matriks- 02 xii ipa
Download
Report
Transcript matriks- 02 xii ipa
MATRIKS
02
13 April 2015
1
Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
menentukan penyelesaian
persoalan matriks
dengan menggunakan
operasi perkalian matriks
dan invers matriks
beserta sifat-sifatnya.
13 April 2015
2
Perkalian matriks
dengan matriks
Perhatikan ilustrasi berikut:
Randy dan Lya ingin membeli
buku dan pensil. Randy membeli
3 buku dan 1 pensil. Lya membeli 4 buku dan 2 pensil.
13 April 2015
3
Jika harga sebuah buku
Rp500,00 dan
sebuah pensil Rp150,00;
Berapa masing-masing mereka
harus membayar?
13 April 2015
4
Randy
Lya
Jawab:
= 3 x 500 + 1 x 150
= Rp1.650,00
= 4 x 500 + 2 x 150
= Rp2.300,00
Penyelesaian di atas dapat
diselesaikan dengan perkalian
matriks sebagai berikut:
13 April 2015
5
3
4
1
500
150
2
(2 x 2)
kolom = baris
(2 x 1)
3 x 500 + 1 x 150
=
4
x
500
+
2
x
150
1650
=
2300
(2 x 1)
13 April 2015
6
Syarat Perkalian Matriks
Matriks A dapat dikalikan
dengan matriks B
jika
banyak kolom matriks A =
banyak baris matriks B
13 April 2015
7
Jika matriks A berordo m x n
dan matriks B berordo n x p
maka A x B = C
dengan C berordo m x p
Am
13 April 2015
xn
x Bn x p = Cm x p
8
Cara Mengalikan Matriks
misal A x B = C
maka
elemen matriks C
adalah penjumlahan dari hasil kali
elemen baris matriks A
dengan elemen kolom matriks B
yang bersesuaian
13 April 2015
9
Am x n x Bn x p = Cm x p
Baris 1 x
Baris 2
… … …
=
K
ol
o
m
2
…
…
…
…
…
Baris 1 x kolom 1
Baris 1 x kolom 2
Baris 1 x…….
Baris 2 x kolom 1
Baris 2 x kolom 2
…………..
……….x kolom1
13 April 2015
K
ol
o
m
1
……………..
10
Contoh 1:
1
3
2
4
5
x 6
1x5 + 2x6
=
3x5 + 4x6
13 April 2015
7
8
3x7 + 4x8
1x7 + 2x8
11
=
=
13 April 2015
1x5 + 2x6
3
x
5
+
4
x
6
17
39
3x7 + 4x8
1x7 + 2x8
23
53
12
Contoh 2:
5 7 1
x
6 8 3
=
=
13 April 2015
5x1 + 7x3
6x1 + 8x3
26
30
2
4
5x2 + 7x4
6x2 + 8x4
38
44
13
Contoh 3:
2 5
3 1
dan B =
A =
1 8
2 4
Hitunglah: A x B dan B x A
13 April 2015
14
-1 -2 5
3
AxB=
2 4 1 8
3 x (-2) + (-1) x 1 3 x 5 + (-1) x 8
=
2x5+4x8
2 x (-2) + 4 x 1
-7 7
=
0 42
13 April 2015
15
-2 5 3 -1
B x A =
1 8 2 4
(-2) x 3 + 5 x 2 (-2) x (-1) + 5 x 4
=
1 x 3 + 8 x 2 1 x (-1) + 8 x 4
4
22
=
19 31
13 April 2015
16
kesimpulan
AxB BxA
artinya
perkalian matriks
tidak bersifat komutatif
13 April 2015
17
Contoh 4:
Nilai a dari persamaan matriks:
1 d 4 5 2 1 2c 1
+
=
b 3 3 b 4 3 c a 1
adalah….
13 April 2015
18
Bahasan
-1 d 4 -5
=
+
-b 3 -3 b
3
d
5
-b - 3 3 + b
2 -1 2c
c
3
-4
1
a +1
4c + (-c) 2 + (-1)(a + 1)
=
-8c
+
3c
-4+
3(a
+
1)
d 5 3c
2 - a -1
3
=
b 3 3 b 5c 4 3a 3
13 April 2015
19
3 = 3c c = 1
-b – 3 = -5c
-b – 3 = -5
-b = -2 b = 2
3 + b = -1 + 3a
3 + 2 = -1 + 3a
5 = -1 + 3a
6 = 3a
Jadi nilai a = 2
13 April 2015
20
Invers Matriks
Pengertian:
Jika hasil kali dua buah matriks
adalah matriks identitas,
(A x B = B x A = I)
maka
matriks A adalah invers matriks B
atau sebaliknya
matriks B invers matriks A
13 April 2015
21
Contoh 1
5 3
1 3
dan B =
A =
2 1
2 5
1 3 5 3
A x B =
2 5 2 1
-5+6 -3+3
=
10-10 6-5
1 0
= I
=
0 1
13 April 2015
22
Contoh 2
5 3
1 3
dan B =
A =
2 1
2 5
5 3 1 3
B x A =
2 1 2 5
-5+6 -15+15
=
2-2
6-5
1 0
= I
=
0 1
13 April 2015
23
karena A x B = B x A = I
berarti
B = invers A, atau A = invers B.
Jika B = invers A dan di tulis A-1
maka
A. A-1 = A-1. A = I
13 April 2015
24
Invers Matriks (2 x 2)
a
Jika A =
c
b
d
maka invers matriks A
d -b
1
adalah A-1 = ad - bc -c a
ad – bc = determinan matriks A
13 April 2015
25
Jika
ad – bc = 0
berarti
matriks tsb tidak mempunyai invers.
Sebuah matriks yang tidak
mempunyai invers disebut
matriks singular
13 April 2015
26
Contoh
2 1
Jika A =
5 3
maka invers matriks A
adalah….
13 April 2015
27
Bahasan
1 d b
A
ad - bc c a
1
2
A
5
1
3 -1
1
1
A
3
2.3 - 1.5 -5 2
1 3 1
6 - 5 5 2
3 1
5 2
13 April 2015
28
Sifat-sifat Invers Matriks:
1.
13 April 2015
A.A-1 = A-1.A = I
2.
(A. B)-1 = B-1. A-1
3.
(A-1 )-1 = A
29
Contoh 1
1 2
Diketahui A = 3 4
2 0
dan B =
3 1
maka (AB)-1 adalah….
13 April 2015
30
Bahasan
1 2 2 0
AB =
3 4 3 1
-2 + 6 0 - 2
0
4
-6
+
12
4 2
6 4
13 April 2015
31
4 2
AB
6 4
-4 2
1
1
(AB)
16 (12) -6 4
1 4 2
4 6 4
1
1
2
-1
Jadi (AB) 1
1 2 1
13 April 2015
32
Contoh 2
3 1
Jika invers matriks A =
4 2
maka matriks A adalah….
13 April 2015
33
Bahasan
A = (A-1 )-1
3 1
A
4 2
2 -1
1
1 1
(A )
3.2 1.4 -4 3
1 2 1
2 4 3
1
13 April 2015
34
1 2 1
(A ) A
2 4 3
1 1
1 12
Jadi matriks A
3
2
2
13 April 2015
35
Penyelesian
Persamaan Matriks
Jika A, B dan M adalah
matriks ordo (2x2)
dan A bukan matriks singular
maka
penyelesaian persamaan matriks
☻AM = B adalah M = A-1.B
☺MA = B adalah M = B.A-1
13 April 2015
36
Contoh 1
5 3
2 1
Jika A =
dan B =
2 1
5 0
Tentukan matriks M berordo (2x2)
yang memenuhi: a. AM = B
b. MA = B
13 April 2015
37
Bahasan
5 3
A
2 1
1 1 3
A
5.1- 3.2 2 5
1
1 1 3 1 3
-1 2 5 2 5
13 April 2015
38
a.Jika AM = B
maka M = A-1.B
1 3 2 1
x
2 5 5 0
(1)x(2) 3x5 (1)x1 3x0
2x(2) (5)x5 2x1 (5)x0
17 1
Jadi M
29 2
13 April 2015
39
b. Jika MA = B
maka M = B.A-1
2 1 -1 3
x
5 0 2 5
2 2 (6) (5)
15 0
(5) 0
4 11
Jadi M
5 15
13 April 2015
40
Contoh 2
Diketahui hasil kali matriks
4 3 a b 16 3
x
1 2 c d 9 7
Nilai a + b + c + d sama
dengan….
13 April 2015
41
Bahasan
4 3 a b 16 3
x
1 2 c d 9 7
a b
1 2 316 3
c d 8 3 1 4 9 7
6 21
a b 1 32 27
c d 5 16 36 3 28
1 5 15
5 20 25
13 April 2015
42
a b 1 5 15
c d 5 20 25
a b 1 3
c d 4 5
diperoleh
a = 1, b = -3, c = 4 dan d = 5
berarti
a+b+c+d=1–3+4+5=7
13 April 2015
43
MENYELESAIKAN SPL
DENGAN MATRIKS
CONTOH :
Selesaikanlah sistem persamaan berikut
ini dengan metode matriks.
-x – 2y = -1
2x + 3y= 9
13 April 2015
44
Susunlah persamaantersebut menjadipersamaanmat riks
- 1 - 2 x 1
..........persamaanmat riks
2 3 y 9
-1 - 2
sebagai berikut
cari inversdari mat riks
2 3
Determinannya - 3 4 1
3 2
mat riksA djoint dibagi
MatriksA djointnya
- 2 - 1
3 2
ini adalah inversnya
dengan Determinannya didapat
- 2 - 1
Ruas Kiri dan Kanan persamaanmat riksdikalikandengan
inversmat riksdari depan (dari kiri)
13 April 2015
45
3 2 1 - 2 x 3 2 1
3 y - 2 - 1 9
- 2 - 1 2
x 3(1) 2(9)
y 2(1) 1(9)
x 3 18
y 2 9
x 15
jadi x 15 dan y -7
y - 7
13 April 2015
46
SOAL-SOAL
LATIHAN
13 April 2015
47
SOAL NOMOR 1
KUNCI
JAWABAN
2p 2 - 3q
DiketahuiMatriksA 4 - 1 - 4
r q - 2
- p - 7 q
- 2 -5 6
B - 5 5 r dan C - 1 4 - 2
-5 4 7
-3 1 5
Jika A B C. maka nilai p, q dan r berturut - turut
A. - 2, - 3 dan 2
D. 2, - 3 dan 2
B. 2, - 3 dan - 2
E. - 4,-4dan 2
C. 2, - 4 dan 2
13 April 2015
48
SOAL NOMOR 2
KUNCI
JAWABAN
2 - 1
1 2
dan B
DiketahuiMatriksA
3 4
- 2 1
maka A 2 B .....
A.
B.
C.
13 April 2015
- 13
-8
13
-8
-4
49
-4
49
2
4
D.
- 18 16
2 9
E.
1 22
13 - 4
- 8 23
49
KUNCI
JAWABAN
SOAL NOMOR 3
1 0
2 4
.
dan I
DiketahuiMatriksA
0 1
3 1
Matriks(A - kI) adalah matrikssingular
untuk nilai k .....
A. - 2 dan 5
B. - 5 dan 2
C. 2 dan 5
13 April 2015
D. 3 atau 4
E. 1 atau 2
50
KUNCI
JAWABAN
SOAL NOMOR 4
1 - 1
- 7 -3
, B
,
DiketahuimatriksA
2 3
11 14
a b
dan AX B, Nilai d adalah.....
X
c d
13 April 2015
A.
-3
B.
-2
C.
2
D.
3
E.
4
51
KUNCI
JAWABAN
SOAL NOMOR 5
MatriksX berordo 2 x 2 yangmemenuhipersamaan
1 3
- 7 4
X
adalah.....
2 4
- 10 8
-1 4
1 4
A.
D.
- 2 0
2 0
4 - 2
0 - 2
B.
E.
-1 0
-1 4
C.
13 April 2015
- 2 4
0 1
52
1. GEMAR BACA
2. CINTA BUKU
3. RINDU
PERPUSTAKAAN
13 April 2015
53