Transcript ppt

Электродинамические свойства квантовых
метаматериалов на основе волноводных
линий, содержащих джозефсоновские
переходы
А. Швецов, A. M. Сатанин, A. Гельман,
A. Zagoskin, S. Savel'ev, F. Nori
План доклада

Модель волноводной структуры

Квантовый фотонный кристалл

Эффекты бистабильности в
квантовом метаматериале
Мотивация
Создание материалов
с новыми
электродинамическими
свойствами
Возможность управления
свойствами материалов
путем изменения квантовых состояний
элементов, входящих в материал
2

p
 eff (| E | 2 )   D (| E | 2 ) 
  i 
(a 2 / d 2 ) 2
 eff ( H )  1  2
0 NL ( H )   2  i
A. Zharov et al., PRL, V.91, 037401
D.R. Smith and J.B. Pendry,
J. Opt. Soc. Am. B, Vol. 23, 391
N. Lazarides
Department of Physics, University of Crete, P.O. Box 2208, 71003 Heraklion, Greece
G. P. Tsironis
Facultat de Fisica, Department d’Estructura i Constituents de la Materia, Universitat de
Barcelona, Av.
Diagonal 647, E-08028 Barcelona, Spain
Волноводная линия, содержащая
джозефсоновские переходы
h
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
PRB 77, 144507 (2008) by A.L. Rakhmanov et al.
Энергия системы
Энергия поля в пассивной части волноводной линии
Энергия системы в активной (содержащей джозефсоновские переходы)
части волноводной линии
L0
Bulk
superconductor
d
D
n
Bulk
superconductor
n+ 1
Двухуровневое приближение
Сверхпроводник
Низколежащие возбуждения джозефсоновских переходов
| 1>

S
Сверхпроводник
Гамильтониан кубита с номером n:
| 0>
Волновая функция:
Уравнения для поля
Активная область:
Пассивная область:
Уравнение для поля. Случай
непрерывной среды.
Поле достаточно слабое:
Волновое уравнение:
Определяется квантовым состоянием
кубитов в активной области
Квантовая динамика на
решетке
Эволюция вектора состояния описывается уравнением Шредингера:

i  (t )  Hˆ  (t )
t
 (t )  Uˆ (t )  (0)
Оператор эволюции:
ˆt 

H
Uˆ (t )  exp   i 
 

t
0 ∆t 2∆t
j∆t
 (t  t )  Uˆ (t )  (t )
N∆t
Схема Кэли
Оператор эволюции на интервале ∆t:
 Hˆ t 
ˆ

U (t )  exp   i




Аппроксимация:
Iˆ  iHˆ t / 2
ˆ
U (t ) 
Iˆ  iHˆ t / 2
Uˆ Uˆ  Iˆ
где Î – единичный оператор
 ˆ iHˆ t 
 ˆ iHˆ t 
I 
  (t  t )   I 
  (t )




2

2





1
 ˆ iHˆ t   ˆ iHˆ t 
 I 
   (t )
 (t  t )   I 


2  
2 

!
Метод канонических
преобразований


an   2 a
a
 2an   sin(an )
n1
n1

an  pn

p n   2 a
a
 2an   sin(an )
n1 n1

an t  t   pn (t )  t  an t 

pn (t  t )  pn (t )   2 a (t  t )  a (t  t )  2an (t  t )   sin(an (t  t ))
n1
n1
Спектр фотонного кристалла
Спектр фотонного кристалла, полученного для волноводной линии, содержащей джозефсоновские переходы.
Предполагается, что состояния двойных джозефсоновских переходов модулированы с пространственным периодом
2L. Так, переходы с координатами 0<z<L находятся в состоянии γ, а с координатами L<z<2L – в состоянии δ. Здесь
Vγγ и Vδδ – матричные элементы оператора взаимодействия с электромагнитным полем. Аналитическое выражение
для спектра такой структуры имеет вид:
Создание периодической
населенности кубитов
0,2
Встречные импульсы:
a [au]
Частота ω≈ωJ/2,
скорость υ̃=c,
ширина импульсов l=240L0.
0,1
0,0
-0,1
-0,2
Резонансное приближение:
0 67
n
Населенность кубитов после
прохождения импульсов
Поле, действующее
на n-ый кубит:
Вероятность возбуждения n-го кубита:
0,25
|c1|
2
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0
10
20
30
40
n
Периодическая функция с периодом /k
Возможность контролировать период записи
путем изменения длины волны импульсов
50
60
Закон дисперсии квантового
фотонного кристалла
Лианеализованное уравнение:
Поиск решения в виде:
0.7
0.25
0.3
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
Ширина щели:
0.2
0.2
0.25
kL/2
0.3
0.3
Частота начального импульса
лежала выше щели .6ωJ,
скорость υ̃=c,
ширина импульса l=240L0.
a [au]
Частичное прохождение импульса
–
ширина щели δω1=0.04ωJ сравнима
с неопределенностью частоты
импульса Δω=2πυ̃/l=0.05ωJ
a [au]
Пробный (слабый) импульс.
Частота ωJ/2
(соответствует середине щели),
скорость υ̃=c,
ширина импульса l=240L0.
a [au]
Распространение электромагнитных импульсов через
волноводную линию с периодической модуляцией
населенности кубитов
2x10
-3
1x10
-3
(a)
t=0
0
-1x10
-3
-2x10
-3
2x10
-3
1x10
-3
(b)
0
-1x10
-3
-2x10
-3
2x10
-3
1x10
-3
t=500ωJ-1
(c)
0
-1x10
-3
-2x10
-3
t=500ωJ-1
0 67
n
Анализ квантового состояния
кубитов по фазе слабого сигнала
Волновое уравнение:
-2
a [10 a0]
1,0
0,5
0,0
Функция χ достаточно
мала:
-0,5
-1,0
0
80
Частота ω=0.5ωJ ,
n
скорость υ̃=c,
ширина импульсов l=40L0.
Решение ищется в виде:
Волновое уравнение приводится к виду:
Решение волнового уравнения
для случая малого χ
Общее решение волнового уравнения:
Решение волнового уравнения для случая гауссовой огибающей импульса:
Случай
:
В движущейся точке z-υ̃t=0 сдвиг фазы определяется величиной χ/2ω
Изменение фазы сигнала.
Численное моделирование
1,2
0,8
-2
0,5
t=125ωJ-1
a [10 a0]
-2
a [10 a0]
1,0
0,0
-0,5
0,4
0,0
-1,0
0
n
80
Закон дисперсии для волн в активной области:
Групповая скорость распространения
импульса в активной области:
-0,4
0
25
50
75
tJ
100
125
Длина активной области lχ=80L0,
χ00=-0.04ω2J
Время прохождения импульса
через активную область:
Изменение фазы согласно теоретическим оценкам:
f1.6
В движущейся точке z-υ̃t=0 поле должно быть близко к нулю.
Коэффициент прохождения через
волноводную линию
A
f
B
b
0
C
L
Решение ищется в виде:
z
Волновое уравнение
(учет кубического члена в правой части):
Волновое уравнение с учетом
кубической нелинейности
Система уравнений
имеет решение:
Коэффициент прохождения через волноводную линию
Т=1 при выполнении условия:
где ξ и η - постоянные
Бистабильность
0,10
Небольшие изменения в χ (в квантовом состоянии кубитов)
ведет к сильному изменению коэффициента прохождения.
χ0=0.044ωJ2
(b)
0,00
(b) χ0=0.044ωJ2
-0,05
Вкладка: коэффициент
прохождения Т
Красный A=0.1
Голубой A=0.14
Синий A=0.16
(для всех χ0=0.1ωJ2)
0,10
-0,10
Частота ω=0.23ωJ , скорость υ̃=c, ширина импульсов l=960L0,
амплитуда начального импульса A=0.1,
длина активной области L=160L0.
(a)
0,05
a [a0]
(a) χ0=0.04ωJ2
χ0=0.04ωJ2
a [a0]
0,05
0,00
-0,05
-0,10
0 160
n
Возможность определять небольшие изменения квантовых состояний
последовательности кубитов по отклику среды
Spectroscopy of a Qubit Array via a
Single Transmission Line
M.Jerger, et al.,
arXiv:1102.0404v1(2011)
Выводы




В работе рассмотрено распространение электромагнитных импульсов в
волноводной линии, содержащей джозефсоновские переходы, которые формируют
двухуровневые
системы
(кубиты).
Показана
возможность
создания
пространственной периодической модуляции населенности кубитов при помощи
электромагнитных импульсов, распространяющихся навстречу друг другу вдоль
волноводной линии. При этом период модуляции определяется длиной волны
импульсов как λ/2. Полученная в результате структура проявляет свойства
фотонных кристаллов, в ней могут наблюдаться энергетические щели в спектре
частот, причем параметры такого кристалла определяются квантовым состоянием
кубитов и могут варьироваться путем изменения параметров среды.
Наличие периодической модуляции населенности кубитов можно обнаружить по
сильно нелинейному отклику, проявляющемуся в существовании областей частот,
в которых среда становится непрозрачной для слабых электромагнитных
импульсов.
Показано, что квантовое состояние последовательности кубитов
анализировать при помощи слабых электромагнитных импульсов.
можно
Малые изменения квантового состояния кубитов вызывает сильное изменение
коэффициента прохождения волны, что дает возможность изучать состояния
кубитов по отклику активной среды.