Transcript Sistem PDB - Blog Mahasiswa UI

Sistem Persamaan
Diferensial
Sistem PD
1
Sistem Order Pertama (Linier)

Bentuk:
x1  p 11 ( t ) x1  p 12 ( t ) x 2    p1 n ( t ) x n  f 1 ( t )
'
x 2  p 21 ( t ) x1  p 22 ( t ) x 2    p 2 n ( t ) x n  f 2 ( t )
'

x n  p n 1 ( t ) x1  p n 2 ( t ) x 2    p nn ( t ) x n  f n ( t )
'


Dikatakan sebagai sistem persamaan diferensial
orde pertama
Jika f1, f2, …, fn = 0, maka dikatakan sistem
homogen, sebaliknya sistem nonhomogen
Sistem PD
2
Metode Eliminasi

Metode eliminasi untuk sistem PD linier,
similar dengan metode eliminasi pada
sistem persamaan linier, yaitu dengan
mengeliminasi sehingga menyisakan
sebuah variabel
Sistem PD
3
Metode Eliminasi

lanjut
Contoh:
 Selesaikan
sistem PD linier berikut:
x'  4 x  3 y
y' 6x  7 y
x (0)  2, y (0)   1
Sistem PD
4
Metode Eliminasi

lanjut
Solusi:
x
1
6
y '
x' 
1
6
y ' '
1
6
y ' '
7
6
7
6
y
7
6
y'
y '  4 ( 16 y '
7
6
y ' ' 3 y ' 10 y  0
Sistem PD
y)  3 y
PD Linier Homogen Orde dua
5
Soal Latihan:

lanjut
Tentukan solusi dari sistem PD berikut:
1.
. x'   x  3 y
y' 2 y
2.
. x'  3x  2 y
y'  3x  4 y
x (0)  0 ; y (0)  2
Sistem PD
6
Operator Linier

Sebuah operator diferensial linier orde n
dengn koefisien konstan dinyatakan
sebagai:
L  a n D  a n 1 D
n

n 1
   a1 D  a 0
Dengan D menyatakan diferensiasi
dengan variabel bebas t
Sistem PD
7
Operator Linier
lanjut
Jika L1 dan L2 dua buah operator linier
maka berlaku sifat:
L1L2[x] = L2L1[x]
 Mis:

L1 x  L 2 y  f 1 ( t )
L3 x  L 4 y  f 2 (t )
Sistem PD
8
Operator Linier


lanjut
Akan diperoleh:
L1
L2
L3
f1 (t )
L2
L4
f 2 (t )
L4
L1
L2
L1
f1 (t )
L3
L4
L2
f 2 (t )
x
atau:
y
Sistem PD
9
Operator Linier

lanjut
Contoh:
 Selesaikan
sistem PD linier berikut:
x'  4 x  3 y
y' 6x  7 y
x (0)  2, y (0)   1
Sistem PD
10
Operator Linier

lanjut
Solusi:
( D  4) x  3 y  0 
( D  4) x  3 y  0

(D  7) y  6 x  0
 6 x  (D  7) y  0
D4
3
6
D7
x 
0
3
0
D7
( D  3 D  10 ) x  0
2
x ' ' 3 x ' 10 x  0
PD Linier Homogen Orde dua
Sistem PD
11
Soal Latihan:

lanjut
Tentukan solusi dari sistem PD berikut:
1.
. x '  2 x  3 y  2 sin t
y '  x  2 y  cos 2 t
2.
. x ' 2 y '  4 x  5 y
2 x ' y '  3 x
x (0)  1 ; y (0)   1
Sistem PD
12
Metode Eigenvalue

Pandang:
x1  a11 ( t ) x1  a12 ( t ) x 2    a1 n ( t ) x n
'
x 2  a 21 ( t ) x1  a 22 ( t ) x 2    a 2 n ( t ) x n
'

x n  a n 1 ( t ) x1  a n 2 ( t ) x 2    a nn ( t ) x n
'

Misal x1 , x2 , …, xn solusi dari sistem PD maka:
x(t) = c1x1 (t)+c2 x2 (t)+ …+cn xn(t)
Adalah solusi dari sistem PD tersebut
Sistem PD
13
Metode Eigenvalue

lanjut
Solusi x dapat ditulis dalam bentuk
t
matriks:
 x1   v1 e   v1 
  
 
t 
x2
v
v
e
  2
   2
t
t
x ( t )   x 3    v 3 e  t    v 3  e  Ve
  
  
       
 x  v e  t  v 
 n  n
  n

Dimana λ, v1, v2, …, vn adalah konstanta
skalar
Sistem PD
14
Metode Eigenvalue

lanjut
Untuk mendapatkan solusi tersebut
pandang bentuk persamaan sistem PD
awal sebagai sebuah bentuk matriks:
x '  Ax

Dimana A = [aij]
Sistem PD
15
Contoh

lanjut
Selesaikan sistem PD berikut:
x1  4 x1  3 x 2
'
x 2  6 x1  7 x 2
'

Jawab:
4

dt
6
dx
 3
x 
 7
Sistem PD
16
Contoh
k
k2
1
m1
m2
x(t)
f(t)
y(t)
Posisi
ekuilibrium

Sebuah sistem yang terdiri dari dua buah pegas
dan dua buah benda dan diberikan sebuah gaya
eksternal f(t) pada benda m2. x(t) menyatakan
pergerakan benda m1 dari posisi diam (f(t) = 0) dan
y(t) menyatakan pergerakan benda m2 dari posisi
diam
Sistem PD
17

Pegas pertama meregang sejauh x unit
sedangkan pegas kedua meregang sejauh y
– x unit
k1x
k2(y-x)

m1
m2
k2(y-x)
f(t)
Maka berdasarkan Newton law of motion
diperoleh sistem sebagai berikut:
m1 x"   k1 x  k 2 ( y  x )
m 2 y"   k 2 ( y  x )  f (t )
Sistem PD
18

Dari Contoh Kasus sebelumnya, Misalkan:
 m1

= 2, m2 = 1, k1 = 4, k2 = 2 dan f(t) = 40 sin 3t
Maka:
2 x"   4 x  2 ( y  x )
y "   2 ( y  x )  40 sin 3 t

Atau:
2 x"   6 x  2 y
y "  2 x  2 y  40 sin 3 t

Yang merupakan sistem persamaan diferensial
orde dua
Sistem PD
19
Penyelesaian metode eliminasi:
 Definisikan:

 x1

= x, x2 = x’ = x’1,
y1 = y,
y2 = y’ =y’1
Sehingga:
x '1  x 2
2 x ' 2   6 x1  2 y 1
y '1  y 2
y ' 2  2 x1  2 y 1  40 sin 3 t

Yang merupakan sistem PD dengan empat
variabel tak bebas
Sistem PD
20
Penyelesaian dengan metode operator linier:
 Misalkan tidak terdapat gaya eksternal pada
kedua pegas tersebut, maka tuliskan sistem
PD sebelumnya sebagai:

x"  3 x  y  0
 2 x  y " 2 y  0

Atau:
( D  3) x
2
 y 0
 2 x  ( D  2) y  0
2
Sistem PD
21

Sehingga:
( D  3)
1
2
( D  2)
2
2
x 
0
1
0
( D  2)
2
( D  3 )( D  2 )  (  1)(  2 )  D  5 D  4
2
2
4
2
 ( D  1)( D  4 )
2

Maka:
2
( D  1)( D  4 ) x  0
2
2
( D  1)( D  4 ) y  0
2
2
Sistem PD
22

Akar karakteristik:
( r  1)( r  4 )  0
2

Maka akar-akarnya:
 i,

2
-i, 2i dan -2i
Solusi umumnya:
x ( t )  a1 cos t  a 2 sin t  b1 cos 2 t  b 2 sin 2 t
y ( t )  c1 cos t  c 2 sin t  d 1 cos 2 t  d 2 sin 2 t
Sistem PD
23
Penyelesaian dengan metode eigenvalue:
 Pandang sistem sebagai sebuah bentuk
persamaan matriks

Mx "  Kx

Dimana:
 m1

0

M 
0

0
0
0
m2
0
0
m3
0
0
0 
  ( k1  k 2 )

0

k2
 K 
0 

0

m4 
Sistem PD
k2
 (k 2  k3 )
k3


k3

 ( k 3  k 4 ) 
0
24

Berdasarkan problem sebelumnya:
 m1

= 2, m2 = 1, k1 = 100, k2 = 50 dan f(t) = 0
Persamaan matriks
2

0
  150

 50
50 
x
 50 
  75
x"  
 50
25 
x
 50 
0
 x" 
1
Sistem PD
25

Jadi:
  75
A 
 50
25 

 50 
(  75   )
25
50
(  50   )
0
(  75   )(  50   )  25 . 50    125   2500
2
 (   25 )(   100 )  0

Eigenvalue
 1
= -25
 2 = -100
Sistem PD
26