Transcript Formacion_Especifica_Tarea_ISE7_2_1
Sistemas de Control y Proceso Adaptativo. Diseño y métodos y estrategias de control
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Controlabilidad y observabilidad Controlabilidad • Sea el sistema de n estados y p entradas
x
Ax
Bu B
nxp
estados, o el par (A, B), se dice controlable si para cualquier
x
( 0
x
0
x
1
n
existe una entrada que transfiere el estado x de x
0
a x
1
en tiempo finito. En caso contrario, la ecuación (1.1), o el par (A, B), se dice no controlable.
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Controlabilidad y observabilidad Controlabilidad • • • Se puede determinar si el sistema es controlable examinando la condición algebraica:
rango
B AB A
2
B
A n
1
B
n
La matriz A tiene dimensión nxn y B nx1. Para sistemas con múltiples entradas la matriz B es nxm, donde m es el número de entradas.
Para un sistema de única entrada y única salida la matriz de controlabilidad P
c P c
se describe en términos de A y B como:
B AB A
2
B
A n
1
B
que es una matriz de n x n, por lo tanto, si el determinante de
P c
es distinto de cero, el sistema es controlable.
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Controlabilidad y observabilidad Controlabilidad • Ejemplo: sea el sistema
x
(
t
) 0 0
a
0 1 0
a
1 0 1
a
2
x
0 0 1
u y
1 0 0
u A
0 0
a
0 1 0
a
1 0 1
a
2 De donde se tiene que
B
0 0 1
P c
B AB AB
0 1
a
2
A
2
B
0 0 1 0 1
a
2
A
2
B
(
a
2 2 1
a
2
a
1 ) (
a
2 2 1
a
2
a
1 ) El determinante de P
c
controlable.
= 1 ≠ 0, por lo que el sistema es 4
Controlabilidad y observabilidad Test de controlabilidad • Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 2. La matriz de controlabilidad
C
B AB A
2
B
A n
1
B
C
n
np
es de rango n (rango fila pleno). 3. La matriz n x n
W c
(
t
) 0
t e A
BB T e A T
d
0
t e A
(
t
)
BB T e A T
(
t
)
d
es no singular para todo t > 0.
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Controlabilidad y observabilidad Control de mínima energía
t
1 0 • El control que gasta mínima energía en llevar al sistema del estado x
0
al estado x
1
en el tiempo t 1 , en el sentido de que, para otro control ũ(t) que haga la misma
u
( transferencia, siempre se cumple que: ) 2
d
t
1 0
u
( ) 2
d
(
x T
0
e A T
(
t
1 )
x
1
T
)
W c
1 (
t
1 )
t
1
o
e A
(
t
1 )
BB T e A T
(
t
1 )
d
W c
1 (
t
1 )(
e A
(
t
1 )
x
0
x
1 ) (
x
0
T e A T
(
t
1 )
x
1
T
)
W c
1 (
t
1 )(
e A
(
t
1 )
x
0
x
1 )
W c
1 2 (
t
1 )(
e A
(
t
1 )
x
0
x
1 ) 2 Se observa que la mínima energía de control es mayor cuanto mayor sea la distancia entre x
0
menor es el tiempo de transferencia t 1 .
y x
1
, y cuanto 6
Controlabilidad y observabilidad Test PBH de controlabilidad • Los test de Popov-Belevitch-Hautaus (PBH) tienen interpretaciones geométricas interesantes que sirven para analizar la controlabilidad en forma de Jordan. Hay dos tipos de test, de autovectores y de rango.
1. Test de autovectores: El par (A,B) es no controlable si y solo si existe un autovector izquierdo
v
1
n
de A tal que
vB
0 2. Test PBH de rango: El par (A,B) es controlable si y solo si
rango
sI
A B
n para todo s
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Controlabilidad y observabilidad
Test PBH de controlabilidad
• Controlabilidad y transformaciones de semejanza: teorema de la invarianza de la controlabilidad respecto a cambios de coordenadas.
La controlabilidad es una propiedad invariante con respecto a transformaciones de equivalencia (cambios de coordenadas).
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Controlabilidad y observabilidad Observabilidad • • Todos los polos de un sistema en lazo cerrado se pueden colocar arbitrariamente en el plano complejo si, y solo si, el sistema es observable y controlable. La observabilidad se refiere a la posibilidad de estimar una variable de estado.
Según R. Dorf, un sistema es completamente observable si, y solo si, existe un tiempo finito T de forma que el estado inicial x(0) se pueda determinar a partir de la observación de la historia y(t) dado el control u(t).
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Controlabilidad y observabilidad Observabilidad • Considerando el sistema de una entrada y una salida
x
Ax
Bu e y
Cx
donde C es un vector fila 1 x n y x es un vector columna n x 1. Este sistema es completamente observable cuando el determinante de la matriz de observabilidad P
o
cero, donde
P o
C CA CA
n
1 es distinto de que es una matriz de n x n. 10
Controlabilidad y observabilidad Observabilidad • Ejemplo: Considérese el sistema
A
0 0
a
0 1 0
a
1 0 1
a
2
C
1 Así se tiene que
P o
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
CA
2 0 0 1 el determinante de P
o
= 1 y el sistema es completamente observable. Obsérvese que la determinación de la observabilidad no utiliza las matrices B y D.
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Controlabilidad y observabilidad Observabilidad • El concepto de observabilidad es dual al de controlabilidad. Trata de averiguar la posibilidad de estimar el estado del sistema a partir del conocimiento de la salida. Consideremos el sistema lineal estacionario
x
Ax
Bu y
Cx
Du A
n
n
;
B
n
p
;
C
q
n
;
D
q
p
Esta ecuación de estado (1.2) es observable si para cualquier estado inicial x(0) desconocido, existe un tiempo finito t
1
que el conocimiento de la entrada u y la salida y sobre el tal intervalo [0,t
1
] es suficiente para determinar en forma única el estado inicial de x(0). En caso contrario el sistema es no observable.
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Controlabilidad y observabilidad Variables de estado • Para un sistema dado, existen infinidad de conjuntos posibles de variables de estado. Todos los conjuntos posibles han de estar constituidos por el mismo número de variables de estado y las variables definidas han de ser totalmente independientes. Variable independiente es aquella cuyo valor no puede ser expresado en función de las restantes variables; lo que implica que los valores iniciales de cada una de las variables de estado elegidas puedan ser asignados con entera libertad.
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Controlabilidad y observabilidad Variables de estado • Ejemplo: en un sistema como el representado en la figura 3.1 podrían tomarse como variables de estado la velocidad ẏ(t) de la masa M y la fuerza en el muelle ky(t); no podría tomarse la fuerza en el muelle y el desplazamiento y(t) de la masa, ya que la primera es igual al segundo multiplicado por la constante K. Otra alternativa válida sería tomarse como variables de estado des sistema la velocidad ẏ(t) y el desplazamiento y(t) de la masa.
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Controlabilidad y observabilidad Variables de estado • Métodos generales para la selección de las variables de estado de un sistema: -Método de las variables físicas: la selección de las variables de estado se realiza basándose en los elementos almacenadores de energía existentes en el sistema.
-Método de las variables de fase.
-Forma canónica de Jordan.
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Controlabilidad y observabilidad Variables de estado • Sistemas lineales con parámetros variables: en un sistema cuyo comportamiento dinámico venga caracterizado por Se puede representar esta ecuación diferencial por las ecuaciones de estado y de salida siguientes Calculándose los coeficientes B
i
(t) mediante 16
Controlabilidad y observabilidad Variables de estado • Obtención de la función de transferencia a partir de las ecuaciones de estado: – La función o matriz de transferencia de un sistema lineal e invariante con el tiempo, puede obtenerse a partir de las ecuaciones de estado del sistema aplicando la transformada de Laplace.
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Bibliografía • • R. Dorf, R. Bishop: Sistemas de control moderno.
Apuntes ETSII. UNED • Enlaces de interés http://iaci.unq.edu.ar/materias/control2/web/clases/Cap6.pdf
• http://www.slideshare.net/IsRrItA/variables-de-estado • http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/esta do/node4.html#SECTION00631000000000000000 18