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CONVEZIONE NATURALE
1
CONVEZIONE NATURALE
Si origina quando il moto del
fluido è causato da gradienti
di densità.
Le velocità sono di norma
minori rispetto alla convezione
forzata.
I moti atmosferici, oceanici e
quelli interni alla crosta
terrestre sono fenomeni di
convezione naturale.
L’approccio sperimentale
preponderante
rispetto
quello teorico.
è
a
2
CONVEZIONE NATURALE
EQUAZIONI FONDAMENTALI
Hp: proprietà fisiche del fluido costanti ad eccezione della densità (BOUSSINESQUE)
approssimazione di strato limite:
u
u
1 p
2u
u v
g 2
x
y
x
y
p
0
y
quantità di moto lungo x
quantità di moto lungo y
ne consegue che il gradiente di pressione lungo y è indipendente da y e quindi è
uguale fuori e dentro lo strato limite;
Nella zona in cui la velocità è nulla (u = v = 0) si ha:
p
g
x
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CONVEZIONE NATURALE
EQUAZIONI FONDAMENTALI
Sostituendo nell’equazione della q.d.m. :
u
u g
2u
u v 2
x
y
y
Definendo poi il coefficiente volumetrico di dilatazione termica:
ed approssimandolo a:
1
T T p
1
T p
si ottiene:
u
u
2u
u v
g T T 2
x
y
y
Le altre equazioni dello strato limite sono:
u v
0
x y
(continuità)
T
T
2T
u
v
a 2
x
y
y
Le equazioni non sono più disaccoppiate
(energia)
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CONVEZIONE NATURALE
ADIMENSIONALIZZAZIONE
Definendo:
si ottiene:
y
y
L
x
x
L
v
v
u0
*
*
u * v*
* 0
*
x y
*
*
T*
1 2T*
* T
u
v
*
*
x
y
Re Pr y*2
Il gruppo
T T
Tp T
*
*
2 *
g
(
T
T
)
LT
u
v
1
u
p
u* * v* *
x
y
u 02
Re y*2
*
g(Tp T )L
T*
*
si può scrivere come:
u 02
con
u 0L
Re
gL3 Tp T
2
2
u 0L
Gr
Re 2
Dove il numero di Grashof Gr è il rapporto tra le forze di galleggiamento e le forze
viscose ed è definito dalla:
Gr
gL3 Tp T
2
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CONVEZIONE NATURALE
ADIMENSIONALIZZAZIONE
Ipotizzando la lastra riscaldata, applicando il teorema di Bernoulli tra il bordo inferiore
ed un punto x:
u 2x
gx
2
E, tenendo conto della relazione approssimata tra r e T, si può definire la velocità
caratteristica della convezione naturale:
u c gL Tp T
Ed introducendola nell’espressione del numero di Grashof si ottiene:
Assumendo u0 = uc , le equazioni diventano:
*
T*
1 2T*
* T
u
v
2
*
*
u
y
Pr Gr y*
*
u cL
Gr
*
u*
1 2 u*
* u
*
u
v
T
2
*
*
x
y
Gr y*
*
con Nu funzione sia di Gr che di Pr
6
2
CONVEZIONE NATURALE
ADIMENSIONALIZZAZIONE
Si definisce il numero di Rayleigh come:
Ra Gr Pr
gL3 Tp T
a
Quando, oltre alla convezione naturale, è imposta anche una convezione forzata,
l’importanza relativa è espressa dal rapporto:
Gr
Re 2
se Gr >> Re2 è prevalente la convezione naturale
se Gr Re2 si ha convezione mista
se Gr << Re2 si ha convezione forzata
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CONVEZIONE NATURALE
LASTRA PIANA VERTICALE
Si utilizzano le equazioni dello strato limite,
con le condizioni al contorno seguenti:
T(x, y)
per y = 0: u = 0,
per y =
:
v = 0, T = Tp
u
T
u 0, T T ,
0,
0
y
y
T
u(x, y)
L’equazione della quantità
integrata sullo strato limite, è:
di
moto,
u 2
uv
2u
0 x dy 0 y dy 0 gT T dy 0 y2 dy
t
x
y
che, con le condizioni al contorno, diventa:
u
2
u dy g T T dy
x 0
y
0
y 0
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CONVEZIONE NATURALE
LASTRA PIANA VERTICALE
Integrando l’equazione dell’energia sullo strato limite termico:
uT
vT
2T
0 x dy 0 y dy a 0 y2 dy
che, con le condizioni al contorno, diventa:
T
u
T
T
dy
a
x 0
y y 0
Per poter procedere con l’integrazione delle equazioni, si introduce un’ulteriore
ipotesi sull’andamento dei profili di velocità e temperatura:
u y
y
1
u 0
2
T T y
1
Tp T
2
Sostituendo queste espressioni nelle equazioni del moto si ottiene:
1 d 2
1
u0
u 0 gTp T
105 dx
3
d
u 0 60 a
dx
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CONVEZIONE NATURALE
LASTRA PIANA VERTICALE
Ipotizzando che u0 e d dipendano da x secondo le relazioni seguenti:
x C2 x n
u 0 x C1x m
2m n C12C2 x 2m n 1 1 gT
si ha:
105
n
T
C
x
p
2
3
C1 m n
x
C2
m n C1C2 x m n 1 2a x n
30
C2
Affinchè le due equazioni siano indipendenti da x, gli esponenti devono essere uguali:
m
1
2
1
n
4
quindi si possono ricavare le costanti C1 e C2:
20 a gTp T
C1 5,17
2
21
1
2
1
2
20 gTp T
C2 3,93
2
21 a
10a
1
4
1
4
1
2
CONVEZIONE NATURALE
LASTRA PIANA VERTICALE
Lo spessore dello strato limite diventa dunque:
gTp T
x 3,930,952 Pr
2
1
4
1
4
1
2
Pr x
1
4
Si ricava così la velocità di riferimento:
u0
112
5
336 P r 9
1
2
gT
p
T x
1
2
Noto d, si può ricavare T dalla definizione del profilo e, conseguentemente, anche Nu:
h x
q x
x T
Nu x
k
Tp T k Tp T y y 0
con
1
Pertanto:
2Tp T
T
y y 0
1
1
2x
Nu x
0,508Pr2 0,952 Pr 4 Gr 4
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CONVEZIONE NATURALE
LASTRA PIANA VERTICALE
Integrando sulla lunghezza, si ottiene il valore medio del coefficiente di scambio:
L
1
4
h h x dx h x x L
L0
3
Allo stesso modo si ottiene il valore medio del numero di Nusselt:
1
hL
Nu L
k
8 2
Pr
3
5
336
P
r
9
1
4
1
4
L
Gr
La maggior parte dei problemi pratici è costituita da geometrie di un grado di
complessità tale da essere necessario il ricorso a correlazioni sperimentali, espresse
nella forma:
hX
Nu X
C Ra nX
k
Ra X GrX Pr
con
C ed n che dipendono dalla geometria e dalle
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condizioni di moto
CONVEZIONE NATURALE
ESEMPIO
CILINDRO RISCALDATO
Per
104 Ra 109
Nu 2 0,43(Ra )
1
4
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CONVEZIONE NATURALE
SPAZI CONFINATI
CAVITA’ RETTANGOLARI
T1 > T2
In assenza di convezione (Ra < 103) si ha:
q
k T1 T2
L
In presenza di convezione vale la:
q hT1 T2
Il coefficiente h viene determinato attraverso correlazioni sperimentali.
Per cavità anulari e canali verticali non limitati superiormente valgono le stesse
considerazioni
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