Transcript Aljabar Linear-8

Aljabar Linear
Pertemuan 9
Matrik
Erna Sri Hartatik
Sub pokok bahasan
Pengertian Matriks
• Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil
atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan
secara empat persegi panjang menurut barisbaris dan kolom-kolom.
• Matriks adalah jajaran elemen (berupa
bilangan) berbentuk empat persegi panjang.
• Matriks adalah himpumam suatu bilangan
yang disusun dalam bentuk persegi panjang
yang memuat baris-baris dan kolom-kolom.
• Bilangan tersebut disebut entri / elemen
Notasi matriks
• Lambang matrik  huruf besar
• Lambang elemen  huruf kecil
• Notasi yang dipakai:
atau
atau
Notasi matrik (2)
• A =
 a11

 a21
 :

a
 m1
a12
a22
:
am 2
..... a1n 

.... a2 n 
:
: 

.... amn 
Baris ke -1
Unsur / entri /elemen kemn (baris m kolom n)
Kolom ke -2
Matrik A berukuran (ordo) m x n
Misalkan A dan B adalah matriks berukuran sama, A dan B dikatakan
sama (notasi A = B)
Jika aij  bij untuk setiap i dan j
Jenis Matriks
• MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua elemennya
nol
 Sifat-sifat :
 A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0
 A*0=0, begitu juga 0*A=0.
• MATRIKS BUJURSANGKAR, adalah matriks yang jumlah
baris dan jumlah kolomnya sama. Barisan elemen a11,
a22, a33, ….ann disebut diagonal utama dari matriks
bujursangkar A tersebut.
Contoh : Matriks berukuran 2x2
A=
 1 4


 2 3
• MATRIKS DIAGONAL, adalah matriks bujursangkar
yang semua elemen diluar diagonal utamanya nol.
Contoh :
 2 0 0


 0 5 0
 0 0 3


• MATRIKS SATUAN/IDENTITY, adalah matriks
diagonal yang semua elemen diagonalnya adalah 1.
Contoh :  1 0 0 


0 1 0
0 0 1


• Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A , I*A=A
• MATRIKS SKALAR, adalah matriks diagonal yang
semua elemennya sama tetapi bukan nol atau
satu.
Contoh : 4 0 0


A=  0 4 0 


0 0 4


• MATRIKS SEGITIGA ATAS (UPPER TRIANGULAR),
adalah matriks bujursangkar yang semua elemen
dibawah diagonal elemennya = 0.
3 2 1
A = 0 4 5


0 0 4


• MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR),
adalah matriks bujursangkar yang semua elemen
diatas diagonal elemennya = 0.
A=  3 0 0 
1 4 0
6 9 4


• MATRIKS SIMETRIS, adalah matriks bujursangkar
yang elemennya simetris secara diagonal. Dapat juga
dikatakan bahwa matriks simetris adalah matriks
yang transposenya sama dengan dirinya sendiri.
Contoh :
1 2 0


A = 2 3 1
0 1 1


A  AT
AT
1 2 0


= 2 3 1
0 1 1


• MATRIKS ANTISIMETRIS, adalah matriks yang
trnsposenya adalah negatif dari matriks tersebut.
Maka AT=-A dan aij=-aij,
elemen diagonal utamanya = 0
Contoh :
1 3 0 
0
 0 1 3

A 

4
2
T
 1 0
0 4
A  1
 3  4 0  1
3 4
0


0


2
1
0
 0  2 1


0 

 2
1 

0 
• MATRIK PARTISI : sebuah matrik dapat dibagi menjadi
bagian yang lebih kecil dengan garis pemisah/partisi
mendatar dan vertikal.
1
0

A  0

0
 0
0 0 2
1 0 1
0 1 4
0 0 1
0 0 7
-1 
3 
0

7
2 
1
0

0

0
 0
0 0 2
1 0 1
0 1 4
0 0 1
0 0 7
-1 
3 
0

7
2 
I adalah matrik identitas 3 x 3,
B adalah matrik 3 x 2
O adalah matrik nol 2 x 3
C adalah matrik 2 x 2
Dengan cara partisi tersebut, kita dapat lihat bahwa
matrik A adalah sebagai matrik 2 x 2
•
 2 -2 -4 
A  -1 3 4  Tentukan A 2 !
 1 -2 -3
Jawab
 2 -2 -4   2 -2 -4 
 2 -2 -4 
A 2  A.A  -1 3 4  -1 3 4   -1 3 4   A
 1 -2 -3  1 -2 -3
 1 -2 -3
•
 1 1 3
A   5 2 6
-2 -1 -3 
 1 1 3  1 1 3
A3  A.A.A   5 2 6  5 2 6
-2 -1 -3  -2 -1 -3 
 1 1 3  0 0 0
 5 2 6   0 0 0  0

 

-2 -1 -3  0 0 0
Contoh beberapa kasus pemangkatan matrik
1.
1 1
A

1
1


Hitung A 2 dan A3
jawab
1 1 1 1  2 2 
A 





1
1
1
1
2
2


 

2
 2 2  1 1  4 4 
A A A





2
2
1
1
4
4


 

3
2
Disimpulkan
n-1
n-1


2
2
n
A   n-1 n-1  untuk n  1
2 2 
Untuk n = 1
1-1
1-1
0
0



 1
2
2
2
2
1
A   1-1 1-1    0 0   
 2 2   2 2  1
1
 A

1
2.
0 -1
2
3
4
B
Tentukan:
B
,
B
dan
B
!

1 0 
jawab
0 -1 0 -1 -1 0 
B 





1
0
1
0
0
-1

 
 

-1 0  0 -1  0 1
3
2
B B B





0
-1
1
0
-1
0


 

 0 1 0 -1 0 1
4
3
B B B





-1 0  1 0  1 0 
2
•
0 -1 -1 0
1 0  ,  0 -1 ,
  

0
-1

1
,

0
0
1

1
,

0
0 -1
1 0  ..............
 
Operasi Matriks
• Penjumlahan Matriks
Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dijumlahkan
Contoh =
f  ae b f 
  

h  c  g d  h
a.
a b   e

  
c d  g
b.
 1 6   3 1  4 7 

  
  

 3 5   4 1  7 6 
• Pengurangan Matriks
Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dkurangkan
Contoh =
a.
b.
a b   e

  
c d  g
f  ae b f 
  

h  c  g d  h
 1 6   3 1   2 5 

  
  

 3 5   4 1   1 4 
• Perkalian Matriks
 Perkalian Skalar dengan Matriks
Contoh :  p q   kp kq 
k 
r
  
s   kr

ks 
 Perkalian Matriks dengan Matriks
Misalkan A berordo pxq dan B berordo mxn
Syarat : A X B haruslah q = m ,
hasil perkalian AB , berordo pxn
p

a b d 


A
,B  r

e
f
g

 ( 2 x 3)
t

 p q


a
b
d


 ( 2 x 3) . r s 
A.B 
e
f
g


 t u

(3 x 2)
q

s
u  (3 x 2)
 ap  br  dt aq  bs  du 

 
ep

fr

gt
eq

fs

gu

( 2 x 2)
Contoh
Sedangkan B X A tidak dapat dikerjakan, karena
jumlah kolom matrik B tidak sama dengan jumlah
baris matrik A
Latihan
1.
2.