Transcript Функционалы Минковского

Главная Астрономическая
Обсерватория РАН
Санкт-Петербург
Н.Г.МАКАРЕНКО
ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ
ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ ИЗ
АСТРОНОМИЧЕСКИХ
ЦИФРОВЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
«Физика плазмы в солнечной системе»
14 - 18 февраля 2011 г. ИКИ РАН
ЧТО МЫ МОЖЕМ ИЗМЕРИТЬ?
b
a
a  b 1 2P
ab  S
A
0
1
b
 1, if x  A
A  x   
0, if x  A
A  x  dxdy  length (A)
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Basic Set- кольцо выпуклости:
выпуклые множества и их конечное
объединение
B  x,   - шар с радиусом
K 
или
xK

B  x,   - покрытие Минковского
 - параллельное тело
Герман
Минковский
(1864-1909)г.
для K
K – множество точек
N  6
N  4
N  3
Кроме компонент связности можно считать периметр и площадь покрытия
ФОРМУЛА ШТЕЙНЕРА
R В
2
S ( K )  a 2  4a   2 
 W0  W1  W2 2
Wi  Функционалы
Якоб Штейнер
(1796-1863)г.
K
Минковского
W0 ( K )  a  площадь K
2
W1 ( K )  4a  периметр K
W2 ( K )   ,   характеристика Эйлера


  =0
=1
=

+


--
=1+1-1=1
Морфологические свойства Wi
Г. Хадвигер. Лекции об объеме, площади поверхности
и изопериметрии, 1966
•Инвариантность при трансляциях и вращениях
Wi  gK   Wi  K 
g G
Хьюго
Хадвигер
1908-1981г.
•Аддитивность (формула включения-выключения)
Wi  K1  K2   Wi  K1   Wi  K2   Wi  K1  K2 
•C-непрерывность
liml  Kl  K  liml  Wi  Kl   Wi  K 
КРИВИЗНА И ВАРИАЦИЯ ПЛОЩАДИ
H  k1  k2
K  k1k2
Вариация площади
 (S )  1   k1  dx 1   k2  dy 
 1  (k1  k2 )  k1k2 2  S
TUBE FORMULA
Герман Вейль
(1885-1955)
Lj
N (Tube( M ,  )  
dim M
N j
 N  j L j ( M ),
j 0
 j   j ( B  0,1)  
j 2
Кривизна Липшица - Киллинга
-
 k  P  X  A 
1
 2 
 k (Tube( A,  ))  
M
  j 2  1
k
j
-
k
 x
exp
k
2  AR


j
(

j 0
j !)M
k
j
 A
Функционалы Минковского
2
2  dx,

ВЫБРОСЫ СЛУЧАЙНОЙ
ФУНКЦИИ ЗА УРОВЕНЬ
S.O.Rice. Mathematical Analysis of Random Noise.
Bell Syst. Tech. J. 1944. 23. 282
Стефан Райс
(1907-1986)г.
N u-число выбросов на единицу
длины
Qu-средняя продолжительность
выброса
N u   1 2  exp   u 2 2  , 12   K   0 

Qu  1
2
   u  u  exp  u
2
2  ,
  u   1  1 u 2    (1 3) u 4    (1 3  5) u 6   ....
R.Adler The Geometry of Random Fields.
K.J.Worsley, The geometry of random
Images. Chance. 1996. 9(1). 27
Robert Аdler
Technion-Israel
Institute of
Technology
Для достаточно регулярного случайного
поля, множество выбросов принадлежит
кольцу выпуклости
ВСЕ ФУНКЦИИ И
МНОЖЕСТВА – РУЧНЫЕ
ВСЕ МНОГООБРАЗИЯ-
СТРАТИФИЦИРОВАННЫЕ
M
dim M
j 0
 jM
Keit Worsley
McGill University,
Canada
ЧТО ТАКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ?
Истинных изображений не существует!
Это всего лишь отклик сенсора!

u :  u,   u  x  ( x)dx

  x   exp 1 ( x 2  1)  , x  1
u , c11  c22  c1 u ,1  c2 u ,2
 n    u , n  u ,
Слабое дифференцирование:
d f ,
dx  df dx, 
  f , d dx
ПОЛНАЯ ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИЙ
1D
f C ; f
1
V



f  dx
f
V



 H0 ( f 1  h )dh
2D
      f dx  dy  ì åðà Ðàäî í à

ПЕРИМЕТР И ТЕОРЕМА О
КОПЛОЩАДИ
E   x, y   f  



f dx  dy   Per  E d 

ПЕРИМЕТР измеряет
полную вариацию
поля в слое 
ХАРАКТЕРИСТИКА ЭЙЛЕРА
Леонард Эйлер
(1707-1783)
  A  4( B)  4  Р   1( Г )  1
A
B
+1
-1
  #(vertex)  #(edges)  #( faces)  #(cubes)  55  90  40  4 
 #(blobs)  #(tunnels)  #(hollows)  2  1  0  1
 И ТЕОРИЯ МОРСА
Теория Морса: EC = #max (M) - #saddles (S) + #min (m)
РЕЗУЛЬТАТЫ АНАЛИЗА MDI


Ah ( I )  x I  x   h
1. Сложность поля - Эйлерова характеристика
2. Вариация градиента - Периметр
СТРУКТУРА ПОЛЯ: ХАРАКТЕРИСТИКА
ЭЙЛЕРА
Устойчивость
во времени!
Поля фона и АО одинаковы
и описываются
логнормальным законом!
IDC (Infinitely Divisible Cascades) P. Chainais, R. Riedi, P. Abry. (2003)
ТОПОЛОГИЯ И ВСПЫШКИ
AO 09393
AO 10649
AO 10656
ФОРМЫ НА ОБЛАКЕ ТОЧЕК
Имеется облако точек из
неизвестного топологического
многообразия Х.
Как реконструировать Х с точностью
до гомологий ?
Разбиение Вороного и
триангуляция Делоне
Борис Николаевич
Делоне (1890-1980)
Георгий Феодосьевич
Вороной (1868-1908)
Триангуляция Делоне
и Свидетели.
СЛАБЫЙ СВИДЕТЕЛЬ
СИЛЬНЫЙ СВИДЕТЕЛЬ
КОМПЛЕКСЫ ЧЕХА –ВЬЕТОРИСА-РИПСА
Вьеторис Леопольд
Франц (1891-2002)
Илья Рипс
(1948-)
Эдуард Чех
(1893-1960)
ФИЛЬТРАЦИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ
ПРОСТРАНСТВ
X1  X2  X3  …Xn
t=0
t=1
a
b
a
d
a, b
t=2
b
c
c, d, ab,bc
t=3
a
d
b
c
cd, ad
t=4
a
b
d
c
ac
t=5
a
b
d
c
abc
a
b
d
c
acd
Симплексы и цепи
0-симплекс
точка a
1-симплекс
отрезок  a, b 
2-симплекс
треугольник  a, b, c 
Линейная комбинация симплексов
называется цепью Ck
3-симплекс
тетраэдр  a, b, c, d 
ОПЕРАТОР ГРАНИЦЫ

1  a, b  b  (1) a  b  a
1
b  a    ab  ,
 2  a , b, c    b , c    a , c    a , b  
  b, c    c , a    a , b 
Граница границы есть нуль!
1 2  a, b, c   c   b  c    a   b   a   0
ЦЕПИ, ЦИКЛЫ, ГРАНИЦЫ
Цепи Ck : ck 
 i1 ai i ,
k
Циклы Z k : Ck  0, Z k  Ck
Границы Bk : Bk  Ck 1 Bk  Z k
c1  c2  h
C1
h
C2
z
H k  Z k Bk  ker  im 
 k  rank H k
c1  c2  h
c1 ~ c2
Гомологии Сферы
C0  1   0  1
C1  0  1  0
C2  1   2  1
  1 0 1  2
Векторное поле на сфере
имеет 2 особенности
Комплексы Чеха-Рипса для сферы
10%
Баркоды и Теория Морса
g
1
 , x  ?
ДИАГРАММЫ ПЕРСИСТЕНТНОСТИ
ТЕОРЕМА УСТОЙЧИВОСТИ
Для двух ручных непрерывных функций f и g
на конечно триангулируемых пространствах
db  Dk ( f ), Dk ( g )   f  g

МЕТРИКА БУТЫЛОЧНОГО ГОРЛЫШКА
db ( A, B)  inf supa a   (a)

БАРКОДЫ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ
Гауссовское поле для разных уровней
L=0.3
L=0.5
Wittness complex
L=0.6
L=0.7
t  0.55
SOHO
t  0.65
АО SOHO
L=0.5
L=0.5
L=0.7
L=0.8
t  100G
SDO
t  300G
КАК УСЛЫШАТЬ
3D ГЕОМЕТРИЮ ПОЛЯ
(max X ( s)  t )  E (  ( S  X t ))
sS
E  
Volume 
 2 
2
3
t
2
 1 e
t / 2
2

2
1/
2
Area

 
 2 
3/ 2
2 Diameter  t 2 / 2
EC   z 2 / 2

e

e
dz
1/ 2 t
 2 
 2 
 мера грубости поля
te
t 2 / 2

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТОПОЛОГИИ ПОЛЯ С
ТОЧНОСТЬЮ ДО ГОМОЛОГИЙ
?
?
Лозы и Виноградники
Дискретные
гомотопии
f , g : R2  R : f ~ g
h0 ( x)  f ( x)  g ( x)
H  x,0   f ( x)
h0  0
H ( x,1)  g ( x)
(B.T.Fazy (2010)//arXiv 1002.1937 v.1)
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!