Transcript 3. Simulasi Rantai markov

Simulasi
Rantai Markov
Ipung Permadi, S.Si, M.Cs
Rantai Markov


Model markov atau Rantai Markov dapat
digunakan untuk menjawab masalah yang
berkenaan dengan sistem yang dinamis.
Model Markov ini telah digunakan untuk
menganalisis permasalahan inventori,
perubahan merk kesukaan, penggantian alat,
pertumbuhan populasi, masalah akuntansi,
lokasi pabrik, dan semua permasalahan yang
berkenaan dengan sistem dinamis. Kita tertarik
untuk menganalisa sistem yang mana state dari
sistem mendatang tergantung pada state saat
ini dan bebas dari state sistem masa lalu.
Misalkan sebuah sistem dimana seseorang pada suatu
saat hanya dapat berada dalam satu tempat dan hanya
satu tempat dari sejumlah terbatas tempat yang mungkin.
Contoh lain, misal seseorang pada suatu saat memilih
merk X ia dikatakan berada di state0, bila ia memilih merk
Y ia dikatakan berada di state1, bila ia memilih merk Z ia
berada di state2, dan seterusnya.
Mungkin akan timbul beberapa pertanyaan
• Jika pada saat ini sistem berada di state r, berapakah peluang
sistem akan berada di state s, n tahap dari sekarang ?
• Setelah sejumlah besar tahap, berapakah peluang sistem akan
berada di state s ?
• Jika perusahaan saat ini memiliki tingkat “share of the market”,
seberapa besar share tersebut n tahap dari sekarang ?
• Akankah “share of the market”dari kompetitor akan stabil di
masa mendatang ?
Anggaplah E1, E2, … , Ej (j = 0, 1, 2, …) mewakili hasil
seluruh keadaan dan “mutually exclusive” dari sebuah
sistem pada setiap saat. Pada awalnya, pada saat t0,
sistem tersebut dapat berada di salah satu keadaan ini.
Anggaplah aj(0)(j = 0, 1, 2, …) adalah probabilitas absolut
bahwa sistem tersebut berada dalam keadaan Ej pada
saat t0.
Asumsikan lebih lanjut bahwa sistem ini bersifat Markov
Definisikan
Pij  P{ t n  j |  t n1  i}

Sebagai probalitas transisi satu langkah untuk
bergerak dari keadaan i pada saat tn-1 ke
keadaan j pada saat tn dan asumsikan bahwa
probabilitas ini bersifat stationer (tetap)
sepanjang waktu. Jadi probabilitas transisi dari
keadaan Ei, ke keadaan Ej dapat diatur secara
lebih memudahkan dalam bentuk matriks
sebagai berikut :
 p 00

 p10
P   p 20

 p 30
 ...

p 01
p 02
p 03
p11
p 21
p12
p 22
p13
p 23
p 31
...
p 32
...
p 33
...
...

...
...

...
...


Matriks P disebut matriks transisi homogen
(homogeneous transition) atau matriks
stokhastik (stochastic matrix), karena semua
probabilitas transisi pij adalah tetap dan
independen dari waktu.
Disebut homogen karena hanya dari matrik
transisi dapat diperoleh peluang untuk waktuwaktu yang akan datang dari suatu kasus atau
suatu permasalahan rantai markov. Probabilitas
pij harus memenuhi kondisi

Defenisi dari sebuah rantai Markov sekarang sudah
lengkap. Sebuah matriks transisi P bersamaan dengan
probabilitas awal {aj(0)} yang berkaitan dengan keadaan
Ej secara lengkap mendefinisikan sebuah rantai Markov.
Kita dapat memandang sebuah rantai Markov sebagai
perilaku transisi dari sebuah sistem di sepanjang interval
waktu yang berjarak sama. Tetapi, terdapat situasi di
mana jarak waktu tersebut bergantung pada karakteristik
sistem dan karena itu kemungkinan tidak setara. Kasus
ini disebut sebagai imbedded Markov chains.

Suatu state F dari sebuah discrete-time
Markov chain:
p
menyatakan peluang perubahan kondisi dari state F
ke state F
 (1-p) menyatakan peluang perubahan kondisi dari
state F ke state yang lainnya
 Catatan: jika waktu adalah diskrit maka keputusan
untuk tetap pada state F atau berubah ke state yang
lain diambil pada akhir time slot
Contoh :
Industri personal komputer merupakan industri yang mengalami
pergerakan sangat cepat dan teknologi menyediakan motivasi kepeda
konsumen untuk mengganti komputer setiap tahunnya. Kepercayaan
merek sangat penting dan perusahaan-perusahaan mencoba segala
cara untuk menjaga agar konsumen menjadi puas. Bagaimanapun juga,
beberapa konsumen mencoba untuk mengganti dengan merek yang lain
(perusahaan lain). Tiga merek tertentu Doorway, Bell, Kumpaq yang
meguasai pangsa pasar. Orang yang memiliki komputer merek Doorway
akan membeli tipe Doorway yg lain 80% dan sisanya membeli 2 merek
yang lain dengan peluang sama besar. Pemilik komputer Bell akan
membeli Bell lagi 90% dari waktu sementara itu 5% akan membeli
Doorway dan 5% akan membeli Kumpaq. Sekitar 70% pemilik Kumpaq
akan membeli Kumpaq, 20% akan membeli Doorway. Tiap merk memiliki
200.000 konsumen yang berencana untuk membeli sebuah komputer
baru pada tahun depan, berapa banyak komputer dari tiap tipe akan
dibeli ?
Penyelesaian :
Kasus diatas merupakan kasus rantai Markov
Initial
Doorway
Bell
Kumpaq
Doorway
200000
0.8
0.1
0.1
Bell
200000
0.05
0.9
0.05
Kumpaq
200000
0.2
0.1
0.7
 0 . 8 0 .1 0 . 1 
P  0.05 0.9 0.05
 0.2 0.1 0.7 
Untuk tahun depan :
 0.8 0.1 0.1   0.8 0.1 0.1 
P 2  0.05 0.9 0.05 0.05 0.9 0.05
 0.2 0.1 0.7   0.2 0.1 0.7 
0.665 0.18 0.155
 0.095 0.82 0.085
0.305 0.18 0.515
Doorway
Bell
Kumpaq
Doorway
200000
0.665
0.18
0.155
Bell
200000
0.095
0.82
0.085
Kumpaq
200000
0.305
0.18
0.515
213000
236000
151000




Pada tahun depan konsumen yang memiliki komputer
Doorway akan membeli Doorway lagi 66.5%, membeli Bell
18% dan membeli Kumpaq 15.5%.
Untuk konsumen yang memiliki komputer Bell akan membeli
Bell lagi 82%, membeli Doorway 9.5% dan membeli Kumpaq
8.5%.
Sedangkan untuk konsumen yang memiliki komputer Kumpaq
akan membeli Kumpaq lagi 51.5%, membeli Doorway 30.5%
dan membeli Bell 18%.
Banyaknya komputer yang akan di beli pada tahun depan
untuk merek Doorway sebanyak 213000, Bell sebanyak
236000 dan Kumpaq sebanyak 151000.




Pada tahun depan konsumen yang memiliki komputer
Doorway akan membeli Doorway lagi 66.5%, membeli
Bell 18% dan membeli Kumpaq 15.5%.
Untuk konsumen yang memiliki komputer Bell akan
membeli Bell lagi 82%, membeli Doorway 9.5% dan
membeli Kumpaq 8.5%.
Sedangkan untuk konsumen yang memiliki komputer
Kumpaq akan membeli Kumpaq lagi 51.5%, membeli
Doorway 30.5% dan membeli Bell 18%.
Banyaknya komputer yang akan di beli pada tahun
depan untuk merek Doorway sebanyak 213000, Bell
sebanyak 236000 dan Kumpaq sebanyak 151000.
Latihan
Industri handphone merupakan industri yang mengalami pergerakan
sangat cepat dan teknologi menyediakan motivasi kepeda konsumen
untuk mengganti handphone setiap tahunnya. Kepercayaan merek
sangat penting dan perusahaan-perusahaan mencoba segala cara
untuk menjaga agar konsumen menjadi puas. Bagaimanapun juga,
beberapa konsumen mencoba untuk mengganti dengan merek yang
lain (perusahaan lain). Tiga merek tertentu Nokia, Sony Ericson,
Siemen yang meguasai pangsa pasar. Orang yang memiliki handphone
merk Nokia akan membeli tipe Nokia yg lain 90% dan sisanya membeli
2 merek yang lain dengan peluang sama besar. Pemilik handpone
Sony Ericson akan membeli Sony Ericson lagi 75% dari waktu
sementara itu 15% akan membeli Nokia dan 10% akan membeli
Siemen. Sekitar 70% pemilik Siemen akan membeli Siemen, 5% akan
membeli Nokia. Tiap merk memiliki 300.000 konsumen yang berencana
untuk membeli sebuah handphone baru pada tahun depan, berapa
banyak handphone dari tiap tipe akan dibeli ?