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机器人技术
陶建国
哈尔滨工业大学机电学院
2005. 2.
第六章 机器人静力学和动力学
静力学和动力学分析,是机器人操作机设计和动态性能分
析的基础。特别是动力学分析,它还是机器人控制器设计、
动态仿真的基础。
机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式,作用在机器
人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时,各关节
力(矩)与接触力的关系。
机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力(矩)间的动
态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由
于机器人结构的复杂性,其动力学模型也常常很复杂,因此
很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。然而高质量的
控制应当基于被控对象的动态特性,因此,如何合理简化机
器人动力学模型,使其适合于实时控制的要求,一直是机器
人动力学研究者追求的目标。
2
6.1 机器人静力学
一、杆件之间的静力传递
在操作机中,任取两连杆 Li,Li 1 。设在杆 Li 1上的 Oi 1 点
作用有力矩 M i 1和力 F i 1;在杆 Li 上作用有自重力 G〔过质
i
心 Ci );ri 和 rCi 分别为由 Oi 到 Oi 1 和 Ci 的向径。
F i 1
M i 1
3
按静力学方法,把这些力、力矩简化到 Li 的固联坐标系
oi xi yi zi ,可得:
Fi Fi 1 G i
M i M i 1 r i F i 1 r Ci G i
或
Fi R F
i
i
i 1
i 1
i 1
R0i Gi 0
i 1
i 1
i 1
i 1
R M ri R F rCi i R0i Gi 0
0
式中 Gi mi g ( mi 为杆 Li 的质量)。
M
i
i
i
i 1
i
i
i 1
求出 F i 和 M i 在 zi 轴上的分量,就得到了关节力和扭矩,
它们就是在忽略摩擦之后,驱动器为使操作机保持静力平
衡所应提供的关节力或关节力矩,记作 ,其大小为
i
i
k Fi
kM i
4
当忽略杆件自重时 G i ,上式可简记为 :
F ii R ii 1
M ii r i R ii 1
i 1
0
F i 1
i
i
R i 1 M i 1
若以 i 0 表示不计重力的关节力或力矩值,对于转动关节
则有 :
n
i i 0 ki (r i ,C G j )
j
j i
式中 r i ,C j ——是自 Oi 到杆 L j 的质心 C j 的向径。
5
例1 求两杆操作机的静关节力矩(坐标系与结构尺寸如图)。
解:
设已知
6
7
8
二、操作机的静力平衡
设有操作机如图所示,每个关节都作用有关节力矩 i (广
义驱动力,指向 zi 的正向),在末端执行器的参考点 Pe 处
将产生力 F e 和力矩 M e 。由于 F e 、M e 是操作机作用于外
界对象的力和力矩,为了和输入关节力矩 i 一起进行运算,
故应取负值。
9
利用虚功原理建立静力平衡方程,令
1 , , i , , n
T
Q Fex , Fey , Fez , M ex , M ey , M ez
T
q q1 , , qi , , qn
T
p xe , ye , ze , x , y , z
T
于是,操作机的总虚功是:
T
T
W q Q p
根据虚功原理,若系统处于平衡,则总虚功(虚功之和)为0,
即
T
T
q Q p 0
10
由机器人运动微分关系可知, p J q ,则有
T
J T Q q 0
因为 qi 是独立坐标,则 q 0 ,所以有
JT Q
式中 J ——是速度分析时引出的雅可比矩阵,其元素为相应
的偏速度。
上式是针对操作机的关节力和执行器参考点 Pe 间所产生的
力和力矩之间的关系式。
该式表明关节空间和直角坐标空间广义力可以借助于雅可
比矩阵 J 进行变换。这种变换关系,也可推广到任两杆间固
联直角坐标系中的广义力变幻,这时应将关节空间与直角坐
标空间的雅可比矩阵,换作直角坐标空间的雅可比矩阵。
11
例2 如图,操作机的手爪正在持板手扭某一哩栓,手爪上 方
联接一测力传感器可测六维力向量(力和力矩)。试确定测力传
感器和扭动板手时力和力矩的关系。
12
解:
设在测力传感器上置坐标系 Sf ( O f uvw ),在螺栓上置坐
标系 S ( O xyz ) 。在图示瞬间,两坐标系彼此平行。因为刚
体的无限小位移(平移和转动)可表示为六维向量,故对二者的
微位移可分别表示为:
q x, y, z , x , y , z
p u, v, w, u , v , w
由于两坐标系的坐标轴平行,于是可以得到:
u 1 0 0
v
0 1 0
w 0 0 1
p
u 0 0 0
0 0 0
v
w 0 0 0
0
rz
rz
0
ry
rx
1
0
0
1
0
0
ry x
rx y
0 z
J q
0 x
0 y
1 z
13
前式也可以从前图直观求得。
设 Q 为相应于 q 的广义力向量, P 为相应于 p 的广义
力向量,则可得:
Fx 1
F
y 0
Fz 0
Q
M x 0
M r
y z
M z ry
0
0
1
0
0
1
rz
ry
0
rx
rx
0
0 Fu
0 0 0 Fv
0 0 0 Fw
T
J P
1 0 0 M u
0 1 0 M v
0 0 1 M w
0
0
上式也可直接用虚功原理求得。
14
6-2 机器人动力学概述
一、研究目的:
1、合理地确定各驱动单元(以下称关节)的电机功率。
2、解决对伺服驱动系统的控制问题(力控制)
在机器人处于不同位置图形(位形)时,各关节的有
效惯量及耦合量都会发生变化(时变的),因此,加于各
关节的驱动力也应是时变的,可由动力学方程给以确定。
二、机器人动力学研究的问题可分为两类:
1、给定机器人的驱动力(矩),用动力学方程求解机器
人(关节)的运动参数或动力学效应(即已知 , 求 , 和,
称为动力学正问题。)。
2、给定机器人的运动要求,求应加于机器人上的驱动力
(矩)(即已知 , 和 ,求 , 称为动力学逆问题 )。
15
三、动力学研究方法:
1.拉格朗日方程法:通过动、势能变化与广义力的关系,建
立机器人的动力学方程 。代表人物 R.P.Paul、J.J.Uicker、
J.M.Hollerbach等。计算量O(n4),经优化O(n3),递推O(n)。
2.牛顿—欧拉方程法:用构件质心的平动和相对质心的转动
表示机器人构件的运动,利用动静法建立基于牛顿—欧拉方程
的动力学方程。代表人物Orin, Luh(陆养生)等。计算量O(n)。
3.高斯原理法: 利用力学中的高斯最小约束原理,把机器人动
力学问题化成极值问题求解.代表人物波波夫(苏). 用以解决第
二类问题。计算量O(n3)。
4.凯恩方程法:引入偏速度概念,应用矢量分析建立动力学
方程。该方法在求构件的速度、加速度及关节驱动力时,只进
行一次由基础到末杆的推导,即可求出关节驱动力,其间不必
求关节的约束力,具有完整的结构,也适用于闭链机器人。计
算量O(n!)。
16
6.3 二杆机器人的拉格朗日方程
6.3.1 刚体系统拉格朗日方程
应用质点系的拉格朗日方程来处理杆系的问题。
定义:L=K-P
L—Lagrange函数;K—系统动能之和;P—系统势能之和。
系统的动能和势能可在任何坐标系(极坐标系、圆柱坐
标系等)中表示 ,不是一定在直角坐标系中。
动力学方程为:
d L L
i
dt qi qi
广义力
广义速度
广义坐标
(力或力矩)( 或 v ) ( 或 d )
17
6.3.2 刚体系统拉格朗日方程
设二杆机器人臂杆长度分别为 m1, m2 ,质量
分别集中在端点为 d1, d2 ,坐标系选取如图。
以下分别计算方程中各项:
一、动能和势能
1
p mgh
K mv 2
2
对质点 m1 :
1
1
1
2
2 2
k
m
v
m
(
d
)
m
d
动能: 1 2 1 1 2 1 1 1
1 1 1
2
势能: p1 m1 g d1 cos(1 )
(负号与坐标系建立有关)
1
1
对质点 m2 : 先写出直角坐标表达式:
x2 d1 sin(1) d 2 sin( 1 2 )
y2 d1 cos(1) d 2 cos(1 2 )
18
对 x 求导得速度分量:
x2 d1 cos(1)1 d 2 cos( 1 2 )(1 2 )
y 2 d1 sin(1)1 d 2 sin(1 2 )(1 2 )
v22 x22 y22 d1212 d 22 (12 212 22 ) 2d1d 2 cos( 2 )(12 12 )
动能:
1
1
K 2 m2d1212 m22d 22 (12 212 22 ) m2d1d 2 cos( 2 )(12 12 )
2
2
势能:
P2 m2 gd1 cos(1) m2 gd2 cos(1 2 )
二、Lagrange函数
L K P (k1 k2 ) ( p1 p2 )
1
1
(m1 m2 )d1212 m2 d22 (12 21 2 22 ) m2 d1d2 cos( 2 )(12 1 2 )
2
2
(m1 m2 ) g d1 s(1 ) m2 gd2 cos(1 2 )
L(1, 2 ,1,2 )
19
三、动力学方程
先求第一个关节上的力矩 1
( 1
d L
L d L
L
( )
(
)
)
dt q1 q1 dt 1 1
L
(m1 m2 )d1212 m2d 221 m2d 222 2m2d1d 2 cos(2 )1 m2d1d 2 cos( 2 )2
1
d L
[(m1 m2 )d12 m2d 22 2m2d1d 2 cos( 2 )]1 [m2 d 22 m2d1d 2 cos( 2 )]2
dt 1
2m2d1d 2 sin( 2 )12 m2d1d 2 sin( 2 )22
L
(m1 m2 ) gd1 sin(1) m2 gd 2 sin(1 2 )
1
1
d L
L
(
)
dt 1
[(m1 m2 )d12 m2 d22 2m2 d1d2 cos(2 )]1 [m2 d22 m2 d1d2 cos(2 )]2
2m2 d1d2 sin(2 )12 m2 d1d2 sin(2 )22 (m1 m2 ) g d1 sin(1 ) m 2 g d2 sin(1 2 )
——(1)
20
同理,对 2 和 2 微分,可求得第二关节力矩
L
m2d 221 m2d 222 m2d1d 2 cos( 2 )1
2
d L
m2d 221 m2d 222 m2d1d 2 cos( 2 )1 m2d1d 2 sin( 2 )12
dt 2
L
m2d1d 2 sin( 2 )(12 1 2 ) m2 gd 2 sin(1 2 )
2
2
d L
L
(
)
dt 2
2
[m2d 22 m2d1d2 cos( 2 )]1 m2d222 m2d1d 2 sin(2 )12 m2 gd 2 sin(1 2 )
以上是两杆机器人动力学模型。
——(2)
21
四、动力学方程中各系数的物理意义
将前面结果重新写成简单的形式 :
1 D111 D122 D11112 D12222 D11221 D
2 D211 D222 D21112 D22222 D21212 D 22121 D2
系数 D 的物理意义:
Dii —关节 i 的有效惯量(等效转动惯量的概念)。由关节 i
处的加速度 i 引起的关节 i 处的力矩为 Diii ( M i J )
Dij —关节 i 和 j 之间的耦合惯量 。由关节 i 或 j 的加速度
( i 或 j)所引起的关节 i 和 j 处的力矩为 Diji 或 ijj
Dijj —向心力项系数。表示关节 i 处的速度作用在关节 j 处的
向心力( Dijj2j )
Diii —向心力项系数。表示关节 i 处的速度作用在本身关节处
的向心力( Diiii2 )
22
Dijk —哥氏力项系数。 Dijk jk Dijkk j 两项组合为关节 i 与
j 处的速度作用在关节 k 处的哥氏力,哥氏力是由于
牵连运动是转动造成的。
Di —关节 i 处的重力项 。重力项只与 m 大小、长度 d 以
及机构的结构图形(1, 2)有关。
比较二杆机器人例中的系数与一般表达式中的系数得到
有效惯量系数:
D11 [(m1 m2 )d12 m2 d22 2m2 d1d2 cos(2 )]
D22 m2 d22
耦合惯量系数:
D12 D21 m2 d22 m2 d1d2 cos(2 )
23
向心力项系数:
D111 D
D122 m2d1d 2 sin( 2 )
D211 m2 d1d 2 sin( 2 )
D222 0
哥氏力项系数:
D112 D121 2m2d1d 2 sin( 2 )
D212 D221 0
重力项:
D1 (m1 m2 ) g d1 sin(1 ) m2 g d 2 sin(1 2 )
D2 m2 g d 2 sin(1 2 )
24
6.4 机器人的拉格朗日方程的一般表达形式
从上节容易看出Lagrange方程是一个二阶耦合、非线性和微
分方程,为简化计算,未虑及传动链中的摩擦。以下方程的推
导,也是不考虑传动链带来的摩擦影响,只考虑杆件本身,然
后再加入关节处驱动装置(如电机、码盘等)的影响。
推导分五步进行:
一、计算任意任意杆件上任意点的速度;
1
k
mi vi 2 ;
二、计算动能 i
2
三、计算势能 pi mi ghi ;
四、形成Lagrange函数;
五、建立动力学方程 Fi
d L
L
(
)
dt qi
qi
。
25
一、点的速度
r
由于整个系统的动能都是在基础系中考虑的,故需求系统
各质点在基础坐标系中的速度 r 。
对于杆 i 坐标系中的一点
i
r ,它在基础坐标系中的位置为
r Ti i r
式中 Ti —变换矩阵
其速度为:
d (Ti r )
dr
r
dt
dt
速度平方为:
i
i
j 1
Ti
q j ir
q j
(r )2 (r r )2 Trace(r r )
式中 Trace( ) —矩阵的迹,即矩阵主对角元素之和。
26
(r )2 Trace(r r )
Trace
Trace
i
j 1
Ti
q j ir
q j
i
j 1
i
k 1
i
k 1
Ti
(
qk i r )T
qk
Ti
T i
( ir ir )
q j
qk
T
T
q j qk
二、动能
位于杆 i 上 i r 处质量为 dm 的质点的动能是:
1
dki Trace
2
1
Trace
2
i
i
j 1
k 1
i
i
j 1
k 1
T
T
Ti
T
i
( ir ir )
q j qk dm
q j
qk
T
T
Ti
T i
( i r dm i r )
q j qk
q j
qk
27
则杆 i 的动能(在基础坐标系中)为:
1
ki
dki Trace
2
link .i
令式中 J i
i
i
i
j 1
k 1
T
i
r i r dm)
T i
qk
T
link .i
q j qk
称为连杆 i 的伪惯量矩阵。
r r dm
i
Ti
(
q j
T
link .i
则得到杆 i 的动能为:
1
ki Trace
2
i
i
j 1
k 1
Ti
T T i
Ji
q j qk
q j
qk
对于杆 i 上任意一点的 i r(在杆 i 坐标系中)可以表示为:
i
r ( i x, i y, i z,1)
28
则有:
Ji
link .i
i 2
x dm
link .i
i
x i ydm
T
link .i
i
r i r dm
i
i
x
zdm
link .i
i
xdm
link .i
i
x ydm
i
link .i
x zdm
i
y i zdm
i
link .i
i
y 2 dm
link .i
i
i
link .i
y i zdm
link .i
link .i
i
z 2 dm
link .i
i
ydm
i
zdm
link .i
xdm
link .i
i
ydm
link .i
i
zdm
link .i
dm
link .i
i
根据理论力学中惯性矩、惯性积和静矩的定义,引入下列记号:
对坐标轴的惯性矩:
I xx
( y 2 z 2 )dm, I yy
( x 2 z 2 )dm, I zz
( x 2 y 2 )dm
29
对坐标轴的惯性积:
I xy
xydm, I yz
yzdm, I xz
z
xzdm
对坐标轴的静矩:
Ix
ydm, I z
m
dm
1
2
( y 2 z 2 )dm
于是:
x 2 dm
y
x
xdm, I y
质量之和:
r
I xx I yy I zz
2
1
2
zdm
( x 2 z 2 )dm
1
2
( x 2 y 2 )dm
30
同理:
y dm
2
I xx I yy I zz
2
,
z dm
2
I xx I yy I zz
2
于是 J i 能够表达为:
I ixx I iyy I izz
2
I ixy
Ji
I ixz
I ix
I ixy
I ixz
I ixx I iyy I izz
2
I iyz
I ixx I iyy I izz
I iyz
2
I iz
I iy
I ix
I iy
I iz
mi
机器人臂杆总的动能是:
n
K
i 1
n
1
ki
2
i 1
Trace
i
i
j 1
k 1
Ti
T T i
Ji
q j qk
q j
qk
31
如果考虑到关节处驱动装置的动能:
1
kmotor .i J ai qi2
2
1
(对于移动关节:kmotor .i mai qi2 )
2
式中 J ai 为关节 i 处驱动装置的转动惯量。
调换求迹与求和运算顺序,并加入关节处驱动装置的动能,
得到机器人总的动能为:
n
K
1
2
i
i
Trace(
i 1
j 1
k 1
Ti
T i
1
Ji
)q j qk
q j
qk
2
T
n
J ai q i2
i 1
三、势能
设杆 i 的质心在再其自身坐标系的位置向量为 i rC ,则它在
基础坐标系中的位置向量 rC 为
T
i
i
i
i
i
( rC xC , yC , zC ,1 )
rC Ti rC
32
设重力加速度
g
在基础坐标系中的齐次分量为:
g ( g x , g y , g z ,1)T
则杆在基础坐标系中的势能为:
pi mi g T rC mi g T Ti i rC
(一般认为基础坐标系的 z 轴取向上方)
于是机器人的总势能为:
n
P
i 1
n
pi
mi g T Ti i rC
i 1
33
四、拉格朗日函数
1
L K P
2
n
i
i
i 1
j 1
k 1
n
1
2
Ti
T T i
Trace(
Ji
)q j qk
q j
qk
n
J ai qi2
i 1
mi g T Ti i rC
i 1
五、动力学方程
先求拉格朗日方程中的各项:
L
1
q p
2
1
2
n
i
i 1
n
k 1
i
i 1
j 1
Ti
TiT
Trace(
Ji
)qk
q p
qk
Ti
TiT
Trace(
Ji
)q j I a p q p
q j
q p
(1 )
34
由于 J i 是对称矩阵,则有:
Ti
TiT
Ti
TiT T
Trace(
Ji
) Trace(
Ji
)
q p
qk
q p
qk
T
Ti
T
Trace(
J iT i )
qk
q p
Ti
TiT
Trace(
Ji
)
qk
q p
合并(a)式中前两项,得到:
L
q p
n
i
i 1
k 1
Ti
TiT
Trace(
Ji
)qk I a p q p
qk
q p
T
当 i p 时,Ti 中不包含 p 以后关节变量,即: i 0, (i p)
q p
n
i
于是可得:
Ti
TiT
L
Trace(
Ji
)qk I a p q p (1’)
q p
i p
k 1
qk
q p
35
d L
(
)
dt q p
n
i
i p
k 1
Ti
TiT
Trace(
Ji
)qk I a p q p
qk
q p
n
i
i
i p
k 1
m 1
n
i
i
i p
k 1
m 1
2Ti
TiT
Trace(
Ji
)qk qm
qk qm
q p
2Ti
TiT
Trace(
Ji
)qk qm
q p qm
qk
交换其中的部分哑元,得到:
d L
(
)
dt q p
n
i
i p
n
k 1
i
Ti
TiT
Trace(
Ji
)qk I a p q p
qk
q p
i
2
i p
k 1
m 1
2Ti
TiT
Trace(
Ji
)qk qm (2 )
qk qm
q p
36
L
1
q p
2
n
i
i
i p
j 1
k 1
1
2
n
i
i
i p
n
j 1
k 1
mi g T
i p
2Ti
TiT
Trace(
Ji
)q j qk
q j q p
qk
Ti i
rC
q p
n
i
i
i p
j 1
k 1
n
2Ti
TiT
Trace(
Ji
)q j qk
q j q p
qk
Ti i
mi g
rC
q p
T
i p
2Ti
TiT
Trace(
Ji
)q j qk
qk q p
q j
(3 )
37
将以上各项带入拉格朗日公式,并用 i 和 j 分别代替上式中
的哑元 p 和 i ,得到:
j
n
i
Trace(
j i
n
k 1
j
qk
Jj
j
Trace(
j i
n
T j
k 1
m 1
mj g
T
j i
T j
qi
T j T
qi
2T j
qk qm
)qk I ai qi
Jj
T j T
qi
)qk qm
i rC
(4 )
上式为拉格朗日方程的最后形式。这些方程与求和的次序无
关,因此可将上式写为简化形式:
n
i
j 1
n
Dij q j I ai qi
j 1
n
k 1
Dijk q j qk Di
(5 )
38
式中:
n
Dij
Trace(
p max( i , j )
Tp
q j
n
Dijk
Trace(
p max( i , j , k )
n
Di
p i
(m p g
T
Jp
TpT
2Tp
q j qk
Tp
qi
q j
)
Jp
TpT
qi
)
p rC )
以上的动力学方程 (5)中系数 D的意义与上节所列相同,
i j
i j ),
即分别为有效惯量项系数( i j ),耦合惯量项系数(
向心力项系数( k j ),哥氏力项系数( k j ),重力项
等。
39
动力学方程中的惯量项和重力项在机器人控制重特别重要,
将直接系统的稳定性和定位精度。只有当机器人高速运动时,
向心力项和哥氏力项才是重要的。传动装置的惯量值往往较
大,对系统动态特性的影响也不可忽略。
在机器人动力学问题的讨论中,拉格朗日动力学方程常写
作更简化的一般形式:
(t ) D(q(t ))q(t ) h(q(t ), q(t )) c(q(t )) (6)
式中:
(t ) (1 (t ), 2 (t ), , n (t ), )T
q(t ) (q1 (t ), q2 (t ), , qn (t ), )T
q(t ) (q1 (t ), q2 (t ), , qn (t ), )T
q(t ) (q1 (t ), q2 (t ), , qn (t ), )T
D(q(t )), h(q(t ), q(t )), c(q(t )) 的意义见(5 )式。
40
6.5 机器人的牛顿—欧拉方程
机器人的拉格朗日动力学模型为非线性二阶常微分方程,
利用这些方程,由已知的每一轨迹设定点的关节位置、速度
和加速度,可以计算各关节的标称力矩,但拉格朗日方程利
用4×4齐次变换矩阵,使得计算效率太低。
乘法次数:128 / 3 n4 512 / 3 n3 844 / 3 n2 76 / 3 n
加法次数: 98 / 3 n4 781/ 6 n3 637 / 3 n2 107 / 6 n
为了实现实时控制,曾用过略去哥氏力和向心力的简化模
型,但当操作机快速运动时,哥氏力和向心力在计算关节力
矩中是相当重要的。因而这种简化只能用于机器人的低速运
动,在典型的制造业环境中,这是不合乎要求的。此外,这
种简化所引起的关节力矩误差,不能用反馈控制校正。
牛顿—欧位法采用迭代形式方程,计算速度快,可用于实
时控制,因而成为一种常用的建模方法。
41
6.5.1 转动坐标系
寻求转动坐标系和固定惯性坐标系之间必要的数学关系, 再
推广到运动坐标系(转动和平移)和惯性坐标系之间的关系。
如图, 惯性坐标系O-XYZ和转动坐标系O-X*Y* Z* 的原点重合
于O点。而OX*、OY*、OZ*轴相对OX、OY、OZ轴旋转。设
(i , j , k ) 和 (i , j , k ) 分别为这两个坐标系沿主轴的单位矢
量。转动坐标系中点 P 可用它在任一坐标系中的分量来表示:
r xi yj zk 或 r xi y j zk
在惯性坐标系中的运动:
Z*
dr dx
dy
dz
i
j
k xi yj zk
dt
dt
dt
dt
X
在转动坐标系中的运动:
d r dx dy dz
i
j
k x i y j z k
dt
dt
dt
dt
Y*
Z
P
r
O
Y
X*
42
在惯性坐标系中的运动:
dr dx dy dz
di
dj
dk
i
j
k x
y
z
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
d r
di
dj
dk
x
y
z
(7 )
dt
dt
dt
dt
需要解决转动坐标系坐标轴在惯性坐标系中的导数问题。我
们假定,转动坐标系绕着过原点O的某轴OQ以角速度 旋转。
方向沿OQ轴,指向转动坐标系右旋方向。则可以证明转动坐
标系中的任意固定矢量 s 在惯性坐标系中的导数为:
Z
ds
s
dt
Y*
s
Z*
X
O
Q
Y
X*
43
于是由(6 )式可得:
dr d r
x ( i ) y ( j ) z ( k )
dt
dt
dr
d r
r
(8)
dt
dt
这是建立转动坐标系两种时间导数之间关系的基本方程。
d 2r
d d r
dr d
(
)
r
2
dt dt
dt
dt
dt
d 2 r
d r
d r
d
(
r
)
r
2
dt
dt
dt
dt
d 2r
d 2 r
d r
d
2
( r )
r
(9 )
2
2
dt
dt
dt
dt
方程(9 )又被称为哥氏定理。
44
6.5.2 运动坐标系
如图,运动坐标系O-X*Y* Z* 相对于惯性坐标系O-XYZ转动和平
移。质量为M 的质点P 分别以 r 和 r 确定相对于惯性坐标系
和运动坐标系的原点的位置。原点O* 相对于原点O的位置以矢
*
Y
量 h 表示。则有:
r r h
Z*
O*
*
P
dr dr
dh
X
r*
v(t )
( v vk )
r
dt
dt
dt
h
Z
d r
dh
v(t )
r
(10 )
dt
dt
Y
X O
dv(t ) d 2 r d 2 h
a(t )
(
a
ak )
2
2
dt
dt
dt
d 2 r
d r
d
d 2h
2
( r )
r 2 (11 )
2
dt
dt
dt
dt
45
6.5.3 杆件运动学
根据前述运动坐标系的概念,推导一组数学方程,描述机
器人的运动杆件相对于基础坐标系的运动学关系。
坐标系 ( x0 , y0 , z0 ) 是基础坐标系,而坐标系 ( xi 1 , yi 1 , zi 1 )
和 ( xi , yi , zi ) 分别固联于杆件 i -1和杆件 i 上,原点分别为
Oi-1和 Oi 。原点 Oi 相对于原点 O 和原点 Oi-1 的位置分别用
位置矢量 pi 和 pi 表示。原点 Oi-1相对于基础坐标系原点 O
的位置用位置矢量 pi 1 表示。
令 vi 1和 i 1 分别为坐标系 ( xi 1 , yi 1 , zi 1 ) 相对于基础坐标
系 ( x0 , y0 , z0 ) 的线速度和角速度。令 i 和 i 分别为杆件i
坐标系 ( xi , yi , zi ) 相对于基础坐标系 ( x0 , y0 , z0 ) 和杆件 i -1
坐标系 ( xi 1 , yi 1 , zi 1 ) 的角速度。则杆件 i 坐标系 相对于基
础坐标系的线速度 vi 和角速度 i 分别是:
46
d pi
vi
i 1 pi vi 1
dt
i i 1 i
(12 )
(13 )
式中 d*(.)/dt 表示在运动坐标系 ( xi 1 , yi 1 , zi 1 ) 的时间导数。
47
d 2 pi
d
pi
vi
p
2
(
p
i 1
i
i 1
i 1
i 1
i ) vi 1 (14 )
2
dt
dt
i i 1 i
i 为坐标系 ( xi , yi , zi ) 相对于 ( xi 1 , yi 1 , zi 1 ) 的角加速度:
d
d
i
i
i
i 1 i
dt
dt
d i
i i 1
i 1 i
dt
(15 )
根据机器人杆件坐标系建立的步骤和参数的定义,杆件 i 在
杆件 i –1 坐标系中的运动是沿 zi 1 方向的平移或绕 zi 1 转动。
因此,
zi 1qi 若杆件 i 转动
i
(16 )
0
若杆件 i 平移
式中 q 是杆件 i 相对于杆件 i -1 坐标系的角速度值。
48
类似地
d i
z q
i 1 i 若杆件 i 转动
0
dt
若杆件 i 平移
(17 )
由式(13 )和式(16 )有:
i 1 zi 1qi 若杆件 i 转动
i
i 1
若杆件 i 平移
(18 )
由式(15 ) 、式(16 )和式(17 )有:
i 1 zi 1qi i 1 ( zi 1qi )
i
i 1
若杆件 i 转动
若杆件 i 平移
(19 )
由式(15 ) 、式(16 )和式(17 )有:
i pi 若杆件 i 转动
d pi
(20 )
z q
若杆件 i 平移
i 1 i
dt
d
i
2
pi i (i pi ) 若杆件 i 转动
d pi
(21 )
dt
2
若杆件 i 平移
dt
zi 1qi
49
由式(12 ) 、式(13 )和式(20 )有:
i pi vi 1
vi
zi 1qi i pi vi 1
若杆件 i 转动
若杆件 i 平移
(22 )
利用矢量叉乘积的恒等式
(a b ) c b (a c ) a(b c )
a (b c ) b (a c ) c (a b )
并根据式(14 ) 、式(15 )和式(19 )有:
vi
i pi i (i pi ) vi 1
若杆件 i 转动
zi 1q i pi 2i ( zi 1q) i (i pi ) vi 1
若杆件 i 平移
—(23 )
50
6.5.4 牛顿——欧拉法基本运动方程
刚体的运动可分解为随质心的移动和绕质心的转动。借助于
杆件运动学知识,我们把达朗贝尔原理用于每个杆件,描述机
器人各杆件的运动。达朗贝尔原理可应用于任意瞬时,它实质
上是牛顿第二运动定律的一种变型,可表示为:
d mi vi
( Fi
)
牛顿定理 :
Fi mi vi
dt
欧拉方程 :
Ni Iii i ( Iii )
d I ii
( Ni
)
dt
式中:mi — 杆i 质量;
Fi — 杆i上所有外力合力;
Ni — 杆i上所有外力对质心的合力矩;
I i — 杆i 绕其质心惯性矩阵。
51
zi
zi 1
f i ,i 1
yi 1
f i 1,i
N i ,i 1
yi
N i 1,i
oi
oi 1
ri ,Ci
xi 1
xi
mi g
根据力(矩)平衡原理,在质心处有:
Fi fi 1,i fi ,i 1 mi g
则有
Ni Ni 1,i Ni ,i 1 (ri ,ci ) ( fi ,i 1 ) ri 1,ci fi 1.i
fi 1,i fi ,i 1 mi g mi vi 0
Ni 1,i Ni ,i 1 (ri ,ci ) ( fi ,i 1 ) ri 1,ci fi 1.i Iii i ( Iii ) 0
方程(24 )即为牛顿——欧拉法的基本方程。
(24)
52
6.5.5 递推形式的牛顿——欧拉方程
上面推导的牛顿——欧拉法(也简称N-E法)方程式含关节
联接的约束力(矩),没有显示地表示输入—输出关系,不适
合进行动力学分析和控制器设计。如果变换成由一组完备且独
立的位置变量(质心位置变量通常不是相互独立的)和输入力
来描述,这些变量都显式地出现在动力学方程中,即得到显式
的输入——输出形式表示的动力学方程,称为封闭形式的动力
学方程(拉格朗日方程即是封闭的)。
关节变量 q 是一组完备且独立的变量,关节力(矩) 是
一组从约束力(矩)中分解出来的独立的输入,所以用 q 和
来描述方程,可以得到封闭形式的动力学方程。
53
根据N-E法的基本方程,利用质心运动变量与关节变量及关
节运动变量之间的关系以及约束力与关节力矩之间的关系,消
去中间变量,可以得到封闭形式的动力学方程。但显然不如用
拉格朗日法简单,特别是当机器人自由度较多时,更是如此。
因此,对于N-E法,常用的不是它的封闭形式方程,而是它
的递推形式方程。方程(24)可直接写成如下递推形式:
fi 1,i fi ,i 1 mi vi mi g
Ni 1,i Ni ,i 1 ri ,ci fi ,i 1 ri 1,ci fi 1.i Iii i ( Iii ) 0
而关节力(矩)可写成如下形式:
T
ˆ
z
对于旋转关节
i 1 Ni 1,i bi qi
i T
对于移动关节
zi 1 fi 1,i bi qi
式中,zˆi 1为沿关节轴线 z i 1 的单位矢量,
bi 为关节的粘滞阻尼系数。
(25)
(26)
54
递推形式的N-E法方程与封闭形式方程比较,计算量从 O(n4 )
减少到 O(n) :
乘法次数:117n – 24,
加法次数:103n - 21,
从而大大加快了计算速度。自由度越多,递推形式的优势越明
显。对于典型 n=6 的情形,递推形式的计算效率几乎提高10倍。
因此,常用于实时计算。
递推形式方程的特点是其计算从机器人操作机的一个杆到另
一杆逐个顺序进行的,它充分利用了操作机的串联链特性,常
用于求解动力学逆问题(即已知 ,,,求 )。
求解的大致过程为:根据运动和力的不同传递方向,进行运
动量的向前迭代和力学量的向后迭代。
具体步骤如下:
55
1.确定计算N-E方程所需的所有运动量,包括每个杆件的
( vci , wi , vci , w i)由杆1
杆n:
q1, q1 , q1 vc1 , vc1 , w1 , w1 vc 2 , vc 2 , w2 , w2
q3 , q3 , q3
q1 , q2 , q2
vcn , vcn , wn , wn
2. 将上述运动量代入N-E方程,确定关节力(矩)。计算顺
序与运动量计算相反,由杆n
杆1:
f n 1,n f n,n 1 mn g mn vcn f n 1,n f n 2,n 1
f 0,1
Nn1,n Nn,n1 rn,ci f n, n1 rn1,ci f n1.i I nn n ( I nn ) Nn 1,n Nn 2,n 1
N0,1
1
n 1
2
nn
运动学计算
0
i
动力学
计算
N n, n 1
f n , n 1
56
6.5.6 在杆件自身坐标系中的递推方程
前述递推运动方程的明显缺点是所有惯性矩阵和物理几何
参数(如 ri ,ci , ri ,i 1 , zˆi )等,都是以基础坐系为参照的,因此,
当机器人运动时,它们也随着变化。Luh等人改进了上述N-E
方程,将所有杆件的速度、加速度、惯性矩阵、质心位置、
力和力矩等,都表示在各杆的自身坐标系中,从而使计算更
加简单。
这种改进的最重要的成果是,计算关节驱动力矩的时间不
仅与机器人关节数成线性比例,而且与机器人构型无关。这
就有可能在关节变量空间实现机器人的实时控制算法。
设 i 1Ri 是3×3旋转矩阵,它把矢量由坐标系 ( xi , yi , z i ) 变换
到坐标系 ( xi 1 , yi 1 , zi 1 ) 中。
57
这样,可不计算相对基础坐标系的 i , i , vi , vi , vci , fi 1,i 和 N i 1,i
等,而是直接计算在杆件自身坐标系中的 ii , ii , i vi , i vi , i vci , i fi 1,i
i
和 Ni 1,i 等。
于是有关运动量的递推公式变为:
i 1
i
i
若杆件 i 转动
ˆi )
R
(
q
i 1
i
i
i 1 z
i 1
i 1 i
若杆件 i 平移
i R i
i 1
i
i
i
i
ˆ
ˆi )] 若杆件 i 转动
R
[
q
z
(
q
i 1
i
i
i 1
i
i
i 1 z
i 1
i 1
i
若杆件 i 平移
R
i
i
i 1
若杆件 i 转动
Ri i vi i 1i 1 i 1ri.i 1 i 1i 1 [ i 1i 1 i 1ri ,i 1 ]
i 1 i
i 1
vi 1 Ri ( vi qi 1 i zˆi ) i 1i 1 i 1ri ,i 1 2 i 1i 1 (qi 1 i 1Ri i zˆi )
若杆件 i 平移
i 1
i 1
i 1
i 1 ( i 1 ri ,i 1 )
i
vci i vi ii i ri ,ci ii ( ii i ri ,ci )
58
关节间约束力公式变为:
i
i
fi 1,i
i
i 1
R i 1 fi ,i 1 mi i vci
Ni 1,i i Ri 1 ( i 1Ni ,i 1 i 1ri 1 i 1 fi ,i 1 ) ( i ri 1,i i ri ,ci ) (mi i vci )
Ii ii ii ( Ii ii )
i T
i
i 1
N
(
R
zˆi 1 )
i 1,i i 1
i i T i
i 1
f
(
R
zˆi 1 )
i 1,i i 1
因此,概括地说,高效的牛顿一欧拉运动方程是一组正向和
反向的递推方程,每一杆件的动力学和运动学参数都是以其自
身坐标系为参照的。
59
6.6 机器人的凯恩方程法简介
凯恩(Kane)方法是用来建立机器人机构动力学模型的一种普
遍方法,其基本思想是以广义速率代替广义坐标作为系统的独
立变量,它用达朗倍尔原理及虚位移原理建立动力学方程。凯
恩方法既适合于完整系统,也适合于非完整系统。
6.6.1 广义速率和偏速度及偏角速度
一、广义速率
一个具有n 个自由度的完整系统,相对于惯性坐标系
( x0 , y0 , z0 ) 的运动一般通过 n 个独立的广义坐标 qi (i 1, 2, , n)
来描述 。 n 个广义速度 qi (i 1, 2, , n) 也是独立的,故可用
n 个广义速度的线性组合,即n 个广义速率(或称准速度)
ui (i 1, 2, , n) 来描述系统的运动,即
60
n
ui
ari qi ar
(r 1, 2, , n)
(27)
i 1
式中:ari , ar 为 qi 及 t 的函数;而由 ari 组成的系数矩阵应为非
奇异阵。则有
n
qi
ir ui bi
(i 1, 2, , n)
(28)
r 1
二、偏速度
系统中任意质点 p 的径矢为
r , r 为广义坐标
qi 及t 的函数,
rp r (q1 , q2 , , qn , t )
则该点的速度为
n
v p rp
i 1
r
r
qi
qi
t
n
n
(
r 1
i 1
r
ir )ur
qi
n
i 1
r
r
bi
qi
t
61
令
n
vp
vr (r ) ur vt
(29)
r 1
其中
n
vr (r )
i 1
n
vt (r )
i 1
r
ir
qi
(30)
r
r
bi
qi
t
(31)
称广义速率 ur 前的系数矢量 vr (r ) 为 p点相对于惯性坐标系
的第 r 偏速度。一般说来它是广义坐标 qi 和时间t 的函数。对
于定常系统 vt 0 ,偏速度只是广义坐标的矢量函数。
三、偏角速度
1e1 2 e2 3e3
n
r (e ) u r t
r 1
62
从式 (30) 可见,广义速率的取法不同,系统内同一质点及
同一刚体的偏速度也可不同。故可通过一定的技巧来选取广
义速率,使得到的偏速度和偏角速度具有最简单的形式。最
理想的是使较多的偏速度和偏角速度等于零,这样有利于简
化动力学方程。
一般选择与系统的运动密切相关的量,如选取系统中刚体
的角速度分量或质点的速度分量为广义速率,以使刚体的角
速度和质点的速度具有最简单的表达形式。作为特例,如果
取广义速度为广义速率,即
ui qi
dr
r
r
r
r
v
q1
q2
qn
dt q1
q2
qn
t
可见对于广义速度 qi
r
的偏速度为
qi
。
63
四、刚体各点偏速度
v pr (r ) vCr (r ) r rp
(32)
6.6.2 凯恩动力学方程
由达朗倍尔原理和虚位移原理推得的系统的动力学普遍方程:
( Fp m p rp ) rp 0
(33)
p
系统中 p 点的速度,对于具有n 个自由度的系统,可写成
广义速率的线性组合, 即
n
drp
dt
vp
v rpr(r ) ur vtpt
r 1
64
n
drp
n
v rpr(r ) ur dt vtpt dt
r 1
v rpr(r ) d r vtpt dt (34)
r 1
式中 d r ur dt 。如果 ur 可积分,则 r 为另一种定义
的广义坐标。
从式 (34) 可得到 rp 的变分
rp ,即
n
rp
v rpr(r ) r
r 1
将上式代入式 (33) 得
p
n
r 1
( Fp m p rp ) v rpr(r ) r 0
65
改变求和的形式得
n
r 1
令
Fp v rpr(r )
p
Fr
p
称为系统对应于 ur
p
m p rp v rpr(r ) r 0
(34)
Fp v rpr(r )
的广义主动力
Fr
m p rp v rpr(r )
p
称为系统对应于 ur
的广义惯性力
66
这样,式(34)成为:
n
Fr F r r 0
r 1
由于 r 为独立的变分,所以有
Fr F r 0
r 1, 2, , n
(35)
上式称为凯恩动力学方程,意为广义上动力与广义惯性
力之相等于零。
凯恩方程法可以得到封闭形式的动力学方程。
67
6.7 弹性机器人动力学简介
6.7.1 机器人系统的弹性问题
通常,机器人机构的手臀、驱动、传动元件被假设为刚性
的,故系统的建模及控制方案设计都是以这样一个刚性假设
为前提的。结构刚性越好越不易振动,机器人精度越高,经
过近似处理的控制方法也越精确、可行。
随着工业的发展,对机器人性能要求越来越高。如:要求
机器人重量轻以降低能耗;运行速度快,以提高劳动生产率;
定位精度高,以适应更多的精密作业要求。另外,对于如太
空机器人所处的特殊环境要求具有超长手臂的机器人,其结
构已不再是刚性结构,而必须计入曾被忽略的系统弹性或非
线性因素,这便使系统设计、建模及控制变得更为复杂。
68
关于具有弹性的机器入系统的建模与控制问题的研究历史
不长,始于70年代初, 研究具有弹性附件的飞机动力学模
型的动力学分析问题,计入分布质量和柔性效应的机器人机
构在低速运动下的动力学,对具有分布质量和弹性影响的二
连杆机械手提出反馈控制方法。近年来,关于这方面的研究
发展很快,大多以研究单弹性臂机器人的建模与控制入手。
本节将以单弹性臂机器人机构为例,介绍弹性手臂机器人
的建模方法。
6.7.2 机器人机构的弹性及非线性问题
机器人系统的弹性主要来源于两个方面,①由于臂本身的
弹性而引起的变形及运行过程中的振动。②由驱动系统的弹
性及非线性因素而引起的振动。
在机器人驱动系统中,存在着轴与轴承之间的库仑摩擦,
传动装置中的齿轮间隙及谐波齿轮减速器的弹性等因素。 69
6.7.3 主要研究内容
一、建模方法。
弹性手臂机器人是一分布参数系统,其运动特性由一组非
线性偏微分方程描述。在系统仿真和应用设计时必须作有限
维的近似,并在不影响系统稳定性性态的前提下化为可实际
控制的系统状态方程。
解决弹性手臂机器人的建模问题的各种建模方法,在不同
程度上部有一定的近似性。准确性及可行性是衡量一种方法
好坏的标准,就现有文献资料大致可归纳为以下几种:
(1) 拉格朗日方程结合模态展开法;
(2) 拉格朗日方程结合有限元素法;
(3) 牛顿一欧拉方程结合模态展开法;
(4) 牛顿一欧拉方程结合有限元素法;
(5) 哈密顿原理结合模态分析法。
70
二、控制方程
现在应用于机器人控制中的最佳控制法、极点配置法均以
系统不产生振荡为前提,而弹性手臂机器人系统对其控制器
的要求就是要能控制其弹性振动。因而有效可行的控制方法
的研究很有必要。
对控制方案的要求:
(1) 必须同时控制刚体运动及弹性振动而控制输出量仅
作用于关节处;
(2) 避免溢漏现象;
(3) 控制方案所要求的传感器数量应尽可能少,且安装
简单、方便。
三、带有弹性构件的新型机械结构。
71
6.7.4 单弹性臂机构的建模
设T1为驱动部分动能、 T2为手臂部分动能、 T3为
负载动能,则
72
d L
L
Fi
(
)
dt qi
qi
73