Transcript 陆君安

网络特征值谱与
网络拓扑及同步的关系
陆君安
陈 娟
School of Mathematics and statistics
Wuhan University
E-mail: [email protected]
第六届全国网络科学论坛与第二届全国混沌应用研讨会
北京，2010.7
Acknowledgements

感谢香港城市大学陈关荣教授的帮助和支持

感谢国家自然科学基金项目《基于耦合矩阵特征
值谱分布的网络拓扑结构与同步动力学关系研
究 》（60974081）和国家973项目《需求工程—
对复杂系统的软件工程的基础研究》
（2007CB310800）的资助
Abstract
在研究网络拓扑和同步能力时，网络耦合矩阵的
特征值谱起到决定性作用。通过对网络特征值谱分
布与网络拓扑及同步关系的研究，总结和发现
（1）随机网络和小世界网络的特征值谱分布比较集中，
而无标度网络的分布相对较广，社团网络的分布呈
现出跳跃
（2）随机、小世界和无标度网络特征值谱与度序列有
很高的相关性，可以从度序列入手研究特征值谱，
提出基于度序列的特征值谱的局部预估－校正算法
Abstract
（3）网络中尺度层次的研究有利于揭示同步过程，
同步从度大区域开始，不同拓扑结构同步过程是不
一样的
（4）不同时间尺度下网络的社团结构是不一样的;社
团网络同步过程为：部分同步－聚类同步－完全同
步；基于演化过程存在的时间尺度，可以通过同步
过程识别网络的社团结构
提
1.
2.
3.
4.
5.
6.
纲
网络耦合矩阵特征值谱的几个理论结果
几种典型网络的特征值谱分布
特征值谱与度序列的相关性
同步过程与度分布的关系
社团网络特征值谱及其同步过程
结束语
Introduction

复杂网络的统计性质已经有许多研究，它们对于认
识和刻画网络的特征有着重要的意义。最近文献指
出网络局部子图的变化会造成特征值谱和同步性质
的很大变化，仅仅利用网络的统计量推断网络动力
学性质经常会得到错误的结论，起到决定性的因素
是网络耦合矩阵的特征值，但目前研究较少。本文
研究几种典型网络的特征值谱分布，特征值谱与度
序列相关性，同步演化过程时间尺度和网络拓扑尺
度的关系，不同网络特别是社团网络同步过程及与
特征值谱的关系
1. 网络耦合矩阵的特征值谱的
几个理论结果

考虑一个具有N个节点和m条边的图G(V,E).

如果D表示对角元为度其它为0，A表示邻接矩阵，
则 图G的Laplacian 矩阵 L=D-A 的元素为
uv
if
 dv

L(u , v)  1
if
u
0
otherwise

and
v are adjacent （1）
其中 dv 是节点v的度。当L是对称时，L为半正定，
特征值非负，0  1  2  ...  N  max
由于L的行和为0，所以最小特征值 1  0 ，对应的
特征向量为（1,1,…,1）.当网络是连通的(L不可约)，
2  0
则

注：一些文献定义Normalized Laplacian matrix

这种定义比较复杂，好处：与谱几何、随机过程中
的定义一致。
参考：Fan R K Chung, Lectures on Spectral
Graph Theory, CHAPTER 1: Eigenvalues and the
Laplacian of a graph

讨论耗散耦合的连续动力网络
A是负的Laplacian 矩阵，为方便起见都按Laplacian 矩阵
特征值讨论
由主稳定函数方法 ，当动力学和内连函数给定，同步化区
域分为

类型1网络：同步化区域是半无界的，同步能力由A第二特征
值 2 刻画，它越远离0，其同步能力越强

类型2网络：同步化区域是有界的，同步能力由A的特征值比
率 2 / max 来刻画，它越靠近1，其同步化能力越强

类型3网络：同步化区域为空集

因此 2 和 max 在刻画同步能力中十分重要。

我们的问题是：
1）如何利用度值对这两个特征值作估计？
2）除了这两个特征值外，整个特征值谱与网
络同步过程有什么关系？
3）整个特征值谱在刻画网络拓扑结构和动力
学过程中起到什么作用？

对于无向网络（L对称），假设 dmax 和 dmin 是L的最大
和最小度，则特征值可以由网络节点的度估计[6]
N
N
2 
d min 
d max  max  2d max
N 1
N 1
（2）
这是一个著名的估计式，但是比较保守，即使最小
度 dmin  1 ，也只能得到
N
2 
N 1
另外
2  v(G)  e(G)
v(G ) 是点的连通度,
e(G ) 是边的连通度

注: max 有许多估计：
如[16] max  max du  dv , uv  E
[17] max  max du  mu 
其中 mu 表示节点u的所有邻居的平均度
[18] max  max du  d v  N u  N v : u  v
其中 Nu  Nv 表示u和v相互是邻居的数目
max  dmax  1
[19]
其中等号当且仅当 dmax  N 1 成立
N 1  d N 1
[20]
其中G为二分图或度为（N/2,N/2,1,…,1）的
树时等号成立
[21]给出了网络有环、链等作为子图的特征值估计

2 的下界估计较少

如 2  2e(1 cos( / N ))  4e sin2 ( / 2N )
其中e是边的连通度, 对于链e=1,
2
2  2(1  cos( / N ))  4sin ( / 2N )

如
2  2[cos( / N )  cos(2 / N )]  2cos( / N )(1  cos( / N ))dmax

如 2  1/ ND
其中D是图的直径
邻接矩阵A的谱半径 max ( A) 与平均度的关系
[10,14]
(3)
davg  max ( A)

由（2）得到 2 / max  dmin / dmax
（4）

注：由（4）并不能得到度分布比较均匀一定有
好的同步性。因为度分布均匀只是统计意义的性
质，并不能保证最大和最小度的差很小，只要有
一个节点的度很大或者很小，都会使得（4）的
右边发生很大变化。一般实际网络，dmin  1 , dmax
很大，所以 2 / max 很小。

说明：网络局部的度的变化会造成同步性质的很
大变化，但是它几乎不影响网络的统计性质（如
度分布、平均距离）

[6]指出,设无向网络G的节点集V, S  V是子
集 , V − S是余集，|S| 是S的节点数目
记
S  
a
iS jV  S
ij
表示S和它的余集V − S之间边的权值和. G
的等周数（isoperimetric number） i (G)为
S
S

N
 S

i(G)=min 
: S  V,0  S  
2

 S

（5）
表示S中每一个节点与它的余集平均边数

图论的一个重要结果是i (G) 作为 2 上界估计
1
i (G )  2
2
但是计算i (G) 是一个 NP-hard problem .利用这个
式子和（5）得到 2 的重要估计
2  2 S / S
（6）
其中 0 < |S|  N/2 ,S可以是任意一个子集。
N
2 
N 1
精确
（6）的重要意义： 2 的界经常由某个子图S的性质
所确定，而改变子图对网络的统计性质影响不大，
因此仅仅利用网络的统计性质估计 2 常常失效
(6)比

[6]给出的例子
G的统计量主要依赖H，而第2特征值却依赖S
例子
(i)没有小社团：p增加时 2 2 / max
也增加
(ii)有小社团：p增加时 2 保持在
0.021附近 ,而最大特征值有所增
加,导致 2 / max 有所下降。表明
尽管长程边在增加,但网络同步能
力不会提高
500个节点
小世界NW模型
2
50个节点
全连接
2 / max
10
1
10
0
10
-1
10
-2
(iV)有小社团时, 利用（6）计算得
出 2  2 / 50  0.04 说明估计式(6)
并非很保守
(iii)小社团的存在是阻碍同步的
10
-3
10
2 without full-linked community
-4
10
 / without full-linked community
2 N
-5
 with full-linked community
10
2
2/N with full-linked community
-6
10
0
0.01
0.02
0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
probability p to add long-distance links
0.09
0.1
[6]给出的例子
切换前是连通的，切换后不连通 2  0 ，不能同步，
但是切换前后度分布不变。所以度分布不能确定 2 和
同步性质。
小结
分析网络的同步能力时，起到决定性的因素
是网络耦合矩阵的特征值谱。
 在研究复杂动力网络的控制和同步性质的时
候，仅仅利用网络的统计量（度分布和平均
距离）不但不能充分刻画网络的动力学性质，
而且经常会得到相反的结论。
 网络局部子图的变化会造成同步性质的很大
变化，但是它几乎不影响网络的统计性质。

2. 几种典型网络的特征值谱分布
规则网络


全连接网络的特征值，除一个为0外其余均为N
2K(K＝1)规则环状无向网络的特征值：
0， 4sin 2 k , k  1, 2,..., N  1
N
N偶数时最大和最小非零特征值分别为4和
4 sin
2

N
K≠1时,网络的特征值:
K
2 (i  1)l
0,
i  2 K  2 cos
, i  2,3,..., N

l 1

链状无向网络的特征值：
k
0， 4sin 2
, k  1, 2,..., N  1
2N

N
星形无向网络的特征值：
0, 1,…,1, 和 N.
随机网络
Fig 1. 不同p的特征值分布（N=1000,50次平均）
表明：随机网络随p的增加，特征值分布的范围
迅速缩小（注：全连接网络的特征值，除一个
为0外其余均为N）
随机网络
Fig 2. 2 近似地线性依赖于p

（N=1000,50次平均）
当 p = 0.005，
p < pc. 这时第2特征值＝0（有孤立块）。当p = 0.01,第2特征值
=1.4512,特征值比为0.0610,当p= 0.1,第2特征值=68.0447,特征值
比为0.4979.当p 接近1时, 网络几乎是全连通,特征值比几乎为1.
因此从统计角度看,当p增加时同步能力是提高的
Fig 3.计算随机网络第2特征值的相对误差


随机网络第2特征值的一个算法：由于 2 近似地线性依赖p。
当固定N时，如果已知 2 ( p1 ) 2 ( p2 ) ( p1  p2 ) ,可估计 2 ( p)
只要选 p1 , p2  pc ,例如 p1  0.1, p2  0.25 ,能保证连通性.从Fig
3可见,在 p  0.1 时相对误差非常小
小世界网络
（NW小世界网络模型）
3
500
10
450
400
350
2
10
250
i
i
300
200
1
10
150
100
50
0
0
0
2
4
6
8
i
10
12
14
10
-2
10
-1
0
10
10
1/ i
Fig 4. N=500，p=0.005的特征值谱的分布
表明：小世界网络的特征值谱分布跨度较小，比较均
匀，谱密度较一致。
1
10
小世界网络
Fig 5. 随p的增加特征值的分布（N=1000）
表明：小世界网络接近随机网络，随p的增加，
特征值分布的范围缩小
小世界网络
Fig 6. 随p的增加  2 及 2 / max 的变化规律图（21次平均）
表明：随着p的增大，小世界网络的同步能力从统计角度看是增强的。
无标度网络
(
p( k )  k    3
N=1000, m0=5, m=3)
Fig 7.无标度网络特征值分布(N=1000, 3次平均)
无标度网络的特征值分布极不均匀, 谱密度不一致。
特征值谱 0  1  2  ...  N  max 后面大的特征值表明hubs的存在
小世界与无标度网络特征值分布比较
3
500
10
450
scale free
small world
400
scale free
small world
350
2
10
250
i
i
300
200
1
10
150
100
50
0
-10
0
0
10
20
30
i
40
50
60
70
10
-2
10
-1
0
10
10
1
10
1/ i
Fig 8. 小世界网络与无标度网络特征值谱的对比图
( N=500)
表明：小世界网络特征值分布跨度小，比较集中，谱密度
较一致；而无标度网络特征值分布跨度大，大多数较小的
特征值比较集中，同时有一些很大的特征值存在，谱密度
很不均匀。
小世界网络与随机网络的比较
3
500
10
ER random
small world
450
400
ER random
small world
350
2
10
250
i
i
300
200
1
10
150
100
50
0
0
0
5
10
i
15
10
-2
10
-1
10
0
1
10
10
2
10
1/ i
Fig 9.小世界网络与随机网络的特征值谱的对比图
( N=500，p＝0.005 的NW模型;p=0.005的ER随机模型)
随机网络特征值分布跨度比小世界网络更小，更集中，
谱密度更一致
3
10
小结



随机网络谱分布跨度最小, 小世界网络其次, 无标度
网络谱分布跨度大, 而且大多数较小的特征值比较
集中, 也存在一些很大的特征值. 造成上述差异的原
因: 度分布的差异,而度分布与谱分布相关(第3节)
随机网络和小世界网络随p的增加特征值分布范围
迅速缩小，从统计角度看，当p增加时同步能力是
提高的
少量的长程连接对2K规则网络的Laplace矩阵的结
构改变很小，但是对矩阵的特征值谱影响很大，长
程连接有利于同步能力提高
3. 特征值谱与度序列的相关性

最近文献【13】研究了Laplace耦合矩阵特征值谱
与度序列的关系，给出一个很有用的估计式：特征
值谱关于度序列的相对误差为

其中
 ( L)  k
k
2

2
k  (k1, k2 ,..., kN )T
k
k
1
2
2

N
k1
(L)  (1, 2 ,..., N )T
按非降排序。
2
意义：对于一般的网络，由于度的差异性，k 1 / k 2
是很小的。特别对于无标度网络，由于Hubs的存在，
2
k 1/ k 2
是非常小的（尤其在N非常大时）
[13]ER网络
[13]BA网络
上面：N和p给定,2000
次的相对误差
下面：特征值与度的相
对误差
上面：N,mo和m给
定,2000次的相对误差
下面：特征值与度的相对
误差
[13]WS网络
[13]NW网络
上面：N,mo和p给
定,2000次的相对误差
下面两幅：特征值与度的
相对误差
上面：N,mo和p给
定,2000次的相对误差
下面两幅：特征值与度的
相对误差
特征值谱与度序列具有很强的相关性
下面定义相对谱和相对度
Re (i)  (i  2 ) /(N  2 ), i  2,3,..., N
Rd (i)  (di  d2 ) /(dmax  d2 ), i  1, 2,..., N
Fig 1. 随机网络（N＝1000，50次平均）
（a）相对谱和相对度分布
(b)相对谱和相对度的相关性
表明：相对谱和相对度有很高的相关性
Fig 2. 小世界网络（N＝1000，50次平均，p=0.0218）
（a）相对谱和相对度分布
(b)相对谱和相对度的相关性
表明：相对谱和相对度有比较高的相关性
Fig 3. 无标度网络（N＝1000，50次平均，m0=m=13）
相对谱和相对度分布
表明：相对谱和相对度的相关性达0.9992
注：无标度网络相关谱的分布与随机网络和小世界网络的区别,后者几乎线性

在相对谱和相对度的相关性基础上，建立特征值谱
的局部预估－校正算法：
预估：已知 2 N 以及度序列，计算

校正：已知 i ，计算 i 1 的近似值

i
Fig 4.局部预估－校正算法的精度（N＝1000，50次平均）
相对误差0.3263％
不足：局部性，只能已知 i 计算 i 1
小结
 随机网络、小世界网络和无标度网络特征值
谱与度序列有很强的相关性，特别是无标度
网络
 提出特征值谱的局部预估－校正算法，由于
实际网络很大，特征值计算非常困难，而网
络的度序列是容易得到的，因此算法是有意
义的

4. 同步过程与度分布的关系
复杂网络可以在不同层次用不同尺度去刻画
目前小尺度层次和大尺度层次研究得比较清楚，
可是中尺度层次的属性，很多都还没有搞清楚，
存在着巨大的挑战
目前主要集中在给定拓扑结构和动力学后判断
网络能否达到同步，至于同步过程的很少研究。
事实上，从中尺度层次看不同的拓扑结构同步
过程是不一样的。
网络中尺度层次的研究有利于揭示同步过程
有关工作
[1] A Arenas, A Diaz-Guilera, C J. Perez-Vicente， Synchronization
processes in complex networks，Physica D 224 (2006) 27–34
[2] J Gomez-Gardenes, Y Moreno, and A Arenas，Paths to
Synchronization on Complex Networks，PRL 98,034101 (2007)
[3] S G Guan, X G Wang, X F Gong，K Li and C.-H. Lai，The
development of generalized synchronization on complex networks，
Chaos 19,013130 （2009）
[4] J Chen, J A Lu, X Q Wu, and W X Zheng, Generalized synchronization
of complex dynamical networks via impulsive control, CHAOS 19,
043119 (2009)
[5] H Liu , J Chen, J A Lu, M Cao，Generalized synchronization in
complex dynamical networks via adaptive couplings ,Physica
A ,2010,389 :1759-1770
振子模型
全局序参数r刻画同步程度
局部序参数刻画同步边所占比例
注：这两个序参数和后面的GC和
Nc的引入是网络中尺度层次研究的关键
※ J Gomez-Gardenes, Y Moreno, and A
Arenas，Paths to Synchronization on Complex
Networks，PRL 98,034101 (2007)
Fig 1. ER和SF网络的同步与耦合强度  的关系
Fig 2. ER和SF网络的同步与耦合强度  的关系
GC：最大同步块包含的节点数目
Nc:同步块的数目
Fig 3.不同耦合强度的同步结构
ER: 多块小团－相互连接 ，完全同步所需时间比SF短
SF: 以Hubs为中心凝聚，边缘点影响同步时间
Fig 4.SF网络同步从度大的区域开始
Pgc(k)表示度为k的节点属于最大同步块的概率
左上角：即使耦合强度小，度大的节点Pgc(k)仍然大
右下角：度小的节点即使耦合强度大Pgc(k)仍然小

理论分析：同步是从度大的节点开始

振子方程
线性化（误差方程）
对角化

由于度序列与谱序列的强相关性，所以同步是度大
的节点开始
Fig 5. BA无标度网络,N＝800,边数为2388
(a)按节点度编号（度大编号小）的误差演化图;(b)3个节点的误差演化图
表明：广义同步也是从度大的节点开始。
理论分析：误差方程线性化
由于
是节点i的度，因此广义同步也是从度大的节点开始
※Juan Chen, Jun-an Lu, Xiaoqun Wu, and Wei Xing Zheng，Generalized
synchronization of complex dynamical networks via impulsive control, CHAOS 19, 043119
(2009)
※ Hui Liu , Juan Chen, Jun-an Lu, Ming Cao，Generalized synchronization in complex
dynamical networks via adaptive couplings ,Physica A ,2010,389 :1759-1770
Fig 6. NW小世界网络,N＝800,边数为2388
(a)按节点度编号的误差演化图;(b)3个节点的误差演化图
表明：广义同步是从度大的节点开始。
分析原因：同上
比较Fig 5和 Fig 6可见，BA同步的时间长。按照误差小于
0.5分析由于BA网络最大度很大，所以最大度的节点同步时间
只需要0.2，而小的度的节点需要0.9;而NW小世界网络同步时
间分别为0.3和0.6，同步时间集中.
Fig 7. BA 和NW网络同步过程误差演化图
（a）误差演化图
（b）同步节点的百分比
说明：开始阶段BA同步快，但是达到完全广义同步NW网络所
需时间比BA 网络短
原因：度分布的不同，Hubs的作用
与PRL 98,034101 (2007)一致
Fig 8. BA网络不同的度脉冲广义同步误差所需时间
表明：度大的节点同步快
小结
网络中尺度层次的研究有利于揭示同步过程，
同步过程与度分布有关
 网络同步从度大的区域开始
 ER:多块小团形成－相互连接－完全同步，
 SF:以Hubs为中心凝聚，边缘点影响同步时间
 ER和SF网络的同步与耦合强度的关系
 一般ER完全同步所需时间比SF短

5. 社团网络特征值谱
及其同步过程
Laplace矩阵(行和为0,不可约)最小特征值为0;
如果网络具有两个孤立的子图, 则其Laplace矩
阵特征值有2个为0, 多个孤立子图情况类推
 在实际系统中社团网络是普遍存在的, 所谓社
团网络是指网络呈块状结构, 在块的内部连接
比较稠密, 块之间连接比较稀疏, 而整个网络是
连通的
 社团网络是中尺度研究的主要对象
 社团网络特征值谱与同步的时间尺度关系
 同步过程发现社团结构

社团网络特征值谱
Fig 1.两个社团网络特征值谱
（a）两个全连接子图(N＝250)之间随机连接100, 200, 300条边
（b）两个随机子图(N＝250), p＝0.03, 之间随机连接5, 20, 100条边
（c）两个小世界子图(N＝250), p＝0.005, 之间随机连接5, 20, 100条边
（d）两个无标度子图(N＝250, m0=5,m=2), 之间随机连接5, 20, 100条边
谱分布: 第2特征值非0但接近0，第2和第3特征值之间有明显的跳跃,当社团间的边数
增加时，跳跃减少
社团网络特征值谱
Fig 2. 三个社团网络特征值谱
（a）3个小世界子图(N＝250, p＝0.005), 任意2块之间随机连接5, 20, 80条边
（c）3个无标度子图(N＝250, m0=5,m=2),任意2块之间随机连接5, 20, 80条边
谱分布: 第2和第3特征值非0但接近0，第3和第4特征值之间有明显的跳跃,当社团间的
边数增加时，跳跃减少
 两个社团网络特征值谱
第1特征值0，第2特征值非0但接近0，第2和
第3特征值之间有明显的跳跃，而且当社团之
间的边数增加时，跳跃减少，社团特征减弱.
第二特征向量包含正负两种元素，所有正元
素对应的节点属于同一社团，而所有负元素
对应的节点则属于另一个社团
 由g个社团构成的网络，其第二特征向量中，
各个节点对应的元素会属于g个不同的区域


例子
假设第二特征向量为
（-0.0201, -0.0215, -0.0222, -0.0220, -0.0217,
0.0506 0.0509 0.0514 0.0518 0.0532 0.0520
0.0533
-0.0310 -0.0301 -0.0303 -0.0303 -0.0312 -0.0305
-0.0311）
可以看出第二特征向量的元素大致可以分为3块，前
5个为一块，中间7个为另一块，后面7个为第三块，
对应网络也可以分为3个社团:节点1－5,节点6－12，
节点13-19

3个社团网络特征值谱
第2和第3特征值非0但接近0，第3和第4特征值之间
有明显的跳跃，而且当社团之间的边数增加时导致
第2和第3特征值增加，第3和第4特征值跳跃减少，
社团特征减弱.
多个社团网络类似
特征值的跳跃表明网络社团结构的存在
如果有k个社团存在，则有k－1个特征值接近于0，
而且第k和k+1个特征值之间有明显的跳跃，以此可
以区分社团的个数
社团之间的边数增加时第2特征值提高，同步能力提
高
社团结构的网络的同步过程
相互联系比较紧密的振子比联系稀疏的振子更容易同步，比较
紧密的节点会首先同步，然后依次发生同步，直到最后整个网
络达到同步。社团结构的网络过程会在不同的时间段发生。因
此，动力学过程就可以揭示网络在不同层次的结构。
为了研究社团网络的同步过程,选Kuramoto 模型
振子对之间的相关性的平均值
给定阈值T，定义如下相关性确定是否同步
当阈值T足够大时，就能够显露出社团结构【7】
棕色：相关系数1
蓝色：相关系数0
500个节点
小世界NW模型
P=0.01
50个节点
全连接
t=0.025全连接社团内同步
t>0.25秒小世界社团同步,两个社团各
自同步
1
在t>2秒时,整个网络全局同步.
0.9
0.8
实现全局同步的过程:
i (i=1,2, ,550)
0.7
0.6
t<0.02秒 不同步
0.5
0.025<t<0.25 部分同步
0.4
0.3
0.25<t<2 聚类同步(时间尺度造成的，
有别于不同节点动力学的聚类同步)
0.2
0.1
0
-3
10
-2
10
-1
0
10
10
1
10
2
10
time t(s)
Fig 3. 由两个社团组成的网络的同步
演化图
t>2 全局同步
同步过程可以发现网络的社
团结构,以及社团的数目
3
the number of disconnected modular
10
Fig 4. 上面两个社团的网络.在同步过程中
的社团数目的时间演化图和特征值谱(
分布图)
2
10
1
10
可以看出:
(i)
0
10
-3
10
-2
-1
10
0
10
10
社团结构在不同的时间尺度下是不
一样的. t=0.1时社团数目剧减
Time
(ii) 从社团数目的时间演化可以发现,
这个网络分为两个社团是比较稳定
的.
3
10
(iii) 从特征谱可以发现,该网络有一个
靠近零的特征值,并且最小非零特
征值与次小特征值之间有跳跃,从
而有两个社团.
2
i
10
1
10
(iv) 社团数目的演化图和网络的特征值
谱在一定程度上一致.
0
10
-2
10
-1
10
0
10
1/ i
1
10
2
10
3.5
3
i (i=1,2, ,300)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-3
10
-2
10
-1
0
10
10
1
10
2
10
time t(s)
Fig 5. 四个社团的网络同步演化图.由下而上四个社团为
:N=30,p=0.001小世界; N=40, p=0.01小世界
;N=80,p=0.1小世界;N=150,p=0.5小世界,每两个社团之
间的随机边数为1.
表明（1）p大的社团先同步；（2）部分同步－聚类同步
－全局同步；（3）同步过程识别社团结构.

利用Kuramoto振子的同步过程发现社团层次
振子对的相关性（同步性）
256个节点分为16块作为第1层次社团，分4块作为第2层次，度为18。
左边13－4 ，右边15－2。13－4是指13条边连接第1层次，4条边连接
第2层次，1条连接网络第2层次外的任意社团。网络13－4表示4个
大的社团容易同步，而15－2表示16个
小的社团容易同步
Alex Arenas, Albert Diaz-Guilera, and Conrad J. Perez-Vicente,
Synchronization reveals topological scales in complex network,
Phys Rev Lett. 2006 Mar 24;96(11):114102.

利用Kuramoto振子的同步过程发现社团
13-4: 4个社团最稳定,4-5特征值的跳跃最大
15-2: 16个社团最稳定,16-17特征值的跳跃最大

利用Kuramoto振子的同步过程发现社团

利用Kuramoto振子的同步过程发现社团
Zachary空手道俱乐部网络社团结构的划分
社团网络同步过程小结
社团网络是中尺度研究的主要对象
 社团结构与同步时间尺度有关,其时间尺度与
网络的特征值谱有很大关系
 社团网络同步过程：部分同步－聚类同步－
完全同步，表示出演化过程的时间尺度
 网络的同步过程可以识别社团结构

6. 结束语

网络科学已经取得丰硕的成果，但是关于网络演化
的时间尺度、网络的拓扑尺度以及两者之间的关系
方面研究得还很少。整个网络的动力学过程与网络
的拓扑尺度有密切的关系，网络同步的时间尺度和
稳定性展示了网络的拓扑尺度，而建立这两方面的
联系正是网络耦合矩阵特征值谱。

本文从网络耦合矩阵特征值谱入手研究复杂网络，
从根本上揭示网络拓扑和动力学的深层次关系。本
文的工作还是初步的，还有许多问题有待深入研究。
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