Transcript Fermi-Aufgabe

R. Loska: Elemente der Arithmetik – WS 09/10
Sachrechnen
Nutzen des Sachrechnens
• Sachverhalte als vertrauter Kontext für den
Zugang zu mathematischen Inhalten
(Prinzip der Veranschaulichung und Lebensnähe)
• Sachverhalte als Motivation für
mathematische Inhalte
• Mittel zur Erschließung der Umwelt
Ziele des Sachrechnens
Die Schüler sollen
– Maßsysteme als Werkzeug zur Umwelterschließung
kennenlernen
• Messen, Messinstrumente ...
• Vorstellung von Größen; Schätzen ...
– Sachsituationen kennenlernen, in denen Größen
eine Rolle spielen - Ausreichendes Wissen über die
Sache erwerben
• Einkaufssituation
• Zinsen, Steuern, ...
– Sachrechenfähigkeiten entwickeln
• Muster erkennen, Fragen entwickeln
• Daten gewinnen und darstellen
• Methoden des mathematischen Modellierens
(„Mathematisieren“)
Größenbereiche in der Grundschule
Größen
Repräsentanten
Äquivalenzrelationen
Längen
Strecken, Stäbe
... ist so lang wie ..
Zeitspannen
Vorgänge,
Abläufe
... dauert so lange wie..
Gewichte
Gegenstände
... ist so schwer wie...
Münzen,
Geldscheine
Flächeninhalte Platten, Figuren
Geldwerte
Volumina
Gefäße, Körper
... hat denselben Wert wie
...
... ist zerlegungsgleich
zu...
... fasst/verdrängt so viel
Wasser wie ...
• Direkter Vergleich:
Größen können untereinander verglichen
werden. Zwei Größen gk und gl sind entweder
gleich groß oder gk < gl oder gk > gl
(„Trichotomie“)
• Indirekter Vergleich - Struktur:
Maßzahl x Maßeinheit
• Addition und Multiplikation von Größen:
Größen können addiert werden, nicht aber
miteinander multipliziert („kg x kg“), nur
vervielfacht (n x gk, z.B. 3 x 4 kg)
Größenbereich Zeitspannen
Größenbereich Zeitspannen
Größenbereich Zeitspannen
Größenbereich Gewichte
Größenbereich Gewichte
Größenbereich Gewichte
Größenbereich Gewichte
Analyse einer Textaufgabe
Auf einem Bahnhof fahren zur gleichen Zeit
zwei Züge ab. Sie fahren in entgegen gesetzte
Richtungen. Der eine fährt pro Stunde 80 km,
der andere fährt pro Stunde 60 km. Wie weit
sind die beiden Züge nach 1 ½ Stunden
Fahrzeit voneinander entfernt?
Zwei Züge fahren …
Gegebene
Daten ordnen
Einzelwissen,
Alltagswissen
erinnern
Gesetzeswissen
erinnern
Wo ab?
Wann ab?
Wohin?
Wie schnell?
Wie lange?
von einem
Bahnhof
zur gleichen
Zeit
in entgegen
gesetzte
Richtung
der eine 80 km,
der andere 60
km pro Stunde
1 ½ Stunden
lang
Ort
Zeitpunkt
Zielrichtung
Geschwindigkeit
Zeitspanne
von
derselben
Stelle
zum selben
Zeitpunkt, z.B.
beide um 12
Uhr
der eine z.B.
nach Osten,
der andere
nach Westen
in jeder Stunde
Fahrzeit eine
Fahrstrecke von
80 (60) km
Länge
1 ganze
Stunde und
noch eine
weitere halbe
Stunde dazu
Entfernung voneinander wird mit der Zeit immer Wenn man weiß, wie schnell
größer
etwas fährt und wie lange es
fährt, kann man die Fahrstrecke
Entfernung voneinander besteht aus 2 Teilen:
ausrechnen.
Weglänge des einen plus Weglänge des
anderen von der Ausgangsstelle
Verarbeitung
der gegebenen Daten in
Richtung auf
Fragestellung
Entfernung der Züge voneinander ist
Fahrstrecke des einen Zuges plus Fahrstrecke
des anderen Zuges.
Der eine Zug hat nach 1 ½
Stunden 80 km + 40 km = 120
km, der andere nach 1 ½
Stunden 60 km + 30 km = 90 km
zurückgelegt.
Frage:
Lösung:
Wie groß ist die Entfernung der Züge voneinander ?
Nach 1 ½ Stunden: 120 km + 90 km = 210 km
Erhebung bei 1120 Viertklässlern aus 43 Klassen
32 % lösten die Aufgabe richtig
59 % falsch
9 % nahmen die Aufgabe erst gar nicht in Angriff
Ergebnisse, die vorkamen:
• 30 km
• 20 km
• 90 oder 120 km
• 140 km, 1.800 km, 12.600 km, 4.800 km
• 5 % der Schüler fertigten eins Skizze an.
Davon hatten 64% eine richtige Lösung
Probleme bei Textaufgaben
1. Beobachtungen
• Lehrer lassen Text zweimal durch-/vorlesen. Schüler merken
sich Einzelaspekte, insbesondere die Zahlenwerte.
• Lehrer lassen „wichtige Stellen“ unterstreichen. Schüler
unterstreichen Zahlen.
• Lehrer lassen Inhalt wiedergeben. Schüler achten vor allem
darauf, die Zahlenangaben korrekt wiederzugeben.
• Sachrechenschema: Ich frage - ich weiß - ich rechne - ich
antworte. Bei „ich weiß“ findet nur eine Auflistung der im Text
genannten Größen statt.
Folge:
Sachsituation wird nicht klar, Struktur der Aufgabe wird
nicht erfasst.
2. Typische Schülerfehler
1. Zahlendominanz. „Lieber falsch rechnen als gar nicht“.
Operationen werden willkürlich gewählt. Kleine Zahlen:
Multiplikation und Division.Große Zahlen: Addition und
Subtraktion
2. Fixierung auf Lösungsschemata und Regeln, die kurz
zuvor im Unterricht behandelt wurden
3. Fehlerhafte Verkürzung des Lösungsplans bei
mehrgliedrigen Aufgaben
4. Relationale Zahlenangaben im Text werden direkt
übernommen. Beispiel: „Der dritte Kunde erhält 400 l
weniger als die beiden anderen zusammen.“ Dem dritten
Kunden werden dann 400 l zugeordnet.
5. ...
Sinnvolle Maßnahmen bei Textaufgaben
• Situierungsphase:
Das Verständnis der Sachsituation soll unbedingt gewährleistet sein.
Schüler sollen z.B. den Inhalt in eigenen Worten ohne Zahlen
wiedergeben.
• Mathematisierungsphase (insbes. bei komplexen
Aufgaben):
- Grobanalyse: Zur Mathematisierung muss zunächst die
Grobstruktur des Sachproblems erfasst werden.
o Hierzu können Skizzen dienlich sein. Ein gute Skizze muss die
Struktur im Wesentlichen erfassen. Ein oft anwendbares Modell ist
das Streifenmodell, in dem die Teilbeträge repräsentiert sind.
o Zahlenwerte sollen hier zunächst keine oder eine untergeordnete
Rolle spielen. Zahlenwerte könnten von der Analyse ablenken.
- Feinanalyse - Größeneinbindung:
In diesem Arbeitsgang sind die konkreten Zahlenwerte zu
berücksichtigen und den Teilaufgaben zuzuordnen.
Typen von Sachaufgaben
• Eingekleidete Aufgaben (84% der 4.KlassSchulbuchsachaufgaben in den 80er Jahren)
• Sachstrukturiertes Üben
• Textaufgaben: In gewisser Weise unrealistisch, weil sie in
der Lebenswelt nicht vorkommen. Jedoch ist hier die
Mathematisierung Kernpunkt
• Sachbilder
• Sachtexte (Christa Erichson)
• Selbst erstellte Sachaufgaben (z.B. aus
Zeitungsmeldungen, authentischem Material usw.)
• Sachprobleme: originale Daten, die z.T. erst besorgt
werden müssen. Starkes Gewicht der Sache
• Fermi-Aufgaben
• Sachprojekte (s. Heinrich Winter, Sachrechnen)
Sachstrukturiertes
Üben
Sachstrukturiertes
Üben
Sachbilder
Sachbilder
Bedeutung und
Fragestellungen
müssen erst
erschlossen/
ausgehandelt
werden
Sachtexte
Christa Erichson:
Von Giganten, Medaillen
und einem regen Wurm,
Hamburg 2003
Sachtexte
Sachtexte
Sachtexte
Sachtexte
Selbst erstellte
Sachaufgaben
Selbst erstellte
Sachaufgaben
Selbst erstellte
Sachaufgaben
Sachprobleme
Beispiel:
Eine Familie plant, am Wochenende mit dem Auto
nach Frankfurt zu fahren.
Fragen:
Wie weit ist es bis Frankfurt?
Wie lange dauern die Fahrten?
Wie hoch ist der Benzinverbrauch?
Was kostet die Fahrt?
Was würde die Fahrt mit der Bahn kosten?
Wesentlich ist hier, dass die Daten
erst besorgt werden müssen.
Fragen zur Karte:
- Was bedeutet PRAHA?
- Was bedeuten die Nadeln?
- Was bedeuten die Zahlen?
- Welches ist der längste Weg
durch Deutschland?
- Wie lange braucht man, um mit
einem Flugzeug über Deutschland
zu fliegen?
-…
Woher kommt die Bezeichnung
„Fermi-Aufgaben“?
Enrico Fermi, ein bekannter Physiker
und Nobelpreisträger (1901-1954)
sagte, dass jeder vernünftig
denkende Mensch zu jeder Frage
auch eine Antwort finden müsse.
Er hat seinen Studenten oft
Fragen gestellt wie:
„Wie viele Klavierstimmer gibt es in New
York?“
Folien zu Fermi-Aufgaben nach Andreas Büchter
Fermi-Aufgabe zur Einführung
Die Klasse 4b möchte einen Ausflug zum
Düsseldorfer Stadttheater machen und
dort eine Vorstellung besuchen. In der
Klassenkasse sind noch 550 Euro.
Reicht das Geld aus der Klassenkasse,
um den Ausflug zu bezahlen?
Fermi-Aufgabe
Wie viel Grashalme wachsen im Fußballstadion?
Was zeichnet Fermi-Aufgaben aus?
Fermi-Aufgaben …
• sind realitätsbezogen,
• sind herausfordernd,
• sind in hohem Grade offen,
• erfordern die Ermittlung von Daten, meist durch Setzung
von (sinnvollen) Annahmen
• trainieren die Fähigkeit, abzuschätzen
• fördern Kompetenzen einer alltagstauglichen Mathematik
Sachprojekte
Daten selbst erheben
(z.B. durch Messungen)
Daten besorgen
„Hochrechnungen“
……
hier Thema
Wasserverbrauch
Typen von Sachaufgaben
• Eingekleidete Aufgaben
• Sachstrukturiertes Üben
• Textaufgaben
• Sachbilder
• Sachtexte
• Selbst erstellte Sachaufgaben
• Sachprobleme
• Fermi-Aufgaben
• Sachprojekte
zunehmende
Komplexität
Allgemeine unterrichtliche Maßnahmen für das
Sachrechnen
1. Sachaufgaben aus dem Lebensbereich der Schüler
entwickeln!
2. Die Präsentationsform von Sachaufgaben variieren!
-
-
Verschiedene Typen von Sachaufgaben einsetzen:
Sachsituationen mit authentischem Material, Sachbilder
Sachtexte, …
Verschiedene Formen der Darstellung von Größen in Tabellen,
Schaubildern u.a.
3. Sachaufgaben oder Rechengeschichten erfinden
lassen!
4. Zu mathematischen Aussagen mögliche
Sachsituationen finden lassen!
5. Unterbestimmte, überbestimmte bzw. unsinnige
Textaufgaben einsetzen!
6. Individuelle Lösungsstrategien ermutigen;
keine bestimmte Schreibweise vorschreiben!
7. Sachaufgaben nach bestimmten Gesichtspunkten
verändern bzw. durch Schüler verändern lassen!
(Prinzip Variieren)
8. Weg von der “Sache” zur Lösung thematisieren!
Lösungswege reflektieren!