Transcript CÁLCULO VISUAL

CÁLCULO VISUAL
Teorema de Mamikon
Como todos los grandes descubrimientos,
se basa en una idea simple


Los cuatro problemas clásicos que a
continuación se presentan así como también
muchos más del cálculo se pueden también
solucionar por un nuevo método que confíe
en la intuición geométrica y sea entendido
fácilmente por los estudiantes muy jóvenes.
Por otra parte, el nuevo método también
soluciona algunos problemas que al parecer
no tienen solución por cálculo y permite
muchas generalizaciones.
Encuentre el área de un
segmento parabólico .

El cuadro 1
demuestra un
segmento
parabólico, la
región sombreada
debajo del gráfico
de la parábola
y = x2 y sobre el
intervalo a partir de
la 0 al x.
Area de la región debajo de una
curva exponencial

En la gráfica se
muestra la función
exponencial.
Deseamos el
área de la región
sombreada debajo
del gráfico a
cualquier punto x.

Area de la región debajo
de un arco de una cicloide.

Una cicloide es la trayectoria remontada hacia
fuera por un punto fijo en el límite de un disco
circular que ruede a lo largo de una línea
horizontal, y deseamos el área de la región
sombreada. Este problema se puede también
hacer por cálculo pero es más difícil que los
primeros dos. Primero, tienes que encontrar una
ecuación para la cicloide, que no es exactamente
trivial. Entonces usted tiene que integrar esto
para conseguir el área requerida.
Cicloide
Area de la región bajo tractriz.

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Cuando un niño arrastra un juguete a lo
largo del piso con una secuencia de la
longitud constante, el juguete remonta fuera
de una tractriz mientras que el niño camina
a lo largo del eje de x toda la manera al
infinito. Deseamos encontrar el área de la
región entre el tractriz y el eje de x. Para
solucionar esto por el método normal del
cálculo, tenemos que encontrar la ecuación
de la tractriz.
Una vez que tenga la ecuación del tractriz
tiene que integrarlo para conseguir el área.
Puede ser hecha, pero el cálculo está
exigiendo dificultad.
TRACTRIZ
Trayectoria de la bicicleta


El problema que demuestra la trayectoria
remontada hacia fuera por la rueda delantera
de una bicicleta en el movimiento. La rueda
posterior remonta fuera de otra curva, y el
problema es encontrar el área de la región
entre estas dos curvas pues la bicicleta se
mueve desde una posición inicial a una
posición final.
Para hacer esto con cálculo usted necesitaría
las ecuaciones para las curvas.
¡Con Mamikon no necesitamos ecuación alguna!
Aplicaciones del teorema de
Mamikon
Teorema de Mamikon para los
anillos ovales

Encuentre el área
del anillo anular.
El círculo interno tiene
radio r su área es r2, y
si el círculo externo tiene
su área del radio R es
R2
Así que el área del anillo
es igual al = (R2 - r2).

Pero los dos radios y la
tangente forman un triángulo
recto con los catetos r y a/2 y
la hipotenusa R. Y por el
teorema de Pitágoras,
sabemos que cada anillo tiene
área a2/4.
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Tome la mitad del acorde y piense en ella como
vector de la tangente de la longitud a/2 al
círculo interno. Moviendo este vector de la
tangente alrededor del círculo interno, vemos
que barre fuera del anillo anular entre los dos
círculos.
Ahora, traduzca cada vector de la tangente
paralelo a sí mismo así que el punto de la
tangencia se trae a un punto común. Mientras
que el vector de la tangente se mueve
alrededor del círculo interno, el vector traducido
rota una vez alrededor de este punto común y
remonta fuera de un disco circular del radio a/2.
Los vectores de la tangente barren tan fuera de
un disco circular, como si todos fueron
centrados en el mismo punto, este disco tiene
la misma área que el anillo.

Mamikon realizó que este acercamiento dinámico
también trabajaría si el círculo interno es
substituido por una curva oval arbitraria. Mientras
que el segmento de la tangente de la longitud
constante se mueve una vez alrededor de cada
elipse, barre fuera de una forma anular más general
que llamamos un anillo oval.
Podemos
traducir otra vez cada segmento de
la tangente paralelo a sí mismo así que el punto
de la tangencia se trae a un punto común.
Mientras que la tangente se mueve alrededor
del óvalo, los segmentos traducidos remontan
fuera de un disco circular que radio sea esa
longitud constante. Así pues, el área del anillo
oval debe ser el área del disco circular.

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El teorema de pitagoras no puede ayudarle
a encontrar las áreas para estos anillos
ovales. Si el óvalo interno es una elipse
usted puede calcular las áreas por el
cálculo integral
¡pero si usted hace este cálculo usted
encuentra todos estos anillos ovales para
tener áreas iguales dependiendo solamente
de la longitud del segmento de la tangente!
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Mientras que el segmento de la tangente se
mueve a lo largo de un borde, no cambia la
dirección así que no barre fuera de cualquier
área. Mientras que se mueve alrededor de una
cima a partir de un borde al siguiente, barre fuera
de parte de un sector circular. Y como circunda el
triángulo entero que barre fuera de tres sectores
circulares que, juntos, llenen hacia fuera un disco
circular , según lo demostrado en el cuadro.
Igual es verdad para cualquier polígono convexo.

El área de la región barrida hacia fuera por
un segmento de la tangente de la longitud
dada que se mueve alrededor de cualquier
polígono convexo es igual al área de un
disco circular que radio sea esa longitud.
Por lo tanto igual es verdad para cualquier
curva convexa que sea un límite de
polígonos convexos.
TEOREMA DE MAMIKON PARA LOS
ANILLOS OVALES
Todos los anillos ovales barridos hacia
fuera por un segmento de recta de la
longitud dada con una tangente de punto
final a una curva lisa cerrada plana tienen
áreas iguales, sin tener en cuenta el
tamaño o la forma de la curva interior.
Además, el área depende sólo de la
longitud L de la tangente segmentan y es
igual a ¼ L2, el área de un disco de radio
L, como si el segmento de tangente fue
hecho girar sobre su punto final.
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El área del anillo oval es
también igual a ¼ L2, donde
L es la longitud constante de
los segmentos de tangente.
Por áreas igualadoras
encontramos R2 ; r2 = L2,
de cual conseguimos
R2 = r2 + L2,
el Teorema de Pitágoras (para
el triángulo rectángulo R r L).
La Bicicleta
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El área de un barrido de tangente es igual
al área de su racimo de tangente, sin
tener en cuenta la forma de la curva
original
El área del barrido de tangente es igual al
área de un sector circular que depende
sólo de la longitud de la bicicleta y el
cambio del ángulo de su posición inicial a
su posición final
¡La forma del camino de la moto no
importa!
El Tractriz y los anillos ovales son casos
particulares de la trayectoria de la
bicicleta
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La única diferencia es que los segmentos de
tangente a la curva inferior no tienen que
tener la longitud constante.
El barrido de segmentos de tangente hacia
fuera una región son llamados el barrido de
tangente
El racimo de tangente es la región obtenida
traduciendo cada tangente segmentan la
paralela a sí de modo que cada punto de la
tangencia sea movido a un punto común.
El
teorema de Mamikon, por ahora,
es que el área del racimo de tangente
es igual al área del barrido de
tangente.

La forma del barrido de tangente depende de
como las longitudes y las direcciones de la
tangente segmentan el cambio a lo largo de la
curva. Cuando cada segmento de tangente es
traducido paralela a sí así el punto de tangencia
es traído a un punto común, llaman el juego de
segmentos traducidos el racimo de tangente;
esto miente sobre una superficie cónica con el
vértice en este punto común.
El teorema general de Mamikon compara el
área del barrido de tangente con el de su
racimo de tangente
CURVAS EXPONENCIALES
CURVAS EXPONENCIALES
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Geométricamente, significa que la cuesta de la
línea de tangente en cada punto de una curva
exponencial es proporcional a la altura de la
curva en aquel punto. Las curvas
exponenciales pueden ser también descritas
por sus subtangentes.
La cuesta de la tangente es la altura dividida en
la longitud de la subtangente. De este modo, la
cuesta es proporcional a la altura si y sólo si la
subtangente es constante
CURVAS EXPONENCIALES
Explotando
el hecho que
las curvas exponenciales
tienen subtangentes
constantes, podemos usar
el teorema de Mamikon
para encontrar el área de
la región bajo una curva
exponencial sin usar el
integral.

El racimo de tangente correspondiente es
obtenido traduciendo cada segmento de
tangente a la derecha entonces el punto final
sobre el eje x es traído a un punto común, en
este caso, el vértice inferior del triángulo
rectángulo de base b y altitud ex/b. El racimo
de tangente que resulta es el triángulo de base
b y altitud ex/b.

Por lo tanto el área de esta región es igual al
área de este triángulo rectángulo, entonces el
área de la región entre la curva exponencial y
el intervalo (ƒ, x] es igual a dos veces el área
de este triángulo rectángulo.
SEGMENTO PARABOLICO
AREA DEL SEGMENTO
PARABOLICO

Arquímedes hizo el descubrimiento que el área es
exactamente un tercero esto del rectángulo

Ahora usaremos el teorema de Mamikon para
obtener el mismo resultado por un método que no
es sólo mas sencillo que el original tratamiento de
Arquímedes, sino que es también más poderoso
porque puede ser generalizado a poderes de
número entero más altos, y a poderes arbitrarios
también.


La parábola tiene la ecuación y = x´2, pero no
necesitaremos esta fórmula en nuestro análisis.
Usamos sólo el hecho que la línea de tangente
encima de cualquier punto x corta una
subtangente de longitud x/2. La cuesta de la
tangente es x´2 dividido en x/2, o 2x.
El área del segmento parabólico es formado
bisecando cada segmento horizontal. Las dos
parábolas dividen el rectángulo en tres regiones, y
nuestra estrategia es mostrar que tres regiones
tienen el área igual. Si hacemos este, entonces
cada uno tiene el área un tercero que del
rectángulo que circunscribe, como requerido.
Las dos regiones sombreadas formada por la parábola
de bisegmentación obviamente tienen áreas iguales
Los dos triángulos rectángulos en esta figura tienen el
área igual (ellos tienen la misma altitud e igualan
bases). Por lo tanto el problema reduce a la exposición
que las dos regiones sombreadas en este diagrama
tienen áreas iguales. Aquí está donde usamos el
teorema de Mamikon.
La parte sombreada bajo la parábola y = x´2 es el
barrido de tangente obtenido dibujando todas las
líneas de tangente a la parábola y cortándolos en el
eje x. Y la otra parte sombreada es su racimo de
tangente, con cada segmento de tangente traducido
entonces su punto de la intersección con el eje x es
traído a un punto común, el origen.
En un punto típico (t, t2) sobre la parábola inferior,
la tangente cruza el eje x en t/2.
• Por lo tanto, si el segmento de tangente (de t/2, 0)
(a t, t2) es traducido dejado por la cantidad t/2, el
segmento traducido une el origen y el punto (t/2, t2)
sobre la curva y = (2x) 2.
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Entonces por el teorema de Mamikon las dos
regiones sombreadas tienen áreas iguales,
como requerido, y así hemos mostrado que el
área de segmento parabólico es exactamente
un tercero que del rectángulo que circunscribe,
el mismo resultado obtenido por Arquímedes.
AREA DE UN SEGMENTO
PARABOLICO
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La figura muestra los gráficos de
y = x´3 , y = (3x)´3, que dividen el rectángulo
del área x4 en tres regiones
Mostraremos que el área de la región
encima del cúbico es igual a esto debajo del
original cúbico, el que significa que cada
región tiene el área un cuarto que del
rectángulo que circunscribe
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Para hacer esto usamos el hecho que la
subtangente al cúbico es un tercero la longitud de
la base. Una región sombreada en la Figura es el
barrido de tangente del original cúbico, y el otro es
el racimo de tangente correspondiente, entonces
ellos tienen áreas iguales.
Los dos triángulos rectángulos son congruentes,
entonces ellos tienen áreas iguales. Por lo tanto la
región encima del cúbico tiene la misma área que
el segmento cúbico debajo de la curva y = x´3, y
cada uno es un cuarto que del rectángulo, o x4/4.

En el caso cuadrico usamos las dos curvas
y = x´4 y y = (4x)´4 para dividir el rectángulo
del área x´5 en tres regiones. Usando el
hecho que la subtangente al cuadrico en x
tiene la longitud x/4, podemos usar el
mismo argumento para mostrar que el área
de la región entre dos cuadricos es tres
veces que de cada uno de los otros dos
pedazos, entonces los cuadricos
segmentan debajo de y = x´4 tiene el área
un quinto que del rectángulo, o x5/5.
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El argumento también se extiende a todos
los poderes más altos, una propiedad no
compartida por el tratamiento de
Arquímedes del segmento parabólico. Para
la curva y = xn usamos el hecho la
subtangente en x tiene la longitud x/n
CICLOIDE
CICLOIDE
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La curva remontada hacia fuera por un punto
sobre el perímetro de un disco circular que
rueda sin resbalar a lo largo de una línea
horizontal.
Un problema clásico es mostrar que el área de
la región entre un arco del cIcloide y la línea
horizontal es tres veces el área del disco
rodante.
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El método de cálculo estándar de solucionar este
problema es determinar primero ecuaciones
paramétricas para el cicloide, luego calcular el área
por la integración.
El mismo resultado puede ser obtenido del teorema
de Mamikon sin la necesidad de integrales.
La figura muestra un arco cicloidal inscrito dentro
de un rectángulo cuya altitud es el diámetro d del
disco rodante y cuya base es la circunferencia del
disco, ¼ d. El área del rectángulo que circunscribe
es ¼ D2, que es cuatro veces el área del disco.
Entonces esto basta para mostrar que la región sin
sombra encima del arco y dentro del rectángulo
tiene el área igual a esto del disco.
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Para hacer este mostramos que la región sin
sombra es el barrido de tangente del cicloide, y el
racimo de tangente correspondiente es un disco
circular del diámetro d.
Por el teorema de Mamikon, este disco tiene la
misma área que el barrido de tangente. Como el
área del disco es un cuarto el área del rectángulo,
el área de la región debajo del arco debe ser de
tres cuartos que del rectángulo, o tres veces que
del disco rodante.
Cuando el disco rueda a lo largo de la base esto
es siempre la tangente a los límites superiores e
inferiores del rectángulo que circunscribe.
El diámetro el PPo divide el círculo rodante en dos semicírculos, y cualquier
triángulo inscrito en estos semicírculos debe ser un triángulo rectángulo. El disco
experimenta la rotación instantánea sobre P0, entonces la tangente al cicloide en
cualquier punto X es perpendicular al radio instantáneo de la rotación y por lo tanto
debe ser el vértice de un triángulo rectángulo inscrito en el semicírculo con el
diámetro PPo. Por consiguiente
La cuerda XP del disco rodante es siempre la tangente al cicloide.
Amplíe el límite superior del rectángulo que circunscribe más allá del arco y elija un
punto fijo O sobre este límite ampliado. Traduzca cada paralela de cuerda a sí así
señale P es movido horizontalmente al punto fijo O. Entonces el otro extremo X
mueve a un punto Y tal que segmento el OY es igual en longitud y paralela a PX.
Por lo tanto el racimo de tangente es un disco circular del mismo diámetro que el
disco rodante, y el teorema de Mamikon nos dice que su área es igual a la del disco
Conclusion
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Los métodos también se aplican al
descubrimiento de volúmenes de figuras
tridimensionales y sólidos de revolución.
Newton y Leibniz son generalmente
considerados como los descubridores de
integral. Mamikon relaciona segmentos de
tangente móviles con las áreas de las regiones
barridas hacia fuera por estos segmentos de
tangente, es decir unifica los conocimientos
adquiridos en antaño.
Y algunas de las figuras siguientes han sido
tratadas con éxito por este método: elipse,
hipérbola, catenaria, logaritmo, cardioide, unicicloide, hi-cicloide, espirales, Bernoulli
lemniscata, seno y coseno, etc.
FIN