Transcript решение задач

Тема:
МОУ «СОШ № 40»
Учитель математики
Никитюк О.С.
Содержание:
Предисловие;
 Этапы решения;
 Виды задач на движение;
 Нестандартные способы решения
задач;
 Заключение.

ВЫХОД
Предисловие
При обучении различным предметам используются задачи, которые принято называть
учебными: с их помощью формируются предметные знания, умения, навыки.
Развивается логическое мышления, сообразительность и наблюдательность, умения
самостоятельно осуществлять небольшие исследования. Особенно широко учебные
задачи применяются в математике, физике, химии, географии. В этих задачах, как
правило, используются математические способы решения. Поэтому, большое
значение при обучении математике имеет формирование общего приёма решения
задач. Но анализ практики показывает, что основное внимание уделяется
ознакомлению со специальными способами решения отдельных типов задач. Это
приводит к тому, что учащиеся не приобретают умения самостоятельно анализировать
и решать различные типы задач. Необходимо помочь им разобраться в типах и
методах решения таких задач. Рассмотрим на задачах «на движение». Следует также
заметить, что к задачам «на движение» относятся также и задачи, в которых кто-либо
выполняет какую-нибудь работу, или задачи, связанные с наполнением резервуаров. В
задачах такого типа вся работа или полный объём резервуара играют роль
расстояния, а
производительности объёмов, совершающих работу, аналогичны
скоростям движения. Задачи такого типа будут рассмотрены в следующих работах.)
Общий приём решения задач включает: знание этапов решения(процесса), методов
(способов) решения, типов задач, обоснование выбора способа решения на основании
анализа текста задачи, а также владение предметными знаниями: понятиями,
определениями терминов, правилами, формулами, логическими приёмами и
операциями.
В задачах, связанных с движением, полезно составить иллюстративный чертёж. Этот
чертёж нужно сделать таким, чтобы на нём была видна динамика движения, со всеми
встречами, остановками и поворотами. Хорошо составленный чертёж позволяет понять
содержание задачи, не заглядывая в её текст.
Допущения в условиях задач «на движение»
движение на отдельных участках считается равномерным; при этом
пройденный путь определяется по формуле S=V t
повороты движущихся тел принимаются мгновенными, т. е. происходит без
затрат времени; скорость при этом также меняется мгновенно;
если тело движется по течению реки, то его скорость(V) слагается из
скорости в стоячей воде(Vc ) плюс скорость течения реки (Vт):V= V c+ V т
,а
если против течения реки, то его скорость равна V= V c -V т . Если в условии
задачи речь идёт о движении плотов, то этим хотят сказать, что тело движется
со скоростью течения реки.
Этапы решения задач:
Анализ текста задачи;
Перевод текста на язык математики;
Установление отношений между данными и
вопросом;
Составление плана решения задачи;
Осуществление плана решения;
Проверка и оценка решения задачи.
Анализ текста задачи
Работа над текстом задачи включает:
Семантический анализ,
Логический анализ,
Математический анализ.
Семантический анализ направлен на обеспечение
понимания содержания текста и предполагает:
 Выделение и осмысление:
-
-отдельных слов, терминов,
-грамматических конструкций(« если…,то», «после того, как…» и т.д.)
-количественных характеристик объекта, задаваемых словами
«каждого», «какого-нибудь», «любое», «всего», «все», «почти все»,
«одинаковые», «разные», «столько же», «поровну», «большинство»и
т.д.;
 Выделение только существенной для решения задачи
информации;
 Выделение обобщенного смысла задачи
указание
на
объект
и
величину,
которая
найдена(стоимость, объём, количество и т.д.).
должна
быть
Логический анализ предполагает:
Умение заменить термины их определениями;
Выводить следствия из имеющихся в условии задачи
данных( понятия, процессы, явления).
Математический анализ
включает анализ условия и
требования задачи. При этом анализ условия происходит исходя из
требований задачи.
Анализ условия направлен на выделение:
а)объектов( предметов, процессов):
-рассмотрение объектов с точки зрения целого и частей,
-рассмотрение количества объектов и их частей;
б)величин, характеризующих каждый объект;
в)характеристик величин:
-однородные, разнородные,
-числовые значения(данные),
-известные и неизвестные данные,
-изменения данных: изменяются(указание логического порядка всех изменений), не
изменяются,
-отношения между известными данными величин.
Анализ требования:
-выделение неизвестных количественных характеристик величин объекта(ов).
Перевод текста на язык математики с помощью
вербальных и невербальных средств;
Чтобы можно было работать только с существенными смысловыми
единицами, текст задачи записывается кратко с использованием
условной символики.
Виды графических моделей:
формула
чертёж
схема
график
уравнение
Таблица символических рисунков
Установление отношений между данными и вопросом;
Предусматривает установление отношений между:
-данными условиями,
-данными требования( вопроса),
-данными условиями и требованиями задачи.
На основе анализа условия и вопроса
определяется способ решения (вычислить, построить, доказать),
выстраивается последовательность конкретных действий.
При этом устанавливается достаточность, недостаточность или
избыточность данных.
Типы отношений между объектами и их величинами:
равенство
Часть/целое
разность
кратность
Разности
(на…больше)
больше
на
a– b= c
БОЛЬШЕ
a– b= c
на
БОЛЬШЕ
a+ b= c
(на…меньше)
меньше
a – b= c
на
меньше
a- b= c
на
меньше
a– b= c
на
на
БОЛЬШЕ
a+ b= c
на
меньше
a– b= c
на
Кратности
(в…больше)
больше
в
а: в= с
( в…меньше)
меньше
а: в= с
в
больше
меньше
а: в= с
в
в больше
а: в= с
больше
а: в= с
в
а : в = с
в
меньше
а в= с
в
меньше
а в= с
в
Целого и частей
(… и … всего )
( вместе)
Часть + часть +
+…= целое
Целое – часть –
-… = часть
Часть от всей
величины
составляет
составляет
от
b = m/n  c
% от
величины
составляет
от
b =[m/n100%]с
Вся величина
Вся величина
по величине части по величине %
составляет
от
с = b : m/n
составляет
с = в:[m/n100%]
от
Равенства
(поровну, равны,
столько же…)
а=а
а=в
а=в,в=с
в=а
а=с
а+в=в+а
(а+в)+с = а+(в+с)
План решения:
Последовательность
действий
на
основании
отношений между величинами объектов.
выявленных
Особое значение имеет составление плана
решения для сложных, составных задач.
Осуществление плана решения включает:
—анализ условий;
—решение задачи  выполнение действий;
—запись решения задачи;
—выделение способов решения.
Запись решения задачи может осуществляться в виде записи
последовательных определенных действий (с пояснением и без) и в
виде выражения (развернутого или сокращенного).
Проверка и оценка решения задачи
с точки зрения адекватности плана решения,
способа решения, ведущего к результату,
рациональности способа, нет ли более простого.
Задачи на движение
Задачи на встречное движение
Задачи на движение в противоположных
направлениях
Задачи на движение с отставанием
Задачи на движение вдогонку
Задачи на встречное движение
Задачи на встречное движение решаются путем нахождения скорости сближения
(эта скорость показывает, на какое расстояние объекты приблизятся друг к другу
за одну единицу времени).
Пример: Из двух городов, расстояние между которыми 1200 км, выехали
одновременно навстречу друг другу два мотоциклиста; скорость одного из
них была на 10 км/ч больше скорости другого. Через 6 часов расстояние
между ними было на 360 км больше пройденного. Найдите скорость каждого
мотоциклиста.
Анализ текста:
1. Объекты: 2 мотоциклиста
2.Понятия: одновременно, навстречу
3. Установление отношений разности: на…больше
4. Условия:S=1200км, t=6ч.
5.План решения: (для составления уравнения)
1.Какую величину удобно обозначить, например, буквой X?(Анализируется,
удобно ли за Х взять величину, о которой спрашивается в задаче, или лучше какуюлибо другую.
1). Пусть скорость одного мотоциклиста x км/ч
2.Остальные неизвестные величины выражаются через Х.
2) Тогда (x+10) км/ч - скорость второго
3.Зная скорость каждого из них найдём скорость сближения, чтобы найти
пройденное расстояние за 6 часов.
3) (2x+10) км/ч – скорость сближения.
Расстояние, пройденное мотоциклистами равно 6(2x+10) км.
4. По условию задачи сравниваются пройденное и оставшееся расстояния. Можно
ли найти оставшееся?
4) (1200 – 6(2x+10) ) км – оставшееся расстояние
5. Установлено ли отношение между этими величинами?
5) Оставшееся на 360 км больше пройденного
6. Используя отношение можно ли составить уравнение?
6) Получим уравнение: 1200 – 6(2x+10) = 6(2x+10) +360
7.Легко ли решить полученное уравнение? Отвечая на этот вопрос, ученик должен
подумать, не следует ли для составления уравнения использовать другую связь
между величинами.
7) Решить уравнение
(Задачи на встречное движение)
Пример:
Из двух городов, расстояние между которыми 1200 км, выехали
одновременно навстречу друг другу два мотоциклиста; скорость одного из
них была на 10 км/ч больше скорости другого. Через 6 часов расстояние между
ними было на 360 км больше пройденного. Найдите скорость каждого
мотоциклиста.
Решение:
1). Пусть скорость одного мотоциклиста x км/ч, тогда (x+10) км/ч - скорость второго; а
(2x+10) км/ч – скорость сближения.
2). Расстояние, пройденное мотоциклистами равно 6(2x+10) км.
3). Тогда (1200 – 6(2x+10) ) км – оставшееся расстояние, известно, что оно на 360 км
больше пройденного. Получим уравнение: 1200 – 6(2x+10) = 6(2x+10) +360
4). Решим уравнение: 1200 – 6(2x+10) = 6(2x+10) +360
Х=30
Скорость одного мотоциклиста – 30 км/ч.
5). Найдём скорость второго.
30+10=40(км/ч)
Ответ: скорость одного мотоциклиста 30 км/ч, а другого – 40 км/ч.
Задачи на движение в противоположных направлениях
Пример: Из одной деревни в противоположных направлениях вышли
одновременно два пешехода. Через 8 часов расстояние между ними
стало равным 96 км. Расстояние, которое прошел первый пешеход на
16 км больше расстояния, которое прошел второй пешеход. Найдите
скорость каждого пешехода.
Анализ текста:
1. Объекты: два пешехода
2.Понятия:одновременно, в противоположных направлениях
3. Установление отношений разности: на…больше
4. Условия:S=96км, t=8ч.
5.План решения:(по действиям)
Мы можем найти скорость удаления пешеходов друг от друга, разделив расстояние 96 км
на 8 ч. Эта скорость показывает, на какое расстояние пешеходы удалятся друг от друга
за 1 ч. За 8 ч после начала движения первый пешеход прошёл на 16 км больше второго,
следовательно, мы можем узнать, на сколько первый пешеход проходил за 1 ч больше, чем
второй. Для этого разделим 16 км на 8 ч. Если из найденной скорости удаления отнять
разность скоростей обоих пешеходов, то мы найдём удвоенную скорость второго
пешехода. Для того чтобы найти скорость первого пешехода, прибавим разность
скоростей к только что найденной скорости второго пешехода.
(Задачи на движение в противоположных направлениях)
Пример:
Из одной деревни в противоположных направлениях вышли
одновременно два пешехода. Через 8 часов расстояние между ними стало
равным 96 км. Расстояние, которое прошел первый пешеход на 16 км больше
расстояния, которое прошел второй пешеход. Найдите скорость каждого
пешехода.
Решение:
1). 96:8 = 12 (км/ч) – скорость удаления пешеходов друг от друга.
2). 16:8 = 2 (км/ч) – разность скоростей обоих пешеходов.
3). 12 – 2 = 10 (км/ч) – удвоенная скорость второго пешехода.
4). 10:2 = 5 (км/ч) – скорость второго пешехода.
5). 5 + 2 = 7(км/ч) – скорость первого пешехода.
Ответ: 7 км/ч – скорость первого, 5км/ч – скорость второго.
Задачи на движение с отставанием
Пример: От пристани в одном направлении отплыли одновременно два
корабля. Скорость первого корабля-25км/ч. Через 5ч расстояние, которое
прошёл второй корабль, составило 4/5 расстояния, который прошёл первый
корабль. Найдите скорость второго корабля.
Анализ текста:
1.Объекты:два корабля
2. Понятия: одновременно,
3.Установление отношений: целого и частей (4/5 от…)
4.Условия: (запишем таблицей)
корабли
Величины
1
2
t (ч)
5
5
V (км/ч)
25
?
S (км)
255
?4/5 от
5. План решения:
1. Чтобы найти скорость второго корабля нужно знать
расстояние
затраченное на это расстояние. Время известно, а расстояние нет.
и время
2. Чтобы найти пройденное расстояние нам известно отношение(4/5) между
расстояниями первого и второго. Для этого нужно знать как находится часть от
числа.
3. Нам не известно расстояние первого корабля, но мы знаем время и скорость
первого поэтому сможем вычислить..
6.запись решения:
Решение (выражением)
4
25  5  : 5  20(км / ч)
5
Ответ: 20км/ч-скорость второго корабля.
Vc
Задачи на движение вдогонку
Задачи на движение вдогонку решаются путем нахождения скорости приближения
(эта скорость показывает, на какое расстояние объекты приближаются друг к
другу за одну единицу времени).
Пример: От двух лодочных станций, расстояния между которыми составляет
54 км отправились одновременно лодка и катер. Скорость катера – 25 км/ч,
скорость лодки – 7 км/ч. Через некоторое время катер догнал лодку. Найдите
расстояние, пройденное катером.
Анализ текста:
1.Объекты:катер, лодка
2. Понятия :одновременно, некоторое время, догнал.
3.Условия:расстояние между станциями S=54км, скорости Vk  25км / ч, Vл  7км / ч,
4.План решения:
Vk
S=54
:
t
Vл
Vc
.
S
Vk
(Задачи на движение вдогонку)
Пример: От двух лодочных станций, расстояния между которыми составляет 54
км отправились одновременно лодка и катер. Скорость катера – 25 км/ч, скорость
лодки – 7 км/ч. Через некоторое время катер догнал лодку. Найдите расстояние,
пройденное катером.
5.запись решения:
Решение:
1). 25 – 7 =18 (км/ч) – скорость приближения катера к лодке.
2). 54:18 = 3 (ч) – время, затраченное катером на то, чтобы догнать лодку
3). 253 = 75(км) – расстояние, пройденное катером до момента встречи с лодкой.
Ответ: 75 км.
Нестандартные способы решения задач
Решение задач методом подобия
Решение задачи графическим способом
Решение задач методом «лишних неизвестных»
Решение задач в общем виде
Решение задач методом подобия
Помогает
избежать
громоздких
рассуждений
и
составления
сложного уравнения (или нескольких уравнений).
Ход решения:
1). Построить схематически графики движений;
2). Доказать подобие треугольников и составить пропорцию.
Пример: Две старушки вышли одновременно навстречу друг другу
из своих городов. Они встретились в полдень и достигли чужого
города: первая в 4ч пополудни, а вторая в 9ч. Узнайте когда они
вышли из своих городов.
Решение: Пусть старушки встретились через х ч после выхода из своих городов.
1). Построим схематически графики движений первой и второй старушек: РР1 и VV1
соответственно.
2). Моменту их встречи соответствует точка М графиков.
3). Из условия задачи следует, что NP1=4, KV1=9. Требуется найти РК=х.
4). Из подобия двух пар треугольников VMN
пропорции: х  MN ,
9
MK
MN 4

MK
x
, откуда
x 4

9 x
и V1MK, MPK
и MP1N получим
.
5).Уравнение имеет единственный положительный корень 6, поэтому старушки
были в пути 6ч и вышли из своих городов в 6ч утра.
S
x
N
V
4
P1
Условие: Две старушки вышли одновременно
навстречу друг другу из своих городов. Они
встретились в полдень и достигли чужого
города: первая в 4ч пополудни, а вторая в 9ч.
Узнайте когда они вышли из своих городов.
M
t
P
x
K
9
V1
Решение задачи графическим способом
Построить схематически графики движений объектов
Пример:
От
пристани
А
вниз
по
течению
одновременно
отправляются два плота - один по течению реки, а другой
буксируется катером, собственная скорость которого 20 км/ч. В
какой-то момент катер отцепил плот, развернулся и отбуксировал
его к пристани В.Интересно, что при этом плоты прибыли к
пристани В одновременно. Определите время движения плотов от
А до В, если известно, что расстояние АВ равно 32 км, скорость
течения реки 4 км/ч, а собственная скорость катера была
постоянной при движении в том и в другом направлении.
Решение: 1). Построим графики движения плотов и катера.(AED - график
движения первого плота, ACD-график движения второго плота, ACED- график
движения катера).
2).Так как время удаления катера от первого плота равно времени сближения с ним,
время удаления катера от второго плота равно времени сближения с ним, то
промежутки времени, соответствующие участкам графика AC,CE,ED равны обозначим их х ч.
3). Со скоростью 24 км/ч катер прошел 24х+24х=28х(км), а со скоростью 16 км/ч катер
прошёл 16х км в обратном направлении, поэтому расстояние АВ через х можно
выразить так: 48х -16х=32х, что по условию задачи равно 32км, откуда х=1, а время
движения плотов равно 3ч.
s
Условие:
D
От
пристани
А
вниз
по
течению
одновременно отправляются два плота- один по
В
течению реки, а другой буксируется катером,
собственная скорость которого
20 км/ч. В какой-
то момент катер отцепил плот, развернулся и
С
отбуксировал его к пристани В.Интересно, что при
этом плоты прибыли к пристани В одновременно.
Определите время движения плотов от А до В,
Е
если известно, что расстояние АВ равно
32 км,
скорость течения реки 4 км/ч, а собственная
скорость катера была постоянной при движении в
t
А
x
x
x
том и в другом направлении.
Решение задач методом «лишних неизвестных»
Задача может быть решена без уравнения - вычислением отношения
с сокращением «лишнего» неизвестного, составлением уравнения
или системы уравнений, в которых число неизвестных превышает
число уравнений.
Пример: Велосипедист ехал из А в В со скоростью 15км/ч,
а возвращался назад со скоростью 10км/ч. Какова средняя
скорость велосипедиста на всём участке?
Решение: х км -расстояние от А до В, тогда
х
х
х

 ч затрачено на путь
15 10 6
туда и обратно. Вычислим среднюю скорость, поделив пройденный путь на
время движения:
2х :
х 2х  6

 12(км / ч).
6
х
Ответ: 12км/ч – средняя скорость велосипедиста на всем участке
Решение задач в общем виде
Решение задач в общем виде, возникает в двух случаях: значения некоторых
величин, от которых зависит ответ задачи, заменены буквами, или требуется решать
несколько однотипных задач, отличающихся только значениями величин.
Пример: Теплоход длины L м движется в неподвижной воде. Катер, имеющий
скорость v м/с, проходит расстояние от кормы движущегося теплохода до его
носа за t c.Найдите скорость теплохода.
Решение: х м/с- скорость теплохода.
Тогда на путь в оба конца катер тратит
L  с, что по условию задачи равно
 L



v x v x
L 
 L

t с. Составим уравнение 
t .
v x v x
tv 2  tx 2  2vL
Перепишем это уравнение в виде
 0 . Это уравнение имеет
2
2
v x
единственный положительный корень
tv 2  2vL м/с.
t
2
tv  2vL
м/с – скорость теплохода.
t
теплохода равна
Ответ:
tv 2  2vL , следовательно, скорость
t
Заключение:
Говоря с учащимися о выборе подходящего способа решения, не следует
формировать у них представление о некоем абсолютном преимуществе одного
способа от другого. Скорее, следует говорить о том, что каждый способ хорош в
подходящей ситуации.
Необходимо дать право выбора учащимся, не забывая при этом показывать
рациональные способы решения данной задачи.
(Следует также заметить, что к задачам «на движение» относятся также и задачи, в
которых кто-либо выполняет какую-нибудь работу, или задачи, связанные с
наполнением резервуаров. В задачах такого типа вся работа или полный объём
резервуара играют роль расстояния, а производительности объёмов, совершающих
работу, аналогичны скоростям движения. Задачи такого типа будут рассмотрены в
следующих работах.)