Transcript 8 по теме «Квадратный трёхчлен и его применение - Reg

Презентация по алгебре
на тему:
«Квадратный трёхчлен и его применение»
Подготовила: ученица 8
класса,МКОУ «Сосновская
СОШ»
Алдохина Анастасия.
Проверила: Рудь С.Н.,учитель
математики.
Квадратный трёхчлен и его
применение.
Квадратным трёхчленом
называют многочлен
(многочлен-это алгебраическая
сумма нескольких одночленов),
состоящий из трёх одночленов, в
которых наивысшей степенью
показателя является квадрат.
Квадратный трёхчлен
• Где а≠0;
• а,b,с-заданные действительные числа;
• Наивысшей степенью показателя является квадрат,
т.е. х²-одночлен, с высшей степенью показателя в
квадратном трёхчлене;
Пример квадратного трёхчлена
Квадратный трёхчлен применяют в:
1) квадратных уравнениях;
2) квадратичной функции;
3) квадратных неравенствах;
Квадратные уравнения
Условно, квадратные уравнения
можно разделить на следующие
виды:
1.простейшие х²=d;
2.неполные;
3.полные;
4.приведённые (один из видов
полного квадратного уравнения)
Квадратным уравнением
называется уравнение вида:
• Где а, b, c-заданные действительные числа;
• а≠0
• Х-неизвестное;
Пример квадратного уравнения:
• Где а=3;
• b=-5;
• с=4;
Коэффициенты a, b, с
квадратного уравнения обычно
называют так:
• а- первым или старшим коэффициентом;
• b –вторым коэффициентом;
• с- свободным членом;
Уравнение х²=d, где d>0
имеет два корня:
х =√d
1
х =- √d
2
х²=d
Случаи:
• 1.если d=0, то уравнение имеет 1 повторяющийся
корень: х1;х2=0.
пример: х²=0)√=>х1=х2=0;
• 2.если d>0, то два корня.
пример: х²=9)√=>х1;х2=±3=>х1=3, х2=-3;
• 3.если d<0, то уравнение корней не имеет.
пример: х²=-5=>корней нет;
Неполные квадратные
уравнения.
Квадратные уравнения
ах²+bх+с=0
• Называют неполными, если хотя бы
один из коэффициентов b или с равен
нулю.
Неполное квадратное уравнение
есть уравнение одного из
следующих видов
Примеры неполных квадратных
уравнений.
а=3, b=c=0
a=1, b=5, c=0
a=4, b=0,c=-64
Решение неполных квадратных
уравнений
Чтобы решить уравнение вида
нужно разделить обе части
уравнения на коэффициент
при неизвестном, т.е. на «а»
(х всегда будет равен нулю)
Пример решения неполного
квадратного уравнения вида
ах²=0:
5х²=0):5
х²=0)√
х ; х =0
1
2
Чтобы решить уравнение вида
нужно вынести за скобки общий
множитель(т.е. х) и решить
полученное уравнение.
Пример решения неполного
квадратного уравнения вида:
Чтобы решить неполное квадратное
уравнение вида
нужно:
1.перенести «с»;
2. разделить обе части на «а»;
3. извлечь из обеих частей уравнения
корень квадратный;
Пример решения неполного квадратного
уравнения вида:
3х²-27=0
3х²=27):3
Х²=9)√
х , х =±3.
1
2
.
Для решения квадратных уравнений применяют метод
выделения полного квадрата. Для этого нужно:
• 1.перенести свободный член в правую часть уравнения;
• 2.дополнить левую часть алгебраическим нулём таким образом,
чтобы получилась формула квадрата суммы или квадрата
разности;
• 3. перенести ненужный член в правую часть уравнения;
• 4.представить левую часть в виде квадрата суммы или квадрата
разности;
• 5.из обеих частей уравнения извлечь квадратный корень;
• 6.решить два получившихся линейных уравнения.
Пример решения квадратного уравнения
методом выделения полного квадрата.
Для решения полных квадратных
уравнений пользуются
формулой:
Пример решения полного
квадратного уравнения:
; а=6,b=1,с=-2
Выражение b²-4ас
называют
дискриминантом (D)
1.Если D=0, то уравнение имеет 1 корень.
пример: х²+6х+9=0; D= b²-4ас=6²-4·1·9=36-36=0=>уравнение имеет
один корень
2.Если D>0, то уравнение имеет 2 корня
пример: 6х²+х-2=0; D=b²-4ас=1²-4·6·(-2)=49>0=> 2 корня.
3.Если D<0, то уравнение корней не имеет.
пример: х²-4х+5=0, D=b²-4ас=(-4)²-4·1·5=16-20=-4<0=>корней нет.
Для решения полных
квадратных уравнений также
пользуются формулой:
• Где b-чётное число, b=2m;
Пример решения полного квадратного
уравнения с помощью формулы
Приведенным квадратным
уравнением называется
квадратное уравнение,
у которого старший
коэффициент, т.е. «а»=1;
формула приведенного
квадратного уравнения
Пример приведённого
квадратного уравнения
• Где p=3,
• q=-4;
Всякое квадратное уравнение
можно привести к приведённому
делением обеих частей
уравнения на а, не равное нулю.
Приведённое уравнение
есть частный случай уравнения общего
вида, в котором a=1, b=p, c=q. Поэтому
для приведённого квадратного уравнения
формула принимает вид:
Для приведённого квадратного
уравнения справедлива следующая
теорема (теорема Виета)
Пример решения
квадратного уравнения с
помощью теоремы Виета:
х²+4х-5=0, где а=1, p=4, q=-5
Ответ:Х1=-5, Х2=1.
Теорема, обратная теореме
Виета:
Равенство а(х-х1)(х-х2) часто применяют
при разложении многочлена на
множители.
Несмотря на то, что любое
квадратное уравнение можно
привести к приведённому, но
решить полученное уравнение по
теореме Виета можно не всегда.
Уравнения, сводящиеся к
квадратным.
При умножении уравнения на
выражение, содержащее
неизвестное, могут появиться
посторонние корни. Поэтому при
решении уравнения,
содержащего неизвестное в
знаменателе дроби, необходима
проверка.
С помощью квадратных
уравнений решаются многие
задачи, а также простейшие
системы, содержащие
уравнения второй степени.
Пример решения системы,
содержащей уравнение второй
степени.
Пример решения задачи с помощью
квадратного уравнения и системы, сводящейся
к применению теоремы Виета.
1 способ:
Периметр прямоугольника равен 1м(10дм), а
площадь-4 дм².
Найти его стороны.
Ответ:1-ая сторона=10см, 2-ая сторона=40см.
2 способ (с помощью квадратного уравнения):
• Ответ: 1сторона=1дм, 2 сторона=4дм.
Квадратичная функция.
Функция вида у = ах²+bх + с,
где a, b и c – заданные
действительные числа, а≠0,
х - действительная переменная,
называется квадратичной
функцией.
Примеры квадратичной функции.
•
•
•
•
•
у = х²;
у = -2х²;
У = х²-х;
у = х²-5х+6;
У =-3х²+0,5х;
Значения х, при которых функция
у = ах² + bх + с принимает
значение, равное 0, называют
нулями квадратичной функции
• например, нулями квадратичной
функции у = х²-3х, являются значения
х1=0 и х2=3,
• т.к. при х1=0: у(0)=0² - 3·0=0-0=0;
• При х2=3: у(3)=3² - 3·3=0;
Функция у = х²
Функцию у(х)=х² можно задать:
•
•
•
•
1. словесно: с увеличением х- у увеличивается в х раз.
2. аналитически, т.е с помощью формул: у(х)=х² .
3.таблично, т.е. с помощью таблицы.
4.графически, т.е. с помощью графика.
Функция у = х² -это
квадратичная функция
у = ах² + bх + с, где а=1, b=с=0
• Графиком функции у = х² является
кривая, которая называется
параболой.
Свойства функции у(х)=х²:
• 1.вершина находится в начале координат
• 2.график симметричен относительно оси
ординат, т. е. у(-х) = у(х)
• 3.при х<0, у(х)-убывает
• 4.при х>0, у(х)-возрастает
• 5.при х>0,х<0, у(х)>0; при х=0, у=0
параболу также применяют в технике: на оси
симметрии есть точка, которую называют
фокусом параболы.
Фокусом параболы у(х)=х² является точка (0;¼)
Пример построения графика
функции у(х)=х²
• 1.свойства:
у(х)= х² - квадратичная
функция, графиком является
парабола, симметричная
относительно оси ординат.
Вершиной параболы
является начало координат.
При х<0, у(х)-убывает, при
х>0,у(х)-возрастает;
при х>0,х<0- у(х)>0; при х=0,
у=0
2. таблица:
Х -3 -2 -1 0 1 2 3
у 9 4
1 0 1 4 9
3.график
Функция у = ах²
Функция у = ах²-это квадратичная
функция у = ах² + bх + с, где
b=с=0
• График функции у = ах² также называют
параболой. При а>0 ветви направлены
вверх, при а<0-вниз.
• Фокус параболы находится в точке (0;¼а)
Основные свойства функции у = ах²:
• 1.если а>0,то функция принимает положительные
значения, при х≠0; если а<0, то функция принимает
отрицательные значения, при х≠0,значение функции
равно нулю, только при х=0, т.е. вершина лежит в
начале координат;
• 2.парабола у = ах² симметрична относительно оси
ординат;
• 3.если а>0, то функция вида у = ах² возрастает при
х≥0 и убывает при х≤0; если а<0, то функция у = ах²
убывает при х ≥0 и возрастает при х ≤0.
Пример построения графика
функции у = ах²
график:
• Свойства:
• У(х)= 2х²-квадратичная
функция, графиком является
парабола, симметричная
относительно оси ординат;
• Вершиной параболы
является начало координат
• Т.к. а=2>0=>ветви параболы
вверх;
• Функция возрастает при х≥0
и убывает при х≤0
• Таблица:
х
-3
-2 -1
0
1
2
3
у
18
8
0
2
8
18
2
Функция у=ах²+bх+с
Любую квадратичную функцию
у=ах²+bх+с с помощью выделения
полного квадрата можно представит в
виде
Графиком функции
является парабола, получаемая
сдвигом параболы у=ах²:
Графиком функции у=ах²+bх+с
является парабола, получаемая
сдвигом параболы у=ах² вдоль
координатных осей. Равенство
у=ах²+bх+с называют уравнением
параболы. Координаты (х0;у0)
вершины параболы у=ах²+bх+с
можно найти по формулам,
; у0=у(х0)=ах0²+bх0+с
Ось симметрии параболы у=ах²+bх+с-прямая,
параллельная оси ординат и проходящая через
вершину параболы. Ветви параболы
у=ах²+bх+с направлены вверх, если а>0, и
направлены вниз, если а<0.
Функция у=ах²+bх+с принимает наименьшее
или наибольшее значение в точке
которая является абсциссой вершины
параболы.
Значение функции в точке х0
можно найти по формуле: у0=у(х0)= ах0²+bх0+с
Если а >0, то функция имеет наименьшее
значение, а если а<0, то функция имеет
наибольшее значение
Алгоритм построения графика квадратичной функции:
1.построить вершину параболы(х0;у0), вычислив х0 и у0
по формулам
; у0=у(х0)=ах0²+bх0+с;
2.провести через вершину параболы прямую,
параллельную оси ординат,-ось симметрии параболы;
3.найти нули функции, если они есть, и построить на
оси абсцисс соответствующие точки параболы;
4.построить две какие-нибудь точки параболы,
симметричные относительно её оси. Для этого надо
взять две точки на оси ох, симметричные относительно
х0, и вычислить соответствующие значения функции
(эти значения одинаковы)
5.провести через построенные точки параболу;
Пример построения графика функции у=ах²+bх+с
•
•
У= -2х²+12х-19-это квадратичная
функция, т.к. а = -2<0=>ветви
параболы вниз.
= -12:(-4)=3;
•
У0= ах0²+bх0+с=-2·(з)²+12 ·3-19= -1
•
•
•
А(3;1)-вершина параболы
При х- любом, у<0
При х принадлежавшему от -∞до 3у возрастает;
при х принадлежавшим от 3 до + ∞у убывает.
При х=3, у принимает наибольшее
значение
График функции симметричен
относительно прямой х=3
•
•
•
•
Квадратные неравенства
Квадратное неравенство и его
решение
●Если в левой части неравенства стоит квадратный
трёхчлен, а в правой нуль, то такое неравенство
называют квадратичным.
Пр.: 2х²-3х+1>0
●Решением неравенства с одним неизвестным
называется то значение неизвестного, при котором
это неравенство обращается в верное числовое
неравенство.
●Решить неравенство-это значит найти все его
решения или установить, что их нет.
Квадратные неравенства можно
решать следующими способами:
• 1. аналитическим;
• 2.графическим;
• 3.методом интервалов;
Аналитический метод:
Если квадратное уравнение
ах²+bх+с=0 имеет два различных
корня, то решение квадратных
неравенств ах²+bх+с>0 и ах²+bх+с<0
можно свести к решению системы
неравенств, разложив левую часть
квадратного неравенства на
множители.
Пример решения квадратного
неравенства, разложением его левой
части на множители (т.е.аналитически):
Решение квадратного
неравенства с помощью графика
квадратичной функции.
• Для решения квадратного неравенства с помощью
графика нужно:
• 1)определить направление ветвей параболы по
знаку первого коэффициента квадратичной функции;
• 2)найти действительные корни соответствующего
квадратного уравнения или установить, что их нет;
• 3)изобразить эскиз графика квадратичной функции,
используя точки пересечения (или касания) с осью
Ох, если они есть;
• 4)по графику определить промежутки, на которых
функция принимает нужные значения.
Пример решения квадратного
неравенства с помощь графика:
Метод интервалов.
Решение квадратного уравнения
методом интервалов.
• Алгоритм решения методом интервалов:
• 1)квадратное неравенство представить в разложенном виде
(для этого необходимо приравнять квадратный трёхчлен к нулю,
и найти х1;х2);
• 2)на числовом луче отметить нули функции, т.е. х1;х2;
• 3) провести кривую линию («змейку») через нули функции ( она
пройдёт сверху вниз начиная с правого крайнего интервала
( интервал-часть луча, на который его разбили нули функции),
если в разложении «х» ( фундаменты) положительны; змейка
пройдёт снизу вверх через нули функции ( начиная с правого
крайнего интервала), если «х» (фундаменты), хотя бы один отрицательный.
Если в разложении есть повторяющийся нуль функции
(квадратный), на луче его обводим квадратиком, и когда ведём
«змейку», помним!, что при переходе через него «змейка» не
изменяется( т.е. знак не изменяется.
Пример решения квадратного
неравенства методом интервалов:
Исследование квадратичной
функции.
• Теорема1:
• Если D<0, то при всех действительных значениях х знак
квадратичной функции у=ах²+bх+с совпадает со знаком числа а.
• Теорема2:
• Если D=0, то при всех действительных значениях х, кроме
знак квадратичной функции у=ах²+bх+с совпадает со знаком
числа а; при
значение квадратичной функции равно
нулю.
• Теорема3:
• если D>0, то знак квадратичной функции у=ах²+bх+с совпадает
со знаком числа а, для всех х, лежащих вне отрезка [х1;х2],т.е.
при х<х1 и при х>х2, где х1<х2-нули функции; знак квадратичной
функции противоположен знаку числа а при х1<х<х2.