Transcript Integratorok

Integrátorok alkalmazása a
számítógépes szimulációban
Gräff József

Integrálás vagy differenciálás
Differenciálás:
ti+h = jövő jóslás
Integrálás:
ti=jelentapasztalatok
összegzése
Integrálás vagy differenciálás
• A differenciahányadosból való „jóslás”
stabilitási problémákat okoz
• Az integrálásnál ritkább az instabilitás
Megoldás:
a differenciálegyenletek
átalakítása, és integrálás
a  y  b  y  c  y  d  y  V t 

V t   b  y  c  y  d  y 
y 
a
A numerikus integrálási
algoritmusok hibafajtái
• Kerekítési hiba
• Csonkítási hiba
A digitális számítógépek
számábrázolási
módszeréből adódik.
Típus
• Kumulatív hiba Single
Double
Extended
Értékes Memória
jegyek
igény
7-8
4 byte
15-16
8 byte
19-20
10 byte
A numerikus integrálási
algoritmusok hibafajtái
• Kerekítési hiba
• Csonkítási hiba
• Kumulatív hiba
A numerikus integrálási
algoritmusok hibafajtái
• Kerekítési hiba
• Csonkítási hiba
• Kumulatív hiba
A kumulatív (halmozódott)
hiba a kerekítési- és a csonkítási hiba eredője.
Amennyiben ez a hibatípus
nem korlátos, akkor az integrálási folyamat nem lesz stabil.
A numerikus integrálás alapjai
Az integrál tulajdonképpen a függvény alatti terület.
Meghatározásának nem analitikus módszerei:
Az integrál a terület
darabok összege.
Téglány
Trapéz

A numerikus integrálás alapjai
Folytatva a gondolat menetet, vegyük még ti-2
helyen is a függvény értéket!
A numerikus integrálás alapjai
 Írjuk fel a három ponton átmenő parabola egyenletét
 Integráljuk a másodfokú polinomot ti és ti+1 között
yi 1  yi 1  2 yi
a
2
ati 1  bti 1  c  yi 1
2h 2
y h  2ti   4 yi ti  yi 1 h  2ti 
ati2  bti  c  yi
b  i 1
2
2
h
ati21  bti 1  c  yi 1
ti
c  yi  2  yi 1 h  ti   2 yi ti  yi 1 h  ti 
2h
ti 1
Végül nevezzük el
h
2

at
t  bt  c dt  12 5 yi 1  8 yi  yi 1  3. rendű Adams-Moulton
i
integrátornak!
A numerikus integrálás alapjai
 Írjuk fel a két ponton átmenő egyenes egyenletét
 Integráljuk a másodfokú polinomot ti+1 és ti között
y
ti 1
yi  yi 1
t  ti   yi
h
h
t y dt  2 3 yi  yi 1 
i
Fontos: csak előző
értékekre épít.
2. rendű Adams-Bashfort integrátor.
A numerikus integrálás alapjai
Egészen más gondolatmenet:
 Csak a t szélességű intervallumot használja, de annak
belső pontjaira is szüksége van.
A függvény közelítésére Taylor polinomot használ.
Ezek a Runge-Kutta módszerek.
A 4. rendű Runge-Kutta formula speciális esete:
Simpson formula.
Numerikus integrálási formulák
4. rendű Runge-Kutta:
Simpson-formula:
y  f (t , y ) alak esetén :
k1  hf (t , y t )
y  f (t ) alak esetén :
k1  hf (t )
k 2  hf (t  h / 2, y t  k1 / 2)
k 2  k 3  hf (t  h / 2)
k 3  hf (t  h / 2, y t  k 2 / 2)
k 4  hf (t  h)
k 4  hf (t  h, y t  k 3 )
y t  h  y t  ( f (t )  2 f (t  h / 2)  f (t  h))h / 6
y t  h  y t  ( k1  2 k 2  2 k 3  k 4 ) / 6
Integrál formulák származtatása
Egyenlő hosszúságú intervallumok
n
A keresett formula alakja:  ci f ti 
i 0
Téglány:
0
 c f t   c f t 
i 0
i
i
0
c0  t
0
Integrál formulák származtatása
Egyenlő hosszúságú intervallumok
n
A keresett formula alakja:  ci f ti 
i 0
Trapéz:
1
 ci f ti   c0 f t0   c1 f t1 
i 0
t
c0  c1 
2
f t0   f t1 
t
2
Integrál formulák származtatása
1. Felírjuk a hibát H 
tm
n
 f t dt   c f t 
t0
i 0
i
i
2. A függvényt Taylor sorával helyettesítjük


j 0
t  t 
j
j!
j
f  j  t j 
3. H rendezése után polinom sort kapunk
4. Az első n+1 elemet 0-nak vesszük  lin.egy.rendszer
5. A lin.egy.rendszer megoldásai a c-k
6. H maradékának felhasználásával hibabecslést készítünk
Integrál formulák származtatása
Az ismertetett módon 3 féle integrál formula származtatható.
Különbség köztük az f(ti ) pontok választásában van.
1. Szimmetrikus formulák
Trapéz
f (ti )  f (ti 1 )
f ( ) 3
t 
t
2
12
Simpson
f (ti )  4 f (ti 1 )  f (ti  2 )
f IV   5
t 
t
3
90
Az intervallum belső pontjai
Integrál formulák származtatása
Az ismertetett módon 3 féle integrál formula származtatható.
Különbség köztük az f(ti ) pontok választásában van.
2. Adams-Bashfort formulák
Elsőrendű (téglány)
f ( ) 2
f (ti ) t 
t
2
Másodrendű
3 f (ti )  f (ti 1 )
5 f II   3
t 
t
2
12
Az intervallum előtti pontok
Integrál formulák származtatása
Az ismertetett módon 3 féle integrál formula származtatható.
Különbség köztük az f(ti ) pontok választásában van.
2. Adams-Moulton formulák
Elsőrendű (téglány)
f ( ) 2
f (ti 1 )t 
t
2
Másodrendű (trapéz)
f (ti 1 )  f (ti )
f II   3
t 
t
2
12
Az intervallum vége és az az előtti pontok
Runge-Kutta formulák
Az alapelv hasonló, de a pontok mindig egy intervallum előre
nem ismert pontjai.
Negyedrendű
yi+yi
k1  tf ti , yi 
i 
yi+k(i)3
i
k2
yi 
2

t
k1i  
i 

k 2  tf  ti  , yi 
2
2 


t
k 2i  
i 

k3  tf  ti  , yi 
2
2 


k 4i   tf ti  t , yi  k3i 

k(i)4
k(i)2
k(i)1

1
yi 1  yi  k1i   2k 2i   2k3i   k 4i 
6
k1 
2
i
yi 
t /2

ti
t
ti+t
k(i)3
yi
Formulák csoportosítása
1. Egylépéses:
 Szimmetrikus
 Runge-Kutta
2. Többlépéses:
 Adams-Bashfort
 Adams-Moulton