Transcript ppt Thales

Hoofdstuk 7
Projectie en stelling van thales
2. Instap
2. Instap
B
A
A’
B’
3. Evenwijdige projectie
p
B
A
Z
x
Z’
A’
B’
3. Evenwijdige projectie
1. Construeer door Z de evenwijdige
rechte met p
2. Het snijpunt van die rechte met x
is het gezochte beeld Z’
p
B
A
Z
x
Z’
A’
B’
4. Beeld van een figuur
B
p
C
A
F
H
E
J
x
D
G
I
J’
G’
A’
C’
De evenwijdige projectie
Vragen en opdrachten
1.
Bepaal het beeld van de figuur F door de
projectie op x, evenwijdig met p:
p
x
1. Bepaal het beeld van de figuur F door
de projectie op x, evenwijdig met p:
x
p
1. Bepaal het beeld van de figuur F door
de projectie op x, evenwijdig met p:
p
x
4. Bepaal het beeld van een rechte a door de projectie op x,
evenwijdig met p. Maak, zo nodig, een onderscheid.
a
A’
1° geval: rechte a loopt evenwijdig met p:
Het beeld van de rechte is een punt A’
4. Bepaal het beeld van een rechte a door de projectie op x,
evenwijdig met p. Maak, zo nodig, een onderscheid.
B’
A’
C’
2° geval: rechte a loopt niet evenwijdig met p:
Het beeld van de rechte a is de rechte x
5.
Behoren de koppels (A, A') en (B, B') tot een
zelfde evenwijdige projectie?
1° vraag: lopen AA’ en BB’ evenwijdig?
AA’ // BB’
x
2° vraag: liggen A’ en B’ op één rechte?
Ja
p
Besluit:
De koppels behoren tot de evenwijdige
projectie op x evenwijdig met p
5.
Behoren de koppels (A, A') en (B, B') tot een
zelfde evenwijdige projectie?
1° vraag: lopen AA’ en BB’ evenwijdig?
AA’ // BB’
2° vraag: liggen A’ en B’ op één rechte?
Ja
p
Besluit:
De koppels behoren tot de evenwijdige
projectie op x evenwijdig met p
5.
Behoren de koppels (A, A') en (B, B') tot een
zelfde evenwijdige projectie?
1° vraag: lopen AA’ en BB’ evenwijdig?
Nee!
Besluit:
De koppels behoren niet tot een
evenwijdige projectie
5.
Behoren de koppels (A, A') en (B, B') tot een
zelfde evenwijdige projectie?
1° vraag: lopen AA’ en BB’ evenwijdig?
Nee, maar in B vertrekt
een lus dus B ligt op …
2° vraag: liggen A’ en B’ op één rechte?
Ja
p
Besluit:
De koppels behoren tot de evenwijdige
projectie op x evenwijdig met p
6.
De gegeven koppels bepalen een evenwijdige projectie.
Construeer het beeld van het punt A.
A’
1°: projectierichting p bepalen
2°: projectiescherm x bepalen
3°: beeld van A bepalen
evenwijdig met p op x
7. Bepaal voor de volgende figuur de beelden van A, B, C, D door
a. de projectie op BD, evenwijdig met AD, (A’,B’,C’ en D’)
b. de projectie op BD, evenwijdig met AC. (A’’,B’’,C’’ en D’’)
=B’=C’ =B’’
=A’’ =C’’
=A’ =D’
=D’’
Hoofdstuk 11
Homothetie
5. Instap
p201
Een koppel met een getal vermenigvuldigen
Voorbeeld:
(6,-1).2 =
(12,-2)
(6,-1).(-2) =
(-12,2)
Welk koppel krijg je als je het koppel (0, 0) met om het even welk getal
vermenigvuldigt?
Antwoord:
Het koppel (0,0)
5. Opdracht 1 :
p201
We geven ten opzichte van een assenstelsel (x, y) het
rechthoekig trapezium ABCD met hoekpunten:
A(6,-1)
B(2,3)
C(6,3)
D(8, 1)
C’
B’
D’
A’
A’(12,-2)
B’(4,6)
C’(12,6)
D’(16, 2)
5. Opdracht 1 :
We geven ten opzichte van een assenstelsel (x, y) het
rechthoekig trapezium ABCD met hoekpunten:
A(6,-1)
B(2,3)
C(6,3)
D(8, 1)
A’
D’
C’
B’
A’(-12,2)
B’(-4,-6)
C’(-12,-6)
D’(-16,-2)
p201
6. Homothetie
Opmerking 5 :
p201
Waar eindigen alle pijlen als k = O ?
Alle pijlen
eindigen in de
oorsprong (0,0)
= de constante
homethetie
6. Homothetie
Opmerking 6 :
p201
Ook k = -1 geeft een bijzondere transformatie. Welke?
A’ (-6,1)
(6,-1)
D’
C’
B’
= de puntspiegeling met centrum O
= de draaiing d(O,180°)
8. Eigenschappen van een niet-constante homothetie
 een niet-constante homothetie behoudt
 Het rechte-zijn
 de evenwijdige stand van rechten
 de hoekgrootte
 de loodrechte stand van rechten
 een niet-constante homothetie beeldt een rechte op
een evenwijdige rechte af.
A’
D’
C’
B’
9. Instap
p204
We geven ten opzichte van een assenstelsel een rechthoekige driehoek met hoekpunten:
A(2, - 2)
B(2, 1)
C(6, - 2)
C’
A’
B’
h(O,-2)
A’(-4,4)
B’(-4,-2)
C’(-12,4)
10. Verdere eigenschappen
C’
p204
A’
B’
Meet de zijden van ABC en A'B'C':
|AB| = 1,5 cm
|BC|= 2,5 cm
|CA| = 2 cm
|A'B'|= 3 cm
|B'C'|= 5 cm
|CA'|= 4 cm
Voor een homethetie met centrum O en factor k geldt:
|A’B’| = |k|.|AB|
10. Verdere eigenschappen
C’
p205
A’
B’
Bereken de omtrekken van ABC en A'B'C':
Omtrek ABC
= 1,5 cm + 2,5 cm + 2 cm = 6 cm
Omtrek A’B’C’ = 3 cm + 5 cm + 4 cm = 12 cm
Voor een homethetie met centrum O en factor k geldt:
omtrek ABC
= |k|. omtrek A’B’C’
10. Verdere eigenschappen
C’
p204
A’
B’
Bereken de oppervlakten van ABC en A'B'C':
Oppervlakte ABC
= (2 cm . 1,5 cm) : 2 = 1,5 cm²
Oppervlakte A’B’C’ = (4 cm . 3 cm) : 2 =
6 cm²
Voor een homethetie met centrum O en factor k geldt:
oppervlakte ABC
= k². oppervlakte A’B’C’
11. Een homothetie zonder assenstelsel. p206
2
C’
2
B’
1
1
D’
2
1
0 0
0
0
1
2A’
11. Een homothetie zonder assenstelsel. p206
Methode 1: Bepaal het beeld van het punt A door de homothetie h(O,3)
A’
O
A
3
2
1
0
1. Trek de rechte OA
2. Geef O de abscis 0 en A de abscis 1
3. Zoek op de rechte OA het punt met abscis 3
4. Dit punt is het beeld A’ van A door h(O,3)
11. Een homothetie zonder assenstelsel. p206
Methode 1: Bepaal het beeld van het punt A door de homothetie h(O; -0,5)
A’
-0,5
1. Trek de rechte OA
2. Geef O de abscis 0 en A de abscis 1
3. Zoek op de rechte OA het punt met abscis -0,5
4. Dit punt is het beeld A’ van A door h(O;-0,5)
11. Een homothetie zonder assenstelsel. p206
Methode 1: Bepaal het beeld van het punt A door de homothetie h(O,4)
0
1
A’
4
1. Trek de rechte OA
2. Geef O de abscis 0 en A de abscis 1
3. Zoek op de rechte OA het punt met abscis 4
4. Dit punt is het beeld A’ van A door h(O,4)
11. Een homothetie zonder assenstelsel. p206
Methode 1: Bepaal het beeld van het punt A door de homothetie h(O,-3)
1
0
-3
A’
1. Trek de rechte OA
2. Geef O de abscis 0 en A de abscis 1
3. Zoek op de rechte OA het punt met abscis -3
4. Dit punt is het beeld A’ van A door h(O,-3)
11. Een homothetie zonder assenstelsel. p206
Methode 2: Bepaal het beeld van het punt B door de homothetie met
centrum O en koppel (A,A’)
B’
A’
A
B
C’
C
O
D
D’
11. Een homothetie zonder assenstelsel. p206
Methode 2: Bepaal het beeld van het punt B door de homothetie met
centrum O en koppel (A,A’)
1. Trek de rechte OB en AB
2. Trek door A’ de evenwijdige rechte met AB
3. Het snijpunt van deze rechte en OB is B’
B’
Vragen en opdrachten
p 207
8. Bepaal bet beeld van de gegeven figuur door de gegeven homothetie:
0
1
2
8. Bepaal bet beeld van de gegeven figuur door de gegeven homothetie:
0
1
3
8. Bepaal bet beeld van de gegeven figuur door de gegeven homothetie:
-2
0
1
8. Bepaal bet beeld van de gegeven figuur door de gegeven homothetie:
-1,5
-1
0
1
8. Bepaal bet beeld van de gegeven figuur door de gegeven homothetie:
-1/3
0
1
9. Is de figuur F' het beeld van de figuur F door een homothetie?
Zo ja, duid het centrum aan en geef de factor.
1
0
O
-2
h(O,-2)
9. Is de figuur F' het beeld van de figuur F door een homothetie?
Zo ja, duid het centrum aan en geef de factor.
1
0
O
-0,5
h(O;-O,5)
9. Is de figuur F' het beeld van de figuur F door een homothetie?
Zo ja, duid het centrum aan en geef de factor.
Geen homothetie,
wel een verschuiving
10. a. Heeft een homothetie dekpunten? Maak, zo nodig, een onderscheid.
De homothetie met factor  1:
 1 dekpunt, nl. het centrum
De homothetie met factor = 1:
 alle punten zijn dekpunten
10. b. Als je bij een homothetie alle pijlen omkeert, krijg je
dan opnieuw een homothetie?
A’
D’
C’
B’
h-1(O,-2) = h(O;-1/2)
-1
h (O,k)
=
-1
h(O,k )
10. c. Behoudt een niet-constante homothetie de doorloopzin
van een figuur?
A’
D’
C’
B’
Doorloopzin blijft behouden
11. • Omtrek F = 18 cm
Oppervlakte F = 24 cm²
Voor het beeld F' van F door h(O, 3) geldt:
– omtrek F' =
|3|.18 cm = 54 cm
– oppervlakte F' =
3².24 cm² = 9.24 cm² = 216 cm²
• Voor het beeld F" van F door h(P, -4) geldt:
– omtrek F" =
|-4|.18 cm = 72 cm
– oppervlakte F" =
(-4)².24 cm² = 16.24 cm² = 384 cm²
• Voor het beeld F'" van F door h(Q, -0,5) geldt:
– omtrek F'" =
|-0,5|.18 cm = 9 cm
– oppervlakte F'" = (-0,5)².24
cm² = 0,25.24 cm² = 6 cm²
•
Driehoek OBC is het beeld van  OVA door een homothetie met factor
k1 
•
Dus |BC| = k1 . |AV| =
OV
OB
OV
. AV
(1)
Driehoek FBC is het beeld van  FOD door een homethetie met factor
k2 
•
OB
FB
Dus |BC| = k2 . |AV| =
OF
FB
OF
. AV
(2)
Lid aan lid ((2) delen door (1)) geeft:
FB
. AV
BC
OF

OB
BC
. AV
OV

FB OV
1
.
OF OB
A
D
B
C
FB OV
1
.
OF OB
A
D
Vervangen –we nu |FB| door b-f , |OF| door f,
|OB| door b en |OV| door v dan krijgen we
1
b f v
.
f b

1

1



bv  fv
fb
C
bv fv

fb fb
1
v v

f b
1 1 1
 
v f b
1 1 1
 
v b f
B
Beide leden delen door v
Beide leden + 1/b
Voor wie meer wil!
p 208
13. Er bestaan twee homothetieën die de rechthoek F op de rechthoek F‘
afbeelden. Construeer telkens het centrum en geef de factor.
1
O1
0
0
O2
1
2
h(O1,2)
h(O2,-2)
-2
14. Bereken voor elke figuur x en y:
K = 39:13 = 3
x = k.11 = 3 . 11 = 33
y = 24 : k = 24 : 3 = 8
14. Bereken voor elke figuur x en y:
K = 10:5 = 2
x = k.9 = 2 . 9 = 18
y = 10 : k = 10 : 2 = 5
15. Behoren de gegeven koppels tot een zelfde homothetie?
Wordt een rechte
afgebeeld op een
evenwijdige
rechte?
Nee!
Geen homothetie
15. Behoren de gegeven koppels tot een zelfde homothetie?
Ja!
Ja!
Wordt een
rechte afgebeeld
op een
evenwijdige
rechte?
Homothetie
met k>1
Is er een mogelijke
oorsprong?
15. Behoren de gegeven koppels tot een zelfde homothetie?
Ja!
Ja!
Wordt een
rechte afgebeeld
op een
evenwijdige
rechte?
Homothetie
met 0<k<1
Is er een mogelijke
oorsprong?
15. Behoren de gegeven koppels tot een zelfde homothetie?
Ja!
Ja!
Wordt een
rechte afgebeeld
op een
evenwijdige
rechte?
Homothetie
met k<-1
Is er een mogelijke
oorsprong?
16. Construeer het beeld van het punt A door de homothetie
bepaald door de gegeven koppels:
A’
Een lijnstuk
wordt op een
evenwijdig
lijnstuk
afgebeeld…
16. Construeer het beeld van het punt A door de homothetie
bepaald door de gegeven koppels:
A’
Een lijnstuk
wordt op een
evenwijdig
lijnstuk
afgebeeld…
17*. Gegeven is een ABC. Construeer een vierkant met één
hoekpunt op [AB], één op [AC] en twee op [BC].
Nu werk je verder
met een
homothetie met
centrum B…
Teken een vierkant
met 2 punten op
BC en 1 op AB