Transcript GIH5-planning bloc opératoires Bis

Chapitre 5-2
Planification des blocs opératoires
avec prise en compte des urgences
Plan de la présentation
•
Contexte et problématique
•
Planification avec capacité agrégée : modèle « de
base »
•
Planification avec capacité désagrégée
•
Planification avec durées d’interventions aléatoires
•
Conclusions et perspectives
-2-
Contexte


Les établissements hospitaliers sont confrontés à des
changements qui devraient les conduire, vers une utilisation de
plus en plus efficace des ressources mises à leurs dispositions.
Le bloc opératoire





représente l’un des secteurs les plus coûteux dans un établissement
hospitalier
représente aussi une source de recettes pour l’établissement (Dans le
cadre de la tarification à l’activité)
nécessite la coordination d’un grand nombre de ressources (humaines et
matérielles)
doit faire face à différentes sortes d’aléas
L’optimisation du fonctionnement du bloc opératoire est l’une
des premières préoccupations d’un hôpital
Minimiser les coûts et améliorer la qualité de service
-3-
Contexte : Gestion des blocs opératoires

Dimensionnement

Déterminer le nombre et la nature des ressources humaines et matérielles
 Nombre de salles opératoires, lits de réveil, personnel médical, brancardiers,…

Planification



Gestion de l’emploi du temps des personnels soignants
Planification des approvisionnements en consommables et des dispositifs
médicaux
Planification des activités chirurgicales
 Déterminer l’ensemble de patients qui seront opérés dans chaque salle
opératoire et en chaque jour

Ordonnancement

Déterminer la séquence et les heures de passage des interventions
planifiées sur les différentes ressources, salles opératoires, lits de réveil,
équipes de nettoyage, brancardiers, infirmiers…
-4-
Contexte : Planification
Block scheduling
scheduling


Open
Allouer des plages horaires à
chaque chirurgien (ou spécialité
chirurgicale)
Chaque chirurgien place ses
interventions à sa convenance dans
les plages allouées
Salle 1
Salle 2
Salle 1
Salle 2
..h ..
17h 00
16h 00 Chirurgien
1
Chirurgien
2
15h 00
14h 00
13h 00
12h 00
11h 00
Chirurgien
2
Chirurgien
3
Chirurgien
4
Chirurgien
1
10h 00
9h 00
Lundi
Mardi
Mercredi
-5-
Contexte : Planification
Block scheduling
scheduling


Open
Allouer des plages horaires à
chaque chirurgien (ou spécialité
chirurgicale)

Chaque chirurgien place ses
interventions à sa convenance dans
les plages allouées
Salle 1
Salle 2
Salle 1
Déterminer l’ensemble des patients qui
seront opérés dans chaque salle
opératoire et pour chaque jour sur un
horizon de planification donné
Salle 2
Salle 1
..h ..
..h ..
17h 00
17h 00
16h 00 Chirurgien
1
14h 00
12h 00
Chirurgien
11h 00
2
Chirurgien
3
Chirurgien
4
13h 00
Chirurgien
1
11h 00
10h 00
9h 00
9h 00
Mardi
Mercredi
Patient
19
Patient
11
Patient 5
12h 00
10h 00
Lundi
Salle 2
Patient 8
Patient 3
15h 00
14h 00
13h 00
Salle 1
16h 00
Chirurgien
2
15h 00
Salle 2
Patient
17
Patient
12
Patient
20
Patient 6
Patient 4
Patient 1
Patient 7
Lundi
Patient 2
Patient
15
Mardi
Mercredi
-6-
Contexte : Planification « Open Scheduling »



Plusieurs approches pour la planification des blocs opératoires
existent dans la littérature
Objectif : minimiser des coûts

de sur et/ou sous utilisation des salles opératoires,

d’hospitalisation ou d’attente des patients,

des pénalités de non satisfaction des préférences…
Sous des contraintes tels que

les capacités des salles opératoires

la disponibilité de certains équipements médicaux spécifiques

la disponibilité des chirurgiens et leurs préférences…
-7-
Contexte : Approches existantes en open scheduling

(Guinet et Chaabane, 03) :



Contraintes : Capacité des salles opératoires (en heures normales et en heures
supplémentaires), nombre maximal d’intervention par chirurgien par jour, adéquation
des salles opératoires, dates d’hospitalisation et dates au plus tard pour les patients
(Jebali et al., 04) :



Objectif : minimiser les coûts des heures supplémentaires des salles et les jours
d’hospitalisation des patients
Objectif : minimiser les coûts de sur-utilisation et de sous-utilisation des salles
opératoires, et le nombre de jours d’hospitalisation des patients
Contraintes : Capacité des salles opératoires en heures normales et
supplémentaires, la capacité maximal de travail par chirurgien, l’adéquation des salles
opératoires et la capacité de la salle des soins intensifs en terme de nombre de
patient par jour
(Fei et al., 05) :


Objectif : minimiser la sur-utilisation et la sous-utilisation des salles opératoires
Contraintes : Capacité maximale des salles opératoires et les dates au plus tard pour
les patients
-8-
Contexte : Approches existantes en open scheduling (2)

(Velasquez et Melo, 05) :




Objectif : minimiser les coûts de non planification des patients
Contraintes : Capacité en heures normales des salles opératoires, les disponibilités
et les qualifications des chirurgiens
(Hans et al., 06):



Contraintes : Capacités en heures normales des salles opératoires, la disponibilité
des chirurgiens et des équipements médicaux nécessaires
(Persson et Persson, 05) :


Objectif : maximiser une fonction qui représente des préférences relatives aux salles
et aux jours d’intervention
Objectif : minimiser le nombre de salles opératoires utilisées
Contraintes : Capacités en heures normales des salles opératoires, l’adéquation des
salles et la disponibilité des équipes médicales
Les approches existantes sont essentiellement basées sur des
modèles déterministes et ne permettent pas de prendre en compte
les aléas qui caractérisent le fonctionnement du bloc.
-9-
Contexte : Les aléas


Le bloc opératoire est sujet à différentes formes d’aléas

Incertitudes liées à la chirurgie d’urgence

Incertitudes concernant les durées d’interventions

Disponibilité des ressources (humaines, matérielles)
La non prise en compte de ces aléas, lors de la planification,
peut engendrer :

Des dépassements horaires (heures supplémentaires)

L’annulation des interventions déjà programmées

Des temps d’attentes pour les patients urgents…
- 10 -
Problématique

Planification des blocs opératoires avec prise en compte de
phénomènes aléatoires

Chirurgie d’urgence

Durée d’interventions aléatoires
- 11 -
Problématique : Deux types de patients

Les patients électifs (chirurgie programmée, réglée) :


Des patients qui ne présentent pas un caractère urgent
Les patients électifs peuvent être mis en attente et planifiés pour des
dates futures
Activité planifiable

Les patients urgents :

Les patients urgents arrivent d’une manière aléatoire durant la journée et
nécessitent une prise en charge le jour même
Activité non planifiable
- 12 -
Problématique



Modèle 1 : Planification avec capacité agrégée

Seule l’activité d’urgence est aléatoire

Les patients électifs ont des durées d’interventions déterministes

La capacité des salles opératoires est agrégée
Modèle 2 : Planification avec capacité désagrégée

Seule l’activité d’urgence est aléatoire

Les patients électifs ont des durées d’interventions déterministes
Modèle 3 : Planification avec durées d’interventions aléatoires

L’activité d’urgence est aléatoire,

Les interventions électives ont des durées aléatoires.
- 13 -
Plan

Contexte et problématique

Planification avec capacité agrégée : modèle « de base »

Planification avec capacité désagrégée

Planification avec durées d’interventions aléatoires

Conclusions et perspectives
- 14 -
Modèle « de base » : planification avec capacité agrégée

Planifier un ensemble d’interventions électives sur un horizon de
planification de H périodes (jours)

Les salles opératoires sont polyvalentes

La capacité totale en heures régulières est considérée ( Tt )
Exemple: pour un bloc opératoire de 5 salles où chacune d’elles est ouverte pour une
durée de 8 heures en jour 1, la capacité totale est T1 = 40 h

Le dépassement de la capacité horaire régulière génère des coûts liés aux
heures supplémentaires (ct € / heure)
T2
TH
T1
1
2
H
- 15 -
Modèle « de base » : Les patients urgents



Nous supposons que la capacité utilisée pour réaliser la
chirurgie d’urgence à la période t est une variable aléatoire ( wt ).
wt : est la durée totale des interventions urgentes réalisées en
période t
Les distributions des Wt peuvent être estimées à partir du
système d’information et / ou de l’expertise humaine
- 16 -
Modèle « de base » : Les patients électifs

Au début de l’horizon, il y a N patients électifs en attente

Chaque patient électif i ( 1…N ) est caractérisé par :

Une durée d’intervention : ( di )

Une date au plus tôt ( ei )
 Elle représente la date d’hospitalisation ou de délivrance des tests médicaux
…

Un ensemble des coûts associés aux périodes ait ( t = ei …H, H+1 )
 ait représente le coût de la réalisation de l’intervention i en période t
 Période H+1 : une période « fictive » pour regrouper les patients non
planifiés
 ai,H+1 représente le coût de non planification du patient i
- 17 -
Modèle « de base » : Coûts associés aux patients électifs

Les coûts associés aux patients ne sont pas nécessairement des
coûts financiers. Ils sont utilisés pour modéliser plusieurs
situations.
a
it

Coûts d’hospitalisation / pénalités associées
aux jours d’attente du patient
1
ei
1
ei
1
ei
H
t
ait



Les préférences du chirurgien ou du patient
Une date à ne pas dépasser
Autres situations …
H
Di
t
ait
Li
H
t
- 18 -
Modèle « de base » : Formulation mathématique


1 si le patient i est affecté à la période t
xit  
0 sinon
Variables de
décision :
Le dépassement horaire en période t :
Durée des
urgences
Durée des
interventions
planifiées
Capacité
régulière


 
E Wt   di xit  Tt  
i
 

où ( y )+ = max { y, 0 }
- 19 -
Modèle « de base » : Formulation mathématique
coûts associés
aux patients
électifs
Minimiser
 a
J(X ) 
it
i
Sous contraintes :
xit 
t
coûts des
dépassements
horaires
c
t
Ot
t


 
Ot  E Wt   di xit  Tt   , t
i
 

x
it
 1, i
t
(1)
Dépassement horaire
Chaque patient est
(2) affecté exactement une
fois
xit 0,1, i, t
- 20 -
Modèle « de base » : Complexité du problème



Le problème de planification est un problème d’optimisation
combinatoire stochastique
Théorème 1 : Le problème de planification est un problème NPdifficile au sens fort
Théorème 2 : Le problème de planification à deux périodes ( H=2
) est un problème NP-difficile
 Le temps de résolution croit en exponentielle en fonction de la taille du
problème
 Pour un nombre important de patients électifs, le problème est difficile à
résoudre d’une manière exacte en un temps de calcul raisonnable
- 21 -
Optimisation Monte Carlo

Étape 1 : Générer d’une manière aléatoire différents scénarios
Pour chaque période t, générer K échantillons
capacité Wt utilisée par l’urgence

Wt , k  1...K
k
de la
Étape 2 : Approximer les espérances mathématiques par des
moyennes empiriques, en utilisant les échantillons générés


K


1  k


Ot  E Wt   di xit  Tt     Wt   di xit  Tt 
i
i
  K k 1 


- 22 -
Optimisation Monte Carlo

Étape 3 : Résoudre le problème approximé
Minimiser
JK (X ) 
 a
it
i
Sous contraintes :
xit 
t
c
t
Ot
t

 k

Ot   Wt   di xit  Tt  , t
K k 1 
i

1
x
it
K
Dépassement horaire
estimé
 1, i
t
xit 0,1, i, t
Le problème approximé peut être reformulé sous la forme d’un programme
linéaire à variables mixtes
- 23 -
Optimisation Monte Carlo

Étape 4 : évaluer le coût exact de la solution optimale du problème
approximé
Évaluer les dépassements horaires d’une manière exacte,
moyennant

des intégrations numériques

la simulation Monte Carlo avec un nombre élevé de scénarios
- 24 -
Optimisation Monte Carlo : Algorithme




Étape 1 : Pour chaque période, générer d’une manière aléatoire K
échantillons de Wt
Étape 2 : Approximer le problème stochastique par un problème
d’optimisation déterministe
Étape 3 : Résoudre le problème approximé
Étape 4 : Évaluer le coût exact de la solution optimale du problème
approximé
- 25 -
Optimisation Monte Carlo : Convergence

Solution optimale du problème approximé : X

Convergence


X *K converge vers une vraie solution optimale, lorsque K croit
Convergence en exponentielle


*
K
P(X *K est une vraie solution optimale) ≥ 1 - exp(α K)
Taux de convergence optimal

Le taux de convergence α est maximal grâce à l’utilisation du même
ensemble des scénarios
- 26 -
Optimisation Monte Carlo : Résultats expérimentaux
Génération des instances

Nombre des périodes : H=5

Capacité régulière : Tt = # salles х 8 h

Coût des heures supplémentaires : ct = 500 €/ heure

Capacité utilisée par la chirurgie d’urgence : Wt ~ EXP( # salles х 1,5 h )

Durées des interventions électives : di  [0.5, 3 heures]

Dates au plus-tôt : ei  {1…H}

Coûts relatifs aux patients électifs : ait = (t- ei)* 100 €


Le nombre des patients électifs est déterminer de sorte que la charge du
bloc opératoire sur tout l’horizon est de 100%
# salles = 2, 4, 8, 12
- 27 -
Résultats expérimentaux




Le problème approximé est résolu en utilisant CPLEX IP
L’optimisation Monte Carlo est testée avec différentes valeurs de K (2,
5, 10, 20, 50, 100, 200, 500, 700, 1000). 10 réplications pour chaque
valeur de K.
Pour chaque solution optimale X, le coût exact J(X) est évalué par
intégration numérique
Pour comparaison nous utilisons aussi la version déterministe du
problème:
- La version déterministe est obtenue en remplaçant toutes les
variables aléatoires (Wt) par leurs moyennes E[Wt] .
- 28 -
Résultats expérimentaux
Évolution du coût exact de la solution optimale
Exemple : une instance avec 47 patients (2 salles opératoires)
10500
10300
10100
Coût (€)

9900
9700
9500
9300
9100
8900
2
5
10
20
50
100
200
500
700
1000
Nombre de scénarios
Coût optimal maximal
Coût optimal moyen
Coût optimal minimal
Coût de la solution déterministe
- 29 -
Résultats expérimentaux

Évolution du temps de calcul en fonction de la taille du
problème
Résultats basés sur 10 instances: temps de calcul moyen (secondes)
K = 100
Nombre de
patients
Moyenne Écart type
K = 1000
Moyenne
Écart type
48,4
(2 salles)
70,9
142,9
373,2
804,6
95,0
(4 salles)
100,8
177,2
1142,1*
3395,3
189,8
(8 salles)
3809,5
3645,3
2060,3*
4154,5
* Résultats basés sur 8 instances (2 instances n’ont pas pu être
résolues)
- 30 -
Optimisation Monte Carlo : Commentaires

Avantages :




L’optimisation Monte Carlo fournit des solutions « optimales » avec un
modeste nombre de scénarios (moins que 1000 scénarios)
L’optimisation Monte Carlo fournit des solutions meilleures que la solution
déterministe, même en utilisant un faible nombre de scénarios (K = 20)
Avec K=1000 scénarios, les solutions fournies permettent une réduction de
coût de l’ordre de 5,8 %
Inconvénient :

Elle nécessite la résolution d’un programme linéaires à variables mixtes
Temps de calcul trop important pour des problèmes de grande taille
(plus que 50 patients)
- 31 -
Problèmes de grande taille


Résolution du problème de planification (stochastique) par une
approche de relaxation Lagrangienne
L’approche de relaxation Lagrangienne


fournit des solutions approchées de bonne qualité (gap de dualité
moins que 2%)
permet de résoudre des problèmes de grande taille (plus que 300
patients) en un court temps de calcul (moins que que 3 min)
- 32 -
Plan

Contexte et problématique

Planification avec capacité agrégée : modèle « de base »

Planification avec capacité désagrégée

Planification avec durées d’interventions aléatoires

Conclusions et perspectives
- 33 -
Modèle étendu : Salles opératoires multiples

Le bloc opératoire est constitué de S salles opératoires

Chaque salle-jour (s, t) dispose de

Capacité régulière : Tts

Capacité en heures supplémentaires : Vts

Coût de sous-utilisation : uts

Coût des heures supplémentaires : cts

Pénalité de dépassement de la capacité totale :c
Capacité totale de la salle-jour
ts
- 34 -
Modèle étendu : Salles opératoires multiples

Chirurgie urgence


Patients électifs


Wts : capacité utilisée par les urgences en salle-jour (s, t)
aits : coût d’affectation du patient i à la salle-jour (s, t)
Variables de décision
1 si le patient i est affecté à la salle-jour ( s, t )
xits  
0 sinon
- 35 -
Modèle étendu : Formulation mathématique
Minimiser
J ( X )   aits xits   ctsOts  ctsOts  utsU ts
i
Sous contraintes :
t ,s
t ,s


 
Ots  E  Wts   di xits  Tts   , t , s
i
 



 
Ots  E Wts   di xits  Tts  Vts   , t , s
i
 



 
U ts  E Wts   di xits  Tts   , t , s
i
 

N
x
i 1
d  Tts  Vts , t , s
its i
x
its
t ,s
 1, i
de la
(3) Dépassement
capacité régulière
de la
(4) Dépassement
capacité totale
(5) Sous-utilisation
(6) Contraintes de capacité
patient est
(7) Chaque
affecté exactement une
fois
- 36 -
Modèle étendu : Formulation mathématique
Par soucis de clarté de la présentation, nous présentons le cas
uts où0 et cts
Minimiser
J(X ) 
 a
x   ctsOts
its its
i
Sous contraintes :
t ,s
t ,s



Ots  E Wts   di xits  Tts   , t , s
i
 

N
x
i 1
d  Tts  Vts , t , s
its i
 xits  1, i
t ,s
0
de la
(3) Dépassement
capacité régulière
(6) Contraintes de capacité
patient est
(7) Chaque
affecté exactement une
fois
- 37 -
Planning pour une salle-jour : colonne
1
Ensemble de patients électifs
0
yip
…
Patient «
i»
1
1
0
0
Un planning p est défini par :
ztsp
…
1 si le patient i est affecté au planning p
yip  
0 sinon
1
ztsp
0
1 si le planning p est affecté à la salle-jour(s, t )

0 sinon
C p le coût du planning p :


 
C p    yip ztsp aits  cts E  Wts   di yip  Tts  
i t ,s
i
 

SalleSallejour (1, 1) jour (2, 1)
Sallejour (S,
H)
- 38 -
Problème maître
 l'ensemble de tout les plannings possibles
Nouvelles variables de décision:
1
p  
0
si le planning p est sélectionné
sinon
Problème Maître :
Min
C 
p
p
p
sc:
y
ip
 p  1, i
z
tsp
 p  1, t,s
p
p
Chaque patient est affecté au plus à un
planning
Chaque salle-jour reçoit au plus un
planning
 p {0 ,1}, p  
- 39 -
Méthodologie de résolution
Problème Maître (PM)
Relâcher les contraintes d’intégrité
Problème Maître Linéaire (PML)
Résolution par Génération de Colonnes
Solution optimale du PML
Construire une “bonne” solution réalisable
« Bonne » solution réalisable
- 40 -
Résolution du problème maître linéaire: Génération de
colonnes
Multiplicateur
s de simplex
Problème maître linéaire
Restreint sur Ω*  Ω
min
C 
p
pi , pt s
Problème de « pricing »
Minimiser le coût réduit
min C p 
p
y
ip
 p  1, i
z
tsp
 p  1, t,s
i
yip   p ts ztsp
i
p*
sc:
p
sc:
p*
t ,s
yip ztsp  0, t  ei
z
p*
tsp
1
t ,s
yip , ztsp 0,1
 p {0 ,1}, p  *
Ajouter la
nouvelle colonne
Colonne(s) à
coût réduit
minimal
Ou
Coût réduit < 0
i
No
STOP
- 41 -
Problème de pricing

Le problème de pricing se décompose en H×S sous-problèmes

Un sous-problème pour chaque salle-jour (sous-problème de pricing)


 
Minimiser  ai yi  cts E  Wts   di yi  Tts  
i
i
 

sc:
 yi di  Tts  Vts
i
yi  0,1 , i

La résolution du problème de pricing nécessite la résolution de H×S
sous-problèmes


Chaque sous-problème fournit une colonne (solution)
La colonne ayant le coût minimal représente la solution du problème de
pricinig
- 42 -
Sous-problème de pricing
Dépassement
horaire
Coût « modifiés »
associés aux
patients


 
Minimiser  ai yi  cts E  Wts   di yi  Tts  
i
i
 

sc:
 yi di  Tts  Vts
i
yi  0,1 , i

Chaque sous-problème est un problème de sac-à-dos stochastique
Les objets ont des tailles déterministes, mais la taille du sac est une
variable aléatoire


Une pénalité est associée à la violation de la capacité du sac
- 43 -
Résolution du sous-problème du pricing : Programmation
dynamique


 
Minimiser  ai yi  cts E  Wts   di yi  Tts  
yi 0,1
i
i
 

sc :
 yi di  Tts  Vts
K
i


Minimiser KS ( K )  cts E Wts  K  Tts  


0 K Tts Vts
où KS(K) est le coût optimal du problème de sac-à-dos:
KS ( K )  Minimiser
yi 0,1
sc :
 ai yi
i
 di yi  K
i
- 44 -
Méthodologie de résolution
Problème Maître (PM)
Relâcher les contraintes d’intégrité
Problème Maître Linéaire (PML)
Résolution par Génération de Colonnes
Solution optimale du PML
Construire une solution réalisable
Construire une “bonne” solution réalisable
Solution Réalisable
Améliorer la solution réalisable
“ Bonne ” solution réalisable
- 45 -
Construire une solution réalisable

Méthode I : Programmation en nombres entiers


Méthode II : Réaffectation complète



Résoudre le programme maître en se restreignant aux colonnes
générées
On fixe l’affectation des patients contenus dans les plannings avec λp
=1
On réaffecte un par un le reste des patients tout en prenant en compte
les patients déjà affectés
Méthode III : Réaffectation progressive


On détermine les affectations [xits] à partir des {λp}
On réaffecte, un par un, les patients qui sont affectés d’une manière
fractionnaire ; tout en tenant compte des affectations des autres
patients, qu’elles soient fractionnaires ou non
- 46 -
Méthodologie de résolution
Problème Maître (PM)
Relâcher les contraintes d’intégrité
Problème Maître Linéaire (PML)
Résolution par Génération de Colonnes
Solution optimale du PML
Construire une solution réalisable
Construire une “bonne” solution réalisable
Solution Réalisable
Améliorer la solution réalisable
“ Bonne ” solution réalisable
- 47 -
Améliorer la solution réalisable

Heuristique 1 : Optimisation locale par réaffectation des
patients


Heuristique 2 : Optimisation locale par permutation


Voisinage obtenu en changeant l’affectation d’un patient
Voisinage obtenue en permutant l’affectation de deux patients
Heuristique 3 : Optimisation locale orientée période


À chaque itération, on considère une salle-jour et on re-optimise
la planification des patients rejetés et ceux affectés à cette sallejour (s, t)
Les salle-jours sont considérées une à une, dans un ordre
chronologique
- 48 -
Combinaisons des différentes heuristiques
Problème Maître Linéaire
M1
Génération de
Colonnes
M2
M3
M4
M5
M6
M7
CPLEX LP + Programmation Dynamique
Solution optimale du PML
Construire une
solution
réalisable
CPLEX
IP
Réaffectatio
n Complète
Réaffectation Progressive
Solution réalisable
Opt Locale
Améliorer la
solution
réalisable
« Bonne »
solution
réalisable
Opt
Locale
Opt
Locale
Opt
Orienté
Période
Opt
Opt
Permutatio Permutatio
n
n
Opt
Orienté
Période
Opt
Locale
Opt
Locale
Opt
Orientée
Période
Opt
Orientée
Période
Opt
Permutatio
n
- 49 -
Génération de colonnes : Résultats expérimentaux
Génération des instances

Nombre des périodes : H = 5

Nombre de salles opératoires : S = 3, 6, 9 et 12

Capacité régulière : Tts = 8 heures

Capacité en heures supplémentaires : Vts = 3 heures

Capacité utilisée par la chirurgie d’urgence : Wts = EXP(2 heures)

Durées des interventions électives : di  [0.5, 3 heures]

Dates au plus-tôt : ei  {1…H}

Le nombre des patients électifs est déterminé de sorte que la charge
du bloc opératoire sur tout l’horizon est de 100%
- 50 -
Résultats expérimentaux : GAP
Résultats basés sur 10 instances: GAP moyen
Le GAP est déterminé relativement à la borne inférieure fournie par la génération de
colonnes
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
Nb Salles =3
(53 patients)
18.31%
3.78%
2.72%
2.83%
2.13%
1.52%
1.54%
Salles
Nb Salles =6
(106.9 patients)
24.81%*
2.81%
2.27%
1.74%
1.69%
1.40%
1.40%
Identique
s
Nb Salles =9
(160 patients)
---
3.25%
2.26%
1.51%
1.44%
1.15%
1.15%
Nb Salles =12
(211 patients)
---
2.86%
1.99%
1.33%
1.29%
0.88%
0.88%
Nb Salles =3
(53 patients)
0.95%
3.91%
1.56%
2.29%
1.30%
0.87%
0.93%
---
5.68%
2.47%
2.05%
1.86%
1.53%
1.53%
Non
Nb Salles =6
(106 patients)
Identique
s
Nb Salles =9
(160.patients)
---
5.83%
2.82%
2.13%
2.06%
1.58%
1.57%
Nb Salles =12
(211 patients)
---
5.68%
3.16%
2.17%
2.10%
1.70%
1.70%
CPLEX
IP
Réaffectatio
n Complète
Salles
Construction de Sol
Réalisable :
Réaffectation Progressive
- 51 -
Résultats expérimentaux : Temps de calcul
Résultats basés sur 10 instances: temps de calcul moyen (secondes)
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
Nb Salles =3
(53 patients)
51.6
8.76
8.72
8.65
8.68
8.77
8.75
Nb Salles =6
(106.9
patients)
Nb Salles =9
7863
43.69
43.48
42.90
43.00
43.84
43.56
>8000
140.90
140.47
138.63
138.93
140.73
140.66
Nb Salles =12
(211 patients)
---
350.60
349.00
344.87
345.44
349.75
349.35
Nb Salles =3
(53 patients)
18.40
17.40
17.40
17.38
17.43
17.46
17.43
>8000
77.88
77.53
77.14
77.28
77.72
77.62
Non
Nb Salles =6
(106 patients)
Identique
s
Nb Salles =9
(160 patients)
---
192.70
192.40
190.72
191.02
193.06
192.58
Nb Salles =12
(211 patients)
---
408.76
407.53
403.42
404.22
408.85
407.85
Salles
Identique
s
Salles
(160 patients)
Plus
que 65 % du temps
calcul est utilisé pour
la résolution
Réaffectatio
CPLEX de
Réaffectation
Progressivedu problème de
Construction de
n Complète
IP
Solpricing
Réalisable :
- 52 -
Résultats expérimentaux : Temps de calcul
Résultats basés sur 10 instances: temps de calcul moyen (secondes)
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
M6
Nb Salles =3
(53 patients)
51.6
8.76
8.72
8.65
8.68
8.77
8.75
3.05
Salles
Nb Salles =6
(106 patients)
7863
43.69
43.48
42.90
43.00
43.84
43.56
16.34
Identique
s
Nb Salles =9
(160 patients)
>8000
140.90
140.47
138.63
138.93
140.73
140.66
51.36
Nb Salles =12
(211 patients)
---
350.60
349.00
344.87
345.44
349.75
349.35
99.83
Nb Salles =3
(53 patients)
18.40
17.40
17.40
17.38
17.43
17.46
17.43
2.6
>8000
77.88
77.53
77.14
77.28
77.72
77.62
11.87
Non
Nb Salles =6
(106 patients)
Identique
s
Nb Salles =9
(160 patients)
---
192.70
192.40
190.72
191.02
193.06
192.58
33.58
Nb Salles =12
(211 patients)
---
408.76
407.53
403.42
404.22
408.85
407.85
70.00
Salles
Génération de colonnes avec l’ajout de colonnes
multiples
- 53 -
Génération de colonnes : Commentaires




La génération de colonnes fournit une borne inférieure de
bonne qualité
La résolution du problème maître en se restreignant aux
colonnes générées peut fournir des solutions de mauvaise
qualité, et peut être très gourmande en temps de calcul
L’heuristique de réaffectation progressive est meilleure que la
réaffectation complète; elle préserve la structure de la solution
fournie par la génération de colonnes
L’approche de génération de colonnes permet de résoudre
d’une manière efficace des problèmes de planification de
grandes tailles en un temps de calcul très court
- 54 -
Plan

Contexte et problématique

Planification avec capacité agrégée : modèle « de base »

Planification avec capacité désagrégée

Planification avec durées d’interventions aléatoires

Conclusions et perspectives
- 55 -
Planification avec durées d’interventions aléatoires


Les durées des interventions électives sont maintenant
considérées comme des variables aléatoires
Le sous-problème de pricing devient un problème de sac-à-dos
où

La taille du sac est une variable aléatoire

Les objets ont des tailles aléatoires
L’approche de résolution précédemment présentée n’est
plus applicable
- 56 -
Modèle mathématique
coûts associés
aux patients
électifs
Minimiser
J(X ) 
 a
its
i
xits 
t ,s
coûts des
dépassements
horaires
c
ts
Ots
t ,s
Variables
aléatoires
Sous contraintes :


 
Ots  E  Wts   di xits  Tts   , t , s
i
 

x
its
 1, i
t ,s
Dépassement horaire
Chaque patient est
affecté exactement une
fois
xits 0,1, i, t, s
- 57 -
Méthodologie de résolution
Problème de planification
(Problème stochastique)
Simulation Monte Carlo
Problème approximé
(Problème déterministe - MIP)
Génération de colonnes
Solution approchée
- 58 -
Approximation Monte Carlo

Générer pour chaque variable aléatoire K échantillons

Pour chaque patient électif, K échantillons de la durée d’intervention di , k  1...K

Pour chaque salle-jour (s, t), K échantillons de la capacité utilisée par Wts , k  1...K
l’urgence
k
k

Estimer les dépassements horaires par des moyennes
empiriques en se basant sur les échantillons générés :


K


1  k


k
Ots  E Wts   di xits  Tts     Wts   di xits  Tts 
i
i
  K k 1 


- 59 -
Problème approximé
Minimiser
JK (X ) 
 a
its
i
xits 
t ,s
c
ts
Ots
t ,s
Échantillons générés
d’une manière aléatoire
Sous contraintes :

 k

k
Ots   Wts   di xits  Tts  , t , s
K k 
i

1
x
its
Dépassement horaire
estimé
 1, i
t ,s
xits 0,1, i, t, s
- 60 -
Méthodologie de résolution
Problème de planification
(Problème stochastique)
Simulation Monte Carlo
Problème approximé
(Problème déterministe - MIP)
Génération de colonnes
Solution approchée
- 61 -
Génération de colonnes


Le schéma global de génération de colonnes est similaire à celui
présenté précédemment
Les différences concernent essentiellement

Les sous-problèmes de pricing

Les stratégies de génération de colonnes

La construction de solutions réalisables
- 62 -
Problème de pricing

Le problème de génération de colonnes se décompose en H×S
sous-problèmes

Un sous-problème pour chaque salle-jour
Variables de décision
1  k

k
Minimiser  aits yip  cts  Wts   di yip  Tts 
K k 
i
i

sc:


yip 0,1, i
Les sous-problèmes représentent une extension du problème
de sac-à-dos multi-dimensionnel classique
Programmation en nombres mixtes
- 63 -
Génération de colonnes
Efficacité
Problème maître linéaire
Restreint sur Ω*  Ω
Multiplicateur
s de simplex
Problème de pricing
Colonne(s) à
coût réduit
minimal
Ajouter la
nouvelle colonne
Ou
Coût réduit < 0
i
Ajouter
plusieurs
colonnes
No
n
STOP
- 64 -
Améliorer les performances de la génération de colonnes

Accélérer la résolution des sous-problèmes



Étudier la structure des solutions optimales
Réduire le nombre des variables de décisions en fixant certaines variables à
zéro ou à un
Utiliser différentes stratégies de génération de colonnes

Stratégie “All-negative” : Résoudre à l’optimalité tous les sous-problèmes de
GC et ajouter toutes les colonnes ayant un coût réduit négatif

Stratégie à deux-phases

Stratégie cyclique
- 65 -
Stratégie à deux-phases : “Two-phase Pricing”

Étape 1: Résoudre tous les sous-problèmes en utilisant une
heuristique d’optimisation locale



S’il y a au moins une colonne améliorante, alors ajouter la (les) colonne(s)
améliorante au problème maître restreint (PMR) et aller à l’itération suivante de
génération de colonnes
Sinon, aller à Étape 2.
Étape 2: Résoudre tous les sous-problèmes en utilisant une
méthode exacte


Ajouter la (les) colonne(s) au problème maître restreint (PMR) et aller à
l’itération suivante de génération de colonnes
S’il n y a aucune colonne améliorante, alors STOP.
Les sous-problèmes sont résolus d’une manière exacte
seulement si l’heuristique n’identifie aucune colonne
améliorante
- 66 -
Stratégie cyclique : “Cyclic Pricing”





Les salle-jours sont considérées une par une et leurs sousproblèmes sont résolus à l’optimalité jusqu’à ce que une colonne
améliorante soit identifiée.
La même colonne est ensuite testée comme colonne candidate pour
les autres sous-problèmes de génération de colonnes
Chaque fois qu’elle représente une colonne améliorante, elle est
ajoutée au problème maître restreint (PMR).
Les salle-jours sont considérées d’une manière cyclique.
Le processus s’arrête lorsque tous les sous-problèmes sont résolus
sans identifier une colonne améliorante.
Cette stratégie permet d’identifier nombreuses colonnes
améliorantes tout en résolvant un faible nombre de sousproblèmes
- 67 -
Construire une solution réalisable

Méthode I : Réaffectation progressive

Méthode II : Heuristique d’arrondissement

Étant donné {λp} la solution optimale du PM linéaire. On fixe les plannings
avec λp=1 et on arrondit à un la variable ayant la plus large valeur
fractionnaire.

Les plannings fixés forment une solution partielle

le problème résiduel réduit aux restes des salle-jours est résolu par GC,
ensuite des nouveaux plannings sont fixés

L’algorithme s’arrête lorsque la solution du problème résiduel est entière
- 68 -
Résultats expérimentaux : Comparaison des différentes stratégies GC
Problèmes avec 6 Salles
Nombre de scénarios K = 100
Résultats basés sur 10 instances (Nombre moyen des patients électifs est 110)
Stratégie
Nb
Itérations
Nb
Colonnes
Temps CPU
(sec)
“All - negative”
75.7
1941.2
193.1
Salles
À deux phases
non-identiques
93.3
1714.9
129.4
Cyclique
658.4
5266.0
136.2
”All - negative”
104.4
2748.1
596.4
À deux phases
112.4
2205.5
550.3
Cyclique
689.6
6105.0
415.3
Salles
identiques
- 69 -
Résultats expérimentaux : GAP et Temps CPU
Résultats basés sur 10 instances: GAP moyen
Le GAP est déterminé relativement à la borne inférieure fournie par la génération de
colonnes
Salles
Non-Identiques
Salles Identiques
Gap %
CPU
Gap %
CPU
Méthode 1 : GC + Réaffectation Progressive
4.5
139.7 sec
6.0
419.1 sec
Méthode 2 : GC + Heuristique d’arrondissement
1.6
292.1 sec
1.0
967.4 sec
CPLEX IP
6.6
1 heure
10.9
1 heure
Pour les instances utilisées, les solutions fournies par Méthode 2 sont nettement
meilleures que les solutions déterministes du problème. En moyenne, une
réduction du coût de

7,96 % pour des problèmes avec salles identiques

7,08 % pour des problèmes avec salles non-identiques
- 70 -
Plan

Contexte et problématique

Planification avec capacité agrégée : modèle « de base »

Planification avec capacité désagrégée

Planification avec durées d’interventions aléatoires

Conclusions et perspectives
- 71 -
Conclusions

Développement de plusieurs modèles de planification
stochastiques qui


capturent les éléments essentiels à prendre en compte lors de la
planification,

qui permettent une modélisation explicite des aléas,

et qui peuvent être facilement étendus.
Développement de plusieurs approches de résolutions
(complètes et complémentaires) qui


permettent une résolution efficace des problèmes de planification
peuvent être facilement adaptées pour tenir compte des extensions du
modèle
- 72 -
Perspectives


Étendre le modèle de planification pour tenir compte d’autres
contraintes liées aux pratiques de terrain
Prendre en compte d’autres ressources en aval et en amont des
salles opératoires

Les salles de réveils, lits d’hospitalisation, …

Planification avec horizon glissant (Figer une partie du planning…)

Planification robuste (Variabilité du critère, Contraintes probabilistes,…)
- 73 -
Perspectives

Améliorer les performances de la méthode de résolution pour le
problème avec durées d’interventions aléatoires



Techniques de stabilisation pour la génération de colonnes, résolution efficace
des sous problèmes de génération de colonnes
Exploiter la génération de colonnes pour le développement des
méthodes de résolution exactes, branch-and-price
Tester les approches développées sur un cas d’étude réel
- 74 -