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2012年度前期
第５回
前回の話
多変数関数の微分
y をある値に固定し，x がΔx 変化したとき f(x,y) が
変化する量を，1変数関数の微分と同じように考える．
f(x,y) の x に関する偏微分
f ( x, y )
x
z
x
z
y


f ( x, y )
x
f ( x, y )
y
 lim
x 0
 lim
y  0
f ( x  x, y )  f ( x, y )
x
f ( x, y  y )  f ( x, y )
y
前回の話
多変数関数の微分
𝑧
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑓(𝑥, 𝑦)

∆𝑓
𝑦
𝑦 + ∆𝑦
𝑥
𝑥 + ∆𝑥
∆𝑓
𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑓
∆𝑓 =
∆𝑥 +
∆𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
∆𝑥 → 0, ∆𝑦 → 0
の極限をとって
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝑑𝑓 =
𝑑𝑥 +
𝑑𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
全微分という
𝑥
前回の話
３次元への拡張
𝑥, 𝑦, 𝑧 の関数 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
全微分は，
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝑑𝑢 = 𝑑𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 =
𝑑𝑥 +
𝑑𝑦 +
𝑑𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
電束と電束密度
電場 E が存在する空間に任意の閉曲面を考える
n： 面に垂直で，外を向く単位ベクトル
dA：面積 dA の大きさを持ち，n の方向を向くベクトル
𝑑𝑨 = 𝒏𝑑𝐴
電場 E
電束 𝜀0 𝑬 ∙ 𝑑𝑨 = 𝜀0 𝑬 ∙ 𝒏𝑑𝐴
n
閉曲面
E に沿って E の大きさに比例する数の
電気力線の束が走っていると考える
電束は，面 dA を裏から表へ突き抜け
る電気力線の数
電束密度
位置 r の微小面積 dA
𝑫 = 𝜀0 𝑬
電束と電束密度
有限の大きさの面 S を通り抜ける電束は，微小面積
dA を通る電束の総和である
電場 E
面積分
n
𝑆
𝑫 ∙ 𝑑𝑨 = 𝜀0
= 𝜀0
閉曲面
位置 r の微小面積 dA
𝑬 ∙ 𝑑𝑨
𝑆
𝑬 ∙ 𝒏𝑑𝐴
𝑆
ガウスの法則(Gauss’ law)
n
E
dA
r
q
q
： 点電荷（座標原点にあるとする）
閉曲面：原点を中心とする半径 R の球面
曲面上の全ての点で，電場E の大きさは
𝑞
𝐸=
4𝜋𝜀0 𝑅2
であるから，曲面全体で積分して

D  dA＝
球
0
q
4  0 R
 4 R  q
2
2
●この式は，点電荷が球の中心になくても，曲面が球でなく，どんな形であっても成立する
●電荷が閉曲面の内部に無く，外部にある場合には，積分値は 0 になる
ガウスの法則(Gauss’ law)
n
E

D  dA 
閉曲面上
q
i
（点電荷のとき）
内部
dA
r
 q 

閉曲面内
 ( r ) dV （連続分布のとき）
ガウスの法則の積分形という
電荷が連続分布しているときには，電荷密度を ρ として
曲面内部の電荷


閉曲面内
 ( r ) dV ガウスの定理
𝑧
∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧 の三辺を持つ直方体を通る電束を計算する
面１
∆𝑧
面２
∆𝑦
∆𝑥
𝑥
面１を通る電束
−𝐷𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧)∆𝑦∆𝑧
面２を通る電束
𝑦 +𝐷𝑥 (𝑥 + ∆𝑥, 𝑦, 𝑧)∆𝑦∆𝑧
x 方向に通る単位面積当りの電束量
𝐷𝑥 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦, 𝑧 − 𝐷𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕𝐷𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧)
lim
=
∆𝑥→0
∆𝑥
𝜕𝑥
ガウスの定理
∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧 の三辺を持つ直方体を通る電束を計算する
𝑧
y ,z 方向に関しても同様のことが成り立つ
∆𝑧
∆𝑦
∆𝑥
𝑥
微小体積 dxdydz を通る電束量
𝜕𝐷𝑥 𝜕𝐷𝑦 𝜕𝐷𝑧
+
+
∙ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝐷𝑥 𝜕𝐷𝑦 𝜕𝐷𝑧
𝑦 𝑑𝑖𝑣 𝐷 =
+
+
=𝛻∙𝐷
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
div D を D の発散(divergence)という
𝜕 𝜕 𝜕
, ,
ナブラ演算子 𝛻 =
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
ガウスの定理
∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧 の三辺を持つ直方体を通る電束を計算する
𝑧
y ,z 方向に関しても同様のことが成り立つ
∆𝑧
任意の閉曲面に対して
∆𝑦
表面
𝑦
∆𝑥
𝑥
𝐷 ∙ 𝑑𝐴 =
内部
𝑑𝑖𝑣 𝐷 𝑑𝑉
ガウスの定理(Gauss’ theorem)
ガウスの法則（微分形）
内部
𝑑𝑖𝑣 𝐷 𝑟 𝑑𝑉 =
表面
𝐷(𝑟) ∙ 𝑑𝐴 =
内部
𝜌 𝑟 𝑑𝑉
この関係が任意の閉曲面で囲まれた体積で成り立つ
ための条件
𝑑𝑖𝑣 𝐷 𝑟 = 𝜌 𝑟
1
または 𝑑𝑖𝑣 𝐸 𝑟 = 𝜌(𝑟)
𝜀0
ガウスの法則の微分形という
電位（ポテンシャルエネルギー）
y
1
F 
q
4  0 r
2
d    Fdr
x
r

    dr (
dr
r
φ
 
r
1
4 
q
0
r
1
4 
q
0
r
2
)
電場と電位
電位φ の中で，単位電荷(1[C])を x から x+dx まで
運ぶのに必要な仕事を ΔW とする
（ただし、y,z は変えない）
x  W   ( x  dx , y , z )   ( x , y , z )
x
x+dx


dx
x
一方で，電場 E に対してする仕事は，おなじ
道筋での移動について  W   E  dx   E dx
x

Ex  

x
電場と電位
y 方向，z 方向に対しても同様にして


Ey  
y
Ez  
z
従って，まとめると
 

 

E   
,
,
y
z 
 x
E      grad 
電場とは，電位の勾配である