Transcript TEMA 1 ver
Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Resistencia de Materiales Tema 1 Esfuerzo y Deformación ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Índice de contenido Índice de contenido • Introducción • Sección 1 - Concepto de Esfuerzo • Sección 2 - Deformaciones • Sección 3 - Ensayo de tracción • Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación • Sección 5 - Estructuras estáticamente indeterminadas • Sección 6 - Tensiones de origen térmico • Sección 7 - Resumen de ecuaciones ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Índice de contenido Índice de contenido • Sección 8 - Ejemplos ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Introducción Introducción En cursos previos al presente, hemos aprendido las condiciones necesarias para que un cuerpo se encuentre en equilibrio. En forma sencilla, podemos citarlas de la siguiente forma: F x M x 0 F 0 M y y 0 F 0 M z z 0 0 Donde el término ‘F’ representa las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo en las direcciones ‘x’, ‘y’, ‘z’ de un sistema coordenado ortogonal. Análogamente, el término ‘M’ está referido a los momentos que se ejercen en el cuerpo, en las direcciones ‘x’, ‘y’, ‘z’. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Introducción Supongamos que tenemos un cuerpo que se encuentra en equilibrio, con cargas (fuerzas, momentos) aplicadas sobre el mismo. Si le hacemos un corte transversal imaginario dividiéndolo en dos partes, observaremos que deben generarse fuerzas internas en su sección transversal para que pueda mantenerse en equilibrio. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Introducción Las fuerzas internas que se generan en la sección transversal se denominan esfuerzos. Para determinar éstos, se hace necesario definir las cargas que están ejercidas sobre dicha sección; esto se logra aplicando las condiciones de estática que recordamos líneas atrás. Tendremos entonces que, en la sección de interés, están aplicados una fuerza y un momento resultante (‘FR’ y ‘MR’ respectivamente). ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Introducción Realicemos ahora una descomposición de la fuerza resultante sobre la sección de interés. Obtendremos una fuerza que es normal al plano de la sección; ésta es la carga axial (P). El resto de fuerzas están contenidas en el plano, y se llaman cortantes (V). Observe que la fuerza cortante total es la sumatoria vectorial de las fuerzas contenidas en el plano de la sección. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Introducción Desarrollemos ahora el mismo procedimiento para el momento resultante. Obtendremos una componente que es normal al plano de la sección; ésta representa el momento torsor (T). Las componentes restantes de momento están contenidas en el plano, y se denominan momentos flectores (M). La la sumatoria vectorial de todos los momentos contenidos en el plano resulta en el momento flector total en la sección. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Introducción En resumen, podemos tener cuatro tipo de cargas sobre una sección transversal: - Carga Axial. Es la componente normal al plano de la fuerza resultante sobre el mismo. - Fuerza Cortante. Es la componente de la fuerza resultante contenida en el plano de la sección transversal. - Momento Torsor. Es la componente normal al plano del momento resultante sobre el mismo. - Momento Flector. Es la componente del momento resultante contenida en el plano de la sección transversal. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 1 - Concepto de Esfuerzo Concepto de Esfuerzo Esfuerzos son las fuerzas internas que se generan dentro de cuerpos sometidos a cargas. Para brindar una definición matemática a este concepto, tomaremos un cuerpo cargado representando las fuerzas internas que en él aparecen. Elegiremos un diferencial de área de la sección transversal, en la que actúa una fuerza interna finita como se muestra. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 1 - Concepto de Esfuerzo Definiremos entonces como Esfuerzo Normal (σ) a la cantidad de fuerza por unidad de área actuando en dirección normal a ‘ΔA’. Matemáticamente, puede expresarse de la siguiente forma: Fn Lim A0 A Si ‘ΔFn’ “sale” de la sección transversal, el esfuerzo normal es de tracción y se denota con signo positivo. De lo contrario, el esfuerzo normal es de compresión y se escribe con signo negativo. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 1 - Concepto de Esfuerzo El Esfuerzo Tangencial ó Cortante (t) es la cantidad de fuerza por unidad de área actuando en dirección tangencial a ‘ΔA’. Matemáticamente, puede expresarse de la siguiente forma: Ft t Lim A0 A A diferencia de ‘ΔFn’ , cuya dirección puede ser una sola, ‘ΔFt’ puede tener cualquier dirección en el plano. El esfuerzo cortante tendrá la misma dirección y sentido de ‘ΔFt’. Como el esfuerzo está integrado en unidades de fuerza sobre área, se expresa en Pa (N/m2) según el Sistema Internacional y en psi (Lbf/in2) según el Sistema Inglés. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 1 - Concepto de Esfuerzo Esfuerzo normal promedio en barras cargadas axialmente La distribución de esfuerzos normales en una sección transversal de una barra cargada axialmente no es completamente uniforme. Sin embargo, para este caso específico, podemos definir un esfuerzo normal promedio en toda la sección transversal, sin temor a cometer un gran error con esta aproximación. Dicho esfuerzo viene dado por la siguiente expresión: P A (1.1.1) Donde ‘P’ es la carga axial y ‘A’ el área de sección transversal de la barra. Si la carga ‘P’ es de tracción, el esfuerzo normal es positivo y viceversa. Es importante recordar que, como el esfuerzo es normal, el área es perpendicular a la fuerza aplicada. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 1 - Concepto de Esfuerzo Esfuerzo normal de aplastamiento en elementos de unión pasantes Observemos la figura que se muestra. En las superficies de contacto entre el remache y las placas (donde se transmiten fuerzas entre ellos), se generan esfuerzos de aplastamiento. Estos aparecen en todas las situaciones similares a la ilustrada (con pernos, pasadores, entre cojinetes y ejes…). ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 1 - Concepto de Esfuerzo En principio, este esfuerzo puede parecer difícil de identificar pues a primera vista puede observarse que el área de contacto (Acontacto = 2πrL) no es siempre perpendicular a la fuerza que se ejerce sobre la misma. Para calcular este esfuerzo, proyectamos el área de contacto sobre un plano normal a la fuerza y tomamos el valor del área proyectada, que ahora sería ‘Aproyectada = 2rL’. Finalmente, el esfuerzo de aplastamiento vendría dado por la expresión: APLASTAMIENTO P A PROYECTADA (1.1.2) ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 1 - Concepto de Esfuerzo Esfuerzo cortante promedio en elementos de unión pasantes Considerando el mismo caso que se nos presentaba en el apartado anterior, se generan también esfuerzos cortantes en la sección transversal del elemento de unión. Esto se debe a la acción de una fuerza cortante que intenta “cizallar” el elemento, tal como se observa en la figura. El esfuerzo cortante promedio vendría dado por la expresión: t PROMEDIO Pcor tan te A (1.1.3) En este caso, la fuerza es paralela ó tangente al área. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 2 - Deformaciones Deformaciones Los cuerpos completamente rígidos no existen. Todo elemento se deforma ante la presencia de cargas sobre él, aunque sea en una proporción muy pequeña. Si aplicamos una carga axial de tracción a un cuerpo, observaremos que éste tenderá a alargarse en el sentido de dicha carga. Si la carga fuese de compresión, el cuerpo se acortaría en la dirección de la carga. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 2 - Deformaciones Se llama Alargamiento () al cambio de longitud que experimenta un cuerpo debido a una carga axial aplicada sobre el mismo. Según la figura presentada anteriormente, se puede plantear así: L L f L0 (1.2.1) A partir del Alargamiento, podemos establecer un concepto que nos será muy útil en el estudio de los materiales: la Deformación Unitaria Normal (ε). Esta se establece de la siguiente forma: L0 L f L0 (1.2.2) L0 Es importante mencionar que, como el Alargamiento y la Deformación Unitaria Normal se deben a cargas axiales, estos conceptos están íntimamente relacionados con los esfuerzos normales. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 2 - Deformaciones Cuando un cuerpo se deforma en una dirección, se producen también deformaciones en las dos direcciones ortogonales a la primera. Estas deformaciones pueden determinarse utilizando el módulo de Poison (u). Si se aplica una carga axial en la dirección de x, se tendrá una deformación εx, y se producirán deformaciones ‘εy’ y ‘εz’, las cuales pueden calcularse mediante las relaciones: y u x (1.2.3a) z u x (1.2.3b) ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 3 - Ensayo de Tracción Ensayo de Tracción Se define como Propiedades Mecánicas a los valores característicos de esfuerzo, dureza, deformación ó energía con los que un material responde ante la aplicación de una carga sobre el mismo. Vale decir que, la selección del material del cual se mecanizará un elemento dado depende en gran medida de sus propiedades mecánicas; he allí su importancia. Existen numerosos ensayos mecánicos con los que se pueden determinar las propiedades mecánicas de un material; sin embargo, el más utilizado de ellos, es el Ensayo de Tracción. Este consiste en aplicar una carga axial de tracción sobre una probeta hecha del material de estudio, aumentando muy lentamente el valor de dicha carga desde cero hasta que la probeta se rompa. Cada valor de carga se registra junto con el alargamiento respectivo que produce. Luego, con los datos obtenidos, se calcula el esfuerzo normal (σ) ejercido por la carga y la deformación unitaria (ε) relativa al alargamiento experimentado por la probeta. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 3 - Ensayo de Tracción Posteriormente, con los valores de esfuerzo y deformación calculados, se construye una gráfica que se conoce como Curva EsfuerzoDeformación. Es a partir de esta gráfica que pueden obtenerse varias propiedades mecánicas del material. Las dimensiones y características de la probeta dependen de la normativa que se siga. La figura muestra una probeta según las normas Covenín, donde Do = 12,5mm; L = 50mm; R = 10mm; L’ ≥ L + Do. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación Curva Esfuerzo - Deformación Como se expuso anteriormente, es una gráfica donde se observa la variación del esfuerzo normal (σ) respecto a la deformación unitaria (ε) a partir de los resultados obtenidos en un ensayo de tracción. Aunque estas curvas pueden tener múltiples comportamientos según el material del que se trate, las tendencias que nos interesa estudiar se muestran abajo. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación Con una mirada superficial sobre las curvas, podemos observar dos cosas. En primer lugar, los materiales frágiles se deforman muy poco antes de romperse, a diferencia de los materiales dúctiles. Por otro lado, los materiales dúctiles pueden presentar ó no zona de fluencia. Si el material es un metal puro, la curva no presentará este fenómeno, y viceversa si se trata de una aleación. Siendo más detallistas, podremos notar que podemos dividir la curva en varias zonas. Para esto, centraremos nuestra atención en los materiales con zona de fluencia (por poseer la curva más compleja). ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación En primer lugar, podemos dividir la curva en dos zonas generales. La zona elástica (AB) se caracteriza porque las deformaciones producidas en esta sección son de carácter elástico. Por otro lado, en la zona plástica (BE) las deformaciones producidas son permanentes. En la zona plástica ocurren tres fenómenos: - Fluencia (tramo BC) - Endurecimiento por deformación (tramo CD) - Formación de cuello o estricción (tramo DE). Estudiaremos ahora cada zona con mayor detenimiento. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación Zona Elástica Como se mencionó anteriormente, las deformaciones producidas en esta zona son elásticas, es decir: desaparecen si se retira la carga. Durante el primer tramo, esta zona exhibe un comportamiento lineal hasta el límite de proporcionalidad (σP), a partir del cual cambia su tendencia. Se cumple entonces hasta el valor de esfuerzo mencionado anteriormente la ley de Hooke: E (1.4.1) Donde E es el módulo de Young ó módulo de elasticidad del material. Este comportamiento elástico se cumple hasta el límite de elasticidad (σE), el cual es un valor de esfuerzo bastante difícil de conseguir, y es apenas un poco superior al límite de proporcionalidad del material. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación Zona de Fluencia Se presenta en los metales aleados. Está caracterizada por dos valores de esfuerzo: el punto superior de fluencia y el punto inferior de fluencia. En esta zona y en las siguientes, las deformaciones serán permanentes, al igual que todos los cambios en sus propiedades mecánicas sufridos debido a dicha deformación. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación Zona de Endurecimiento por Deformación Durante esta etapa, ocurre una disminución uniforme de la sección transversal de la probeta a lo largo de su longitud L. Para continuar deformando la probeta, se debe aumentar notablemente el valor de la carga aplicada, por ello se dice que el material en esta zona se endurece. El esfuerzo último (σU) marca el final de esta etapa. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación Zona de formación de cuello ó Estricción En esta fase final ocurre la estricción, que consiste en una reducción del área de la sección transversal en una zona específica. Debido a esta reducción, la carga que debe ejercer la máquina de ensayo para deformar la probeta se hace cada vez menor, aunque en realidad el esfuerzo en la probeta va en aumento hasta que ocurre la ruptura. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación La curvas mostradas hasta ahora desprecian el fenómeno de estricción en la probeta. Por ello, se les denomina Curvas Nominales de Esfuerzo-Deformación. Al considerar la formación de cuello en la probeta, el esfuerzo real no presenta un valor máximo luego de la fluencia, sino que aumenta hasta la ruptura del material. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación Finalmente, de las Curvas Nominales de Esfuerzo-Deformación pueden obtenerse las siguientes propiedades mecánicas: - Límite de proporcionalidad - Límite de elasticidad - Límite(s) de fluencia - Tenacidad - Resiliencia. Ya hemos hablado de las tres primeras Procederemos a brindar una reseña de las restantes. propiedades. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación La Tenacidad (T0) es la capacidad del material de absorber energía de deformación plástica antes de romperse, y retener esa energía aún después que ha cesado la carga que le ha producido la deformación plástica. Para calcularla de la forma más precisa posible, se utilizaría la expresión: T0 MAX d (1.4.2a) 0 Donde la Tenacidad queda expresada como energía por unidad de volumen. Como encontrar una expresión del esfuerzo en función de la deformación para toda la curva es muy complicado, para materiales dúctiles se utiliza la expresión: T0 Y U 2 MAX (1.4.2b) ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 4 - Curva Esfuerzo-Deformación Para materiales frágiles, se utiliza la fórmula: 2 T0 Y U MAX 3 (1.4.2c) La Resiliencia (U0) es la capacidad del material para absorber energía cuando es deformado elásticamente, y luego devolver esa energía al ser descargado. Se calcula mediante la relación: 1 U 0 E E 2 (1.4.3) Donde el esfuerzo y la deformación son los valores máximos de la zona elástica. Al igual que la Tenacidad, la Resiliencia está expresada en términos de energía por unidad de volumen. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 5 - Estructuras estáticamente indeterminadas Estructuras estáticamente indeterminadas Al plantear las condiciones de equilibrio para la barra doblemente empotrada que se muestra en la figura, despreciando su peso, nos queda: RA F RC 0 Notemos que las condiciones de estática no son suficientes para resolver este sistema. Tenemos dos incógnitas (la carga F es conocida), y apenas una ecuación que las relaciona. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 5 - Estructuras estáticamente indeterminadas Sabemos que la barra, por estar doblemente empotrada, no puede sufrir ningún alargamiento, bien sea positivo o negativo. Entonces, sería útil establecer alguna relación entre las cargas a las que está sometida la barra y las deformaciones que ésta experimenta. Asumiendo que dichas deformaciones ocurren en el rango elástico, se cumpliría la ley de Hooke: E Sustituyendo los términos σ y ε, nos quedaría: P L E A L Finalmente: PL L EA ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 5 - Estructuras estáticamente indeterminadas Hemos conseguido una expresión que nos permite determinar el alargamiento en una barra, si conocemos sus características geométricas (L, A), el módulo de rigidez del material (E) y la carga axial a la que está sometida (P). Recordando el problema propuesto, condición del mismo era que el alargamiento total de la barra fuese nulo. A partir de la figura, podemos observar que el tramo AB está sometido a una carga axial distinta a la del tramo BC. Entonces, la segunda condición se basaría en las deformaciones y sería la siguiente: AB BC 0 Nuestro interés reside ahora en encontrar las cargas axiales a las que están sometidos los tramos AB y BC. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 5 - Estructuras estáticamente indeterminadas Para calcular la fuerza axial sobre el tramo AB de la barra, tomamos la carga que hay aplicada en el extremo A (RA) y planteamos una fuerza imaginaria (PAB) en B, justo antes del punto de aplicación de la carga F. Esta fuerza imaginaria, la asumiremos siempre como una carga de tracción. Entonces, establecemos la condición de equilibrio del tramo AB, tomando el sentido izquierdo (tracción PAB) como positivo: RA PAB 0 PAB RA Y planteamos la ecuación del Alargamiento del tramo AB: AB PAB LAB RA LAB E AAB E AAB ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 5 - Estructuras estáticamente indeterminadas Procediendo de forma similar con el tramo BC, se tendría: RA F PBC 0 PBC RA F Igualmente, planteamos la deformación de la barra para el tramo BC: BC PBC LBC ( RA F ) LBC E ABC E ABC ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 5 - Estructuras estáticamente indeterminadas Finalmente, como la deformación total debe ser cero, nos queda: AB BC ( RA ) LAB ( RA F ) LBC 0 E AAB E ABC Y recordando la condición de equilibrio: RA F RC 0 Tenemos ahora un sistema lineal de dos ecuaciones y dos incógnitas. Podemos hallar las reacciones RA y RC. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 6 - Tensiones de origen térmico Tensiones de origen térmico Cuando un cuerpo experimenta cambios de temperatura, sufre variaciones en sus dimensiones (dilataciones y contracciones). En el caso de una barra que experimente una variación de temperatura, se puede determinar el alargamiento de la misma mediante la relación: L T Donde α es el coeficiente de dilatación térmica y ΔT es la variación de temperatura que experimenta el cuerpo. Cuando el alargamiento está restringido (existe algún(os) elemento(s) que lo prohíben), pueden generarse esfuerzos en el material. Si el alargamiento producido por ΔT se halla dentro del rango elástico, el esfuerzo generado puede encontrarse utilizando la ley de Hooke. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 7 - Resumen de ecuaciones Resumen de ecuaciones Esfuerzo normal promedio debido a carga axial: P A : Esfuerzo normal promedio en la sección transversal P: Carga axial sobre la sección (perpendicular a la sección) A: Área de sección transversal ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 7 - Resumen de ecuaciones Esfuerzo cortante promedio debido a fuerza cortante: P t PROMEDIO A t: Esfuerzo cortante promedio en la sección transversal P: Fuerza cortante sobre la sección (tangencial a la sección) A: Área de sección transversal ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 7 - Resumen de ecuaciones Alargamiento normal en un elemento: L L f L0 : Alargamiento normal en un elemento Lf: Longitud final del elemento Li: Longitud inicial del elemento ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 7 - Resumen de ecuaciones Deformación unitaria normal en un elemento: L0 L f L0 L0 : Deformación unitaria normal : Alargamiento normal en un elemento Lf: Longitud final del elemento Li: Longitud inicial del elemento ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 7 - Resumen de ecuaciones Alargamiento normal en un elemento: L L f L0 : Alargamiento normal en un elemento Lf: Longitud final del elemento Li: Longitud inicial del elemento ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 7 - Resumen de ecuaciones Ley de Hooke: E : Esfuerzo normal E: Módulo de Elasticidad ó de Young : Deformación unitaria normal ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 7 - Resumen de ecuaciones Relación de Alargamiento debido a carga axial: PL EA : Alargamiento normal P: Carga axial E: Módulo de Elasticidad ó de Young L: Longitud del elemento A: Área de sección tranversal ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 7 - Resumen de ecuaciones Relación de Alargamiento debido a cambios térmicos: L T : Alargamiento normal : Coeficiente de dilatación térmica L: Longitud del elemento T: Variación de temperatura ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 7 - Resumen de ecuaciones Resiliencia de un material: 1 U 0 E E 2 U0: Resiliencia E: Esfuerzo normal máximo de la zona elástica E: Deformación unitaria normal máxima de la zona elástica ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 7 - Resumen de ecuaciones Tenacidad de un material: T0 MAX d 0 Y U MAX (materiales dúctiles) 2 T0 Y U MAX 3 (materiales frágiles) T0 2 T0: Tenacidad u, y: Esfuerzos normales último y de fluencia, respectivamente MAX: Deformación unitaria normal máxima ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 8 - Ejemplo 1 Ejemplo 1 La figura muestra dos barras empotradas como se muestra en la figura. La barra AB está hecha de Acero ( E = 200E6 MPa) y tiene un diámetro de 2 cm. La barra BC, de Aluminio ( E = 70E6 Mpa), tiene un diámetro de 4 cm. Ambas barras tienen 10 cm de longitud. Se aplica una carga F = 5000 N entre ambas, como se muestra. Determine las reacciones en los empotramientos y las deformaciones de las barras. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 8 - Ejemplo 1 En primer lugar, establecemos la condición de equilibrio estático en el sistema: RA 5000 RC 0 Donde tenemos dos incógnitas. Procederemos ahora a utilizar las condiciones de deformación para encontrar una relación más. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 8 - Ejemplo 1 En la barra AB se tendría: RA PAB 0 PAB RA Planteamos la deformación de la barra AB: AB PAB LAB ( RA ) LAB E AAB E AAB ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 8 - Ejemplo 1 En el tramo BC, se tendría: RA 5000 PBC 0 PBC RA 5000 Igualmente, planteamos la deformación de la barra BC: BC PBC LBC ( RA 5000) LBC E ABC E ABC ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 8 - Ejemplo 1 Finalmente, como la deformación total debe ser cero, nos queda: AB BC ( RA ) LAB ( RA 5000) LBC 0 E AAB E ABC Sustituyendo todos los términos, resulta: ( RA ) (0,1m) ( RA 5000) (0,1m) 0 2 2 (200 E 9 Pa) (0,25 (0,02m) ) (70 E 9 Pa) (0,25 (0,04m) ) RA = - 2083,33 N El signo negativo indica que el sentido real de RA es contrario al propuesto en el esquema. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 8 - Ejemplo 1 Ahora, utilizando la condición de equilibrio, obtenemos RC: RA F RA 0 Sustituyendo, nos queda: 2083,33 5000 RA 0 RC = 2916,67 N ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 8 - Ejemplo 1 Para el cálculo de las deformaciones, recordamos la condición de deformación: AB BC AB BC Esto significa que el valor de ambos alargamientos es el mismo; sólo que uno es positivo (producido por tracción) y el otro es negativo (debido a compresión). La barra AB está sometida a tracción y la barra BC a compresión. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 8 - Ejemplo 1 El valor de la deformación será: AB BC ( RA ) LAB E AAB Sustituyendo todos los términos, resulta: AB BC (2083,33N ) (0,1m) (200 E 9 Pa) (0,25 (0,2m) 2 ) AB = BC = 3,3157E-6 m ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 8 - Ejemplo 1 Ejemplo 2 Un tubo de aluminio (E = 73,1E9 Pa; α = 23E-6 ºC-1) con área transversal de 600 mm2 se usa como camisa para un perno de acero (E = 200E9 Pa; α = 12E-6 ºC-1) con área transversal de 400 mm2. La longitud de la camisa es de 15 cm. Inicialmente, la temperatura es de 15ºC y la fuerza axial debido al apriete en el perno es despreciable. Luego se incrementa la temperatura a 80ºC. Determine el esfuerzo normal promedio en el perno y la camisa. ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 8 - Ejemplo 1 Condición de equilibrio en este problema, es que la carga axial sobre el tornillo (Fp) debe ser de igual magnitud que la carga sobre la camisa (Fc), con la diferencia de que el tornillo estará a tracción y la camisa a compresión. Podemos plantear entonces: Fp Fc Por otro lado, el alargamiento debe también ser igual para ambos. En este caso, dicho alargamiento será producido por cambio de temperatura y por carga axial. Por superposición de efectos, nos queda: p c ( p ) fuerza ( p )temp ( c ) fuerza ( c )temp Desarrollando cada término: Fp L Fc L p L T c L T E p Ap Ec Ac ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 8 - Ejemplo 1 Utilizando la condición de equilibrio y sustituyendo cada término, nos queda: Fp (0,15m) (200 E 9 Pa) (400 E 6m 2 ) Fp (0,15m) (73,1E 9 Pa) (600 E 6m 2 ) (12 E 6º C 1 ) (0,15m) (75º C ) (23E 6º C 1 ) (0,15m) (75º C ) Fp = Fc = 20,26E3 N Podemos calcular ahora el esfuerzo normal en el perno: P A ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 8 - Ejemplo 1 (20,26 E 3N ) (400 E 6m 2 ) σp = 50,6E6 Pa Y en la camisa: (20,26 E 3N ) (600 E 6m 2 ) σc = - 33,8E6 Pa ______________________________________________________________________________ Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica