Transcript wstęp cz.1
EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady: prof. dr hab. Grażyna Karmowska CEL NAUCZANIA Przybliżenie matematyki jako narzędzia wnioskowania przy interpretacji zagadnień ekonomicznych w skali mikro i makro. TEMATYKA WYKŁADÓW I ĆWICZEŃ 1. Elementy matematyki: granice funkcji, pochodne funkcji, asymptoty. Ekstremum funkcji wielu zmiennych. 2. Analiza produkcyjności. Produkcyjność przeciętna, krańcowa, elastyczność produkcji, skala produkcji, izokwanty, przyrosty względne. 3. Funkcja produkcji Cobba-Douglasa. 4. Funkcja produkcji CES. 5. Analiza wydajności. Wydajność i funkcje wydajności: zespołowa i indywidualna. 6. Analiza kosztów. Funkcje kosztów. Koszty przeciętne, krańcowe, optymalne. 7. Analiza popytu. Popyt i funkcje popytu. 8. Elastyczność dochodowa. cenowa. Elastyczność 9. Modele wyboru konsumenta. Dochód krańcowy a dochód średni. Nadwyżka konsumenta. 10. Równowaga. Statyka porównawcza. Równowaga ogólna. 11. Dynamika ekonomiczna. 12. Regulacje ekonomiczne. LITERATURA • 1. Allen R.G.D. Ekonomia matematyczna, PWN 1961 2. Allen R.G.D. Teoria makroekonomiczna. Ujęcie matematyczne. PWN 1975 • 3. Chiang A.C. Podstawy ekonomii matematycznej. PWE 1994 • 4. Henderson J.M., Quant R.E. Mikrookonomische Theorie. Eine mathematische Darstellung. Munchen 1992 • 5. Ostoja-Ostaszewski A., Matematyka w ekonomii. PWE Warszawa 1996 • 6. Panek E., Ekonomia matematyczna. PWE 2000 • 7. Panek E., Elementy ekonomii matematycznej. Statyka. PWN 1997 • 8. Panek E., Elementy ekonomii matematycznej. Równowaga i wzrost. PWN 1997 • 9. Wprowadzenie do ekonometrii. Pod red. K.Kukuły, PWN 2000 MATEMATYKA W EKONOMII 1. Granice i ich zastosowania: a. Koszt średni przy dużej skali produkcji b. Koszt krańcowy – rentowność 2. Ciągłość i jej zastosowania: a. Nieciągła funkcja kosztu b. Nieciągła funkcja zapasu c. Znaczenie ciągłości w modelach ekonomicznych 3. Zastosowania pochodnej a. Chwilowe wskaźniki rynkowe b. Dochód średni a dochód krańcowy 4. Oprocentowanie ciągłe i wzrost wykładniczy a. Dyskontowanie aktywów zyskujących na wartości b. Nadwyżka konsumenta 5. Różniczkowanie cząstkowe a. Analiza kosztów przy dwóch czynnikach produkcji b. Produkt krańcowy 6. Optymalizacja przy dwóch zmiennych a. Ekstremum wewnętrzne – stacjonarność b. Ekstremum brzegowe – mnożniki Lagrange’a 7. Równania różniczkowe: a. Model wzrostu Domara b. Model Solowa c. Rynek z przewidywanymi zmianami cen d. Zależność Phillipsa Pochodne funkcji [a ]' 0 [ax ]' a [ x]' 1 [ x n ]' nx n1 [ax n ]' nax n1 1 [ln x]' x [a x ]' a x ln a [e x ]' e x [ f ( x) g ( x)]' f ' ( x) g ' ( x) [ f ( x) g ( x)]' f ' ( x) g ( x) f ( x) g ' ( x) f ( x) f ' ( x) g ( x) f ( x) g ' ( x) [ ]' 2 g ( x) [ g ( x)] ELEMENTY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. EKSTREMUM FUNKCJI. W badaniach ekonomicznych często mamy do czynienia z sytuacjami ekstremalnymi. Jeżeli dany problem można przedstawić przy pomocy funkcji matematycznej, to stosunkowo łatwo możemy znaleźć jej wartość maksymalną bądź minimalną Ekstremum funkcji z jedną zmienną f(x) Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła (wklęsła dla minimum, a wypukła dla maksimum) z ciągłymi pierwszymi i drugimi pochodnymi, to warunkiem istnienia ekstremum w punkcie x0: koniecznym jest by f’(x0)=0 dostatecznym: f”(x0)>0 dla minimum • f”(x0)<0 dla maksimum. Gdy f”(x0)=0 bada się następne pochodne. Ekstremum funkcji z wieloma zmiennymi y=f(x1,x2,...,xn) • W przypadku, gdy y jest funkcją nzmiennych, również musi być funkcją ciągłą z ciągłymi pochodnymi cząstkowymi pierwszego i drugiego rzędu. • Warunkiem istnienia ekstremum w punkcie jest: warunek konieczny - pierwsze pochodne cząstkowe muszą być równe zero:dy dy dy f1 dx1 0 f2 dx 2 0 ... f n dx n 0 warunkiem dostatecznym jest by minory główne utworzone z wyznacznika Hesse’go, f 11 f 12 ... z macierzy: f 1n f 21 H . f n1 f 22 ... . ... f n2 ... f 2n . f nn f 11 f 12 ... f 1n f 21 H . f n1 f 22 . f n2 ... ... ... f 2n . f nn f 11 0, f 11 f 12 f 21 f 22 f 11 f 12 ... f 1n f 21 0,..., (1) . f n1 f 22 . f n2 ... . ... f 2n 0 . f nn n • zmieniały znaki na przemian „-”, „+”, „-”, „+”,... gdy funkcja posiada maksimum. • jeżeli wszystkie minory są dodatnie to funkcja posiada minimum. • warunkiem dostatecznym jest by: dla maksimum H 0 f ( x1, x2 ) • dla minimum H 0 f ( x1, x2 ) Dla funkcji quasi wypukłej minory główne z wyznacznika: f 11 f 21 f 12 f 22 ... ... f 1n f 2n f1 f2 . . f nn . fn fn 0 H . f n1 f n2 ... ... f1 f2 ... są na przemian niedodatnie i nieujemne, natomiast dla funkcji ściśle quasi wypukłej - są zawsze na przemian ujemne i dodatnie. Ekstremum funkcji z dwoma zmiennymi y=f(x1,x2) oraz jednym warunku dodatkowym g(x ,x )=0 Jeżeli funkcja f(x ,x ) jest funkcją ciągłą, 1 2 1 2 dwukrotnie różniczkowalną z ciągłymi pierwszymi i drugimi pochodnymi oraz quasi wypukłą (przy maksymalizacji) lub quasi wklęsłą (przy minimalizacji) a g(x1,x2) jest funkcją liniową, to dla znalezienia jej ekstremum tworzymy funkcję Lagrange’a: F f ( x1 , x2 ) g ( x1 , x2 )