 Жидкость оказывает давление на поверхность твердых тел, погруженных в нее или ограничивающих ее объем.  Вследствие легкого перемещения молекул жидкости, давление в нее передается равномерно во все стороны (закон Паскаля). Поэтому силы давления распределены на все поверхности соприкосновения жидкости и твердого тела и направлены к ней перпендикулярно.

 Давление в жидкости обусловлено действием внешних сил на нее (атмосферного давления или тяжести столба самой жидкости, давлении стенки сосуда, если она - эластичная).  Вследствие того, что между молекулами жидкости существуют большие силы отталкивания, даже небольшое сжатие жидкости внешними силами вызывает в ней значительные силы упругого противодействия, которые и создают давление.

 Жидкость, находящаяся под давлением, обладает внутренней потенциальной энергией, величина которой равна:

Ер = рV

 Если объем жидкости V перемещается из пространства с давлением Р 1 давлением Р 2 в пространство с , то при этом совершается работа:

А = V (Р 1 – Р 2 )

Закон Бернулли. Статическое и динамическое давление

1) Определение идеальной жидкости.

2) Рассмотрим течение идеальной жидкости по трубе с неодинаковым сечением. Течение жидкости называется непрерывным, если через любое сечение трубы в единицу времени протекает одинаковое количество жидкости (объем). При этом скорость движения на участках трубы обратно пропорциональна площади их сечения.

 Действительно, объем V жидкости, протекающей в единицу времени через любое сечение трубы, равен:

V=Sυ,

так как этот объем постоянен для любого сечения трубы, то

Sυ=const

 Если обозначить сечение и скорость движения на участках 1 и 2 соответственно S 1 , υ 1 и S 2 , υ 2 , то согласно сказанному выше S 1 υ 1 = S 2 υ 2 . Как видно из рисунка 1, можно сделать вывод, что чем меньше сечение трубы, тем выше скорость жидкости, протекающей через это сечение. Рис. 1

 Рассмотрим движение идеальной жидкости небольшой массы V по трубе переменного сечения (рис.2).

B (•) A жидкость находилась под давлением р 1 имела скорость υ 1 и была на высоте h 1 над некоторым начальным уровнем (сд). B (•) В эти и величины имеют значения υ 2 , р 2 , h 2 . При перемещении совершается работа силами давления (работа равна изменению потенциала энергии объема жидкости).



Ар =( р

1

давления

– р

2

)V

, где совершается работа силами и силами тяжести:

Аh = mgh

1

– mgh

2.

Рис. 2

 Сумма этих работ Ар+Аh должна соответствовать изменении кинетической энергии. Откуда: 

р 1 V + mgh 1 + mυ 1 2/ /2 = p 2 V + mgh 2 + mυ 2 2 / 2

Левая и правая часть этого уравнения соответствует полной энергии в двух точках. Она постоянна во всех точках потока жидкости, так как точки 1 и 2 взяты произвольно, внешнего воздействия на жидкость, кроме давления и силы тяжести , нет. Объем жидкости принят малым и постоянным.

 Вывод: полная энергия частиц, движущейся непрерывной струи невязкой жидкости есть величина постоянная. Поделив это уравнение на объем и учитывая, что отношение массы жидкости к объему равно плотности жидкости: m/ V = ρ , получим:

р + ρgh + ρυ 2

/2 = const, где: ρgh – гидростатическое давление; р - статическое давление;

ρυ 2

/2 – динамическое давление.

 Представленное выражение носит название – уравнение Бернулли. С учетом того, что гидростатическое давление изменяется мало, уравнение Бернулли может быть представлено следующим образом: р + ρυ 2 /2 = const. Из уравнения следует, что давление невязкой жидкости, текущей по трубе, повышается там, где скорость понижается и наоборот – правило

Бернулли.

 В реальной жидкости на ее движение оказывает влияние свойство жидкости – вязкость. Вязкость связана с возникновением трения между слоями жидкости. Слои двигаются с разными скоростями и в результате молекулярного взаимодействия между соседними слоями возникает трение. Исаак Ньютон определи зависимость силы трения от градиента скорости и площади слоев. Ньютон рассматривал движение жидкости на участке плоского дна.  На рисунке 3 показаны Рис. 3 отдельные слои, которые двигаются с разными скоростями.

Рис. 3

 Слои выбраны произвольно, они отражают реальную картину движения вязкой жидкости. Тонкий слой , соприкасающийся с дном, неподвижен. По мере удаления от дна скорость слоев увеличивается (υ 4 >υ 3 >υ 2 >υ 1 ). Слои воздействуют друг на друга – верхний слой – ускоряя, а нижний – замедляя соседние слои. Сила внутреннего трения пропорциональна площади слоев и увеличивается с ростом скорости. Ньютон вывел уравнение для силы внутреннего трения:

Fтр.= η (dν/dx)S

где η – коэффициент пропорциональности, который носит название коэффициента динамической вязкости. Измеряется в Па*с или Нс/м 2 . Здесь: Па ( Паскаль )– единица давления, Н ( Ньютон ) – единица силы, S – площадь слоев, d v /dx – градиент скорости по оси х. Градиент скорости характеризует изменение скорости по глубине жидкости (вдоль оси х). Градиент скорости характеризует быстроту изменения скорости в направлении, перпендикулярно движению (так как введение слоев условно).

 Большинство жидкостей подчиняются закону Ньютона. Их коэффициент вязкости зависит от природы жидкости и температуры (вязкость падает с ростом температуры). Такие жидкости называют ньютоновскими.  У некоторых жидкостей коэффициент вязкости зависит так же от давления и градиента скорости. При их увеличении вязкость снижается, так как изменяется внутренняя структура молекул. Такие жидкости называются неньютоновскими.

Течение вязкой жидкости по трубам небольшого

диаметра. Описывается экспериментальными результатами французского физика Пуазейля . Объемная скорость движения (Q ) – объем жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы за 1 сек.

Q = πR 4 ( P 1 – P 2 ) / 8ηL

– Здесь : R – радиус сосуда, P 1 – давление в начале трубы, P 2 – давление в конце трубы, L – длина трубы, η – вязкость жидкости.

Средняя линейная скорость жидкости равна :

ν cp = Q/ πR 2 = R 2 ( P 1 – P 2 ) / 8 ηL .

 Французский теоретик Гаген продолжил работу экспериментатора Пуазейла и вывел формулу, описывающую распределение скорости движения жидкости в цилиндрическом сосуде. Эта формула определяет скорость течения жидкости в зависимости от расстояния до центральной оси цилиндрического сосуда. Это расстояние Гаген обозначил буквой r . Формула, определяющая скорость υ ( r ), имеет вид:

ν( r ) = ( R 2 – r 2 ) ( P 1 – P 2 ) / 4ηL

 На рисунке 4 показано распределение скорости движения жидкости по цилиндрическому сосуду. График зависимости ν( r ) имеет вид параболы. Максимальное значение скорости совпадает с центральной осью сосуда, минимальное Рис.4

значение скорости совпадает с внутренней поверхностью сосуда, где движение скорости равно нулю.

Там, где скорость движения жидкости минимальная – максимальное статическое давление (у стенок трубы), а там где максимальная скорость – минимальное давление (в центре трубы). Это приводит к тому, что при движении неоднородной жидкости , она расслаивается. К таким жидкостям относится кровь. При её движении по сосуду в пристеночных слоях движется плазма крови, обеднённая форменными элементами, а по центру сосуда, в плазме, движется большая часть форменных элементов.

 Формулу Пуазейля для объемной скорости можно переписать, с учетом того, что разность давлений в сосуде равна:

P 1 – P 2

= ΔP – падение давления в сосуде. Из формулы Пуазейля можно вывести, что падение давления в сосуде равно:

ΔP = R гем

Q , где R – сопротивление движению жидкости в сосуде.

R г =8ηL/πR 4

– при движений жидкости сопротивление называется гидравлическим, а при движении крови по сосудам – гемодинамическим. Как видно из формулы сопротивления, оно зависит прежде всего от изменения радиуса сосудов.

Ламинарное и турбулентное движения жидкостей.

Стационарное движение вязкой жидкости является слоистым или ламинарным течением. Для него справедливо правило Бернулли, формулы Пуазейля и Гагена –Пуазейля. При увеличении скорости движения вязкой жидкости образуются завихрения и движение становится нестационарным, вихревым или турбулентным. При турбулентном движении скорость частиц в каждом месте беспрерывно и хаотически меняется и движение становится не стационарным. Характер течения жидкости по трубе зависит от свойств жидкости и определяется критерием Рейнольдса:   

ρ ж

D – диаметр трубы;

Rе = ρ

ж

υD/η

– плотность жидкости; η – динамическая вязкость, υ –скорость движения жидкости.

   Для определения характера движения жидкости критерий Рейнольдса сравнивается с его критическим значением. Последнее определяется экспериментально. Если Re> Re

кр

, то характер движения– турбулентный, если Re< Re

кр

, то характер движения – ламинарный.

Характер движения зависит от двух факторов : роста скорости движения и диаметра сосуда. В медицине наиболее часто растет скорость движения крови, что может привести к возникновению турбулентности. Это резко увеличит сопротивление движению крови и может при вести к закупорке сосуда. Из критерия Рейнольдса видно, что кроме скорости, сильное влияние на турбулентность движение жидкости оказывает диаметр трубы. В трубах большого диаметра течение жидкости, даже при небольшой скорости, может стать турбулентным.