Transcript Ruote e Rotismi

Ruote dentate
Sono tra i più importanti organi delle macchine. Caratteristiche della loro diffusione:
costanza del rapporto di trasmissione, facilità di costruzione e di montaggio.
Permettono di trasmettere il moto tra assi paralleli, concorrenti o sghembi.
Una coppia di ruote ingranate costituiscono un ingranaggio.
Ingranaggi cilindrici
a denti dritti, esterne
a denti elicoidali
a denti dritti, interne
1
2
Ingranaggi ad assi sghembi o concorrenti
ruote con assi sghembi
ruote coniche
ruota elicoidale – vite senza fine
2
Ingranaggi cilindrici
Il loro nome deriva dalla forma delle primitive.
Gli assi dei denti possono
• essere paralleli all’asse della ruota  denti dritti
• Formare un’elica intorno all’asse della ruota  denti elicoidali
Rapporto di trasmissione 1/3÷1/10, tipico 1/5÷1/6 .
3
2
Rapporto di trasmissione
Passi angolari:
2
1 
z1
2
2 
z2
Nell’intervallo Dt:
1  1Dt
2  2 Dt
Rapporto di trasmissione:
2 2 z1



1 1 z2
4
Raggi delle primitive
3
I raggi primitivi sono funzione della geometria costruttiva, ma anche dell’interasse di
montaggio a
Dall’analogia tra le ruote di frizione di
raggi r1 e r2 e le circonferenze primitive:
2 r1


1 r2
r1
 z1
  
r2
 z2
a  r  r

1
2


r1  a

r1   r2

1
 
 
a  r2 (1   )
r  a 1
 2
1
5
Passo
4
L’arco di primitiva tra due denti successivi è il passo della dentatura
2

 p1  r11  r1 z

1

 p  r   r 2
 2 2 2 2 z2
Per il corretto funzionamento:
p1 r1 z2 

 1 
p2 z1 r2 
p1  p2  p
6
Profilo dei denti
5
Se sulla ruota 1 si applica una coppia M1 imprimendo una rotazione con velocità 1 ,
la ruota 2 si muove con velocità 2 trasmettendo una coppia M2
Il contatto si realizza sulla superfici laterali dei denti.
La forma del profilo dei denti caratterizza
• il rapporto di trasmissione  istantaneo
• le forze scambiate e il legame con le coppie agenti
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6
Denti rettangolari: forze scambiate
Un dente della
ruota 1
preme su un un dente della
ruota 2.
La retta di azione o di pressione
è la retta normale alle superfici
di contatto.
M1  F  O1H1
M 2  F  O2 H 2
M 1 O1 H1

M 2 O2 H 2
M '1  F ' O1H '1
M '2  F ' O2 H '2
M '1 O1 H '1 M1


M '2 O2 H '2 M 2
Il rapporto tra le coppie è pari al rapporto tra le distanze di O1 e O2 dalla retta d’azione.
8
Denti rettangolari: rapporto di trasmissione istantaneo
7
Per un contatto regolare le
componenti delle velocità normali
alla superfici di contatto devono
essere uguali.
 
V1  1  O1 A
2 O1 H1


1 O2 H 2
V2  2  O2 A
VN  V1 cos(   1 )  V2 cos(   2 )
1  O1 A cos(   1 )  2  O2 A cos(   2 )
O1H1
O2 H 2
Il rapporto di trasmissione è pari al rapporto tra
le distanze di O1 e O2 dalla retta d’azione.
1  O1H1  2  O2 H 2

2 O1H1

1 O2 H 2
2 O1H1
 


1 O2 H 2
9
Profilo a evolvente di cerchio
8
Nelle trasmissioni con ruote dentate si esige che imposta la coppia M1 e la
velocità 1 uniformi, la coppia M2 e la velocità 2 siano uniformi. I profili a
evolvente, avendo retta di azione con distanza invariante da O1 e O2 ,
soddisfa questo requisito.
OA  
L’evolvente è generata da un punto di una retta (evoluta o retta generatrice)
che rotola senza strisciare su una circonferenza (circonferenza base o
circonferenza fondamentale). La retta generatrice è sempre tangente alla
circonferenza di base e normale all’evolvente.
10
9
Funzione dell’ evolvente di cerchio
In coordinate polari
OA  
 AP   (   )
  tan   


BP



tan






d  cos 
 AP  BP
anomalia
raggio
11
Retta d’azione
10
Il punto P di contatto rimane sulla retta r, tangente a entrambi le circonferenze
di base. r è la retta d’azione che quindi rimane invariata.
Per un corretto funzionamento è necessario che il contatto rimanga all’interno del
segmento H1H 2 (luogo dei contatti), dove le evolventi hanno la stessa normale.
12
Velocità di strisciamento
11
I profili dei denti sono profili coniugati (hanno tangente e normale comune).
Per un corretto funzionamento le velocità V1 e V2 devono avere la stessa
componente normale VN .
VS  V2  V1
velocità di strisciamento
Il centro di istantanea rotazione del moto relativo si trova lungo la retta per P
normale a VS , cioè lungo r .
13
Centro di istantanea rotazione del moto relativo
12
Quando il contatto avviene in C , le velocità del punto di contatto dei due denti
sono uguali e la velocità VS è nulla. Quindi C è il centro di istantanea rotazione.
 angolo di pressione
Inoltre, C è il punto di contatto tra le primitive poiché:
V1  1r1  V2  2 r2
Quindi tra i raggi primitivi e i raggi di base esiste la relazione:
1
r1 
cos 
2
r2 
cos 
14
Variazione di interasse
13
Il rapporto di trasmissione istantaneo non varia (quello medio dipende dal
numero di denti), ma variano i raggi primitivi e l’angolo di pressione .
r1
1 cos  1

  r  cos    

2
2
2

 '  r '1  1 cos  '  1

r '2 cos  '  2
2
   ' 
1 2 z1


 2 1 z2
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14
Rocchetto - Dentiera
Il rapporto di trasmissione può avere valore infinito. La dentiera può essere
pensata come ruota dentata limite, con la circonferenza di base che degenera in
una retta. Il profilo a evolvente diventa un segmento rettilineo inclinato di 
rispetto alla normale alla retta di base.
16
Ruote cilindriche a denti dritti
15
Considerando lo sviluppo assiale delle ruote:
• alla circonferenza di base corrisponde il cilindro di base
• alla retta generatrice corrisponde il piano generatore
• la superficie del dente è generata da una retta parallela all’asse della ruota e
giacente sul piano generatore
• le superfici dei denti si toccano lungo la linea caratteristica
• durante il movimento la linea caratteristica genera il piano di azione che
coincide con il piano generatore
17
Ruote cilindriche a denti dritti: forze scambiate
16
Le forze scambiate, trascurando l’attrito, giacciono sul piano di azione. La
risultante
F, pensata in mezzeria, ha la direzione della retta d’azione
FT  F cos 
M1  F 1  F r1 cos 
M 2  F 2  F r2 cos 
Wu M 22


We M 11
1 
M 2   M1
 M1
2 
18
Ruote cilindriche a denti elicoidali
17
Permettono di realizzare ingranaggi con funzionamento regolare e silenzioso.
La superficie del dente è generata da una retta giacente sul piano generatore, ma
in questo caso inclinata di un angolo bb con la direzione dell’asse della ruota.
L’intersezione tra la superficie del dente con un piano normale (piano frontale)
all’asse del cilindro è un’evolvente.
L’intersezione tra le superfici dei denti con cilindri coassiali genera curve elicoidali
con passo pe e angoli di inclinazione b con l’asse della ruota crescenti con il raggio.
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Ruote cilindriche a denti elicoidali: forze scambiate
18
Le forze scambiate, trascurando l’attrito, sono normali alle superfici a contatto, e
giacciono sul piano di azione. La risultante
F, pensata in mezzeria, ha la direzione
della retta generatrice inclinata di bb rispetto all’asse della ruota
Fa  F sin bb
F0  F cos bb
Fr  F0 sin   F cos bb sin 
Ft  F0 cos   F cos bb cos 
M1  F0 1  F cos bb 1  F r1 cos  cos bb  Ft r1
M 2  F0 2  F cos bb 2  F r2 cos  cos bb  Ft r2
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Criteri costruttivi delle ruote dentate
Modulo:
2 r 2r D
m 


 z
z
z
p
Dimensionamento modulare:
• addendum = m
D  2r
• dedendum = 1,25 m
• angolo di pressione  = 15°÷22°
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Ingranaggi conici
Il loro nome deriva dalla forma delle primitive di funzionamento. Sono usati per
trasmettere il moto tra assi concorrenti.
Le superfici primitive sono due coni di semiaperture d1 e d2 che rotolano senza
strisciare lungo la tangente t.
Per ogni punto A di t la velocità relativa è nulla, perciò
Vettore velocità relativa diretto lungo t
(asse di rotazione del moto relativo)
r  1  2
r  12  12  212 cos d
V
assi ortogonali
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Definizione dell’ingranaggio
2
Valore tipico:  = 1/5÷1/10
Dato il rapporto di trasmissione  e l’angolo tra
gli assi concorrenti d, l’ingranaggio si definisce
con le seguenti considerazioni.
d1  d 2  d
In funzione delle primitive:
1 sin d1  2 sin d 2
2 sin d1 z1



1 sin d 2 z2
Tramite la velocità periferica di un qualsiasi
punto A:
VA  1r1  2 r2
2 r1 sin d1
 
 

1 r2 sin d 2
r1  OA sin d1 , r2  OA sin d 2
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Elementi geometrici
3
• Coni primitivi  semiapertura d1 e d2
• Coni base  semiapertura db1 e db2
• Piano d’azione  tangente ai coni base
contenente le forze scambiate
e
• Angolo di pressione   formato dal piano d’azione e il piano tangente ai coni
primitivi (non rappresentato)
• Coni di troncatura interna ed esterna
• Le ruote sono costruite troncando i coni
• Il modulo m = D/z è definito in corrispondenza della base maggiore
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Ingranaggi conici: forze scambiate
4
Tra i denti sono scambiate forze con componenti
radiali, tangenziali e assiali.
Ipotesi semplificative:
 una sola coppia di denti in presa
 la risultante
 giace nel piano d’azione
 forma un angolo  (angolo di pressione)
con il piano tangente alle primitive
 è applicata in mezzeria del dente
Coppia e componente tangenziale
C  r  Ft  Ft  F cos 
r raggio della primitiva in mezzeria
Componenti assiale e radiale
F0  F sin 
 Fa  F0 sin d  F sin  sin d

 Fr  F0 cos d  F sin  cos d
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Ruota elicoidale-vite senza fine
Si usa per trasmettere il moto tra assi sghembi con direzioni ortogonali.
• Ruota elicoidale  particolare ruota avente una specie di madrevite sulla periferia
• Vite senza fine  caratterizzata dal numero di principi
• Rapporto di trasmissione  usualmente elevato (anche inferiore a 1/100)
• numero dei principi della vite senza fine  z1
• numero dei denti della ruota elicoidale  z2
• = 2 / 1 = z1 / z2
• Rendimento  basso
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Rotismi
Una combinazione di ingranaggi che costituisce una catena cinematica.
Se gli assi
• di tutte le ruote sono paralleli  rotismo piano
• di tutte le ruote sono incidenti  rotismo sferico
• di tutte le ruote sono fissi  rotismo ordinario
 semplice ogni albero una sola ruota
 composto gli alberi intermedi portano due ruote
• di alcune ruote intermedie sono dotati di moto rotatorio intorno agli assi delle
ruote estreme  rotismo epicicloidale
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Rotismi ordinari semplici
Su ogni albero vi è una sola ruota che ingrana contemporaneamente con la
precedente e la seguente.
Schematizzando le ruote con le rispettive primitive:
1
2
3
4
motrice
condotta
ruote oziose
• Rapporto di trasmissione
VP  1r1  2 r2 
n r1 z1
 n rn   
 
1 rn zn
• Campi di applicazione
 invertire il senso di rotazione
 trasmettere il moto a distanza
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Rotismi ordinari composti
Gli alberi intermedi portano due ruote, ciascuna delle quali ingrana solo con
un’altra. Un esempio di rotismo a tre stadi:
• Rapporto di trasmissione totale
 1 6  6 1
• Rapporti di trasmissione parziali
1 2
6 z5
2 z1
4 z3

 , 3 4 
 , 5 6 

1 z2
3 z4
5 z6
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2
• essendo
2  3 , 4  5

• il rapporto di trasmissione totale risulta
 1 6   1 2  3 4  5 6
2 4 6 6 z1  z3  z5



1 3 5 1 z2  z4  z6
• in generale dipende dai denti di tutte le ruote
1 n 
prodotto numero denti ruote motrici
prodotto numero denti ruote mosse
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Rotismi epiclicoidali
• Un rotismo si dice epicicloidale quando gli assi delle ruote intermedie sono
dotati di moto di rotazione intorno agli assi delle ruote estreme.
• Consideriamo per iniziare il rotismo epicicloidale più semplice, si ha:.
– le ruote A e B hanno assi fissi e coincidenti
 A ha dentatura esterna  ruota solare
 B ha dentatura interna  corona planetaria
– le ruote C hanno assi mobili  ruote planetarie o satelliti
– il portatreno P ruota intorno all’asse comune di A e B
B
A
p
P
b
a
C
31
2
• Si chiama così perché i punti delle primitive
dei satelliti descrivono delle epicicloidi.
• Consideriamo le configurazioni
B
A
p
 P fisso  rotismo ordinario
 A o B fissi  rotismo epicicloidale riduttore
P
b
a
C
• Classificazione del rotismo
 P fisso e A e B mobili  rotismo ordinario
 B fisso e P e A mobili rotismo epicicloidale riduttore o moltiplicatore
 A fisso e P e B mobili rotismo epicicloidale riduttore o moltiplicatore
 A , P e B mobili  rotismo combinatore (differenziale)
• Gli assi delle ruote planetarie essendo mobili non possono essere impiegati
per applicare o prelevare il moto l’uso come riduttore o moltiplicatore è limitato
a una delle 2 configurazioni
1) B fissa , P e A mobili
2) A fissa , P e B mobili
32
Rapporto di trasmissione: formula di Willis
3
• Quando il portatreno P è fisso, il rotismo è ordinario semplice e, indicando con
l’apice “o” le grandezze relative, si ha
 o  bo ao   ra rb   za zb
• Il rapporto di trasmissione e del rotismo epicicloidale si calcola con la formula di
Willis, tramite la quale “si rende ordinario il rotismo” imprimendo a tutto il
meccanismo una velocità –p. Per il rotismo così ottenuto si calcola il rapporto
di trasmissione.
 ao   a   p ,
bo  b   p ,  op   p   p  0
B
• Rapporto di trasmissione del rotismo reso ordinario,
A come motrice
bo b   p
za
o  o 

0
a a   p
zb
A
p
P
assumendo
b
a
C
33
4
• l’uso come riduttore è limitato a una delle 2 configurazioni
1) A fissa , P e B mobili
 a = 0
 o  b   p    p   0
b



 e   1 o
p


1    p  1
 e b 1   o
2)

b   p 1   o   0
bo b   p
z
o  o 
 a
zb
 a a   p
B
← con P motore e B condotta
p
A
P
b
← con B motore e P condotta
C
B fissa , P e A mobili
 o   p a   p   0

b = 0
 oa  1   o   p  0
  a  o  1
← con P motore e A condotta
 e    
p
o


1     p   o
← con A motore e P condotta
e

a  o  1
B
a
A
P
p
C
34
Rotismo epicicloidale composto
5
• Sinora si sono considerati rotismi epicicloidali semplici: in genere si usano rotismi
epicicloidali composti
• La formula di Willis è comunque valida, come si può verificare  si riferisce ai 3
assi fissi del rotismo utilizzabili come ingresso e uscita del rotismo
• le espressioni dei rapporti di trasmissione e e e’ sono identiche agli analoghi dei
casi precedenti  valido per qualsiasi rotismo epicicloidale
• quello che cambia è il valore di o  in questo caso con o prossimo a 1 si
ottengono rapporti di trasmissione molto piccoli
• per l’esempio in figura si calcola, riferendosi al rotismo composto ordinario
equivalente (portatreno bloccato),
bo b   p za zd ra rd
o  o 


  0
a a   p zc zb rc rb
• quello che cambia è il valore di o  in questo caso con
o prossimo a 1 si ottengono rapporti di trasmissione
molto piccoli
35
Rotismi epicicloidali riduttori
6
• i rotismi epicicloidali riduttori sono impiegati quando occorre avere
rapporti di trasmissione e molto piccoli.
• Il limite dei rotismi epicicloidali sta nei satelliti le ruote con assi mobili
limitano la potenza da trasmettere.
• Per qualsiasi rotismo epicicloidale si ha
con A fissa
con B fissa
b

 e    1   o
p


1    p  1
 e b 1   o
a  o  1




 e   
p
o


1     p   o
 e a  o  1
← con P motore e B condotta
← con B motore e P condotta
← con P motore e A condotta
← con A motore e P condotta
36
Rotismi epicicloidali riduttori
7
8
6
b

 e    1   o
p


1    p  1
 e b 1   o
a  o  1

 e    
p
o


1     p   o
 e a  o  1
b/p
p/b
a/p
p/a
4
e , e'
2
0
-2
-4
-6
-8
-4
rotismo epicicloidale semplice
z
1   o   a  0
zb
rotismo epicicloidale composto
z z
o  a d  1
zc zb
-3
-2
-1
0
o
1
2
3
4
37