Transcript Divisibilità - Paola Sirigu

Divisori
SEGNO DI
OPERAZIONE
15 :
3 = 5
DIVIDENDO
DIVISORE
QUOTO
3 È DIVISORE DI 15 PERCHÉ LA DIVISIONE È ESATTA (IL
RESTO È ZERO).
MA QUALI SONO GLI ALTRI DIVISORI DI
15?
D(15) = {1; 3; 5; 15}
I DIVISORI DI UN NUMERO SONO SEMPRE UN NUMERO FINITO.
QUELLI DI 15 SONO 4.
Prof.ssa Paola Sirigu
Esempi:
D(12)={1; 2; 3; 4; 6; 12}
D(18)={1; 2; 3; 6; 9; 18}
D(24)={1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}
D(45)={1; 3; 5; 9; 15; 45}
D(64)={1; 2; 4; 8; 16; 32; 64}
Prof.ssa Paola Sirigu
Multipli
COS’È UN MULTIPLO?
TROVIAMO UN MULTIPLO DI 12.
UN MULTIPLO DI 12 È UN NUMERO CHE SI
PUÒ OTTENERE MOLTIPLICANDO IL NUMERO
12 PER UN ALTRO NUMERO:
12 × 2 = 24
QUINDI 24 È UN MULTIPLO DI 12
UN NUMERO HA INFINITI MULTIPLI
Prof.ssa Paola Sirigu
VEDIAMO ALTRI MULTIPLI DI 12
12 × 1 = 12
12 × 10 = 120
12 × 2 = 24
12 × 11 = 132
12 × 3 = 36
12 × 12 = 144
12 × 13 = 156
12 × 4 = 48
12 × 5 = 60
12 × 14 = 168
12 × 6 = 72
12 × 15 = 180
12 × 7 = 84
12 × 16 = 192
…
12 × 8 = 96
12 × 9 = 108
M(12)={12; 24; 36; 48; 60; 72; …}
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Esempi:
M(5)={5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; …}
M(18)={18; 36; 54; 72; 90; 108; …}
M(24)={24; 48; 72; 96; 120; 144; …}
M(45)={45; 90; 135; 180; 225; …}
M(64)={64; 128; 192; 256; 320; …}
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CRITERIO DIVISIBILITÀ PER DUE
UN NUMERO È DIVISIBILE PER DUE SE
L’ULTIMA CIFRA A DESTRA (UNITÀ) È:
0 oppure 2 oppure 4 oppure 6 oppure 8
CIOÈ È PARI
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Esempi di numeri divisibili per 2:
210
finisce con 0
72
finisce con 2
3254
finisce con 4
1286
finisce con 6
538
finisce con 8
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Esempi di numeri non divisibili
per 2:
111
finisce con 1
73
finisce con 3
125
finisce con 5
727
finisce con 7
1139
finisce con 9
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CRITERIO DIVISIBILITÀ PER TRE
UN NUMERO È DIVISIBILE PER TRE SE LA
SOMMA DELLE SUE CIFRE È UN MULTIPLO
DI TRE.
SE LA SOMMA NON È MOLTO GRANDE STA
NELLA TABELLINA DEL TRE
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
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Esempi di numeri divisibili per 3:
531
5+3+1=9
951
9 + 5 + 1 = 15
4002
4+0+0+2=6
919191
9 + 1 + 9 + 1+ 9 + 1 = 30
888
8 + 8 + 8 = 24
9999
9 + 9 + 9 + 9 = 36
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Esempi di numeri non divisibili
per 3:
125
1+2+5=8
721
7 + 2 + 1 = 10
6412
6 + 4 + 1 + 2 = 13
182141
1 + 8 + 2 + 1+ 4 + 1 = 17
257
2 + 5 + 7 = 14
5555
5 + 5 + 5 + 5 = 20
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CRITERIO DIVISIBILITÀ PER CINQUE
UN NUMERO È DIVISIBILE PER
CINQUE SE L’ULTIMA CIFRA A DESTRA
(UNITÀ) È:
0
oppure
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5
Esempi di numeri divisibili per 5:
900
finisce con 0
45
finisce con 5
1245
finisce con 5
5320
finisce con 0
235
finisce con 5
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Esempi di numeri non divisibili
per 5:
431
finisce con 1
62
finisce con 2
623
finisce con 3
277
finisce con 7
7639
finisce con 9
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CRITERIO DIVISIBILITÀ PER
DIECI, CENTO, MILLE, …
UN NUMERO È DIVISIBILE PER DIECI SE
L’ULTIMA CIFRA A DESTRA È 0
UN NUMERO È DIVISIBILE PER CENTO SE LE
ULTIME DUE CIFRE A DESTRA SONO
00
UN NUMERO È DIVISIBILE PER MILLE SE LE
ULTIME DUE CIFRE A DESTRA SONO
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000
…
SE UN NUMERO È DIVISIBILE PER
100 È DIVISIBILE ANCHE PER 10
1300
ESEMPIO:
SE UN NUMERO È DIVISIBILE PER 1000
È DIVISIBILE ANCHE PER 100 E PER 10
ESEMPIO:
433000
Prof.ssa Paola Sirigu
Esempi di numeri divisibili per
10:
910 finisce con 0
40 finisce con 0
9000 finisce con 0
120 finisce con 0
11400 finisce con 0
Prof.ssa Paola Sirigu
Esempi di numeri divisibili per
100:
900 finisce con 00
1400 finisce con 00
9000 finisce con 00
12000 finisce con 00
5100 finisce con 00
Questi sono divisibili anche per 10.
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Esempi di numeri divisibili per
1000:
9000 finisce con 000
14000 finisce con 000
2000 finisce con 000
10000 finisce con 000
5000 finisce con 000
Questi sono divisibili anche per 10 e per 100
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NUMERI PRIMI E NUMERI COMPOSTI
UN NUMERO SI DICE PRIMO SE È
DIVISIBILE SOLO PER 1 E PER SE
STESSO
D(2)={1; 2}
D(19)={1; 19}
D(7)={1;7}
D(17)={1; 17}
D(31)={1;31}
D(37)={1; 37}
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UN NUMERO SI DICE COMPOSTO
SE HA ALTRI DIVISORI OLTRE A 1
E SE STESSO
D(12)={1; 2; 3; 4; 6; 12}
D(24)={1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}
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Casi Particolari
CI SONO DUE NUMERI CHE NON
SONO NÉ PRIMI NÉ COMPOSTI
E SONO:
0
e
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1
Scomposizione in fattori primi
Ogni numero, se non è primo, può essere
considerato come il prodotto di due o più numeri
primi
36 2
60 2
18 2
30 2
9 3
15 3
3 3
5 5
1
1
36=2x2x3x3
60=2x2x3x5
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MINIMO COMUNE MULTIPLO (mcm)
Dati due, o più, numeri naturali, diversi da
zero, si chiama loro minimo comune multiplo
(mcm), il più piccolo fra i loro multipli comuni.
M(8)={8; 16; 24; 32; 40; 48; …}
M(12)={12; 24; 36; 48; 60; 72; …}
mcm(8;12)= 24
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Altri esempi
M(10)={10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; …}
M(12)={12; 24; 36; 48; 60; 72; …}
M(15)={15; 30; 45; 60; 75; 90; …}
mcm(10;12;15)= 60
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Scomposizione in fattori primi
e minimo comune multiplo
36= 22x32
36 2
18 2
9 3
3 3
1
60= 22x3x5
Si moltiplicano i Fattori comuni e
non comuni, una volta sola, con il
max esponente:
22x32x5 =180
60 2
30 2
15 3
5 5
1
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per trovare il minimo comune
multiplo tra due o più numeri si
devono scomporre i numeri in fattori
primi e si moltiplicano fra loro i fattori
comuni e non comuni presi una sola
volta e con l'esponente più grande
36= 22x32
60= 22x3x5
m.c.m.= 22x 32x 5 = 180
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MASSIMO COMUNE DIVISORE (MCD)
Dati due o più numeri naturali, diversi da zero,
si chiama massimo comune divisore (MCD) il
più grande divisore che hanno in comune.
D(24)={1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}
D(30)={1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
MCD(24;30)= 6
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Esempio con tre numeri
D(16)={1; 2; 4; 8; 16}
D(20)={1; 2; 4; 5; 10; 20}
D(24)={1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}
MCD(16;20;24)= 4
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Scomposizione in fattori primi
e massimo comune divisore
36 2
18 2
9 3
3 3
1
36= 22x32
60= 22x3x5
60 2
30 2
Si moltiplicano solo i Fattori
comuni con l’esponente più piccolo:
2 x 2 x 3 = 12
M.C.D. =22x3 = 12
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15 3
5 5
1
per trovare il massimo comune divisore
tra due o più numeri si devono scomporre i
numeri in fattori primi e si moltiplicano fra loro
i fattori comuni presi una sola volta e con
l'esponente più piccolo
36= 22x32
60= 22x3x5
M.C.D. =22x3 = 12
se i numeri non hanno
fattori in comune il
M.C.D. è 1
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