Transcript Симметрия и метод инвариантов

Симметрия
и метод инвариантов
Е.Л. Ивченко
ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН
Симметрия и метод инвариантов
в наноструктурах
План лекций
• Введение. Примеры симметрийного анализа
• Симметрия кристаллов и наногетероструктур
• Представления групп. Применения
• Метод инвариантов для построения
гамильтонианов
• Метод инвариантов для анализа матричных
элементов
2/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
2/10
Симметрия и метод инвариантов
наноструктурах
Введение. в
Примеры
симметрийного анализа
• Феноменологические уравнения
• Спин-орбитальное взаимодействие
• Энергетические спектры
• Сложная валентная зона полупроводников
• Бесщелевой полупроводник HgTe
• X-точка зоны Бриллюэна в Ge
3/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
3/10
Феноменологические уравнения
Фототоки
0
ω
Е.Л. Ивченко
‒ω
Летняя школа 2013
4/10
Фотогальванические эффекты
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
5/10
Спин-орбитальное взаимодействие
в наноструктурах
6/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
6/10
Энергетический спектр
7/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
7/10
Энергетический спектр - 2
Зона проводимости и валентная зона в графене
8/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
8/10
Сложная валентная зона
Подзоны тяжелых и легких дырок
9/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
9/10
Бесщелевой полупроводник HgTe
10/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
10/10
X-точка зоны Бриллюэна в Ge
11/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
11/10
Фононный спектр в Ge
12/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
12/10
Симметрия и метод инвариантов
в наноструктурах
Симметрия кристаллов и наногетероструктур
• Пространственные и точечные группы
• Двумерные и слоевые группы
• Непрерывные точечные группы
• Группа волнового вектора k
13/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
13/10
Пространственные группы
14/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
14/10
Точечные группы
в наноструктурах
C1
1
Ci
-1
C2
2
Cs
m
C2h
2/m
D2
222
C2v
mm2
D2h
mmm
C4
4
S4
-4
C4h
4/m
D4
422
C4v
4mm
D2d
-42m
D4h
4/mmm
C3
3
C3i
-3
D3
32
C3v
3m
D3d
-3m
C6
6
C3h
-6
C6h
6/m
D6
622
C6v
6mm
D3h
-62m
D6h
6/mmm
23
Th
m-3
432
Td
-43m
Oh
m-3m
T
O
15/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
15/10
Структура алмаза
16/13
Е.Л. Ивченко
Ge. Метод инвариантов
16/10
16/51
Зона Бриллюэна гцк решетки
(алмаз, цинковая обманка)
17/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
17/10
Изоэнергетические поверхности в Ge
18/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
18/10
Пространственная группа Ge
19/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
19/10
Структура цинковой обманки
в наноструктурах
20/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
20/10
Двумерные и слоевые группы
в наноструктурах
17 двумерных групп (двумерные группы с двумерной
трансляционной инвариантностью) и 80 слоевых, или
плоских, групп (трехмерные группы с двумерной
трансляционной инвариантностью).
Двумерные группы (wallpaper group) не содержат элементов,
переворачивающих плоскость. Например, это группы симметрии
полуограниченных кристаллов, рисунков обоев.
21/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
21/10
Идеальный интерфейс AC/A'C'
в наноструктурах
Симметрия объёмного кристалла – Td, направления [110] и [1 10]
эквивалентны.
Симметрия интерфейса – C2v, направления [110] и [1 10]
неэквивалентны.
22/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
22/10
Примеры слоевых групп
Слоевая группа симметрии графена P6/mmm, точечная группа D6h , № 80.
Слоевая группа симметрии структур с квантовыми ямами, выращенными на
основе кристаллов со структурой цинковой обманки:
Ось роста [001], симметричные интерфейсы: P42m, D2d
Ось роста [001], асимметричная яма: Pmm2, С2v , С2 ǁ [001], № 23
Ось роста [110], симметричные интерфейсы: Pm2m (или P2mm), С2v ,
С2 ǁ [001], № 23
Ось роста [110], асимметричная яма: P11m, Сs
Ось роста [111]: P3m1, С3v
23/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
23/10
Двумерные и слоевые группы
в наноструктурах
R.A. Evarestov
Quantum
Chemistry of
Solids, 2012
24/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
24/10
2D решетка графена
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
25/10
Непрерывные точечные группы
26/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
26/10
Группа волнового вектора k
27/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
27/10
Группа волнового вектора k - 2
Точечная
группа D4h
Точечная
группа D3d
28/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
28/10
Симметрия и метод инвариантов
в наноструктурах
Представления групп. Применения
• Векторные представления
• Проективные и спинорные представления
• Состояния в X- и L-точках зоны Бриллюэна в Ge
• Симметрийный анализ уравнений Максвелла
• Линейно независимые компонент ы тензоров
• Энергетическая дисперсия квазичастиц
29/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
29/10
Оператор преобразования координат
30/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
30/10
Представления групп
31/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
31/10
Проективные представления
32/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
32/10
Спинорные представления
33/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
33/10
Группа волнового вектора k - 2
34/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
34/10
Малые представления
35/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
35/10
Малые представления в X-точке
36/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
36/10
Уравнения Максвелла
37/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
37/10
Уравнения Максвелла - 2
38/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
38/10
Симметрия тензоров
39/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
39/10
Фотогальванический тензор
40/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
40/10
Энергетическая дисперсия
41/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
41/10
Симметрия и метод инвариантов
в наноструктурах
Метод инвариантов для построения гамильтонианов
• Формализм метода инвариантов
• Примеры применения:
Ϟ Гамильтониан Латтинжера
Ϟ Линейные по k члены в гамильтониане
Ϟ Спиновое расщепление в магнитном поле
42/13
Симметрия и метод инвариантов
42/10
Формализм метода инвариантов
43/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
43/10
Формализм метода инвариантов - 2
44/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
44/10
Валентная зона Γ8
45/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
45/10
Базисные матрицы Jx , Jy и Jz
↔
46/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
46/10
16 базисных матриц
47/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
47/10
Гамильтониан Латтинжера
48/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
48/10
Гамильтониан Бира–Пикуса
49/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
49/10
Линейные по k члены
50/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
50/10
Эффект Зеемана на тяжелых дырках
51/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
51/10
Эффект Зеемана на тяжелых дырках - 2
52/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
52/10
Эффективный гамильтониан в графене
53/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
53/10
Симметрия и метод инвариантов
Метод инвариантов
для анализа матричных элементов
• Общие положения
• Междолинное рассеяние L → Lt в Ge
• Пересечение групп векторов k(L) и k(Lt)
• Правила отбора при междолинном
рассеянии на фононе
54/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
54/10
Общие положения
55/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
55/10
Междолинное рассеяние
56/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
56/10
Группа С2h
57/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
57/10
Группа С2h - 2
58/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
58/10
Матрица междолинного рассеяния
59/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
59/10
Фононный спектр в Ge
60/13
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
60/10
Заключение
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
61/10
Заключение - 2
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
62/10
Симметрия и метод инвариантов
Е.Л. Ивченко
Летняя школа 2013
63/10