – 2a = 1
3y = 1 + 2a
y = (1 + 2a)/3
11. Sistemas Escalonados
S1 =
4 x y 5 z 3
Resolva o sistema:
3 y 2z 1
Agora que já conhecemos y e z, vamos calcular o valor de x:
1 2a
4x
5a 3
3
1 2a
4x 3
5a
3
12 x 9 1 2a 15a
3
3
10 13a
x
12
10 13a 1 2a
,
, a , com a
Logo a solução do sistema será:
3
12
Essa solução é chamada de solução geral do sistema e esse
sistema é POSSÍVEL E INDETERMINADO.
11. Sistemas Escalonados
S1 =
4x y z t w 1
Resolva o sistema:
z t 2w 0
2w 4
Resolução:
Na 3ª equação: w = 2
Agora perceba que este sistema tem duas variáveis livres (não
aparecem no começo de nenhuma equação), vamos atribuir
valores para elas:
t = a e y = b, com a e b
Na 2ª equação:
z a 22 0
z a 4
Na 1ª equação:
4 x b a 4) a 2 1
4x 1 b a 4 a 2
x
1 b
4
11. Sistemas Escalonados
4 x y 5 z 3
Resolva o sistema:
3 y 2z 1
Logo a solução do sistema será:
1 b
,
b
,
a
4
,
a
,
2
, com a e b
4
Essa solução é chamada de solução geral do sistema e esse
sistema é POSSÍVEL E INDETERMINADO.
Se desejarmos soluções particulares para esse sistema, basta
atribuir valores para a e b, por exemplo:
a 0 e b 3
1,3,4,0,2)
1
a 1 e b 0 ,0,5,1,2
4
12. Sistemas Equivalentes
Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo
conjunto solução.
4x y 2
S1
3x 2 y 7
x y 3
S2
2 x y 4
verificamos que o par ordenado (1, 2) satisfaz ambos e é único.
Logo, S1 e S2 são equivalentes, e escrevemos:
S1 ~ S2
Sendo dado um sistema, é possível realizar sobre ele uma
série de operações elementares sem alterar seu resultado, ou
seja, obtendo sistemas equivalentes a ele, é que veremos a
seguir.
13. Sistemas Equivalentes – Op. Elementares
PROPRIEDADE 1:
um sistema de equações não se altera, quando permutamos
as posições de duas equações quaisquer do sistema.
Exemplo:
2 x 3 y 2 z 20
x y z 9
4 x y z 18
Sistema 1
4 x y z 18
x y z 9
2 x 3 y 2 z 20
Sistema 2
Solução do Sistema 1 = Solução do Sistema 2:
x=3, y=2 e z=4.
13. Sistemas Equivalentes – Op. Elementares
PROPRIEDADE 2:
um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos
ambos os membros de qualquer uma das equações do
sistema, por um número real não nulo.
Exemplo:
2 x 3 y 2 z 20
x y z 9
4 x y z 18
(4 x y z 18)2
2 x 3 y 2 z 20
x y z 9
8 x 2 y 2 z 36
Sistema 3
Sistema 1
Solução do Sistema 1 = Solução do Sistema 3:
x=3, y=2 e z=4.
13. Sistemas Equivalentes – Op. Elementares
PROPRIEDADE 3:
um sistema de equações lineares não se altera, quando
substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da
adição membro a membro desta equação, com outra na qual
foi aplicada a transformação, ou seja, MULTIPLICAR UMA
EQUAÇÃO POR UM NÚMERO E SOMAR COM OUTRA.
Exemplo:
2 x 3 y 2 z 20
x y z 9
4 x y z 18
Sistema 1
(2 x 3 y 2 z 20)2
2 x 3 y 2 z 20
5 x 7 y 5 z 49
4 x y z 18
Sistema 3
x yz 9
Solução do Sistema 1 = Solução do Sistema 4:
x=3, y=2 e z=4.
14. Escalonamento de um Sistema Linear
Podemos transformar um sistema escrito em sua forma normal
para um outro equivalente, na forma escalonada, esse
processo é chamado de ESCALONAMENTO DE UM
SISTEMA LINEAR.
1º passo: Escolhemos, para 1a equação, uma em que o
coeficiente da 1a incógnita seja não nulo. Se possível fazemos
a escolha a fim de que esse coeficiente seja igual a -1 ou 1,
pois os cálculos ficam, em geral, mais simples.
2° passo: Anulamos o coeficiente da 1ª incógnita das demais
equações, usando as propriedades 1 e 2.
3º passo: Desprezamos a 1a equação e aplicamos os dois
primeiros passos com as equações restantes.
4º passo: Desprezamos a 1ª e a 2ª equações e aplicamos os
dois primeiros passos nas equações restantes, até o sistema
ficar escalonado.
14. Escalonamento de um Sistema Linear
x y 2 z 9
Ex1) Resolva o sistema: 2 x y z 6
2x 4 y z 1
Resolução:
Vamos destacar a 1ª incógnita na 1ª equação:
x y 2 z 9
2x y z 6
2x 4 y z 1
Agora vamos usar essa incógnita e seu coeficiente para
eliminá-la nas equações seguintes:
x y 2 z 9
2x y z 6
2x 4 y z 1
2
2
x y 2z 9
3 y 3z 12
6 y 5 z 19
14. Escalonamento de um Sistema Linear
x y 2 z 9
Ex1) Resolva o sistema: 2 x y z 6
2x 4 y z 1
Agora é só repetir o processo, só que usando a 2ª equação:
x y 2 z 9
3 y 3z 12
6 y 5 z 19
x y 2 z 9
3 y 3 z 12
z 5
2
Finalmente, é só usar o processo da resolução retroativa e
encontrar a solução do sistema:
z5
3 y 3 5 12
3 y 12 15
3y 3
x 1 2 5 9
x 9 1 10
y 1
x0
S 0,1,5)
14. Escalonamento de um Sistema Linear
x y 3z t 1
Ex2) Resolva o sistema: 3 x 3 y z 2t 0
2 x y z 2t 4
Resolução:
Vamos destacar a 1ª incógnita na 1ª equação:
x y 3z t 1
3 x 3 y z 2t 0
2 x y z 2t 4
Agora vamos usar essa incógnita e seu coeficiente para
eliminá-la nas equações seguintes:
x y 3z t 1 3 2
3 x 3 y z 2t 0
2 x y z 2t 4
x y 3z t 1
10 z t 3
y 7 z 4t 2
14. Escalonamento de um Sistema Linear
x y 3z t 1
Ex2) Resolva o sistema: 3 x 3 y z 2t 0
2 x y z 2t 4
Agora vamos trocar as posições das equações 2 e 3:
x y 3z t 1
y 7 z 4t 2
10z t 3
O sistema já está na forma escalonada. Perceba que ele
apresenta uma variável livre (o t não aparece no começo de
nenhuma equação) e portanto, ele é SPI:
t a
10 z a 3
z
a 3
10
14. Escalonamento de um Sistema Linear
x y 3z t 1
Ex2) Resolva o sistema:3 x 3 y z 2t 0
2 x y z 2t 4
x y 3z t 1
y 7 z 4t 2
10z t 3
Já sabemos os valores de t e z:
t a
z
a 3
10
a 3
y 7
4 a 2
10
10 y 7a 21 40a 20
10
10
7a 21 40a 20 10y
33a 41
y
10
33a 41
a 3
x
3
a 1
10
10
10 x 33a 41 3a 9 10a 10
10
10
10 x 10 33a 41 3a 9 10a
10 x 26a 42
13a 21
x
5
2)
14. Escalonamento de um Sistema Linear
x yz 4
Ex3) Resolva o sistema: 3 x 2 y z 0
5 x 5 y z 4
Resolução:
3
x yz 4
3x 2 y z 0
5 x 5 y z 4
x y 2 z 9
5 y 2 z 12
0 y 0z 0
5
x y z 4
5 y 2 z 12 2
10y 4 z 24
A última equação indica que o
sistema é SPI, e pode ser
abandonada.
x y z 4
5 y 2 z 12
14. Escalonamento de um Sistema Linear
x yz 4
Ex3) Resolva o sistema: 3 x 2 y z 0
5 x 5 y z 4
x y z 4
5 y 2 z 12
Atribuímos valores para a variável livre z:
z a
5 y 2 a 12
2a 12
y
5
8 3a 2a 12
S
,
, a
5
5
2a 12
x
a 4
5
5 x 2a 12 5a 20
5
5
5 x 20 2a 12 5a
8 3a
x
5
14. Escalonamento de um Sistema Linear
x 4 y 8
Ex4) Resolva o sistema: 3 x y 15
10x 12 y 7
Resolução:
x 4 y 8 3 10
3 x y 15
10x 12 y 7
x 4 y 8
13y 39
0 y 69
x 4 y 8
13y 39 4
52y 87
A última equação indica que o
sistema é SI.
S
14. Escalonamento de um Sistema Linear
x y 2 z 9
Ex5) Resolva o sistema: 2 x y z 6
2x 2 y z 1
Resolução:
x y 2 z 9 2
2x y z 6
2x 2 y z 1
2
x y 2z 9
3 y 3z 12 4
3
4 y 5 z 19
E agora, como fazemos se queremos usar 3 para eliminar -4?
Neste caso, multiplicamos a 2ª e a 3ª equações e fazemos
a soma das duas em separado.
12y 12z 48
12y 15z 57
3z 9
x y 2 z 9
3 y 3 z 12
3z 9
O resto é com você!
15. Discussão de um Sistema Linear
Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x e y.
3x 2 y 2
m x 4 y 1
Observe que, além das incógnitas x e y, o sistema apresenta
uma variável m. Tal variável é chamada de "parâmetro do
sistema".
Discutir esse sistema em função do parâmetro m significa
classificá-lo como SPD, SPI ou SI para cada valor real
assumido por m.
Para tanto, utilizaremos o que aprendemos com o Teorema de
Cramer:
SPI
se D 0 SPD
se D 0
ou
SI
Para dirimir essa última dúvida, usaremos o que aprendemos
com escalonamento de sistemas.
15. Discussão de um Sistema Linear
3x 2 y 2
Ex1) Discutir o sistema:
m x 4 y 4
Resolução:
3 2
Sabemos que, se: D
0
m 4
Resolvendo:
O sistema é SPD.
12 2m 0
12 2m
m6
3 2
Sabemos que, se: D
0 O sistema é SPI ou SI.
m 4
Resolvendo:
12 2m 0
m6
Como
fazer
para
saber se é SPI ou SI?
15. Discussão de um Sistema Linear
3x 2 y 2
Ex1) Discutir o sistema:
m x 4 y 1
Agora que sabemos que se m = 6 o sistema é SPI ou SI,
substituiremos esse valor no sistema e em seguida faremos o
seu escalonamento.
3x 2 y 2
6x 4 y 1
3x 2 y 2
0 y 3
2
Resumindo temos:
m 6 SPD
m 6 SI
SI
15. Discussão de um Sistema Linear
ax 3ay 0
Ex2) Discutir o sistema:
2 x ay 4
Resolução:
a 3a
I. Sabemos que, se: D
0 O sistema é SPD.
2 a
Resolvendo:
a 2 6a 0
aa 6) 0
a 0 ou a 6
a 3a
II. Sabemos que, se: D
0 O sistema é SPI ou SI.
2 a
Resolvendo: a 2 6a 0
a 0 ou a 6
15. Discussão de um Sistema Linear
ax 3ay 0
Ex2) Discutir o sistema:
2 x ay 4
Vamos substituir a = 0:
0 x 0 y 0
2 x 0 y 4
Observando a 1ª equação concluímos que o
sistema é SPI.
Vamos substituir a = 6 e escalonar o sistema:
6 x 18y 0
2x 6 y 4
x 3 y 0
x 3 y 2
1
x 3y 0
0y 2
Observando a 2ª equação concluímos que o
sistema é SI.
15. Discussão de um Sistema Linear
ax 3ay 0
Ex2) Discutir o sistema:
2 x ay 4
Resumindo temos:
a 6 ou a 0 SPD
a 0 SPI
a 6 SI
15. Discussão de um Sistema Linear
x y 2
Ex3) Discutir o sistema:
2 x ay b
Resolução:
1 1
I. Sabemos que, se: D
0 O sistema é SPD.
2 a
Resolvendo:
a20
a 2
1 1
II. Sabemos que, se: D
0 O sistema é SPI ou SI.
2 a
Resolvendo:
a20
a 2
15. Discussão de um Sistema Linear
x y 2
Ex3) Discutir o sistema:
2 x ay b
Vamos substituir a = -2, e em seguida escalonar o sistema:
x y 2
2 x 2 y b
x y 2
0y b 4
2
Como se pode observar, a questão agora depende do valor
de b, ou seja:
b40 b 4
b4 0 b 4
SPI
Resumindo temos:
SI
a 2
SPD
a 2 e b 4
SPI
a 2 e b 4
SI
15. Discussão de um Sistema Linear
x yz 0
Ex4) Discutir o sistema: x y m z 2
m x 2 y z 1
Resolução:
1
1
1
I. Sabemos que, se: D 1
1 m 0 O sistema é SPD.
m 2 1
Resolvendo:
m2 m 0
mm 1) 0
m 0 ou m 1
1
II. Sabemos que, se: D 1
1
1
1 m 0 O sistema é SPI ou SI.
m 2 1
15. Discussão de um Sistema Linear
x yz 0
Ex4) Discutir o sistema: x y m z 2
m x 2 y z 1
Resolvendo:
m2 m 0
m 0 ou m 1
Vamos substituir m = 0, e em seguida escalonar o sistema:
x yz 0
1
x y 0z 2
0 x 2 y z 1
SI
x y z 0
2y z 2
2 y z 1
x y z 0
2y z 2
0z 1
1
15. Discussão de um Sistema Linear
x yz 0
Ex4) Discutir o sistema: x y m z 2
m x 2 y z 1
Resolvendo:
m2 m 0
m 0 ou m 1
Vamos substituir m = 1, e em seguida escalonar o sistema:
x yz 0
1
x yz 2
x 2 y z 1
SPI
x
x
y z0
2 y 0z 2
y 0 z 1
y z0
2 y 0z 2
0z 0
2
15. Discussão de um Sistema Linear
x yz 0
Ex4) Discutir o sistema: x y m z 2
m x 2 y z 1
Resumindo temos:
m 0 ou m 1 SPD
m 1 SPI
m 0 SI
15. Discussão de um Sistema Linear
ax y 2 z b
Ex5) Discutir o sistema: 2ax y 2 z 1
2x y 2z 3
Resolução:
a
I. Sabemos que, se: D 2a
Resolvendo:
2
4a 8 0
8 4a
a2
a
II. Sabemos que, se: D 2a
2
1
2
1 2 0 O sistema é SPD.
1 2
1
2
1 2 0 O sistema é SPI ou SI.
1 2
15. Discussão de um Sistema Linear
ax y 2 z b
Ex5) Discutir o sistema: 2ax y 2 z 1
2x y 2z 3
Resolvendo:
4a 8 0
a2
Vamos substituir a = 2, e em seguida escalonar o sistema:
2 x y 2 z b 2 1
4x y 2z 1
2 x y 2 z 3
2 x y 2 z b
3 y 2 z 1 2b
0 y 0z 3 b
Como se pode observar, a questão agora depende do valor
de b, ou seja:
3b 0 b 3
SPI
3b 0 b 3
SI
15. Discussão de um Sistema Linear
ax y 2 z b
Ex5) Discutir o sistema: 2ax y 2 z 1
2x y 2z 3
Resumindo temos:
a2
SPD
a2 e b3
SPI
a2 e b3
SI
15. Discussão de um Sistema Linear
Alguns sistemas lineares apresentam número de equações
diferente do número de incógnitas, nestes casos, não
poderemos usar o determinante dos coeficientes do
sistema, pois a matriz dos coeficientes não será quadrada e,
portanto, não existirá o determinante.
Então, vamos discutir o seguinte sistema em função do
parâmetro real m, por meio apenas do escalonamento.
x 2y z 1
Ex6) Discutir o sistema:
2 x 4 y m z 1
Resolução:
x 2y z 1 2
2 x 4 y m z 1
x 2 y z 1
2 m)z 1
Vamos analisar a última equação:
2 m 0 m 2 SI
2 m 0 m 2 SPI
15. Discussão de um Sistema Linear
x 2y z 1
Ex6) Discutir o sistema:
2 x 4 y m z 1
É importante lembrar que esse sistema nunca será SPD, pois o
número de equações não é igual ao número de incógnitas, logo
ele não é um sistema normal.
Resumindo temos:
m 2 SI
m 2 SPI
16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão
Como um sistema linear homogêneo é formada por equações
cujos termos independentes são todos nulos. Se o número de
equações for igual ao número de incógnitas, podemos escrever:
Todo sistema linear homogêneo é sempre possível, pois
admite a solução (0,0,0 ..., 0), chamada solução trivial.
2 x 3 y z 0
x 4y 0
, etc.
x 4y z 0 ,
3 x y 2 z 0 2 x 6 y 0
Observe que para um sistema linear homogêneo de n equações
com n incógnitas, teremos sempre:
Dx Dy Dz 0
Portanto, para discussão de um sistema linear homogêneo de n
equações e n incógnitas é suficiente apenas o cálculo do
determinante D dos coeficientes das incógnitas, isto é:
16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão
se D 0 SPD apenassoluçãotrivial ou IMPRÓPRIA
se D 0 SPI outras soluçõesalém da trivial ou PRÓPRIAS
Observações Importantes:
1. Sistema Homogêneo NUNCA SERÁ IMPOSSÍVEL;
2. Se o número de equações for diferente do número de
incógnitas, o sistema será SPI.
16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão
z 4 y 5z 0
Ex1) Discutir o sistema: 2 x y 3 z 0
3 x ay 2 z 0
Resolução:
Sendo o número de equações igual ao número de incógnitas,
podemos calcular D:
1
4
D 2 1
3 a
5
9 13
3
15313a 12)
a 12 17
2
153 13a 156
3 13a
Como o sistema é homogêneo, só há duas possibilidades:
se D 0 SPD Resolvendo: 3 13a 0
3
a
13
16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão
z 4 y 5z 0
Ex1) Discutir o sistema: 2 x y 3 z 0
3 x ay 2 z 0
se D 0 SPI Resolvendo: 3 13a 0
3
a
13
Resumindo temos:
3
a SPD Solução Trivial 0,0,0)
13
3
a SPI Outras Soluções além da Trivial
13
16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão
x y 3z 0
Ex2) Classificar e resolver o sistema: 4 x y z 0
2 x 3 y 7 z 0
Resolução:
Podemos também classificar e resolver
escalonamento, é o que veremos a seguir:
x y 3z 0 4
4x y z 0
2 x 3 y 7 z 0
2
SPI
por
meio
x y 3z 0
5 y 13z 0
5 y 13z 0
x y 3z 0
5 y 13z 0
0z 0
1
do
16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão
x y 3z 0
Ex2) Classificar e resolver o sistema: 4 x y z 0
2 x 3 y 7 z 0
Agora vamos resolvê-lo:
x y 3z 0
5 y 13z 0
z a
5 y 13a 0
13a 5 y
13a
y
5
2a 13a
S
,
, a
5 5
13a
x
3a 0
5
13a
x 3a
5
15a 13a
x
5
2a
x
5
16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão
Ex3) Determine a, de modo que o sistema admita soluções
próprias:
x y az 0
x 2y z 0
2 x y az 0
Resolução:
Soluções próprias, são as demais soluções, além da solução
trivial, ou seja, o sistema deve ser SPI:
se D 0 SPI outras soluçõesalém da trivial ou PRÓPRIAS
Então:
1
1
D 1 2
2
1
a
1 0 6 a 3 0
1
3 6a a
a
2