Transcript Egyszerű oszthatósági problémák

Egyszerű oszthatósági
problémák
Oszthatósági problémáknál gyakran
használt azonosságok az alábbiak:
a 2  b 2  a  b   a  b 
(1)
a 3  b 3  a  b   a 2  ab  b 2
(2)
a 3  b3
(3)
a n  bn

 a  b   a
 a  b   a
a n  b n  a  b   C
2

 ab  b 
n 1
2
 a n  2  b  a n 3  b 2  ...  a  b n  2  b n 1

a 2 k 1  b 2 k 1  a  b   a 2 k  a 2 k 1  b  ...  b 2 k
a 2 k 1  b 2 k 1  a  b   D


(4)
(5)
Igazoljuk az alábbi
oszthatóságokat!
152 1 illetve 17 2 1
16
16
Alkalmazzuk a hatványozás
azonosságait és az (1)
azonosságot!
   1  2  1 2  1 
 2  1 2  1 2  1  1517  2  1
2 1  2
16
4
8 2
4
2
8
8
8
8
Igazoljuk az alábbi
oszthatóságokat!
2 n 1
1110  1 illetve 1110
2n
nN

1
Alkalmazzuk a hatványozás
azonosságait és a (4) illetve az
(5) azonosságot!
 
2 n
10  1  10
2n


 1  10  1  C  99  C
n
( 4)
2
ennekpedig 11 nyilván osztója.
2 n 1
10
2 n 1
 1  10
2 n 1
1
 10  1  D  11 D
( 5)
ennek pedig11 nyilvánosztója.
Az előző tételt alkalmazva
könnyen bizonyítható a 11-gyel
való oszthatóság szabálya
abcdef  a 105  b 104  c 103  d 102  e 101  f 










a  105  1  b  104  1  c  103  1  d  102 1  e  101  1  f
edcba
Mivel az aláhúzott rész min den tagja osztható11 gyel,
ezért az oszthatóságot az f  e  d  c  b  a összeg oszthatósága
döntiel.
Mutassuk meg, hogy az n2±n
kifejezés nϵN esetén mindig
osztható kettővel!
n  n  n  n  1
2
Két egymást követő
természetes szám
szorzata nyilván osztható kettővel,
hiszen az egyik páros szám.
Mutassuk meg, hogy az
n4-2n3+n2 kifejezés nϵN esetén
mindig osztható néggyel!


n  2n  n  n  n  2n  1 
4
3
2
2
2
n  n  1  n  n  1
2
2
2
Két egymást követő
természetes szám
szorzata nyilván osztható kettővel,
a négyzete pedig néggyel.
Mutassuk meg, hogy az n3-n
kifejezés nϵN esetén mindig
osztható hattal!


n  n  n  n  1  n  n  1 n  1
n 1 n  n  1
3
2
Három egymást követő
természetes szám szorzatában van
olyan tényező, amelyik kettővel,
van olyan, amelyik hárommal
osztható, így a szorzatuk pedig
hattal.
Mutassuk meg, hogy a 360
osztója az n6-5n4+4n2
kifejezésnek, ahol nϵN !


n 6  5n 4  4n 2  n 2  n 4  5n 2  4 



n 2  n 2  1  n 2  4  n 2 n  1  n  1  n  2   n  2 
n  2  n  1  n  n  1  n  2  n
5 egymást követő természetes szám
szorzata nyilván osztható 2-vel, 3mal, 4-gyel, 5-tel, tehát 120-szal. De
Ez első három és utolsó három
tényező miatt 9-cel is osztható.
Mutassuk meg, hogy az 5 osztója
az n5-n kifejezésnek, ahol nϵN !

  
n  1  n  n  1  n  4  5 

n5  n  n  n 4 1  n  n 2 1  n 2 1 
2
n  2  n  1  n  n  1  n  2  5  n  1  n  n  1
Az első tagban 5 egymást követő
természetes szám szorzata osztható
5-tel, a második tag 5-tel való
oszthatósága egyértelmű, így az
összeg is osztható 5-tel.
Mutassuk meg, hogy az 5 osztója
az n5-n kifejezésnek, ahol nϵN !





n5  n  n  n 4 1  n  n 2 1  n 2 1 
Minden természetes szám felírható
n  5  k  m alakban, ahol m  0,1,2
Ezt behelyet esítvea kifejezésbe :
5k  m   25k 2  10km  m 2  1 25k 2  10km  m 2  1
Ha az m =0 akkor, az első tényező
miatt a szorzat osztható 5-tel. Ha az
m=±1,±2, akkor az m2=1,vagy 4.
Erre viszont a 2. vagy a 3. tényező
lesz 5-tel osztható.
Mutassuk meg, hogy az 57
osztója a 7n+2+7n+1+7n
kifejezésnek, ahol nϵN !
7
n2
7
n 1
7
n

( hatv. azon.)
7  49  7  1  57  7
n
7 7  7 7  7
n
2
n
n
Ebből pedig egyből következik az
oszthatóság.
n
Mutassuk meg, hogy a 3 osztója az
n3+2n kifejezésnek, ahol az nϵN!


n  2n  n  3n  n  n  n  3n
3
3
3
A zárójeles kifejezésről már
megmutattuk, hogy 3-mal osztható, a
3n-ről pedig egyértelmű, így az
összeg osztható-3mal.
Az n változó mely értékeire lesz a 48 osztója
az n3+3n2-n-3 kifejezésnek, ahol az nϵN!
n 3  3n 2  n  3  n 2  (n  3)  (n  3) 
 n  3  (n 2  1)  n  1  n  1  n  3
Ha az n értéke páros, akkor három egymást
követő páratlan szám szorzata szerepel,
nyilván nem osztható a páros 48-cal. Legyen a
továbbiakban n = 2k+1 alakú páratlan szám.
n  1 n  1 n  3  2k  2k  2 2k  4 
 2  k  2  k  1  2  k  2  8  k  k  1 k  2
Az utóbbi szorzat utolsó három tényezős
szorzata osztható 6-tal, így a kifejezés 48-cal.
Mutassuk meg, hogy a 37 osztója
az 1+219+319 + 419 +…. +3619
kifejezésnek, ahol nϵN !
1
 2
 3
 ... 18

 36
 35
 34
 19 
 37  D1  37  D 2  37  D3  ...  37  D18  37  (D1  D 2  ...D18 )
19
19
19
19
19
19
19
19
( 5)
Ebből pedig egyből következik az
oszthatóság.
Mutassuk meg, hogy az n3+5n
kifejezés nϵN esetén mindig osztató
hattal!


n  5n  n  6n  n  n  n  6n
3
3
3
A zárójeles részre már bizonyítottuk,
a másik tagra pedig egyértelmű, így
az egész kifejezés osztható 6-tal.
Mutassuk meg, hogy a 13 osztója a
42n+1+3n+2 kifejezésnek, ahol nϵN !
4
2 n 1
3
 
4 4
2 n
n2

4  4  3 3 
1
( hatv. azon.)
2n
2
 9  3n  4 16n  9  3n 
n


4 16  13  4  3  13 3  4  16  3 
n
n
n
n
n
 13 3n  4 13 D
( 4)
Ebből pedig egyből következik az
oszthatóság.
Mutassuk meg, hogy a 11 osztója a
32n+2+26n+1 kifejezésnek, ahol nϵN !
3
2n2
2
 
9 3
2 n
6 n 1

( hatv. azon.)
 
 2 2
6 n
3  3  2 2 
2
2n
1
6n
 9  9  2  64 
n
n


(11 2)  9  2  64  11 9  2  64  9 
n
n
n

n

n
 11 9 n  2  55 D  11 9 n  2  5  D  11 K
( 4)
Ebből pedig egyből következik az
oszthatóság.
Mutassuk meg, hogy a 19 osztója a
52n-1∙2n+1 + 3n+1∙22n-1 kifejezésnek,
ahol nϵN !
5
2 n 1
2
n 1
n 1
3
2
2 n 1

( hatv. azon.)
1
1
5  5  2 2 3  3  2  2
2n
1
n
n
A 19-cel való oszthatóságot nem
befolyásolja, ha 10-zel megszorozzuk a
fenti kifejezést !
2n
52 n 1  2 n 1  3n 1  2 2 n 1
  2
4 5
2 n

n
( hatv. azon.)
 
 15 3  2
n
2 n
51  52 n  21 2 n 3  3n  2 1  2 2 n
 4  25n  2 n  15 3n  4 n 
4  50  1512  4  50  19  4  12 
n
( hatv. azon.)


n

n
19 12n  4  50n  12n  19 12n  4  38 D 

 19  12n  8  D

n
Mely egészekre lesz a alábbi tört
egész?
3n  4
n 3
3n  4 3  n  3  9  4 3  n  3  13



n3
n 3
n 3
13
3
, tehát n  313
n3
n  3  1;13
Így az n lehetséges értékei
n = -2; -4; 10; -16
Mely egészekre lesz a alábbi tört
egész?
n  14n  40
2
n  10n  24
2
n  14n  40 n  4  n  10


2
n  10n  24 n  4  n  6 n  4, 6
n  10 n  6  4
4


 1
n6
n6
n6
n  6 4  n  6  1;2;4
2
Tudjuk, hogy a p+q+r = 1002 egyenlőségben a
p,q,r különböző prímszámok, továbbá közülük
a két nagyobbik egymástól nem tér el 20-nál
többel. Melyek ezek a prímszámok?
Három prím összeg csak akkor páros, ha
az egyik a 2.(Pl. p=2)
Így q+r =1000
A feltétel miatt q ≤ r esetén r - q ≤ 20
Tehát 500-10 ≤q < r ≤ 500+10
Ennek pedig csak a p = 491 és az r = 509
felel meg.