Методы обработки наблюдений
Download
Report
Transcript Методы обработки наблюдений
Методы обработки
наблюдений
А.С.Цветков
СПбГУ
1
Измерение
x1 , x2 ,
x 1 , x 2 ,
, xn
, x n
2
Математическое ожидание
1 n
x xi
n i 1
Mxx
M X1 X 2 M X1 M X 2
M aX aM X
M X1 X 2 M X1 M X 2
3
Закон распределения случайной величины
4
Нормальное распределение
5
Начальные и центральные моменты
1 n k
k xi
n i 1
– начальный момент k-го порядка
n
1
k
k xi 1
n i 1
– центральный момент k-го порядка
6
Вычисление центральных моментов
1 0
2 2
2
1
3 3 312 2
3
1
4 4 413 6 3
2
1 2
4
1
7
Смысл моментов
1 M x
Математическое ожидание
2
Дисперсия
2
3
1 3
4
2 4 3
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
8
Дисперсия – центральный момент 2-го порядка
n
1
2
Dn x xi x
n i 1
– выборочная или смещенная дисперсия
1 n
2
Dx
xi x – несмещенная (исправленная) дисперсия
n 1 i 1
x
n
n
n
Dx
Dn x
n 1
D
x
i 1
2
i
2
i 1 i
n
n 1
9
Среднеквадратическое отклонение
(среднеквадратичное отклонение)
1 n
2
n Dn x
xi x
n i 1
n 2
1 n
2
Dx
n
xi x
n 1
n 1 i 1
Стандартное отклонение
10
Правило 3-х сигм
x x
2
4
3
4
x x
x x 3; x 3
– с вероятностью 99.73%
11
Асимметрия и эксцесс
3
As 3
4
Ex 4 3
12
Коэффициент корреляции
X i , Yi
RXY
Пусть задано две случайных последовательности
X X Y Y cov
X
X
Y
Y
XY
2
2
X
Y
Коэффициент корреляции меняется в диапазоне от –1 до +1
13
Линейная алгебра
Справка
14
Векторы и матрицы
t1
t
2
t
tN
Вектор в N-мерном
пространстве
a11
a
21
ˆ
A
aN 1
a12
a21
aN 2
a1N
a2 N
aNN
Матрица N×N
15
Скалярное произведение векторов
x1
x2
x
xN
x y x1 y1 x2 y2
y1
y2
y
yN
N
xN yN xi yi
i 1
16
Произведение матрицы на вектор
a11
a21
ˆ
A
aN 1
a12
a21
aN 2
x1
x2
x
xN
a1N
a2 N
aNN
y Aˆ x
N
yi aij x j
j 1
17
Произведение матрицы на матрицу
a11
a21
A
aN 1
a12
a21
aN 2
C AB
a1N
a2 N
aNN
b11 b12
b21 b21
B
bN 1 bN 2
b1N
b2 N
bNN
N
cij aik bkj
k 1
18
Единичная и обратная матрицы
a11
A
a
N1
a1N
aNN
1
1
AA E
0
0
1
19
Метод Гаусса нахождения обратной матрицы
a11
A|E
a
N1
1
-1
E|A
0
a1N
1
aNN
0
0
1
1
11
0 a
1 a
1
N1
a
1
aNN
1
1N
20
Метод наименьших
квадратов
К.Ф. Гаусс (1795)
А.М. Лежандр (1805)
21
Метод наименьших квадратов
В процессе обработки экспериментальных
данных исследователи сталкиваются с
задачей решения избыточной системы
линейных уравнений, т.е. такой системы,
в которой число неизвестных меньше
числа уравнений.
Эта задача возникает в случае
согласования параметров модели
наблюдениям, что может быть показано
графически: следует провести кривую
известной формы так, чтобы сумма
квадратов отклонений ее от
наблюдательных точек была минимальна.
22
Постановка задачи
y f (t )
Неизвестная функция
ti yi
i 1,
,M
N
x t
j 1
j
j
Модель в виде базисных функций
j 1, , N
M
N
M – число наблюдений
23
N – число неизвестных параметров модели
Матрица системы избыточных уравнений
M
N
x t y
j 1
j
j
i
aij j ti
M
N
i
i 1
x t y
j 1
j
j
i
i
i 1
M
N
a x
j 1
i
ij
Ax y
j
yi i
i 1
24
Матрица нормальной системы
M
2
i
M
min
i 1
i1
f x1 , x2 ,
xk
, xN
f x f x1 , x2 ,
N
i yi aij x j
j 1
k 1
2
, xN
N
0
N
yi aij x j
i 1
j 1
0
xk
M
2
i
N
N
N
yi aij x j aik 0
i 1
j 1
k 1
M
25
k 1
Матрица нормальной системы
M
N
a a
i 1 j 1
M
ij ik
bkj aij aik
i 1
N
M
x j aik yi
i 1
k 1
M
c j aij yi
i 1
Bx c
1
xB c
26
Ошибки найденных параметров
aij x j yi
i 1 j
M
N
2
2
M N
j b
1
jj
2
Сумма квадратов «невязок»
Ошибка «единицы веса»
Среднеквадратичные ошибки
искомых параметров
xj j
27
Коэффициенты корреляции
между параметрами
rij
1
ij
b
1 1
ii
jj
b b
Диагональные элементы этой симметрично матрицы равны 1, а не
диагональные показывают взаимную корреляцию i-го и j-го параметров
28
Примерная реализация МНК на языке FORTRAN
Subroutine LSQM(a,y,w, x,d, s, r)
!
!
!
!
!
!
!
m - количество уравнений
n - количество неизвестных
a(m,n) - матрица плана
y(m) - столбец правых частей, w(m) - столбец весов;
x(n) - ответ, d(n) - среднеквадратичные ошибки x;
s - среднеквадратичная ошибка единицы веса;
r(n,n) - корреляционная матрица.
real(8), intent(in) :: a(:,:), y(:), w(:)
real(8), intent(out) :: x(:), d(:), s, r(:,:)
integer i,j,k
real(8) :: u
real(8) :: c(size(x))
integer :: m,n
m=size(a, dim=1)
n=size(a, dim=2)
29
do i=1,n
! Заполнение матрицы нормальной системы
do j=1,i
u=0.0
do k=1,m
u=u+a(k,i)*a(k,j)*w(k)
end do
r(i,j)=u; r(j,i)=u
end do
! Заполнение столбца нормальной системы
u=0.0
do k=1,m
u=u+a(k,i)*y(k)*w(k)
end do
c(i)=u
end do
30
! Решение системы
call Invert(r)
call Multiply(r,c,x)
! Сумма квадратов невязок
s=0.0
do k=1,m
u=0.0
do i=1,n
u=u+a(k,i)*x(i)
end do
s=s+(u-y(k))**2 * w(k)
end do
! Ошибка единицы веса
s=sqrt(s/(m-n))
! Ошибки параметров
do i=1,n
d(i)=s*sqrt(r(i,i))
end do
31
! Вычисление корреляционной матрицы
do i=1,n
do j=1,i-1
r(i,j)=r(i,j)/sqrt(r(i,i)*r(j,j))
r(j,i)=r(i,j)
end do
end do
do i=1,n
r(i,i)=1.0_8
end do
32