Transcript PowerPoint
Существует ли функция Дирака? Матюшкин И.В., Московский институт электронной техники, Зеленоград 1. Категория существования в математике • Шкала возрастания жесткости: – Конвенциализм/логицизм • Математика - игра, играемая согласно определенным простым правилам с бессмысленными значками на бумаге (Гильберт) – Феноменология/сенсуализм • В математике Вы не понимаете вещи. Вы только привыкаете к ним. (фон Нейман) – Платонизм/идеализм (Кантор, Фреге) • В чистой математике мы созерцаем абсолютные истины, которые существовали в божественном уме прежде, чем утренние звезды ликовали вместе, и которые продолжат существовать там и тогда, когда последняя из них упадет с небес (Эверетт Э., XIXв) • • • Сенсуализм – «быть воспринимаемым – значит существовать». Сенсуализм в математике – «быть созерцаемым представляемым) – значит существовать» Представимость → образ → целостность Шкала возрастания жесткости в отношении образов: – «за буквами ничего не стоит» – «довольствуемся образами» – «одна идеальная сущность порождает несколько образов» • Примеры существующих математических объектов: – Множество (мыслится как целокупность элементов в пространстве) – Функция/операция (мыслится как целокупность связей между элементами) – Алгоритм (мыслится как целокупность операций над объектом во времени) 2. Наивное «физическое» определение дельта-функции • История вопроса: I – – • • Г.Р. Кирхгоф (1882), волновое уравнение Оливер Хевисайд (1899), «импульсная функция» и введение тета-функции Физический смысл – Ускорение тела при ударе – Потенциал точечного заряда (приближенно) – Пространственное распределение точечных масс – Наступление события во времени Методологические замечания – – Дельта-функция нужна физикам, чтобы описать дискретное непрерывными средствами Двойник функции Дирака δ(x) возникает при описании дискретного дискретными средствами, а именно символ Кронекера δij (при обобщении – характеристическая функция принадлежности к множеству) t V V (t ) V (t ) a(t )dt 0 t 0, t 0 a(t ) (t ) , , t 0 (t )dt (t )dt 1 3. Функциональное определение дельта-функции • История вопроса: II – Поль Дирак(1928), квантовая механика • – • в окончательном ответе сингулярные функции или вовсе отсутствуют или фигурируют под знаком интеграла… нет прямой необходимости отвечать на вопрос, что такое сингулярная функция сама по себе: нам достаточно ответить на вопрос, что означает интеграл от произведения сингулярной функции и «хорошей» функции»… мы можем теперь отождествить «сингулярную функцию» с тем функционалом, о котором конкретно идет речь, это и будет вполне достаточным её определением (Гельфанд И.М. ) Методологическое замечание – • ( x) ( x)dx (0) Теория обобщенных функций Соболева-Шварца (50-е гг. ХХв.) Математический смысл – • Новое определение-свойство Ясно, что, определяя дельта-функцию, мы вводим в рассмотрение совсем новый объект… Ведь, скажем, и число √2, с которым математикам столь часто приходится иметь дело, с точки зрения арифметики настоящим числом не является: оно задается не точным своим значением, а лишь совокупностью приближений 1;1.4; 1.41; 1.414; 1.4142;… к этому числу (которые, впрочем, характеризуют √2 достаточно полно для того, чтобы мы могли свободно этим числом пользоваться) (Зельдович Я.Б.) Математическое определение 1. 2. 3. Семейство приближающих «иглообразных» функций δ(x,λ) Семейство основных функций φ(x) должны иметь непрерывные производные всех порядков и быть отличными от нуля лишь на некотором отрезке [T;T] на числовой прямой. Предельные переходы в духе традиции Коши и Вейерштрасса ( , ) lim ( x) ( x)dx ( x) ( x)dx ( , ) lim Никакого интегрирования не производится, это лишь символическая запись 0 0, x , 0 , x ( x, ) ( x, )dx ( x, )dx 1 0 1 / n, n ( x) n 0 (nx), прим еры: sin x ( 2) 1 x2 1 0(1) , 0 e , n ( x) 1 1 x nx n 4. Математические свойства функции Дирака • Связь с рядами Фурье (расходимость в нуле) – – • Связь с теорией меры (замена переменных в интеграле) – – – • Математическая физика (например, 1-е уравнение Максвелла в дифференциальной форме) Теория вероятностей (исчисление моментов, если случайная величина принимает дискретные значения) «Соблазн» платонизма Связь с тета-функцией, которая считается также обобщенной – • Подмечено еще Хевисайдом Артефакт «физического подхода» ( x) 1 а) (ax) ( x) a б ) ( g ( x)) , ( x xi ) i Как частный пример интегрирования по частям Четность – 2 в) ( x) cos nx n1 1 g ( xi ) x i g ( xi ) 0 ( x) x x г ) ( x) (t )dt Отражена в а) Упражнение с функцией Хевисайда 1) – взято из учебника Владимирова 1 ( x)dx ( ,1) ( x) ( x) ( x) dx 0, x 0 0, x 0 1) ( x) 2) ( x) 1 2 , x 0 1, x 0 1, x 0 [a), a 1] 2 ( x) ( x)dx 2 , 2 (0) Два равносильных определения y x ( x) ( x)dx ( y ) ( y )dy (0) 1 2 Незаконно, ибо θ не основная 5. Альтернативный путь введения дельта-функции • Недостатки функционального подхода – – – • Психологическое противоречие с образно-физическим Два предельных перехода и три бесконечно малых величины, что влечет громоздкость конструкций Устаревшая (?) парадигма XIXв. обоснования анализа через потенциальную бесконечность Предпосылки альтернативы – Актуальная бесконечность и трансфинитные числа канторовской теории множеств • – Конструкция расширенной числовой прямой (и сферы Римана для комплексной плоскости) • – • Например, пакет MATLAB; Inf – бесконечность, NaN – not-a-number – неопределенное значение, Null – указатель на ничто Ничто не мешает использовать в качестве значений переменных наряду с обычными числами эти константы Новые зрительные образы – – • Удобство отображения замкнутого множества в замкнутое, например, единичного отрезка в полупрямую по формуле y=1/x (откуда следует, 1/0=∞, буквально) Опыт математического программного обеспечения и константы Inf, NaN, Null • • Способствует реализации программы платонизма и не противоречит феноменологии Знак символизирует не одну точку, метафизически взятую нами с потолка, а связывает воедино сразу множество объектов, обладающим трансфинитным статусом, но, возможно, разнокачественных. Сравнил бесконечность с вокзалом, куда на разные пути прибывают поезда со всех концов страны Математики. В одномерном случае тождество а*= (а0) проливает свет на интуитивную множественность бесконечностей, неразличимую в символе. Сфера Римана дает еще более убедительный пример, который окончательно снимает все недоговоренности и артефакты потенциальной бесконечности, еще видимые для 1D. Весь горизонт сжимается в единство одной точки. Изменение образа нуля и единицы. Можно предложить сохранить запись 0*=1, введя наряду с Inf и новое число NaN, и подразумевая тождество 0*=11*NaN. Реализация программы – – Дополнение обычной арифметики «новыми жителями» Введение актуальной бесконечности в конструкции матанализа, в частности, доопределение операций дифференцирования и интегрирования • В этой связи p-аддический анализ, переход от интеграла Римана к интегралу Лебега