Transcript 案例2

投入产出问题
一、问题
一个城镇有三个主要生产企业：煤矿、电厂和地方铁路作为它的经济
系统，已知生产价值1元的煤，需消耗0.25元的电费和0.35元的运输费;生
产价值1元的电,需消耗0.40元的煤费、0.05元的电费和0.10元的运输费;
而提供价值1元的铁路运输服务,则需消耗0.45元的煤、0.10元的电费和
0.10元的运输费.假设在某个星期内,除了这三个企业间的彼此需求,煤矿
得到50000元的订单,电厂得到25000元的电量供应需求,而地方铁路得到价
值30000元的运输需求.试问:
(1)这三个企业在这个星期各应生产多少产值才能满
足内外需求?
(2)除了外部需求,试求这个星期各企业之间的消耗需
求,同时求出各企业
新创造的价值(即产值中除去各企业的消耗所剩的部分).
(3)如果煤矿需要增加总产值10000元,它对各个企业
的产品或服务的完全
需求分别将是多少?
二、分析与建模
这是一个小型的经济上的投入产出模型.在一个国家或区域的经济系统中,
各部门(或企业)既有消耗又有生产,或者说既有“投入”又有“产出”,生产的
产品
供给各部门和系统外以满足需求,同时也要消耗系统内各部门所提供的产品.消
耗的目的是为了生产,生产的结果必然要创造新价值,以支付工资和获取利润,显
然对每一部门,物资消耗和新创造的价值等于它生产的总产值.这就是“投入”
和
“产出”之间的平衡关系.
设煤矿、电厂和地方铁路在这个星期生产总产值分别为
则有
,
0 x1  0.4 x2  0.45x3  50000 x1 ,
0.25x1  0.05x2  0.10x3  25000 x2 ,
(1)
x1 , x2 , x3
0.35x1  0.10x2  0.10x3  30000 x3
(1)称为分配平衡方程组.每一个方程以价值形式说明了对每一企
业:中间产品
(作为系统内各企业的消耗)+最终产品(外部需求)=总产品.另一方
面,若设煤矿、
电厂和地方铁路在这个星期的新创价值分别为 z1 , z2 , z3 ，则有
0 x1  0.25x2  0.35x3  z1  x1 ,
0.40x1  0.05x2  0.10x3  z2  x2 ,
0.45x1  0.10x2  0.10x3  z3  x3
（2）
（2）称为消耗平衡方程组，每一个方程说明了每一企业：对系统内各企业
产品的消耗+新创价值=总产值
将方程组（1）写为矩阵的形式为 AX+Y=X
其中
0.40 0.45
 0
 x1 
 50000


 


A   0.25 0.05 0.10, X   x2 , Y   25000
 0.35 0.10 0.10
x 
 30000


 3


在经济学上分别称之为直接消耗矩阵，产出向量和最后需求（最终产品）
aij
向量；A中的元素
为直接消耗系数。方程组还可写为（E-A）X=Y （3）
 0 
 0.40
 0.45






T1  X 1  0.25, T2   0.05, T3  X 3  0.10
则得到三个企业为煤矿、电厂、铁路的总产值所作的产品消耗（投入），
 0.35
 0.10
 0.10






求出X后，令
从而各企业总投入矩阵为
 x1



T  (tij )  (T1T2T3 )  A
x2


x3 

 3 
  ti1 
创新价值
 i 1 
 z1 
 
 3 
Z   z 2   X    ti 2 
i 1
（4）
z 


3
 3
 t 
  i3 
 i 1 
由于某个企业在进行生产或提供服务时，对任何一个产品的直接消耗事
实上还蕴含着对其他产品的间接消耗。例如地方铁路在运输时直接消耗了煤，
但它还通过消耗电而间接消耗煤，因为电的生产需要消耗煤。因而就有了完
全消耗系数的概念。完全消耗系数是指某企业生产单位产值的产品而对其他
企业产品的总消耗值。
设煤矿、电厂和地方铁路生产单位产值对煤、电和铁路运输的总消耗值
分别为 bij (i, j  1,2,3), 则有
 b11 b12

aij   biI aIj  bij , 记B   b21 b22
I 1
b
 31 b32
3
b13 

b23 
b33 
称之为完全消耗矩阵，易得：A+BA=B，即
B  A( E  A)1  [ E  ( E  A)](E  A)1  ( E  A)1  E
三、计算过程
键入：
0.40 0.45
 0
 50000




A   0.25 0.05 0.10; Y   25000;
 0.35 0.10 0.10
 30000




H  IdentityMatrix[3]  A;
H 1  Inverse[ H ];
X  H 1. y;
A  DiagonalMatrix[{X [[1,1]], X [[2,1]], X [[3,1]]}];
T  A. A;
（5）
A1  X [[1,1]] plus[ A[[1,1]], A[[2,1]], A[[3,1]];
A2  X [[2,1]]Plus[ A[[1,2]], A[[2,2]], A[[3,2]]];
A3  X [[3,1]]Plus[ A[[1,3]], A[[2,3]], A[[3,3]]];
G  { A1, A2, A3};
Z  X  G;
B  H 1  IdentityMatrix[3];
" A " Matrixform[ A]
"Y " MatrixForm[Y ]
" (1) X " MatrixForm[ X ]
" ( 2) Z " MatrixForm[ Z ]
" (3) B " MatrixForm[ B ]
2
计算结果
输出
0.40 0.45
 0


A   0.25 0.05 0.10
 0.35 0.10 0.10


 50000


Y   25000;
 30000


114 458. 


(1) X   65 395.4 
 85 111 


 45 783.2 
 0.456583 0.698125 0.805861




(2) Z   29 427.9  B   0.448179 0.279897 0.3663 
 29 788.8 
 0.616246 0.413704 0.465201




四、说明
上述计算结果可列表如下（投入产出表）：
投入产出表
单位：元
一般说来，在对一个国家或地区的经济用投入产出法进行分析和
研究时，首先就是根据统计数字制定投入产出表，进而计算出有关的
技术系数（如直接消耗系数）。通过对这些系数的分析，可以了解经
济系统的结构和各部门之间的数量关系；还可以建立上述反映分配平
衡和消耗平衡关系的方程组，通过求解方程组获知最终需求的变动对
各部门生产的影响。与直接消耗矩阵A一样，完全消耗矩阵B反映了
煤矿、电厂和铁路在生产需求上的关系。但后者从完全需求的角度揭
示了它们在更深层次上的相互依赖关系。这意味着如果该城镇要要扩
大煤的生产而每周增加产值1万元，那就不仅需要相应增产0.25万元的
电和0.35万元的运输能力作为直接消耗,事实上还必须有约0.46万元的
煤、0.24万元的电和0.27万元的运输能力作为间接消耗.这对经济部门
的计划决策者而言是极其重要的数量依据.在为某企业或部门扩大生产
而进行投资等问题上,需要充分考虑其他部门的相应能力.