O caráter vetorial da luz - Polarização linear
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Transcript O caráter vetorial da luz - Polarização linear
Óptica 2012
Programa
- Propagação da Luz
- O caráter vetorial da luz e a polarização
- Vetor de Poyting
- Polarização linear, circular, elíptica e a esfera de
Poincaré
- Matrizes de Jones
- Reflexão e refração em interface plana
- Amplitudes das ondas refletidas e refratadas e equações
de Fresnel
- O ângulo de Brewster
- Ondas evanescentes em reflexão total
- Mudanças de fase na reflexão interna total
- Matriz de reflexão
- Birrefringência
- Equações de Maxwell para campos macroscópicos e a
equação de onda
- Propagação da luz em meios dielétricos isotrópicos e
dispersão
- Propagação da luz em cristais e birrefringência
- Dupla refração e atividade óptica
- Efeito Kerr, efeito Pockels e óptica não-linear
- A teoria clássica de coerência
- Princípio da superposição
- Experiência de Young
- Interferômetro de Michelson
- Coerência parcial
- Tempo de coerência e comprimento de coerência
- Coerência espacial e o teorema de van Cittert-Zernike
- Interferômetro de Brown and Twiss
- Interferômetro de Faby-Perot
- Difração e a Transformada de Fourier Fracional (FRFT)
- Teorema de Kirchhoff, Fórmula de FresnelKirchhoff e pricípio de Babinet
- Difração de Fresnel e difração de Kirchhoff
- Exemplos de difração de Kirchhoff: fenda simples,
abertura retangular, abertura circular, fenda
dupla e rede de difração
- Exemplos de difração de Fresnel: zonas de
Fresnel, abertura retangular e difração por uma
borda
- Aplicações da transformada de Fourier e
holografia(se houver tempo)
- A transformada de Fourier Fracional(teoria e
implementação)
- Óptica de raios com matrizes
- Teoria clássica do laser
- Emissão estimulada e radiação térmica
- Amplificação em um meio
- Métodos para obter inversão de população
- Oscilação laser
- Cavidades ópticas
- Lasers de gás, estado sólido e dye(líquido)
- Q-switching e mode-locking
- Seminários convidados
Calendário de aulas – Curso de Óptica 2012
Aula
Livre
AGOSTO
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9 Incio do
Curso
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Calendário de aulas – Curso de Óptica 2012
Aula
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SETEMBRO
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Aula
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OUTUBRO
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Aula
Livre
NOVEMBRO
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Calendário de aulas – Curso de Óptica 2012
Aula
Livre
DEZEMBRO
DOM
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TER
QUA
QUI
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SAB
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6
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11
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13 Fim
do curso
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Óptica 2012
A propagação da luz
Comentários introdutórios:
-
Comportamento corpuscular – Isaac Newton – Optiks
Comportamento ondulatório – Huygens – Difração
Teoria Eletromagnética Clássica – J. C. Maxwell
Teoria Quântica – Planck, Eistein e Bohr
Velocidade da luz
Equações de Maxwell
E 0
H
t
.E 0
H 0
.H 0
E
t
Óptica 2012
0 4 107 H / m
Permeabilidade do vácuo
0 8,854 1012 F / m
Permissividade do vácuo
Equação de onda:
E 0
H
E 0
H
t
t
E
H 0
t
t
t
2 E
E 0 0
t 2
2 H
H 0 0
t 2
Óptica 2012
Identidade trigonométrica:
. 2
1 2E
E 2
c t 2
1 2H
H 2
c t 2
2
Com:
c
1
0 0
Equação de onda
descreve vários
Fenômenos físicos:
2
E usando:
.E 0
1 2
2
c t 2
2
.H 0
Óptica 2012
Velocidade da luz
c 299.792.456,2 1,1 m / s 3 108 m / s
Medidas da velocidade da luz
Óptica 2012
Medidas da velocidade da luz
Óptica 2012
Propagação da luz em meios isotrópicos e não condutores
2 E
E
t 2
Com
2H
H
t 2
, permeabilidade e permissividade no meio
Índice de refração:
v
1
n
c
v
Velocidade da luz no meio
Óptica 2012
Propagação da luz em meios isotrópicos e não condutores
K
0
Km
v c
0
1
KK m
Km 1
meios não magnéticos
n K
Óptica 2012
Velocidade de fase
Equação de onda 1D:
1 2 E
E 2
c t 2
2
Solução:
com
2E 1 2E
2
2
z
v t 2
U z, t U0 cos kz t
v
k
Onda plana
Velocidade de fase
U
U z, t U z, t t
z
z
z v t
Óptica 2012
Representações
U z, t U0 cos kz t
U r, t U0 cos k n.r vt
Função de onda complexa
U r, t U0 e
i k.r t
Parte real
Onda esférica
U r, t
U0
cos kr t
r
U r, t
U0 i k.r t
e
r
Óptica 2012
Velocidade de grupo
U z, t U0 e
i k+k z t
i kz t
U0 e
i k-k z t
U z, t U0 e
ei z k t ei zk t
U z, t U0 e
cos z k t
i kz t
vg
vg
k
k
Óptica 2012
Velocidade de grupo
n
c
v
kv k
c
d d c c ck dn
vg
k 2
n
dk d n n n dk
Para meios com índice de refração constante vg v
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O caráter vetorial da luz
Impedância do vácuo
Equações de onda e solução de onda plana:
1 2U
U 2 2
v t
2
Onda plana
U r, t U0 e
Derivada temporal
i k.r t
i k.r t
i k.r t
e
i e
t
Derivada espacial
i k.r t
i k.r t
e
ik x e
x
i
t
e
i k.r t
ik
ik e
i k.r t
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Impedância do vácuo
Equações de onda e solução de onda plana:
E
H
t
k E H
E
t
.E 0
.H 0
k H E
k.E 0
k.H 0
H
H
k
E v E
usando v / k
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O caráter vetorial da luz
-
Impedância do vácuo
Equações de onda e solução de onda plana:
H
k
v
H
n
E
Z0
Z0
0
0
E v E
c
1
n
n 0 0
n
0 0
0
n
0
0
n
Z0
Impedância do vácuo
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O caráter vetorial da luz
-
Vetor de Poynting
Teorema de Poynting: Taxa de fluxo de energia
S E H
Vetor de Poynting para ondas planas
E E0 cos k.r t
H H0 cos k.r t
S E0 H0 cos2 k.r t
Valor médio:
1
k
S E0 H0 I I n
ˆ
2
k
Irradiância:
I
1
n
2
E0H0
E0
2
2Z0
S
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O caráter vetorial da luz
-
Polarização linear
Ondas planas
E E0 exp i k.r t
H H0 exp i k.r t
E0 e H0 constantes ereais
Polarização Campo elétrico
Polarização linear
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O caráter vetorial da luz
-
Polarização linear
Polarizadores
Polarizadores por birrefringência
Divisor de feixes
H
V
H
V
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O caráter vetorial da luz
-
Polarização linear
Polarizadores
Polarizadores por absorção ou dicroísmo
H
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O caráter vetorial da luz
-
Polarização linear
Polarizadores
Campo e intensidade transmitida
Et E0 cos
It I0 cos2
Luz não polarizada It constante
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O caráter vetorial da luz
P
Ipol
Ipol Iunpol
-
Polarização parcial
Grau de polarização
Intensidade
P
Imax Imin
Imax Imin
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O caráter vetorial da luz
-
Polarização por espalhamento
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O caráter vetorial da luz
-
Polarização circular
Representação real
Ex E0 cos(kz t )
Ey E0 sin(kz t )
E E0 cos(kz t )ˆ
i sin(kz t ) ˆ
j
Representação complexa
E E0 exp i(kz t ) ˆ
i exp i(kz t ) ˆ
j
2
E E0 ˆ
i i ˆ
j exp i(kz t )
Direita(-i)
Esquerda(+i)
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Polarização elíptica
Representação real
Ex Ex0 cos(kz t )
Ey Ey0 sin(kz t )
Ex0 Ey0
E Ex0 cos(kz t ) ˆ
i Ey0 sin(kz t ) ˆ
j
Representação complexa
E0 ˆ
iE x0 i ˆ
jE y0
E E0 exp i(kz t )
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
Placa de l/4
Placas de onda
Placa de atraso odem zero
Luz incidente
não polarizada
n1d n2d
Polarizador linear
Placa de l/4 – = l/4
Eixo de transmissão a 450
Luz polarizada
linearmente
Placa de l/4
Eixo
rápido – n2
E
-
Eixo
lento – n1
Luz polarizada
circular à esquerda
d
l0
4 n1 n2
Placa de l/2 – = l/2
d
l0
2 n1 n2
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Matrizes de Jones
Representação geral
Alguns estados de polarização
A -> amplitude do campo
E0 ˆ
iEx0 i ˆ
jEy0 com Ex0 , Ey0
complexos
Ex0 Ex0 eix , Ey0 e
iy
Vetor de Jones
i
E x0 E x0 e x
iy
Ey0 Ey0 e
1
A Circular esquerda
i
1
A Linear na direção x
0
0
A Linear na direção y
1
1
A Linear na direção +450
1
1
A Circular direita
i
1
A Linear na direção +450
1
Não normalizadas
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O caráter vetorial da luz
-
Matrizes de Jones
As matrizes representam dispositivos ópticos
Eixo de transmissão horizontal-x
Polarizador
linear
Eixo de transmissão vertical-y
Eixo de transmissão a +/-450
Eixo rápido horizontal-x
Placa l/4
Eixo rápido vertical-y
Eixo rápido a +/-450
1 0
0 0
0 0
0 1
1 1 1
2 1 1
1
0
1
0
1 1
2 i
0
i
0
i
i
1
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O caráter vetorial da luz
-
Matrizes de Jones
As matrizes representam dispositivos ópticos
Placa l/2
Eixo rápido na horizontal ou
vertical
Placa de fase
isotrópica de fase()
Placa de fase
geral
e ix 0
iy
0 e
1 0
0 1
ei 0
i
0
e
Direita
1 1 i
2 i 1
Esquerda
1 1
2 i
Polarizador circular
i
1
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O caráter vetorial da luz
-
Matrizes de Jones
Algumas operações
Superposição coerente de campos com polarizações diferentes
1 1 1 1 2
1
i i i i 0 2 0
Superposição de circular a
direita e circular a esquerda
Propagação através de um dispositivo óptico
a
c
b
d
A A '
B B '
Propagação através de vários dispositivos ópticos
an
cn
bn a2
...
dn c2
b2 a1
d2 c1
b1
d1
A A '
B B '
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Matrizes de Jones
Algumas operações
Exemplo: Polarização linear a 450 incidente em uma placa de
l/4 e saindo polarizada circular a esquerda
1
0
0
i
1 1
1 i
Observações:
1 - Válido para ondas planas
2 – Não há representação para luz não polarizada
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O caráter vetorial da luz
Definição:
-
Polarizações ortogonais
E1 E2 0
Em termos dos vetores de Jones
Exemplos:
1 0
0 e 1 linear
1 1
i e i circular
2 1
i e 2i elíptica
Obs: Permite expansão em qualquer base
A1 A2
,
B1 B2
A1 A2 B1B2 0
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
Definição:
a
c
b
d
-
Autovetores de uma matriz de Jones
A
A
B l B
Interpretação: Os autovetores correspondem aos estados de
polarização que não são alterados pelo dispositivo.
Exemplo: placa de l/4
1 0
0 i Auto-vetores e auto-valores
1
0 com l 1
0
1 com l i
Para pol. linear x ou y, não há atenuação, mas há uma fase relativa.
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O caráter vetorial da luz
-
Reflexão e refração em uma
interface plana
exp i(k r t )
Onda incidente
exp i(k´r t )
Onda refletida
exp i(k " r t )
Onda refratada
Condição de contorno: k r k´r k " r
na interface
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O caráter vetorial da luz
-
Reflexão e refração em uma
superfície plana
k sen k´sen´ k " sen
k k´ mesmo meio
´ lei da reflexão
lei de Snell
k " / v " c / v " n2
sen n2
k
/ v c / v n1
sen n1
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Condições de contorno
v nˆ dS S v
2
n
ˆ12 S v1 n
ˆ12
S
v dV v V v S h
V
lim h v n
ˆ12 v2 v1
h0
v dl v
2
tˆ l v1 tˆ l
v Nˆ d v Nˆ l h
lim h v n
ˆ12 v2 v1
h 0
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
lim h v n
ˆ12 v2 v1
h0
-
Condições de contorno
lim h v n
ˆ12 v2 v1
h 0
lim h.D lim h0
D
lim h B lim h0
h 0
h 0
t
B
lim h E lim h
h 0
h 0
t
lim h.B lim h0
h 0
h 0
n
ˆ12 E2 E1 0
h 0
h 0
n
ˆ12 B2 B1 0
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Fórmula de Fresnel
u
ˆ1 sen1 x
ˆ cos 1 y
ˆ
u
ˆ´1 sen1 x
ˆ cos 1 y
ˆ
u
ˆ2 sen2 x
ˆ cos 2 y
ˆ
exp i(1 ) exp i(n1k0 u
ˆ1 r )
exp i(´1) exp i(n1k0 u
ˆ´1 r )
exp i(2 ) exp i(n2k0 u
ˆ2 r )
exp i(1) exp in1k0( x sen1 y cos 1 )
exp i(´1) exp in1k0( x sen1 y cos 1 )
exp i(2 ) exp in2k0( x sen2 y cos 2 )
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Fórmula de Fresnel
E1 A1 ei1 A´1 ei´1 z
ˆ B1 ei1 cos 1 x
ˆ sen1 y
ˆ
B´1 ei´1 cos 1 x
ˆ sen1 y
ˆ
E2 A2 ei1 z
ˆ B2 ei1 cos 2 x
ˆ sen2 y
ˆ
B
1
u
ˆ E
v
B1
1
A1 ei1u
ˆ1 z
ˆ A´1 ei´1 u
ˆ´1 z
ˆ B1 ei1 B´1 ei´1 z
ˆ
v1
B2
1
A2 ei2 u
ˆ2 z
ˆ B2 ei2 z
ˆ
v2
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Fórmula de Fresnel
Aplicação das condições de contorno
y
ˆ E1 |y 0 y
ˆ E2 |y 0
n12 y
ˆ
y
ˆ B1 |y 0 y
ˆ B2 |y 0
Usando
ei1 |y 0 ei´1 |y 0 e i2 |y 0
exp i(1) exp in1k0( x sen1 y cos 1 )
exp i(´1) exp in1k0( x sen1 y cos 1 )
exp i(2 ) exp in2k0( x sen2 y cos 2 )
n1sen1 n2sen2
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Fórmula de Fresnel
Chega-se a
A1 A´1 A2
B1 B´1 cos 1
B2 cos 2
u
ˆ1 z
ˆ cos 1 x
ˆ sen1y
ˆ
u
ˆ´1 z
ˆ cos 1 x
ˆ sen1y
ˆ
u
ˆ2 z
ˆ cos 2 x
ˆ sen2y
ˆ
1
1
B1 B´1 B2
v1
v2
1
1
A
A
´
cos
A2 cos 2
1 1
1
v1
v2
Óptica 2012
O caráter vetorial da luz
-
Fórmula de Fresnel
R
A´1
A1
R//
B´1
B1
T
A2
A1
T//
B2
B1
Amplitudes de reflexão
Amplitudes de transmissão
Resolver os sistemas
A1 A´1 A2
v1 cos 2
A1 A´1
A
v2 cos 1 2
B1 B´1
v1
B2
v2
B1 B´1 B2
cos 2
cos 1
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O caráter vetorial da luz
-
Fórmula de Fresnel
tg 1 2
R//
tg 1 2
sen 1 2
R
sen 1 2
Para incidência normal
R//
1 2 0
n 1
R
n 1