Transcript Differentialregning

Differentialregning
og
Funktionsundersøgelse
Hvad kan I nu
• I kan finde en funktions differentialkvotient
vha. 3 trins reglen
1. Find funktionstilvæksten Δy = f(x + h) – f(x)
2. Find differenskvotienten
y f ( x  h)  f ( x)

Differenskvotienten er
h
h
hældningskoefficienten til den sekant, der går gennem
punkterne (x; f(x)) og (x + h; f(x + h)
3. Find differentialkvotienten, der er
hældningskoefficienten til tangenten i punktet (x, f(x))
f ( x)  lim
h 0
f ( x  h)  f ( x )
h
Et eksempel på 3 trins reglen
Funktionen f ( x)  ax2  b
1. Funktionstilvæksten:
y  a( x0  h) 2  b  (ax0  b)  ah2  2ax0 h
2
2. Differenskvotienten:
2
ah
 2ax0 h
y

 ah  2ax0
h
h
3. Differentialkvotienten:
f ( x)  lim
h 0
y
 lim (ah  2ax0 )  2ax0
h
h 0
I kender forskel mellem differentialkvotienten og
den første afledede
• Differentialkvotienten er som sagt
hældningskoefficienten til tangenten til grafen
i punktet (x0; f(x0)) og dermed et tal.
• Den første afledede f´(x) er en funktion, der
beskriver, hvordan hældningskoefficienten til
tangenten varierer som funktion af x.
f ( x)  lim
h 0
f ( x  h)  f ( x )
h
I kan bruge tabellen til at differentierer
en funktion
f(x)
k
ax + b
ax2+bx+c
xa
ex
ekx
ln(x)
ax
f´(x)
0
a
2ax+b
axa-1
ex
kekx
1
x
axln(a)
Eksemplificeret:
f(x)
7
f´(x)
0
-2x + 8 4x2+3x+28
-2
8x +3
x4
ex
e5x
5x
4x3
ex
5e5x
5xln(5)
x
1
2 x
1
x
1
x2
I kender og kan bruge regnereglerne
for differentiation
Regneregel 1:
Regneregel 2:
Regneregel 3:
( f ( x)  g ( x))  f ( x)  g ( x)
( f ( x)  g ( x))  f ( x)  g ( x)
( f ( x)  g ( x))  f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)

 f ( x) 
f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)

 
Regneregel 4:  g ( x) 
( g ( x))2
Regneregel 6:
(( f  g )(x))  ( f ( g ( x)))  f ( g ( x))  g ( x)
I kan finde ligningen for tangenten til
grafen i et bestemt punkt
• Tangentens ligning: y  f ( x0 )(x  x0 )  f ( x0 )
• Et eksempel: find tangentens ligning i punktet
(2, f(2)) til grafen for funktionen f ( x)  2x2  2x
• Den første afledede er: f ( x)  4 x  2
• Funktionsværdien for x = 2: f(2)= 4
• Hældningskoefficienten til tangenten i x = 2:
f´(2)= 6
y  6 * ( x  2)  4
• Tangentens ligning: y  6 x  8
I kan undersøge og redegøre for en
funktions monotoniforhold
• Når monotoniforholdet skal beskrives, skal I
redegøre for, i hvilke intervaller en funktion er
voksende, og i hvilke intervaller en funktion er
aftagende.
• For at kunne beskrive en funktions
monotoniforhold, differentieres funktionen og
den første aflede opskrives f´(x). Derefter sættes
f´(x) = 0, monotoniforholdsskemaet tegnes, husk
at indsætte evt. x-værdier der ikke er defineret.
• På baggrund af skemaet skrives ”stilen” 
I kan undersøge og redegøre for en funktions
ekstremumspunkter og/eller vendetangenter
• Der kan eksistere ekstremumspunkter, når der er
vandret tangent, dvs. at f´(x) = 0. Brug
monotoniforholdsskemaet til at finde ud af om
det er et maksimumspunkt, et minimumspunkt
eller en vendetangent.
• Maksimumspunkt ved ” + 0 –”
• Minimumspunkt ved ”- 0 +”
• Vendetangent ved ”+ 0 +” eller ” - 0 -”
• På baggrund af dette skrives ”endnu en stil” 
Ud over alt dette skulle I gerne kunne
• Angive en funktions definitionsmængde Dm(f)
• Angive en funktions værdimængde Vm(f)
• Angive en funktions nulpunkter ved at løse
ligningen f(x) = 0, og finde funktionsværdien
når
x = 0. Disse punkter er skæringerne med
koordinatakserne.
• Løse ligningen f(x) = k eller uligheden f(x) >
g(x) eller f(x) < k