Transcript x - Telin - Universiteit Gent

Didactisch materiaal bij de cursus
Optimalisatietechnieken
http://telin.UGent.be/~philips/optimalisatie/
Academiejaar 2011-2012
Prof. dr. ir. W. Philips
[email protected]
Tel: 09/264.33.85 Fax: 09/264.42.95
UNIVERSITEIT
GENT
Telecommunicatie en
Informatieverwerking
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Copyright notice
This powerpoint presentation was developed as an educational aid to the renewed course “Optimisation Techniques” (Optimalisatietechnieken), taught at the University of
Gent, Belgium as of 1998.
This presentation may be used, modified and copied free of charge for non-commercial purposes by individuals and non-for-profit organisations and distributed free of charge
by individuals and non-for-profit organisations to individuals and non-for-profit organisations, either in electronic form on a physical storage medium such as a CD-rom,
provided that the following conditions are observed:
1. If you use this presentation as a whole or in part either in original or modified form, you should include the copyright notice “© W. Philips, Universiteit Gent, 1998” in a
font size of at least 10 point on each slide;
2. You should include this slide (with the copyright conditions) once in each document (by which is meant either a computer file or a reproduction derived from such a
file);
3. If you modify the presentation, you should clearly state so in the presentation;
4. You may not charge a fee for presenting or distributing the presentation, except to cover your costs pertaining to distribution. In other words, you or your organisation
should not intend to make or make a profit from the activity for which you use or distribute the presentation;
5. You may not distribute the presentations electronically through a network (e.g., an HTTP or FTP server) without express permission by the author.
In case the presentation is modified these requirements apply to the modified work as a whole. If identifiable sections of that work are not derived from the presentation, and
can be reasonably considered independent and separate works in themselves, then these requirements do not apply to those sections when you distribute them as separate
works. But when you distribute the same sections as part of a whole which is a work based on the presentation, the distribution of the whole must be on the terms of this
License, whose permissions for other licensees extend to the entire whole, and thus to each and every part regardless of who wrote it. In particular note that condition 4 also
applies to the modified work (i.e., you may not charge for it).
“Using and distributing the presentation” means using it for any purpose, including but not limited to viewing it, presenting it to an audience in a lecture, distributing it to
students or employees for self-teaching purposes, ...
Use, modification, copying and distribution for commercial purposes or by commercial organisations is not covered by this licence and is not permitted without the author’s
consent. A fee may be charged for such use.
Disclaimer: Note that no warrantee is offered, neither for the correctness of the contents of this presentation, nor to the safety of its use. Electronic documents such as this
one are inherently unsafe because they may become infected by macro viruses. The programs used to view and modify this software are also inherently unsafe and may
contain bugs that might corrupt the data or the operating system on your computer.
If you use this presentation, I would appreciate being notified of this by email. I would also like to be informed of any errors or omissions that you discover. Finally, if you have
developed similar presentations I would be grateful if you allow me to use these in my course lectures.
Prof. dr. ir. W. Philips
Department of Telecommunications and Information Processing
University of Gent
St.-Pietersnieuwstraat 41, B9000 Gent, Belgium
E-mail: [email protected]
Fax: 32-9-264.42.95
Tel: 32-9-264.33.85
04c.2
Sensitiviteitsanalyse
Vervolg
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Overzicht
Primaal/duaal probleem in formulevorm
Te bestuderen: hoe verandert het optimum van een lineair programma bij
wijzigen van
•de winstfunctie
•of de (rechterleden van) de beperkingen
De eigenlijke sensitiviteitsanalyse
•kwalitatief
•kwantitatief voor kleine veranderingen: berekenen van sensitiviteit
•kwantitatieve parametrische studies: winst als functie van de
wijzigende coëfficiënt
Toepassing: de parametrische zelf-duale simplexmethode
04c.4
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Notaties
Primaal probleem in standaardvorm
•maximaliseer ct x over x en w mits x  0, w  0 en Ax+w = b
met originele veranderlijken x en reserveveranderlijken w
Duaal probleem in standaardvorm
•maximaliseer -bt y over y en z mits y  0, z  0 en -Aty+z = -c
met originele veranderlijken y en reserveveranderlijken z
Compactere notaties:
•primaal probleem: maximaliseer
c
t
Door herdefiniëren van A, c en x:
maximaliseer
•herdefinitie duale veranderlijken:
x
0   mits
w
ct x
z
 
y
x
 A I    b
 w
mits
Ax= b
z
04c.5
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
…Notaties…
Opmerkingen
• onze voornaamste bedoeling is het invoeren van een uniforme notatie
voor de veranderlijken omdat simplexstappen de variabelen mengt
• In de simplextableaus blijft er wel negatieve transponeringssymmetrie,
maar de namen van de veranderlijken zijn nu anders
• door de keuze om z uit te breiden i.p.v. y, hebben duale variabelen
dezelfde index
P2 max
xw31 
x1 
xw53 
4
12
4
3
 0.5xw42
 xw42
 0.5xw42
 0.5xw42
 3 x2
 5 x2
 2 x2
 x2
 4 z1
 3 zy35
D2 max
4  12 yz31
 yz31  0.5 z1  0.5 zy35
zy24  0.5
 2 z1
 zy35
z2 
3  5 yz31
04c.6
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
…Notaties
N
 a11

 a 21
 

 a m1
a m 2  a mn
c1
B

a12
 a1n
a 22

 a2n

c2
cn
 x1 


 x2 
1
     b1 

  
1
  x n   b2 




  

x n 1

  
1   x n  2   bm 
  


 xnm 
cN
0
0 0
0
cB
xN
xB
Maximaliseer cBxB+cNxN
mits BxB+NxN=b
Net zoals vroeger maken we onderscheid tussen de B en NBveranderlijken in een bepaalde fase:
•basiskolommen van A worden verzameld in B, de andere in N
•idem voor de basisrijen van x en c, en z
04c.7
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Duaal/primaal in formulevorm…
Primaal probleem: formules in simplextableau
• Stelsel: Bx B  Nx N  b  x B  B 1b  B 1 Nx N
• Winst:


  c x B  c x N  c B b  B N  c B  c N x N
t
B
t
N
t
B
1
1
t
t
Duaal probleem: formules in simplextableau (via negatieve-transponering
bovenstaande formules)
• Stelsel:
z N  B N  c B  c N  B N  z B
• Winst:
   c B b  B b z B
1
t
B
t
1
1
1
t
t
Let op: zN bevat de rijen van z corresponderend met xN ; in het duale
simplextableau zijn dit de B-variabelen (niet de NB-variabelen)
04c.8
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
…Duaal/primaal in formulevorm
Stelsel
1
Duaal:
z N  B N  c B  c N  B N  z B
t


  c B b  B N  c B  c N x N
1
Primaal: x B  B b  B Nx N
1
Winst
1
t
t
B
1
t
t
1
   c B b  B b z B
t
B
1
1
t
In een specifieke primale en corresponderende duale basisoplossing:
xN*=0  x B  B 1b
t

1
zB*=0  z N  B N  c B  c N
   c tB B 1b  c tB x B
    c tB B 1b   
Vereenvoudige formules: in termen van de waarden van de huidige Bvariabelen in de huidige basisoplossing
Stelsel
Winst
Primaal:
Duaal:

B
1
x B  x  B Nx N
z N  z  B N  z B

N
1
t
 t
N
    z xN

     x z B

t
B
04c.9
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
In formulevorm
Stelsel
Primaal:

B
    z xN
x B  x  B Nx N
z N  z  B N  z B
max  4  0.5x 4
 x4
x 3  12
x1  4  0.5x 4
x5 
3  0.5x 4
x

B
1
1
 3 x2
 5 x2
 2 x2
 x2
 B Nx N
 t
N

1

N
Duaal:
xB
Winst
t
   
max
4  12 z3
 z3
z 4  0.5
z2 
3  5 z3
zN
z

N

t
 xB z B
 4 z1
 3z5
 0.5 z1  0.5 z 5
 2 z1
 z5
B N  z
1
t
B
Belang van de vorige slide: deze geeft ons formules om de
simplextableaus uit te drukken in termen van (kolommen van) de
originele A en (rijen van) de originele b en c
04c.10
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Overzicht
Primaal/duaal probleem in formulevorm
Te bestuderen: hoe verandert het optimum van een lineair programma bij
wijzigen van
•de winstfunctie
•of de (rechterleden van) de beperkingen
De eigenlijke sensitiviteitsanalyse
•kwalitatief
•kwantitatief voor kleine veranderingen: berekenen van sensitiviteit
•kwantitatieve parametrische studies: winst als functie van de
wijzigende coëfficiënt
Toepassing: de parametrische zelf-duale simplexmethode
04c.11
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Wijzigende winstfunctie…
x2
1000
winstfunctie 1
winstfunctie 4
mogelijk
optimaal
winstfunctie 2
winstfunctie 3
1000
2000
x1
Bij voldoend kleine wijzigingen aan coëfficiënten van de winstfunctie, wijzigt het
optimum niet (de waarde eventueel wel, maar de variabelen niet)
Op een bepaald moment ontstaan er plots meerdere optima
04c.12
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
…Wijzigende winstfunctie
x2
1000
winstfunctie 1
winstfunctie 4
mogelijk
optimaal
winstfunctie 2
winstfunctie 3
1000
2000
x1
Bij voldoend kleine wijzigingen aan coëfficiënten van de winstfunctie, wijzigt het
optimum niet (de waarde eventueel wel, maar de variabelen niet)
Op een bepaald moment ontstaan er plots meerder optima
Als de coëfficiënten nog meer veranderen, verdwijnt het oude optimum, maar
blijft één van de nieuw optima optimaal
04c.13
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Sensitiviteit: winstfunctie
Wat zou er echter gebeuren mocht een coëfficiënt cj in de winstfunctie
een beetje groter zijn geweest?
•Als de stijging van niet te groot is, blijft het optimum op dezelfde plaats
liggen en zal simplex eindigen met dezelfde NB-variabelen;
x* wijzigt dus niet
•De nieuwe primale winst wordt =(c+c)tx*=*+ctx* en neemt dus
toe met een bedrag ctx*
Besluit: xj* is de toename van de winst per eenheid toename van cj
In het finale simplextableau zijn sommige variabelen B en andere NB
• xj NB-veranderlijke  xj*=0  cj heeft geen invloed op de winst
• xj B-veranderlijke  xj*0  cj heeft wel invloed op de winst en de
invloed wordt des te groter naarmate xj* groter wordt
04c.14
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Voorbeeld
Origineel probleem
P1 max
w1 
(-1+1) x1+(-1+
2) x2
4
 2 x1
w2   8  2 x1
w3   7  x1
 x2
 4 x2
 3 x2
Finaal tableau (b.v. via
duale simplexmethode)
P3 max  7  w3  4 x2
w1  18  2 w3  7 x2
x1 
w2 
7
6
 w3
 2 w3
 3 x2
 2 x2
Zolang de optimale veranderlijken niet
veranderen:
Sensitiviteit aan de eerste winstcoëfficiënt:
 de winst zal verhogen met x11=71
Sensitiviteit aan de tweede winstcoëfficiënt:
de winst zal verhogen met x22=0
Opmerkingen
•voor voldoend kleine 1 en 2=0 is de
winst dus -7+71
•voor voldoend kleine 2 en 1=0 is de
winst dus -7
•voor voldoend kleine 1 en 2 is de winst
dus -7+71
•“voldoend klein” kan gemakkelijk worden
gekwantificeerd in de eerste twee
Huidig optimum:
gevallen (waar ofwel 2 =0 ofwel 1=0),
w3=x2=0 w1=18 x1=70 w2=6 maar minder gemakkelijk in 3de geval
04c.15
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Grenzen…
Wat betekent “voldoende klein”, d.w.z. hoelang blijft de formule
=*+ctx* geldig?
Antwoord: zolang in het finale simplextableau de coëfficiënten in de
t
winstfunctie      z N x N niet positief worden zN*0
 z  B N  c B  c N  0

N
1
t
Voorbeeld
P1 max
x3 
(-1+
1) x1+(-1+
2) x2
4
 2 x1
x4   8  2 x1
x5   7  x1
xB
 x3 
 
  x1 
x 
 4
 x2
 4 x2
 3 x2
 c3 
 
c B   c1  
c 
 4
P3 max  7  x 5
x 3  18  2 x 5
 x5
x1  7
x 4  6  2x 5
 0 



1



1
 0 


cN
 c5 
   
 c2 
2 7


1

1
3
B N 

 2 2


 4 x2
 7 x2
 3 x2
 2 x2
 0 


 1 2 
04c.16
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
…Grenzen
z N

1

t
 B N cB  cN
 0 
  0 
 2 1 2 
 

  1  1   
 7 3 2 
  1  2 
0


 1  1 


 4  31   2 
Opgegeven tableau
P1 max
x3 
Finaal tableau
(-1+
1) x1+(-1+
2) x2
4
 2 x1
x4   8  2 x1
x5   7  x1
 x2
 4 x2
 3 x2
P3 max  7
x 3  18
x1  7
x4  6
(-1+1) x -(4-31-2) x
2
5
 2x 5
 x5
 2x 5
 7 x2
 3 x2
 2 x2
Optimum verschuift niet zolang -1+1<0 en -(4-31-2)<0
04c.17
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
…Grenzen
z N

1

t
 B N cB  cN
 0 
  0 
 2 1 2 
 

  1  1   
 7 3 2 
  1  2 
0


 1  1

 

 4  31   2 
Bijzonder geval 1: 2=0
z N  0  1  1 en 1  4 / 3  1  1
Bijzonder geval 2: 1=0
z N  0   2  4
Controleer grafisch dat er zowel voor 1=1, 2=0 als voor 1=0, 2=4
telkens meerdere optima verschijnen
Wat gebeurt er met de optima als men nog verder gaat?
04c.18
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Grenzen…
Waarom het moeilijk maken als het eenvoudig kan?
P1 max
x3 
(-1+
1) x1+(-1+
2) x2
4
 2 x1
x4   8  2 x1
x5   7  x1
(1  1 ) x1  (1   2 ) x2
 x2
 4 x2
 3 x2
P3 max  7  x 5
x 3  18  2 x 5
 x5
x1  7
x 4  6  2x 5
 4 x2
 7 x2
 3 x2
 2 x2
 ( 1  1 )(7  x5  3 x2 )  ( 1   2 ) x2
 7 ( 1  1 )  ( 1  1 ) x5  ( 4  31   2 ) x2
Finaal simplextableau blijft optimaal zolang deze coefficienten
negatief blijven
04c.19
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Wijzigende beperkingen…
x2
1000
mogelijk
optimaal
winstfunctie
1000
2000
x1
Bij voldoend kleine wijzigingen aan het rechterlid van een niet-actieve
ongelijkheid wijzigt het optimum niet
04c.20
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
…Wijzigende beperkingen…
x2
1000
mogelijk
optimaal
winstfunctie
1000
2000
x1
Bij voldoend kleine wijzigingen aan het rechterlid van een actieve ongelijkheid
•wijzigt het optimum geleidelijk zolang de ongelijkheid actief blijft
•en blijven dezelfde ongelijkheden actief
04c.21
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
…Wijzigende beperkingen
x2
1000
mogelijk
optimaal
winstfunctie
1000
2000
x1
Bij grotere wijzigingen worden andere ongelijkheden actief
04c.22
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Sensitiviteit: rechterleden
Beschouw een ongelijkheid:
ai1 x1 +  +
aij xj +  + ain xn  bi
 ai1 x1 +  +
aij xj +  + ain xn+ wi
= bi
Wat zou er gebeuren mocht bi een klein beetje veranderen?
•Geval 1: als in het optimum wi*>0 dan zal er niets veranderen aan het
optimum of aan de optimale winst: er is overschot van ruw materiaal i, en
er komt dan gewoon wat meer of minder overschot (x verandert niet)
•Geval 2: als in het optimum wi*= 0 dan kan het optimum wel veranderen
Geval 2 is moeilijk te bestuderen in het primaal probleem, omdat zowel de
winst als xB* afhangen van b
In het duaal probleem hangt echter enkel de winst af van b:

t

t
z N  B 1 N c B  c N  B 1 N z B

t
   ctB B 1b  B 1b z B
onafhankelijk van b
 in duaal optimum:
   c tB B 1b
04c.23
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Sensitiviteit: rechterleden
In het duaal probleem hangt echter enkel de winst af van b:    ctB B 1b
•bij voldoend kleine b blijft het duaal optimum ongewijzigd
•het primaal optimum verandert, maar wegens sterke dualiteit blijft de
optimale primale winst wel gelijk aan de (nieuwe) optimale duale winst:

 

 ctB B 1b
m


  c tB B 1 i bi
i 1
sensitiviteit aan bi
Deze sensitiviteitsformules blijven gelden zolang het duaal optimum op
de zelfde plaats blijft liggen
•aangezien de finale duale basisoplossing niet rechtstreeks afhangt van b
•blijft het duaal optimum liggen zolang de coëfficiënten van de finale duale
winstfunctie (d.w.z. xB*) het goede teken blijven hebben

t
   ctB B 1b  B 1b z B
   

t
 xB z B
moet  0 blijven
04c.24
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Voorbeeld
Origineel probleem
P1 max
 x1
w1  (4+
4 1)  2 x1
w2  (-8+
 8 2)  2 x1
w3  (-7+
 7 3)  x1
B-variabelen: w1, x1, w2
 x2
 x2
 4 x2
 3 x2
Finaal tableau (b.v. via
duale simplexmethode)
P3 max  7  w3  4 x2
w1  18  2 w3  7 x2
x1 
w2 
7
6
 w3
 2 w3
 3 x2
 2 x2
Huidig optimum:
w3=x2=0 w1=18 x1=70 w2=6
  2 1 1 0 0
 4 

 x   

2
4
0
1
0

     8 
  1 3 0 0 1  w    7 


 
2: x1 1: w1 3:w2
w1, x1, w2
c tB B 1  0  1
1  2 0


0 0  2 1 
 0 1 0


1
 0 0 1
Sensitiviteit aan b1, b2, b3
04c.25
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
…Voorbeeld
Origineel probleem
P1 max
 x1
w1  (4+
4 1)  2 x1
w2  (-8+
 8 2)  2 x1
w3  (-7+
 7 3)  x1
 x2
 x2
 4 x2
 3 x2
Finaal duaal tableau
D3
max 7  18 y1  7 z1
y3  1  2 y1
 z1
z2  4  7 y1  3 z1
 6 y2
 2 y2
 2 y2
D1
max  ( 4  1 ) y1  ( 8   2 ) y2 ( 7   3 ) y3
 2 y2
 y3
z1  1  2 y1
 y1
 4 y2
 3 y3
z2  1
Eenvoudige redenering:
• bij voldoend kleine 1 en 2
verandert duaal optimum y* niet
(primaal optimum misschien wel!)
• en finale primale winst=
finale duale kost=bty*
 sensitiviteitsvector is y*
y   0
 t
0 1
Sensitiviteit aan b1, b2, b3
04c.26
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Grafische controle
b1=4
2
0
x2
b2=-8
1
-2
0
2
4
2
b3=-5 b3=-7
3
6
8
x1
-2
max
-4
 x1
 x2
 2 x1
 x2
4
 2 x1
 4 x2
 8
 x1
 3 x2
 7
xi
0
c tB B 1 0 0 1
Sensitiviteit aan b1, b2, b3
Nieuwe optimale winst:
-1*5-1*0=-5
=oude winst+1*(-5+7)
04c.27
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Grenzen
De sensitiviteitsformules blijven gelden zolang
xB  B 1 b  b  0
P1 max
 x1
w1  (4+
4 1)  2 x1
w2  (-8+
 8 2)  2 x1
w3  (-7+
 7 3)  x1
 B 1b  B 1b  0
 x2
 x2
 4 x2
 3 x2
Finaal tableau (b.v. via
duale simplexmethode)
P3 max  7  w3  4 x2
w1  18  2 w3  7 x2
x1 
w2 
7
6
 w3
 2 w3
 3 x2
 2 x2
04c.28
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Opmerking
Wat is B?  zie definitie in begin presentatie:
•schrijf origineel stelsel als Ax=b
•B zijn de kolommen van de B-veranderlijken
P1 max
 x1
w1  (4+
4 1)  2 x1
w2  (-8+
 8 2)  2 x1
w3  (-7+
 7 3)  x1
 x2
 x2
 4 x2
 3 x2
Finaal tableau (b.v. via
duale simplexmethode)
P3 max  7  w3  4 x2
w1  18  2 w3  7 x2
x1 
w2 
7
6
 w3
 2 w3
 3 x2
 2 x2
 x1 
 
  2  1 1 0 0  x2   4 
  2 4 0 1 0  w     8 

 1   
  1 3 0 0 1  w2    7 
w 
 3
1  2 0


B  0  2 1
 0 1 0 


04c.29
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Grenzen
De sensitiviteitsformules blijven gelden zolang
xB  B 1 b  b  0
P1 max
 x1
w1  (4+
4 1)  2 x1
w2  (-8+
 8 2)  2 x1
w3  (-7+
 7 3)  x1
 x2
 x2
 4 x2
 3 x2
Finaal tableau (b.v. via
duale simplexmethode)
P3 max  7  w3  4 x2
w1  18  2 w3  7 x2
x1 
w2 
7
6
x B
 w3
 2 w3
 3 x2
 2 x2
 B 1b  B 1b  0
B 1b  xB
18 
 
 7 
6
 
Bijzonder geval 1: 2=0, 1=0
1  2 0


B 1b   0  2 1 
 0 1 0


1
 0    2
   
 0     1  3
     2
 3  
 3  9

B 1 b  Δ   0   3  7   3  3
  3
 3
04c.30
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Of de eenvoudige oplossing….
Probeer het zelf….
04c.31
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Samenvatting…
Wijzigen van een winstcoëfficiënt cj
•bij voldoend kleine cj:
• optimale variabelen veranderen niet
• optimale winst verandert lineair met cj (waarom?)
•bij een bepaalde kritische wijziging cj=tmax
• meerdere optima, waaronder het origineel optimum
•bij cj>tmax
• het origineel optimum is niet langer optimaal
• de optimale winst verandert weer lineair met cj maar niet meer op
dezelfde manier als voorheen
04c.32
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
…Samenvatting
Wijzigen van een rechterlid bi
•bij voldoend kleine bi:
• optimale variabelen veranderen lineair met bi
• optimale winst verandert lineair met bi (waarom?)
•bij een bepaalde kritische wijziging bi=tmax
• gedegeneerd optimum
•bij bi>tmax
• de optimale winst verandert weer lineair met bi maar niet meer op
dezelfde manier als voorheen
04c.33
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Wijziging van de stelsel-parameters
Wat gebeurt er als we in het trofeeën
•als we minder hout per trofee voorzien
•b.v. maar 3 dm2 voor een voetbaltrofee i.p.v. 4 dm2
Antwoord: gebruik de formules
•In het algemeen veel moeilijker
Soms kan intuïtie gebruikt worden
•stel b.v. dat we in de optimale oplossing heel veel hout over hebben
•en dat we nog steeds hout overhebben mochten we in de optimale
oplossing van 3 dm2 overstappen naar 4 dm2
•dan …
04c.34
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Parametrische studies
Bij een parametrische studie laat men één van de cj (of bi) over een groot
bereik variëren en men plot de winst als functie van die coëfficiënt
•men lost het probleem op voor één waarde van cj n.l. l
•men bepaalt de sensitiviteit s0 en het interval [l0, l1] waarin deze geldig is
•vervolgens herhaalt men de berekeningen voor cj=l1e, berekent een
sensitiviteit s1 en het interval [l1, l2] enz.
Bij de berekeningen kan men best starten van het eindtableau uit de vorige
stap (“warm start”)  doorgaans minder berekeningen
(maak oef 7.11)
winst
(max.)
kost
(min.)
s2
s1
s0
l0
l1
l2
l3 cj
l0
l1
l2
l3 cj
04c.35
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Vraag
Waarom neemt de helling van de linkse grafiek op de vorige slide toe
van links naar rechts?
04c.36
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Typisch gedrag i.f.v. rechterleden
meer mogelijke oplossingen
winst
winst
-ongelijkheid
maximalisatie
-ongelijkheid
maximalisatie
kost
meer mogelijke oplossingen
bi
-ongelijkheid
minimalisatie
bi
kost
bi
-ongelijkheid
minimalisatie
bi
04c.37
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Monotoon gedrag
Belangrijk: we onderstellen nog steeds positieve variabelen
Stijgende functies ontstaan bij
•verhogen van een winstcoëfficiënt in een maximalisatieprobleem
•verhogen van een kostcoëfficiënt in een minimalisatieprobleem
•relaxeren van een ongelijkheid (=meer mogelijke oplossingen toelaten)
in een maximalisatieprobleem
•verstrengen van een ongelijkheid (=minder mogelijke oplossingen
toelaten) in een minimalisatieprobleem
Zoniet zijn de functies dalend
Interpretatie:
•als de verkoopprijs van een product stijgt
• dan zullen we nooit minder verdienen
• in het slechtste geval zullen we evenveel verdienen (nl. als in de
optimale oplossing het betreffende product niet wordt verkocht)
•als we meer voorraad hebben van een bepaald ruw materiaal
• dan zullen we zeker niet minder producten kunnen maken
• in het slechtste geval maken we geen extra producten, omdat het
bijkomend ruw materiaal niet wordt gebruikt in de optimale oplossing 04c.38
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Convex/concaaf gedrag
De functies winst(l) en kost(l) zijn altijd convex of concaaf:
•convexe functie: sensitiviteit (afgeleide van de curve) neemt toe (of blijft
constant) met stijgende cj of bi
•concave functie: sensitiviteit (afgeleide van de curve) neemt af (of blijft
constant) met stijgende cj of bi
Interpretatie convexiteit/concaviteit
•naarmate een ongelijkheid minder streng wordt, krijgt ze minder invloed
en wordt het optimum meer en meer door andere ongelijkheden bepaald
•naarmate een winstcoëfficiënt groter wordt, krijgt hij meer invloed en
beïnvloedt hij de winst niet alleen rechtreeks, maar ook meer en meer
onrechtstreeks door het optimum te doen verschuiven
04c.39
versie: 6/3/2012
© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012
Opmerkingen
De sensitiviteit is de afgeleide van de parametrische winst/kost curve
In de “knikpunten” verschillen de linker- en rechterafgeleiden
•Interpretatie: meerdere optima afhankelijk van het optimum waarin we
eindigen krijgen we een andere x* en dus een andere sensitiviteit voor cj
•of: gedegenereerd optimum afhankelijk van de keuze van de NB1
variabelen krijgen we een andere B en dus een andere sensitiviteit B c B


voor bi
winst
(max.)
kost
s2
s1
s0
l0
-ongelijkheid
maximalisatie
l1
l2
l3 cj
bi
04c.40
i