Transcript 1 - és Jogtudományi Kar

Logika
3. Logikai műveletek
Miskolci Egyetem
Állam- és Jogtudományi Kar
Jogelméleti és Jogszociológiai Tanszék
2011. február 24.
Igazságfüggvény
• Egy vagy több állításból (a bemeneti értékekből) képez
összetett állítást oly módon, hogy az eredmény (a
kimenet) igazságértékét a komponensek (a bemeneti
értékek) igazságértékei egyértelműen meghatározzák
– számuk elviekben végtelen
– a logika nevesít közülük néhányat, pl. negáció, konjunkció,
alternáció stb. ← logikai műveletek
– ezek kombinációjával bármely logikai összefüggés
leképezhető
– ezek képezik a logikai mondatok logikai alkatrészeit
(logikai szavak, logikai jelek vagy logikai konstansok)
– ezek rendezik a mondat nem-logikai alkatrészeit logikai
struktúrába
Negáció
p
p
1
0
0
1
Természetes nyelvi
megfelelői:
‘nem’, ‘nem igaz, hogy’
o Igazságfüggvényként az igazságértékeket fordítja meg
o Egyargumentumú funktor
o Monadikus logikai művelet = egyetlen logikai mondathoz
kapcsolódik (a továbbiak diadikus műveletek lesznek)
o Szimmetrikus: a kétszeres negáció az eredeti igazságértékeket
adja vissza:
p
p
(p)
1
0
1
0
1
0
Negáció – Mi az, ami nem igaz?
• Bernadett jegyzetel.
Nem Bernadett jegyzetel.
Bernadett nem jegyzetel.
Nem igaz, hogy Bernadett jegyzetel.
• Márton szeretne sokat tanulni, és szeretne jó eredményekkel
vizsgázni.
(Nem igaz, hogy Márton szeretne sokat tanulni), és szeretne jó
eredményekkel vizsgázni. = Nem igaz, hogy Márton sokat szeretne
tanulni, viszont szeretne jó eredményekkel vizsgázni.
Márton szeretne sokat tanulni, és (nem igaz, hogy szeretne jó
eredményekkel vizsgázni). = Márton szeretne sokat tanulni, viszont
nem igaz, hogy jó eredményekkel szeretne vizsgázni.
Nem igaz, hogy (Márton szeretne sokat tanulni, és szeretne jó
eredményekkel vizsgázni). = Nem igaz, hogy Márton egyszerre
szeretne sokat tanulni és jó eredményekkel vizsgázni.
p
q
p&q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Konjunkció
&
1
0
1
1
0
0
0
0
o Természetes nyelvi megfelelője: ‘és’
o Kétargumentumú mondatfunktor: két mondatból állít elő egy
újat (= diadikus logikai művelet)
o Igazságfüggvényként az igazságértékeket kapcsolja össze
o Kimenetének igazságértéke abban az esetben igaz, ha
mindkét bemenete igaz; minden más esetben pedig hamis:
p & q  (p & q)
o Kommutatív: p & q  q & p
o Asszociatív: (p & q) & r  (p & r) & q  p & (q & r)  p & q & r
‘&’ versus ‘és’
• Az ‘&’ és az ‘és’ megfeleltetése két esetben pontatlan:
1. A természetes nyelvben az ‘és’-nek a konjunkciótól eltérő
jelentése is lehet: pl. az időben egymásra következés:
Megebédeltünk és elmentünk kirándulni.
Elmentünk kirándulni és megebédeltünk.
Az időben egymásra következés nem kommutatív, nem
érvényes a p & q  q & p ekvivalencia, nem feleltethető
meg a konjunkcióval (mint logikai művelettel)
2. A természetes nyelvben a konjunkció más nyelvi
eszközökkel, formákkal is kifejezhető:
Ettünk is, ittunk is.
Bár csodállak, ámde nem szeretlek.
Sheffer-funktor (negált konjunkció)
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p|q
0
1
1
1
|
1
0
1
0
1
0
1
1
o Természetes nyelvi jelentése: összeférhetetlenség
o definíciója: p | q   (p & q)
o Kétargumentumú mondatfunktor: két mondatból állít elő egy
újat (= diadikus logikai művelet)
o Igazságfüggvényként az igazságértékeket kapcsolja össze
o Kimenetének igazságértéke abban az esetben hamis, ha
mindkét bemenete igaz; minden más esetben pedig igaz
o pl. Katira és Péterre mondva: „Legfeljebb egyikük van otthon.”
Alternáció (megengedő diszjunkció)
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
pVq
1
1
1
0
V
1
0
1
1
1
0
1
0
o Természetes nyelvi megfelelője: ‘vagy’, ‘és/vagy’; latinul: ‘vel’
o Megengedő vagy, megengedő diszjunkció
o Kétargumentumú mondatfunktor: két mondatból állít elő
egy újat (= diadikus logikai művelet)
o Igazságfüggvényként az igazságértékeket kapcsolja össze
o Kimenetének igazságértéke abban az esetben hamis, ha
mindkét bemenete hamis; minden más esetben pedig igaz
Alternáció
• Tulajdonságok:
V
1
0
1
1
1
0
1
0
tagjának igazságából érvényesen
1. p  (p V q) Bármely
következtethetünk az alternáció igazságára
q  (p V q)
Egyik tagjának hamisságából
2. p & (p V q)  q – igaz alternáció esetén –
szükségszerűen következik
q & (p V q)  p másik tagjának igazsága
3. Kommutatív: p V q  q V p
4. Asszociatív:
(p V q) V r  (p V r) V q  p V (q V r)  p V q V r
A konjunkció és az alternáció
egymás duálisai
Két igazságfüggvény akkor duálisa egymásnak, ha az egyik
igazságfeltételében az igaz szavakat hamis szavakkal
fölcserélve a másik igazságfeltételeit kapjuk.
Konjunkció: kimenetének igazságértéke abban az esetben
igaz, ha mindkét bemenete igaz; minden más esetben pedig
hamis
Alternáció: kimenetének igazságértéke abban az esetben
hamis, ha mindkét bemenete hamis; minden más esetben
pedig igaz
& 1 0
V 1 0
1 1 0
1 1 1
0 0 0
0 1 0
A konjunkció és az alternáció
egymás duálisai
• p V q  (p & q)
Esik az eső vagy süt a nap.  Nem igaz, hogy (nem esik az
eső, és nem süt a Nap).
• (p V q)  p & q
Nem igaz, hogy (esik az eső, vagy süt a Nap).  Sem az eső
nem esik, sem a Nap nem süt.
• p V q  (p & q)
Nem esik az eső, vagy nem süt a Nap.  Nem igaz, hogy (esik
az eső és süt a Nap).
• (p V q)  p & q
Nem igaz, hogy (nem esik az eső, vagy nem süt a Nap).  Esik
az eső és süt a Nap.
A konjunkció és az alternáció
egymás duálisai
• p V q  (p & q)
Nem esik az eső, vagy nem süt a Nap.  Nem igaz, hogy (esik
az eső és süt a Nap).
• Bizonyítás (csak példaképpen!):
p
q
p
q
p V q
p&q
(p & q)
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
Sem—sem-funktor
(negált alternáció)
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p ║q
0
0
0
1
║
1
0
1
0
0
0
0
1
o Természetes nyelvi jelentése: ‘sem… sem…’
o definíciója: p ║ q   (p V q)  p & q
o Kétargumentumú mondatfunktor: két mondatból állít elő egy újat
(= diadikus logikai művelet)
o Igazságfüggvényként az igazságértékeket kapcsolja össze
o Kimenetének igazságértéke abban az esetben igaz, ha mindkét
bemenete hamis; minden más esetben pedig hamis
o pl.: Sem időm, sem energiám.
Kizárólagos vagylagosság
(kizáró diszjunkció)
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
pq
0
1
1
0

1
0
1
0
1
0
1
0
o Természetes nyelvi megfelelője: ‘vagy’; latinul: ‘aut’
o p  q  (p & q) V (p & q)
o Kétargumentumú mondatfunktor: két mondatból állít elő
egy újat (= diadikus logikai művelet)
o Igazságfüggvényként az igazságértékeket kapcsolja össze
o Kimenetének igazságértéke abban az esetben igaz, ha
bemenetei eltérő igazságértékkel rendelkeznek
Vagy-típusok
1. Sheffer-funktor (negált konjunkció)
VAGY az egyik, VAGY a másik, VAGY egyik sem
2. Alternáció (megengedő diszjunkció)
VAGY az egyik, VAGY a másik, VAGY mindkettő
3. Kizárólagos vagylagosság (kizáró diszjunkció)
VAGY az egyik, VAGY a másik

1
0
1
1
1
0
0
1
Kondicionális
esik az eső
vizes az utca
esik az eső
nem vizes az utca
nem esik az eső
vizes az utca
nem esik az eső
nem vizes az utca
o Természetes nyelvi megfelelője: ‘ha …, akkor …’
o p  q   (p & q)
o Kétargumentumú mondatfunktor: két mondatból állít elő
egy újat (= diadikus logikai művelet)
o Igazságfüggvényként az igazságértékeket kapcsolja össze
o Kimenetének igazságértéke abban az esetben igaz, ha a
feltételes állítás előtagja és utótagja is igaz
Kondicionális
1. Nem kommutatív
Ha ég a villany, akkor otthon vannak.
Ha otthon vannak, akkor ég a villany.
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p  q kontraponáltja: q  p
kontrapozíció törvénye: (p  q)  (q  p)
Ha jó az idő, akkor süt a nap.
Ha nem süt a nap, akkor nem jó az idő.
3. Nem asszociatív
p: Esik az eső.  nem igaz
q : Sáros a föld.  igaz
r : Esernyő van nálam.  nem igaz
(p  q)  r  nem igaz
p  (q  r)  igaz
2.
pq
1
0
1
1
Kondicionális

1
0
1
1
1
0
0
1
4. Leválasztási szabály:
modus ponens: ha igaz kondicionális előtagja igaz, akkor
utótagjának is igaznak kell lennie
modus tollens: ha igaz kondicionális utótagja hamis, akkor
előtagjának is hamisnak kell lennie
ha igaz: Ha ég a villany, otthon vannak.
modus ponens: ég a villany  otthon vannak
modus tollens: nincsenek otthon  nem ég a villany
5. Láncszabály (tranzitív tulajdonság):
(p  q) & (q  r)  (p  r)
(Ha ég a villany, otthon vannak.) &
(Ha otthon vannak, vendégül látnak.) 
(Ha ég a villany, vendégül látnak.)
Bikondicionális
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
pq
1
0
0
1

1
0
1
1
0
0
0
1
o Természetes nyelvi megfelelője: ‘ha …, akkor, és csak akkor …’
o p  q  (p  q) & (q  p)
o Kétargumentumú mondatfunktor: két mondatból állít elő egy
újat (= diadikus logikai művelet)
o Igazságfüggvényként az igazságértékeket kapcsolja össze
o Kimenetének igazságértéke abban az esetben igaz, ha
bemenetei egyező igazságértékkel rendelkeznek
Bikondicionális
• (p  q) esetén:
o (p  q) & (q  p)
o (p  q) & (q  p)

1
0
1
1
0
• kommutatív és asszociatív
• (p  q)  p  q  (p & q) V (p & q)
0
0
1
Példák
• Btk. 16. §
Kísérlet miatt büntetendő, aki a szándékos bűncselekmény elkövetését megkezdi, de nem fejezi be.
(Kísérlet) = (IGAZ, hogy egy szándékos
bűncselekmény elkövetését megkezdi)
ugyanakkor/ÉS (NEM IGAZ, hogy ezt a szándékos
bűncselekményt befejezi)
p  p & q  xF & (xG)
Példák
• Kuruzslás : Btk. 285. § (1)
Aki jogosulatlanul, ellenszolgáltatásért vagy
rendszeresen az orvosi gyakorlat körébe tartozó
tevékenységet fejt ki […]
(Kuruzslás) = (jogosulatlanul ÉS ellenszolgáltatásért)
VAGY (jogosulatlanul ÉS rendszeresen) fejt ki az
orvosi gyakorlat körébe tartozó tevékenységet
p  (q1 & q2) V (q1 & q3)
Példák
• Btk. 11. § (1)
A bűncselekmény bűntett vagy vétség.
(bűncselekmény)  (bűntett) VAGY (vétség)
pqr
• Ptk. 11. § (1)
Cselekvőképes mindenki, akinek cselekvőképességét a törvény
nem korlátozza vagy nem zárja ki.
(cselekvőképes) = akinek cselekvőképességét törvény (NEM
IGAZ, hogy korlátozza) VAGY (NEM IGAZ, hogy kizárja)
p  q  r  (xF)  (xG)
Példák
• Btk. 166. § (1)
Aki mást megöl, bűntettet követ el […]
HA valaki mást megöl, AKKOR bűntettet követ el.
p  q  xF  xG
• Ptk. 624. § (2)
Korlátozottan cselekvőképes személy csak
közvégrendeletet tehet […]
Korlátozottan cselekvőképes személy (végrendelete
érvényes,) AKKOR, ÉS CSAK AKKOR, (ha végrendelete
közvégrendelet).
p  q  xF  xG