Transcript x 2

Resolución Gráfica
Programación Lineal
Resolución Gráfica (1)
Investigación Operativa - Carmen Ortiz Z – Luis Seccatore.
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Resolución Gráfica
Producción de Fertilizantes
Dos productos: Vitsódico y Vitpotásico
Tres Recursos:
- potasio:
18 kg
- sodio:
14 kg
- mezcladora: 15 h-maq
Variables de Decisión:
x1 = cantidad de vitsódico que se debe fabricar (toneladas)
x2 = cantidad de vitpotásico que se debe fabricar (toneladas)
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Resolución Gráfica
Variables de Decisión:
x1 = cantidad de vitsódico que se debe fabricar (toneladas)
x2 = cantidad de vitpotásico que se debe fabricar (toneladas)
Restricciones
Disponibilidad Potasio: se puede utilizar en la producción total hasta 18 [kg]
1 x1 + 4 x2  18
Disponibilidad Sodio: se puede utilizar en la producción total hasta 14 [kg]
2 x1 + 2 x2  14
Disponibilidad Mezcladora: se puede utilizar hasta 15 [hrs] a la semana
2 x1 + 3 x2  15
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Resolución Gráfica
No negatividad:
x1, x2  0
Función objetivo
Max ingresos totales
Ingreso total = z = 300 x1 + 500 x2 (Miles de $ = M$)
Max z = 300 x1 + 500 x2
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Modelo de Programación Lineal
Max z = 300 x1 + 500 x2
s.a.
1 x1 + 4 x2  18
(1)
2 x1 + 2 x2  14
(2)
2 x1 + 3 x2  15
(3)
x1, x2
0
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x2
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1 x1 + 4 x2
2 x1 + 2 x 2
2 x1 + 3 x 2
x1, x 2
 18 (1)
 14 (2)
 15 (3)
0
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Resolución Gráfica
1 x1 + 4 x 2
2 x1 + 2 x 2
2 x1 + 3 x 2
x1, x 2
x2
 18 (1)
 14 (2)
 15 (3)
0
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Resolución Gráfica
1 x1 + 4 x 2
2 x1 + 2 x 2
2 x1 + 3 x 2
x1, x 2
x2
 18 (1)
 14 (2)
 15 (3)
0
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Resolución Gráfica
1 x1 + 4 x2
2 x1 + 2 x 2
2 x1 + 3 x 2
x1, x 2
x2
 18 (1)
 14 (2)
 15 (3)
0
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Resolución Gráfica
1 x1 + 4 x2
2 x1 + 2 x 2
2 x1 + 3 x 2
x1, x 2
x2
 18 (1)
 14 (2)
 15 (3)
0
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Espacio/ conjunto factible
5
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Z = 2460
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Max z = 300 x1 + 500 x2
s.a.
1 x1 + 4 x2  18 (1)
2 x1 + 2 x2  14 (2)
2 x1 + 3 x2  15 (3)
x1, x 2  0
Z = 1800
Z = 1500
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Z = 2460
5
Max z = 300 x1 + 500 x2
s.a.
1 x1 + 4 x2  18 (1)
2 x1 + 2 x2  14 (2)
2 x1 + 3 x2  15 (3)
x1, x 2  0
Solución óptima
4.2
z* = valor óptimo = $ 2460
x1* = 1.2 ton
x2 * = 4.2 ton
1.2
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Recursos Utilizados
x1 = 1.2 y x2 = 4.2, entonces se utiliza:
 Potasio
18 kg
( Sobra = 0 )
 Sodio
 Mezcladora
10.8 kg
15 h-m
( Sobra = 3.2)
( Sobra = 0)
Definición:
Variable de Holgura = diferencia entre el lado derecho y el
lado izquierdo de una restricción.
Restricción es activa
 variable de holgura igual a cero.
Restricción es no activa  variable de holgura es distinta
de cero.
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Min / Max
z=cx
s.a.

Ax
=
Restricciones generales
b

x0
Restricciones de signo
Conjunto factible = { x / x verifica restricciones generales
y de signo }
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Tipos de Soluciones de un P. Lineal
Problema infactible
Max z = 4x1 + x2
s.a.
3x1 + 6x2  18 (1)
x1 + 2x2  8
(2)
x1, x2  0
x2
4
3
(2)
(1)
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Resolución Gráfica
Tipos de Soluciones de un P. Lineal
Problema infactible
Max z = 4x1 + x2
s.a.
3x1 - 6x2  18 (1)
2x1 + x2  6
(2)
x1, x2  0
x2
6
(2)
(1)
3
6
x1
-3
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Resolución Gráfica
Tipos de Soluciones de un P. Lineal
Problema con solución óptima única
Max z = 2x1 + 2x2
s.a.
x1 + 3x2  9 (1)
2x1 + x2  6 (2)
x1, x2  0
x2
6
(2)
3
(1)
3
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Resolución Gráfica
Tipos de Soluciones de un P. Lineal
Problema con solución óptima única
Max z = 2x2 + x3
x3
4
s.a.
x1 + x2 + x3  4
x2  2
x3  3
x1, x2 , x3  0
2
2
x1
4
x2
4
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Resolución Gráfica
Tipos de Soluciones de un P. Lineal
Problema con solución óptima única
Max z = 2x2 + x3
x3
4
s.a.
x1 + x2 + x3  4
x2  2
x3  3
x1, x2 , x3  0
2
2
x1
4
x2
4
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Resolución Gráfica
Tipos de Soluciones de un P. Lineal
Conjunto factible no acotado
-x1 + 3x2  9 (1)
3x1 + x2  6 (2)
x1, x2  0
x2
3
2
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Tipos de Soluciones de un P. Lineal
Conjunto factible no acotado
Min z = x1 + x2
-x1 + 3x2  9 (1)
3x1 + x2  6 (2)
x1, x2  0
x2
¡¡ Solución
óptima
finita!!
3
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Resolución Gráfica
Tipos de Soluciones de un P. Lineal
Conjunto factible no acotado
Max z = x1 + x2
-x1 + 3x2  9 (1)
3x1 + x2  6 (2)
x1, x2  0
x2
Problema no
acotado
(z*   )
3
2
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Resolución Gráfica
Tipos de Soluciones de un P. Lineal
Problema con infinitas soluciones óptimas
Max z = 2x1 + x2
s.a.
-x1 + 3x2  9 (1)
2x1 + x2  6 (2)
x1, x2  0
x2
6
3
3
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Resolución Gráfica
Tipos de Soluciones de un P. Lineal
Problema con infinitas soluciones óptimas
cx
cx
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Resolución Gráfica
Max z = 300 x1 + 500 x2
s.a.
1 x1 + 4 x2  18 (1)
2 x1 + 2 x2  14 (2)
2 x1 + 3 x2  15 (3)
x1, x 2  0
x2
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Vértices factibles
5
A
B
C
E
5
D
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20
x1
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Resolución Gráfica
Vértices Factibles
PUNTO
x1
x2
z
A
0
4.5
2250
B
1.2
4.2
2460
C
6
1
2300
D
7
0
2100
E
0
0
0
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Resolución Gráfica
Variables de Holgura
PUNTO
x3
x4
x5
A
0
5
1.5
B
0
4.2
0
C
8
0
0
D
11
0
1
E
18
14
15
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