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ブラックホールによる光子の
軌道角運動量の生成１
Orbital Angular Momentum (OAM)
中尾憲一、西川隆介、石原秀樹、桝田篤樹（大阪市大）
南部保貞（名古屋大）
第２４回「ブラックホール地平面勉強会」研究会＠山口大学
場の量子論 Ñ2 Aˆ = 0
正準交換関係
基底状態＝真空
運動量
kの光子１個
1
運動量 の光子と
それぞれ１個ずつ
の光子が
…
…
コヒーレント状態：平面波
他の基底で
z
R
例えば円筒座標の完全系を用いると
e
y
j
-iwkk t+ikz+imj
J|m| (k R)
wkk = k 2 + k 2
x
+¥
d
k
-iwkk t+ikz+imj
+
iw kk t-ikz-imj
é
ù
ˆ
ˆ
Aˆ = ò dk ò
b
e
J
k
R
+
b
e
J
k
R
(
)
(
)
å
|m|
kk m
|m|
ë kk m
û
2
2
p
-¥
0
m=-¥
+¥
+¥
+¥
d
k
-iwkk t+ikz+imj
é
ù
ˆ
Aˆ = ò dk ò
b
e
J
k
R
+
h.c.
(
)
å
k
k
m
|m|
ë
û
2
2
p
-¥
0
m=-¥
wkk = k 2 + k 2
+¥
+¥
ébˆ , bˆ+ ù = d ( k - k ) d (k - k ) d
1
2
1
2
m1m2
ë k1k1m1 k2k 2m2 û
正準交換関係
基底状態＝真空
運動量のz成分が k1
運動量のxy成分の大きさが k1
OAM のz成分が の光子１個
k1, k1, m1 = bˆk+1k1m1 0
k1, k1, l1;k2 , k 2 ,l2 =
1 ˆ+ ˆ +
bk2k 2l2 bk1k1l1 0
2!
……..
運動量とOAMのz成分および運動量のxy成分の
大きさが、 k1, m1, kの光子と
k2, m2,
1
の光子がそれぞれ１個ずつ
¥
n kk m = å
n=1
nn
n!
e
1 2
- n
2
( )
bˆ+kk m
n
0
コヒーレント状態：光渦
k2
コヒーレント状態の場の振幅の期待値
n kk m
n
ˆ
A ( t, x ) n kk m »
cos (wkk t - kz - mj - Dn ) J m (k R)
2p
wkk = k 2 + k 2
n = n eiDn


１個の光子でも
軌道角運動量 m を持ちうる
Marrucci, et al, PRL96 (2006)
k1, k1, m1 = bk+1k1m1 0
j+- j-=a
Kerr BH の近傍を通過する電磁波は
軌道角運動量 m を得る
BH の角運動量の情報が得られる！
Tamburini et al は、accretion disk 全体から
coherent な 電磁波が放射されていると仮定
最近の論文（Yang & Casals, arXiv:1404.0722)も coherent state を想定
しかし、現実的な状況において放射される電磁波は incoherent
BH の近傍を通過する１つの光子が
軌道角運動量 m を持つことができるか？
注意！
z方向のOAMがゼロの固有状態でも、
z’方向のOAMはゼロとは限らない．
モード関数
e
-iwkk t+ikz+imj
z
x’
J|m| (k R) = e
z’
-iwkk t
¥
¥
-¥
0
¥
ò dk¢ ò dk ¢ å a k
k
m¢=-¥
ik¢z¢+im¢j ¢
e
J|m¢| (k ¢R¢)
m;k¢k ¢m¢
+¥
d
k
ébˆ e-iwkk t+ikz+imj J (k R) + h.c.ù
Aˆ = ò dk ò
å
|m|
ë kk m
û
2
2
p
-¥
0
m=-¥
+¥
+¥
dk ¢ +¥ é
-iw k¢k ¢t+ik¢z¢+im¢j ¢
ˆ
= ò dk¢ ò
c
e
J|m¢| (k ¢R¢) + h.c.ùû
å
¢
¢
¢
k
k
m
ë
-¥
0 2 2p m¢=-¥
+¥
+¥
y
y’
x
cˆk¢k ¢m¢ =
¥
¥
¥
ò dk ò dk å a k
bˆ
k m;k¢k ¢m¢ kk m
-¥
0
m=-¥
z
z’
cˆk¢k ¢m¢ =
x’
¥
¥
ò dk ò dk å a k
bˆ
k m;k¢k ¢m¢ kk m
-¥
y
¥
0
m=-¥
y’
x
初期状態: ki , k = 0, m = 0 = bˆ+k,0,0 0
z方向の運動量固有状態の光子１つ
ダッシュ系で光子が、k’, , m’ を持つ確率分布関数
P(k¢, k ¢, m¢) = ki , 0, 0 cˆ
+
k¢k ¢m¢ k¢k ¢m¢
cˆ
ki , 0, 0 = ak¢k ¢m¢;ki 00
ダッシュ系の粒子数演算子
どの方向のOAMを測定するかが重要
2
BH時空のモード関数について
光源近傍でのモード関数
BH によって変形した
モード関数
1 -iwkk t+ikz+imj
e
J m (k R)
2p
fkk m ( t, z¢, R¢, j ¢)
光源
x’
z’
z
y’
BH
検出器近傍でのOAMを
定義するためのモード関数
1 -iwk¢k¢t+ik¢z¢+im¢j ¢
e
J m¢ (k ¢R)
2p
検出器近傍のモード関数で展開
fkk m ( t, z¢, R¢, j ¢) =
¥
¥
¥
ò dk¢ ò dk ¢ å éëa k
k
-¥
0
m¢=-¥
-iwk¢k ¢t+ik¢z¢+im¢j ¢
iwk¢k ¢t-ik¢z¢-im¢j ¢ ù
e
+
b
e
m;k¢k ¢m¢
kk m;k¢k ¢m¢
û J m¢ (k ¢R¢)
Aˆ ( t, z, R, j ) =
場の演算子について
dk +¥ é ˆ -iwkk t+ikz+imj
J|m| (k R) + h.cùû
ò dk ò 2 2p å ëbkk me
-¥
0
m=-¥
+¥
+¥
Aˆ ( t, z, R, j ) =
光源
dk +¥ é ˆ
ò dk ò 2 2p å ëbkk m fkk m (t, z, R, j ) + h.cùû
-¥
0
m=-¥
+¥
+¥
x’
z’
z
BH
y’
+¥
d
k
éëcˆkk m e-iwkk t+ikz¢+imj ¢ J|m| (k R¢) + h.cùû
Aˆ ( t, z¢, R¢, j ¢) = ò dk ò
å
-¥
0 2 2p m=-¥
+¥
cˆkk m =
¥
¥
¥
-¥
0
m¢=-¥
+¥
*
+ù
é
ˆ
ˆ
¢
¢
d
k
d
k
a
b
+
b
b
ò ò å ë k¢k¢m¢;kkm k¢k¢m¢ k¢k ¢m¢;kk m û
１粒子状態について
初期状態: ki , k = 0, m = 0 = bˆ+k ,0,0 0
i
z方向の運動量固有状態の光子１つ
検出器近傍で光子が、k, , m を持つ確率
P(k, k, m) = ki , 0, 0 cˆ
+
kk m kk m
cˆ
2
ki , 0, 0 = akk m;ki 00 + bkk m;ki 00
検出器近傍の粒子数演算子
ここで、
fkk m ( t, z¢, R¢, j ¢) =
¥
¥
¥
ò dk¢ ò dk ¢ å éëa k
k m;k¢k ¢m¢
-¥
0
m¢=-¥
e-iwk¢k¢t+ik¢z¢+im¢j¢ + bkk m;k¢k ¢m¢eiwk¢k¢t-ik¢z¢-im¢j ¢ ùû J m¢ (k ¢R¢)
ブラックホールによる散乱で変化したモード関数
光源では
1 -iwkk t+ikz+imj
e
J m (k R)
2p
2
まとめ
初期に軌道角運動量を持っていない光子も、
BHによって持つことができる
かもしれない
詳細は次の西川くんのトークで