Transcript Fulvia Furinghetti

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Fulvia Furinghetti
Dipartimento di Matematica, Università di
Genova
INSEGNARE GEOMETRIA
1911
David E. Smith (USA, 1860-1944)
Inizia con una lista delle ragioni per cui non studiare
geometria
Non perché è utile
Non perché educa la memoria
Ha un valore culturale?
Molti lo negano
William J. Locke, The morals of Marcus Ordeyne
Ma l’opinione di quei molti riguarda la geometria o come è
stata loro insegnata la geometria?
Che cosa si può dire delle altre materie?
Perché studiare la geometria
Il piacere
Offre la migliore applicazione della logica che abbiamo a
disposizione
Eterno dilemma sulle finalità nell’insegnamento della
matematica e sulla sua utilità
Rivoluzione francese
École Polytechnique
Gaspard Monge (1746-1818)
James Hargreaves (1720-1778): filatoio meccanico
1764 probabilmente analfabeta
Edmund Cartwright (1743-1823): telaio meccanico
1785 prete con formazione universitaria
James Watt (1736-1819): motore a vapore 1763-75
ha lavorato all’università di Glasgow, ma non come
accademico, bensì come costruttore di strumenti
George Stephenson (1781-1848): lampada di
sicurezza dei minatori 1815, prima locomotiva 1814,
prima ferrovia 1820, autodidatta, ha seguito lezioni
serali
La teoria sottostante alle invenzioni di Watt e
Stephenson è stata elaborata da Sadi Carnot negli
anni 1820 in Francia
Non c’è solo la costruzione teorica degli
Elementi di Euclide, ma c’è anche una
tradizione “pratica”
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Manuale del tardo medioevo
Manuali del ‘600 e ‘700
Leclerc
Sculture di Santo Varni alla biblioteca universitaria
Alexis Claude Clairaut (1713-1765)
La linea retta è il più corto cammino tra due punti
Adrien-Marie Legendre (1752-1833)
Dall’Ottocento la geometria (euclidea)
entra nei programmi di ogni tipo di scuola
Diventa un argomento “tradizionale” quasi
“conservatore”
Ha avuto uno strano destino: è stata al
centro di importanti rivoluzioni
Inizio 1900
Anni 1950-60 (Matematica Moderna)
Calcolatore
Nell’Ottocento in UK gli esami di
ammissione alle università di Cambridge,
London e Oxford consistevano in esercizi
meccanici di geometria euclidea
Augustus De Morgan e James Sylvester sono
tra i critici di questo orientamento
Ci furono grandi discussioni a partire dagli
anni 1870 con echi anche in Italia (dove era
stato proposto Euclide)
‘The teaching of mathematics’ (Nature, 1900,
317-320)
John Perry’s address on ‘The teaching of
mathematics’ nella sezione ‘Education’ della
British Association (1901)
The young applier of physics, the engineer, needs a
teaching of mathematics which will make his mathematical
knowledge part of his mental machinery, which he shall use
[readily and certainly]. [This] method is one which may be
adopted in every school in the country, and adopted even
with the one or two boys in a thousand who are likely to
become able mathematicians.
In England we have a ruling class whose interests are
sporting, athletic and literary. They do not know, or if they
know do not realise, that this western civilisation on which
they are parasitic is based on applied mathematics. This
defect will lead to difficulties, it is curable and the place for
curing it is school.
La sua idea di matematica pratica era diretta
particolarmente alla geometria.
Nelle sue linee di base la geometria
dovrebbe essere un lavoro sperimentale con
riga, compasso, goniometro, squadre, carta
da ritagliare.
L’idea di laboratorio di matematica
La matematica secondaria della UK è
rifondata
Resteranno echi in tutto il XX secolo
Nelle grandi riforme all’inizio del 1900 (Felix
Klein in Germania, Borel e i grandi analisti
in Francia)
Introduzione della geometria analitica e
ruolo della visualizzazione
In Italia le cose vanno diversamente
Diverso livello di industralizzazione
1868 Gli Elementi di Euclide curati da Betti,
Brioschi (Cremona)
Alla fine dell’Ottocento molti ottimi libri di
geometria
1903 Enriques-Amaldi
Matematica moderna
Jean Dieudonné
Modifiche nei programmi
Teoria degli insiemi
Sviluppo di nozioni algebriche: legge di composizione in un
insieme, nozione di gruppo, anello, corpo
Introduzione precoce dell’analisi
Nozioni eliminate
Geometria euclidea
À bas Euclide
L’eliminazione della geometria euclidea è fondata su due
argomenti:
Argomento teorico
I lavori assiomatici seguiti a Hilbert hanno mostrato la
“pretesa” di rigore in Euclide e il ricorso frequente
all’intuizione. Nell’algebra la presentazione rigorosa è
possibile
Argomento pratico
La geometria tradizionale è inutile e pedante
Atti di ICME-2 (1972,
Exeter, UK)
International Conference
on Mathematical
Education
La matematica
moderna esiste?
Sottolinea la
contraddizione di un
insegnamento che è
euristico in principio, ma
è basato sulla
matematica astratta.
René Thom (1923Questo è contro il modo 2002)
usuale di fare matematica
che va dal concreto
all’astratto.
1.Il modernismo. Le necessità culturali e strumentali dei
matematici devono necessariamente ricadere
sull’insegnamento secondario?
2. Di tutti i “giochi” la geometria è quello meno gratuito, poiché
si riferisce costantemente all’intuizione
3. Se si afferma che la geometria è riservata una élite si fa un
discorso sociologico (che Thom non vuole affrontare, siamo nel
dopo 1968)
4. Comunque le strutture algebriche non sono più semplici a
imparare
5. Rigore (catene di deduzioni locali)
6. Genesi dello spazio nei bambini
1974, Mathématiques modernes et
mathématiques de toujours
Il problema da affrontare
nell’insegnamento della matematica
non è un problema di rigore, ma di
senso
Gli anni 1960 sono fecondi di inziative
Si sviluppano molti importanti progetti
(School Mathematics Project in UK)
Conseguenze della matematica moderna
La scomparsa della geometria
Scomparsa della geometria parallela =
scomparsa della dimostrazione
Inchiesta sugli insegnanti
“Pertanto sembrano giustificate alcune mie scelte di base che sono
risposte alle seguenti domande:
-Perché introdurre la geometria elementare del piano euclideo?
perché occorre rafforzare la componente formativa (in tutti i tipi di
scuola)
-Come introdurla in un biennio attuale di scuola secondaria?
non come sistema ipotetico deduttivo ma come alcune catene
deduttive
Quali sono le difficoltà che si incontrano?
L’impressione che gli studenti hanno di uscire da schemi procedurali
unita alla necessità di fare uso del metalinguaggio li pone spesso in
condizioni di rifiuto
Con quale strategia introdurla?
tra il livello intuitivo/sperimentale della scuola media inferiore e
quello assiomatico, occorre inserire un livello intermedio, che
Francesco Speranza ha definito “di razionalizzazione progressiva””
calcolatore
Dato il quadrilateralo ABCD, si considerino le bisettrici
dei quattro angoli interni: Sia H il punto d’intersezione
delle bisettrici in <A e in <B, K il punto d'intersezione
delle bisettrici in <B and in <C, L il punto
d'intersezione delle bisettrici in <C e in <D, M il punto
d'intersezione delle bisettrici in <D e in <A.
Come varia HKLM al variare di ABCD? Prova le tue
congetture.
Alex e Luca
3a fase
“Abbiamo allora cercato una relazione tra queste
figure che si ottengono con la stessa configurazione
della figura interna. Svolgendo questa ricerca
abbiamo scoperto un teorema che abbiamo così
formalizzato: quando le bisettrici di un quadrilatero
si intersecano in un unico punto P, questo punto è il
centro di una circonferenza inscrittibile nel
quadrilatero”
4a fase
Abbiamo quindi cercato di dimostrarlo: per fare
ciò ci siamo serviti di due rette passanti per il
centro che siano perpendicolari a due lati adiacenti
del quadrilatero
Passano a carta e matita
La dimostrazione non è ovviamente
completa, ma basterebbe poco per renderla
del tutto accettabile. In ogni caso risulta
chiaro che gli studenti, in questa fase, hanno
cambiato modalità di comunicazione,
ponendo attenzione non ai fatti che si
osservano sullo schermo, ma alla loro
giustificazione all’interno della geometria
euclidea
L’idea di tracciare le perpendicolari (e quindi
di effettuare una costruzione) è venuta in
modo naturale dopo l’esplorazione in Cabri
Legame geometria-algebra attraverso la storia
(Cartesio)
Dato un triangolo ABC, costruire un retta
passante per un P appartenente ad AB e che
divide il triangolo in due parti di uguale area
C
A
P
B
Area trUPB: xdsenB
Area trABC: acsenB
xdsenB = 1/2 acsenB
xd = 1/2ac
x : c = 1/2 a : d
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Furinghetti, F. (1998). La tradizione italiana nell’insegnamento della
geometria. La Matematica e la sua Didattica, n. 2, 176-198.
Furinghetti, F., Olivero, F. & Paola, D. (2001). Students approaching proof
through conjectures: snapshots in a classroom. International Journal of
Mathematical Education in Science and Technology, 32, 319-335.
Furinghetti, F. & Paola, D. (2003). To produce conjectures and to prove them
within a dynamic geometry environment: a case study. In N. A. Pateman,
B. J. Dougherty, J. T. Zilliox (Eds.), PME 27-PMENA (2, 397-404).
Howson, A.G. (1982). A history of mathematics education in England.
Cambridge etc: C. U. P.
Howson, A. G. (2010). Mathematics, society, and curricula in nineteenthcentury England. International Journal for the History of Mathematics
Education, 5(1), 21-51.
Smith, D. E. (1911). The teaching of geometry. Boston: Ginn and company.
Thom, R. (1979). La matematica moderna: esiste? In C. Sitia, C. (Ed.) La
didattica della matematica oggi, 111-129; traduzione dell’articolo in
Howson, A. G. (Ed.) Proceedings ICME 2 (Exeter, 1972).
Thom, R. (1974). Mathématiques modernes et mathématiques de toujours. In
Pourquoi les mathématiques? Editions 10/18
Van Maanen, J. (1992). Seventeenth century instruments for drawing conic
sections. The Mathematical Gazette, 76(476), 222-230.