Transcript 3. CẤP SỐ CỘNG

Kiểm tra bài cũ :
C©u hái:
Biết 4 số hạng đầu của dãy số (un) là -1, 3, 7, 11.
Từ đó hãy chỉ ra một quy luật rồi viết tiếp 5 số hạng của
dãy theo quy luật đó.
Tr¶ lêi:
1) Quy luật đó là mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai trở đi đều
bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với 4 đơn vị.
2) Năm số hạng tiếp theo của dãy số đó là:
15,
19,
23,
27,
31.
Dãy số như trên gọi là cấp số cộng
Em hiểu thế nào là cấp số cộng?
A. Cấp số cộng là một dãy số tăng.
B. Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi
số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với 4.
C. Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi
số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số
không đổi.
D. suy nghĩ khác.
§3. CẤP SỐ CỘNG
I. ĐỊNH NGHĨA
ĐỊNH NGHĨA
Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hoặc vô hạn ) mà trong
đó kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng
ngay trước nó cộng với một số d không đổi.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng
Dãy (un) là cấp số cộng  un+1 = un + d, n N*
Đặc biệt
Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi
VD : 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5 với u1 = 5 và d = 0
§3. CẤP SỐ CỘNG
Ví dụ 1: Trong các dãy số hữu hạn sau , dãy nào là cấp
số cộng ?
a) – 5 ; – 2 ; 1 ; 4 ; 7 ; 10 .
CSC với công sai d = 3
b) 2, 4, 7, 10, 13, 14, 15, 20.
1 2 3 4 5
c) , , , ,
2 3 4 5 6
Ví dụ 2 : Chứng minh dãy số ( un ) với un = 2n+1 là một
cấp số cộng ?
Giải
Xét un+1 – un = ( 2(n+1) + 1 ) –( 2n+1 ) = 2
Hay un+1 = un +2
Do đó ( un ) với un = 2n+1 là một cấp số cộng có công sai d = 2
§3. CẤP SỐ CỘNG
1 Cho (un)là một cấp số cộng có 6 số hạng với
1
u1   , d  3
3
Viết dạng khai triển của nó.
Đáp án:
1 8 17 26 35 44
 ; ;
; ;
; .
3 3 3 3 3 3
§3. CẤP SỐ CỘNG
2
Mai và Hùng chơi trò xếp que diêm thành hình tháp trên mặt
sân,cách xếp thể hiện như sau:
Tầng 1
3 que
Tầng 2
7 que
Tầng 3
11 que
Tầng 4
15 que
------------Tầng 100 (tầng đáy)
?
Có bao nhiêu que diêm?
Tổng quát: Số hạng tổng quát un= ?
§3. CẤP SỐ CỘNG
II/SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
ĐỊNH LÝ 1
Nếu cấp số cộng (Un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng
quát un, được xác định bởi công thức :
un  u1  (n  1)d với n  2
(*)
CHỨNG MINH
Sử dụng phương pháp quy nạp :
+ Khi n = 2 thì u2=u1+d (đúng).
+ Giả sử công thức ( * ) đúng với n = k (k  2) , tức là uk = u1 + (k-1)d.
Ta chứng minh ( * ) đúng với n = k+1,tức ta chứng minh :uk+1 = u1+ kd.
Thật vậy, ta có : uk+1 =uk+d ( định nghĩa cấp số cộng )
 uk+1 = u1 + (k-1)d + d ( theo gt quy nạp )
 uk+1 = u1 + kd -d + d <=> uk+1 = u1 + kd ( điều phải chứng minh )
Vậy : uk = u1 +(n-1)d với n  2
§3. CẤP SỐ CỘNG
II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
ĐỊNH LÝ 1: Gọi un là số hạng tổng quát của CSC (un), ta có:
un = u1 + (n – 1)d, n  2
VÍ DỤ 3 :
Cho cấp số cộng (un) biết u1= -5, d = 3.
a. Tính u15.
b. Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng ?
c. Biểu diễn các số hạng u1, u2, u3, u4, u5 trên cùng trục số. Nhận xét vị
trí của mỗi điểm u2, u3, u4 so với hai điểm liền kề.
GIẢI
a. u15 = - 5 + (15 - 1).3 = 37
b. un = - 5 + (n - 1).3 <=> 100 = - 5 +(n - 1).3
<=>100 = - 5 + 3n - 3 <=>108 = 3n <=> n = 36
c.
u1
u2
u3
u4
u5
-5
-2
1
4
7
u4 là trung điểm của đoạn u3u5 hay u4 
u3  u5
, tương tự với u3 và u2
2
§3. CẤP SỐ CỘNG
III/ TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG :
ĐỊNH LÝ 2 :
Trong cấp số cộng , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối ) đều là trung
bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó ,nghĩa là
uk 
uk 1  uk 1
.(k  2)
2
CHỨNG MINH : giả sử (un) là cấp số cộng với d là công sai
Theo định nghĩa cấp số cộng :
uk-1 = uk – d (1)
uk+1 = uk+ d
Cộng (1) với (2): uk-1+ uk+1 = 2uk
(2)
<=> uk 
uk 1  uk 1
.(k  2)
2
§3. CẤP SỐ CỘNG
I. ĐỊNH NGHĨA (u ) là cấp số cộng:
n
un+1 = un + d, n N*
II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
ĐỊNH LÍ 1:
un = u1 + (n – 1)d, n  2
III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG
CỦA CẤP SỐ CỘNG :
ĐỊNH LÝ 2 :
u

u
k

1
k1, (k  2)
uk 
2
Hướng dẫn học bài ở nhà
1. Khái niệm cấp số cộng, công thức truy hồi của cấp số cộng?
2. Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng?
3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng?
Làm bài tập:1, 2 - SGK – T97