Transcript 4 - Özyinelemeli Algoritma Tasarımı

Özyinelemeli(Recursive) Algoritma
Tasarımı
• İçerik
– Tanım
– Tasarım
– Analiz
1
Özyinelemeli(Recursive) Yordam
• Tanım: Özyinelemeli yordam doğrudan veya
dolaylı olarak kendisini çağıran yordamdır.
• Gerçek hayatta kullanılan örnekler:
– Dizindeki dosyalar üzerinde dolaşma
– Programlama dilleri v.b.
• Özyineleme güçlü bir problem çözme
mekanizmasıdır.
– Çoğu algoritma kolayca özyinelemeli şekilde
çözülebilir.
– Fakat sonsuz döngü yapmamaya dikkat edilmeli.
2
Böl & Yönet Stratejisi
•
Bilgisayar birimlerinde önemli bir yere sahiptir:
1. Problemi küçük parçalara böl
2. Her bir parçayı bağımsız şekilde çöz
3. Parçaları birleştirerek ana problemin çözümüne ulaş
P
P1
P11
P12
P2
... P1n
P21
P22
.........................
Pn
Pn1
... P2n
... Pnn
Pn2
Temel
Durum
................................................................................................................................................
P
P
P
P
P
P
P
P
P
...................
3
P
P
P
Böl & Yönet Stratejisi (devam)
/* P problemini çöz */
Solve(P){
/* Temel durum(s) */
if P problemi temel durumda ise
return çözüm
/* (n>=2) için P yi P1, P2, ..Pn şeklinde parçalara böl */
/* Problemleri özyinelemeli şekilde çöz */
S1 = Solve(P1); /* S1 için P1 problemini çöz */
S2 = Solve(P2); /* S2 için P2 problemini çöz*/
…
Sn = Solve(Pn); /* Sn için Pn problemini çöz */
/* Çözüm için parçaları birleştir. */
S = Merge(S1, S2, …, Sn);
/* Çözümü geri döndür */
return S;
} //bitti-Solve
4
N’ye Kadar Olan Sayıların Toplamı
• Problemimizin 1’den n’ye kadar sayıların toplamı
olduğunu varsayalım.
• Bu problemi özyinelemeli nasıl düşüneceğiz:
– Topla(n) = 1+2+..+n ifadesini hesaplamak için
• Topla(n-1) = 1+2+..+n-1 ifadesini hesapla (aynı türden daha
küçük bir problem)
• Topla(n-1) ifadesine n ekleyerek Topla(n) ifadesi hesaplanır.
• Ö.g., Topla(n) = Topla(n-1) + n;
– Temel durumu belirlememiz gerekiyor.
• Temel durum, (alt problem) problemi bölmeye gerek kalmadan
kolayca çözülebilen problemdir.
• n = 1 ise, Topla(1) = 1;
5
N’ye Kadar Olan Sayıların Toplamı
/* Topla 1+2+3+…+n */
int Topla(int n){
int araToplam = 0;
/* Temel durum */
if (n == 1) return 1;
/* Böl ve Yönet */
araToplam = Topla(n-1);
Public ... main(...){
int x = 0;
x = Topla(4);
print(“x: ”+ x);
return 0;
} /* bitti-main */
/* Birleştir */
return araToplam + n;
} /* bitti-Topla */
6
Topla(4) için Özyineleme Ağacı
/* Topla 1+2+3+…+n */
int Topla(int n){
int araToplam = 0;
/* Temel Durum */
if (n == 1) return 1;
/* Böl ve Yönet */
araToplam = Topla(n-1);
/* Birleştir */
return araToplam + n;
} /* bitti-Topla */
Public ... main(...){
int x = Topla(4);
print(“Topla: ”+ Topla(4));
} /* bitti-main */
main
x=Topla(4) =10
Topla(4)
return 6+4
araToplam=Topla(3) =6
Topla(3)
return 3+3
araToplam=Topla(2) =3
Topla(2)
return 1+2
araToplam=Topla(1) =1
Topla(1)
return 1
7
Topla(n)’nin çalışma zamanı
/* Topla 1+2+3+…+n */
int Topla(int n){
int araToplam = 0;
/* Temel durum */
if (n == 1) return 1;
/* Böl ve yönet */
araToplam = Topla(n-1);
/* Birleştir */
return araToplam + n;
} /* bitti-araToplam */
T(n) =
n =1  1 (Temel durum)
n > 1  T(n-1) + 1
an İfadesini Hesaplama
/* a^n hesapla */
double Ust(double a, int n){
double araSonuc;
/* Temel durum */
if (n == 0) return 1;
else if (n == 1) return a;
/* araSonuc = a^(n-1) */
araSonuc = Ust(a, n-1);
/* Birleştir */
return araSonuc*a;
} /* bitti-Ust */
• Böl yönet & birleştir
işlemlerini bir ifade ile
yapılabilir.
/* Hesapla a^n */
double Ust(double a, int n){
/* Temel durum */
if (n == 0) return 1;
else if (n == 1) return a;
return Ust(a, n-1)*a;
} /* bitti-Ust */
9
Ust(3, 4) için Özyineleme ağacı
main
/* Hesapla a^n */
double Ust(double a, int n){
/* Temel durum */
if (n == 0) return 1;
else if (n == 1) return a;
return a * Ust(a, n-1);
} /* bitti-Ust */
Public ... main(...){
double x;
x = Ust(3, 4);
} /* bitti-main */
x=Ust(3,4)
=81
return 81
Ust(3,4)
return 3*Ust(3,3)
return 27
Ust(3,3)
return 3*Ust(3,2)
Ust(3,2)
=81
=27
return 9
return 3*Ust(3,1)
=9
Ust(3,1)
return 3
10
Ust(a, n)’nin Çalışma Zamanı
/* Hesapla a^n */
double Ust(double a, int n){
/* temel durum */
if (n == 0) return 1;
else if (n == 1) return a;
return a * Ust(a, n-1);
} /* bitti-Ust */
T(n) =
n <= 1  1 (Temel durum)
N > 1 T(n-1) + 1
Fibonacci Sayıları
• Fibonacci sayılarını tanımlayacak olursak:
– F(0) = 0
– F(1) = 1
– F(n) = F(n-1) + F(n-2)
/* n. Fibonacci sayısını hesaplama*/
int Fibonacci(int n){
/* Temel durum */
if (n == 0) return 0;
if (n == 1) return 1;
return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
} /* bitti-Fibonacci */
12
Fibonacci Sayıları (devam)
• Fibonacci sayılarının tanımı özyinelemelidir.
Dolayısıyla problemi çözmek için özyinelemeli
çözmek doğal olarak gözükebilir.
• Örneğin 40. fibonacci değerini bulmaya
çalışalım.
/* n. Fibonacci sayısını hesaplama*/
int Fibonacci(int n){
/* Temel durum */
if (n == 0) return 0;
if (n == 1) return 1;
return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
} /* bitti-Fibonacci */
13
Fibonacci Sayıları (devam)
F(40)
F(39)
F(38)
F(37)
F(38)
F(37)
F(36) F(36)
F(35)
F(37)
F(36) F(35)
F(36)
F(35) F(34)
.................................................................................................................
F(40) için toplam kaç tane özyinelemeli çağrı yapılır?
Cevap: 300 000 000 den fazla yordam çağrılır.
14
Çözüm - yinelemeli algoritma
• Basit bir "for" ile çözülebilecek problemler
için özyinelemeli algoritmalar kullanılmaz.
• Fibonacci sayıları için yinelemeli
algoritmalar kullanılmalı.
/* n. Fibonacci sayısını hesaplama*/
public static int fibonacci(int n){
if(n == 1 || n == 2) return 1;
int s1=1,s2=1,sonuc=0;
for(int i=0; i<n; i++){
sonuc = s1 + s2;
s1 = s2;
s2 = sonuc;
}
return sonuc;
}
15
Yapılan Genel Hatalar
• Özyinelemeli yordamın temel durumunu
unutulmamalı
• Basit bir for yerine özyinelemeli yordam
kullanmak iyi bir fikir değildir.
• Özyinelemeli algoritmanın bitiş şartı temel
durumda verilir. Buradaki bir hata
özyinelemeli algoritmanın hatalı olmasına
neden olur.
16
Uygulama
17