Transcript 3-Optimizacija

4. Optimizacija
4.1 Operacijska istraživanja
formalne
4.2 Metode linearnog i
nelinearnog programiranja
4.3 Donošenje odluke
Radni dio/sustav - ispunjava postavljene zahtjeve.
Optimalni dio/sustav - postavljene zahtjeve ispunjava na najbolji mogući način.
4.1 Operacijska
istraživanja
4.1.1 Funkcija cilja i ograničenja
4.1.2 Maksimumi i minimumi funkcija
4.1.3 Linearno i nelinearno programiranje
”Operacijska istraživanja” (Operational Research) – Istraživački odjel
Ministarstva zrakoplovstva Velike Britanije tijekom Drugog svjetskog rata razvija
metode optimizacije vojnih operacija (raspored radara, osiguranje konvoja,
miniranje podmornica, bombardiranje).
Koraci:
•
•
•
•
uočiti mogućnost optimalizacije – osobito važno
postaviti odgovarajući matematički/statistički model
prikupiti potrebne podatke
riješiti odabranom najpogodnijom metodom operacijskih istraživanja
Metode operacijskih istraživanja – formalizirani (dogovorom utvrđeni)
postupci nalaženja optimalnih rješenja problema složenih sustava/procesa.
1.
2.
3.
4.
5.
Lagrangeovi množitelji
Linearno programiranje
Cjelobrojno programiranje
Dinamičko programiranje
Geometrijsko programiranje
6. Mrežno programiranje
7. Repovi čekanja
8. Detaljna pretraga
9. Fibonaccijeva pretraga
10.Pretraga s više varijabli
4.1.1 Funkcija cilja i
ograničenja
Funkcija cilja:.
opt
F  x f(x1,x 2 ,...,xn 
j
 g1 (x1, x 2 , x 3 , ..., x n )   G1 
 g2 (x1, x 2 , x 3 , ..., x n )    G2 
Ograničenja:  ..............................    ... 

  
g
(x
,
x
,
x
,
...,
x
)
n  Gm 
 m 1 2 3
4.1.2 Maksimumi i
minimumi funkcija
y  y(x)
y  0
y  0
y  0
ekstremna vrijednost
maksimum – točka 2
minimum – točka 1
Primjer 4.1
Odrediti visinu (h) prolaza kroz rešetkasti nosač s kojima se dobiva maksimalna
površina presjeka prolaza.
Model:
Ab h
600A :  600 - h  800 : b
Rješenje:
h = 0,3 m
4.1.3 Linearno i
nelinearno programiranje
Linearno programiranje (LP)
Funkcije cilja i ograničenja se mogu opisati linearnim kombinacijama varijabli.
Resursi I (izvor) se raspodjeljuju na recipijente R (prijemnik) dok se ne dobije
optimalno rješenje, maksimalni ili minimalni učinak.
xj
cj
– j-ta količina izvora I (Ij) koja se dodjeljuje recipijentu Rj (R)
– učinak dodjele j-te količine izvora recipijentu
 Funkcija cilja
opt  n
F  x  c j x j 
j
 j1
 s n varijabli xj
 a
n
j1
ij
x j  , ,  gi Funkcije ograničenja
s m jednadžbi
4.1.3 Linearno i nelinearno programiranje - 2
Primjer 4.2
Dva proizvoda (A i B) proizvode se uz korištenje tri različita stroja (1, 2 i 3).
Proizvod A se obrađuje prvo na stroju 1, a potom obrada dovršava na stroju 3,
dok se proizvod B obrađuje prvo na stroju 2, a potom obrada dovršava na stroju
3. Za obradu jednog proizvoda A potrebno je 1 h rada stroja 1 i 3 h rada stroja 3,
dok je za obradu jednog proizvoda B potrebno 2 h rada stroja 2 i 2 h rada stroja
3. Dnevni raspoloživi kapacitet strojeva je: 4 h – stroj 1, 12 h – stroj 2 i 18 h –
stroj 3. Dobiti su: 3 000 kn po proizvodu A i 5 000 kn po proizvodu B.
Optimalizirati dnevni plan proizvodnje.
Rješenje:
xA = 2 kom/dan, xB = 6 kom/dan
F = 36 000 kn/dan
4.1.3 Linearno i nelinearno programiranje - 3
proizvodi A i B, tri različita stroja 1, 2 i 3
proizvod A: 1 h na stroju 1 i 3 h na stroju 3
proizvod B: 2 h na stroju 2 i 2 h na stroju 3
dnevni kapaciteti: 4 h – stroj 1, 12 h – stroj 2 i 18 h – stroj 3
dobiti: 3 000 kn – proizvod A i 5 000 kn – proizvod B.

opt  n
F  x  c j x j 
j
 j1

xj  0
c j , aij , gi  R
 aij x j  , ,  gi
n
j1
Novčana jedinica: 1 000 kn
Funkcija cilja:
NJ 
kom 
NJ 
kom 
max
max 
F

F  x  3
x

5
x

1
2
x j 3x1 5x 2 
j 
kom 
dan  kom 
dan 
h
x1
kom
h
2
x1
kom
kom
h
2
x1
dan
kom
1
Funkcije
ograničenja:
h
3
x1
kom
Rješenje: xA = 2 kom/dan,
kom
h
 4
dan
dan
kom
h
 12
dan
dan
kom
h
 18
dan
dan
xB = 6 kom/dan
x1  4
2x1  12
3x1  2x1  18
F = 36 000 kn/dan
4.1.3 Linearno i nelinearno programiranje - 4
Lagrangeovi množitelji
Funkcije cilja i ograničenja se mogu opisati matematičkim funkcijama varijabli.
Funkcija cilja (matematički opis postavljenog cilja) – odrediti vrijednosti n varijabli
xj (j = 1, 2, .., n) tako da se dobije optimalno rješenje:
opt
F  x F  xj 
j
Funkcije ograničenja – izbor je ograničen s m funkcija varijabli
gj (j = 1, 2, .., m):
Gi  xj   0
Optimum – skup vrijednosti xi koje ispunjavaju uvjet:
n
F -   i Gi   0
i=1
Jedno ograničenje:
G  xj   0
F -  G  0
4.1.3 Linearno i nelinearno programiranje - 5
Primjer 6.1
Sa 100 m cijevi, uz minimalne troškove, izraditi i ugraditi toplinski izmjenjivač
cijevi/oplata, promjera D i dužine L. Troškovi ugradnje su u NJ: 900 za cijevi,
1100◦D2,5◦L za oplatu i 320◦D◦L za smještajni prostor. U 1 m2 poprečnog presjeka
može izmjenjivača biti smješteno 200 cijevi.
F
opt
 x F
j
x 
j
G  xj   0
T 


min
900  1100 D 2 ,5 L  320 D L
D
  D2 
G
 200 L  100
 4 
G  m
2
T   NJ
 cijevi   m 
 m2   cijevi   m

 

4.1.3 Linearno i nelinearno programiranje - 6
(a) Infinitezimalni račun – ekstremi funkcije:
  D2 
G
 200 L  100
 4 
T 

L
2
 D2


min
900  1100 D 2 ,5 L  320 D L
D
2200
640
min 
0 ,5
-1 
T
900

D

D

D 




dT
 350, 2 D -0 ,5 - 203,8 D -2  0
dD
D = 0,6969 = 0,7 m
L = 1,2992 = 1,3 m
T = 1777.5 NJ
4.1.3 Linearno i nelinearno programiranje - 2
F -  G  0
(b) Lagrangeovi množitelji:
- vektorski gradijenti:
T   2750 D1,5 L  320 L  i1  1100 D 2 ,5  320 D  i 2
G  100  D L i1  50  D2 i2
- skalarne komponente:
i1
i2
 2750
1100
D1,5 L  320 L  - 
D 2,5  320 D  - 
2
L
 D2
100
 D L  0
2
50

D

0
 = 8,78
D = 0,6969 = 0,7 m
L = 1,2992 = 1,3 m
T = 1777.5 NJ
4.2 Metode
programiranja
4.2.1 Linearno programiranje
4.2.2 Nelinearno programiranje
4.2.3 Mrežno programiranje
4.2.4 Repovi čekanja
4.2.1 Linearno programiranje
Primjer:
U maloj termoelektrani, uz korištenje turbine i generatora
proizvodi se električna struja. Turbina se napaja s
3,2 kg/s pregrijane vodene pare, a moguće je prodavati:
a) struju, po cijeni od 0,03 € po kilovat-satu,
b) niskotlačnu paru za centralno grijanje x1, po cijeni
1,10 € po toni pare, te
c) visokotlačnu tehnološku paru x2, po cijeni 1,65 € po
toni pare.
Potrošači su zainteresirani za struju u neograničenim količinama i za ograničene količine pare:
4x1 + 3x2 ≤ 9,6 kg/s
Snaga generatora (u kW) ovisi o protocima pare kroz sekcije turbine (u kg/s):
PI = 48mI PIII = 56mII
PIII = 80mIII
Kako bi se spriječilo pregrijavanje niskotlačnog dijela turbine, kroz sekciju III mora uvijek
protjecati bar 0,6 kg/s pare. Zbog sprječavanja prekomjernog neravnomjernog opterećenja
vratila turbine, za x1 = 0 kg/s dozvoljeno je x2 ≤ 1,8 kg/s, a pri povećanju oduzimanja pare x1
za svaki kg/s smanjuje se oduzimanje pare x2 za 0,25 kg/s.
Rješenje: x1 = 1,29 kg/s visokotlačne pare x2 = 1,48 kg/s niskotlačne pare
F = 22,37 €/h
4.2.1 Linearno programiranje - 1
4.3 Donošenje
odluke
4.3.1 Odluka
4.3.2 Vjerojatnost
4.3.2 Heurističko odlučivanje
4.3.3 Teorija igara
4.3.1 Odluka
Priprema inženjerskog pothvata neizbježno uključuje donošenje niza različitih
odluka (izbor materijala, dimenzioniranje proizvoda, izbor postupka obrade, kupnja vozilo), uz
rizik pojave manje ili više nepovoljnih posljedica (korozija materijala, lom proizvoda
uslijed lokalnog preopterećenja, blokiranje sklopa uslijed premalih zazora, česti kvarovi jeftinog vozila).
Donošenje odluke
•izbor akcije ai  A
slijede:
odluka  izabrana akcija ai
(iz skupine mogućih akcija A)
•posljedice pj  P (iz skupine mogućih posljedica P)
•nagrade nij  N (iz skupine mogućih nagrada N)
4.3.1 Odluka - 2
U pravilu su odluke koje donose inženjeri složene (primjer: došlo je do pada prodaje
proizvoda tvrtke – treba li inženjer poduzetnik odustati od stare i uvesti novu tehnologiju):
• imaju više ciljeva (nova tehnologija osigurava: veću kvalitetu proizvoda, smanjenje troškova
proizvodnje, veću dobit tvrtke, veće plaće zaposlenika, bolje uvjete rada, manje rada zaposlenika)
•
vjerojatnost
uključuju nesigurnosti i rizike (je li pad prodaje privremen, može li se stara tehnologija
unaprijediti, za koju novu tehnologiju/opremu se odlučiti, mogu li zaposlenici savladati novine, koliko je
vremena potrebno za uhodavanje nove tehnologije, kako osigurati potrebna financijska sredstva)
• kompleksne su i sekvencijalne prirode (ako se odluči na tehnologiju TA treba nabaviti
opremu OA , dograditi halu i ispuniti uvjete UA , ako se odluči na tehnologiju TB treba nabaviti opremu
OB , ispuniti uvjete UB i zaposliti još radnika)
• uključuje više osoba (hoće li biti ispunjena osobna očekivanja te očekivanja radnika/obitelji)
Donošenje odluke o rješavanju problema značajno će ubrzati odgovori na pitanja:
1. što je problem
kratko, jasno, jednoznačno
2. što je izazvalo problem
3. koja su moguća rješenja problema
4. koje se rješenje preporučuje
4.3.2 Odluka - 3
Menadžer
donosilac odluke – mora biti sposoban za komunikaciju po svim
relevantnim problemima i preuzima punu odgovornost za posljedice.
Funkcije menadžera
Planiranje
•utvrđivanje vizija, misija, ciljeva
•utvrđivanje politika i strategija
•utvrđivanje programa i planova
Kontrola
•utvrđivanje normativa
•kontrola performansi
•usporedba performansi i normativa
•korekcije
Organizacija
•formiranje grupa
•delegiranje menadžerskih pozicija
•raspodjela autoriteta i odgovornosti
•raspodjela poslova
Vodstvo
•motiviranje zaposlenika
•nalozi zaposlenicima
•komuniciranje sa zaposlenicima
•koordiniranje grupa i zaposlenika
4.3.2 Odluka - 4
Greške u donošenju odluke:
• brzanje – prikupljaju se informacije i izvlače zaključci bez udubljivanja o bit problema i
bez sistemskog postupka donošenja odluke (rutina)
• sljepilo rutina – rutinski se rješava pogrešno postavljen problem previđajući razne
mogućnosti i važne pod ciljeve te osobito pogodne varijante
• bez vlastite rutine – analizira se samo jedna varijanta ili se nalazi pod prekomjernim
utjecajem rutina koje koriste drugi
• prekomjerna samouvjerenost – ne prikupljaju se značajne informacije i oslanja se
na vlastite prosudbe
• kratkovidna prečica – oslanjanja se na najlakše dostupne informacije i uhodanu
praksu
• pucanj s kuka – brza sukcesivna analiza svih bitnih informacijama bez provedbe
sistematskog postupka odlučivanja
• zavaravanje – zanemarivanje iskustava zbog zaštite ega ili pogrešnih predviđanja
• nepažnja – pretpostavka da iskustvom stječu lako primjenljive pouke
• manjkav postupak odlučivanja – odsustvo razumijevanja i temeljite provjere
postupka odlučivanja
• greška grupe – pretpostavka da grupa pametnih ljudi donosi optimalnu odluku i bez
dobro vođenog postupka odlučivanja
4.3.2 Vjerojatnost
4.2.1 Linearno programiranje - 1
4.3.3 Heurističko odlučivanje
(gr. ευρετικός – vještina nalaženja istine)
Metode (nabava spremnika za otpadna maziva ulja)
 minimalna strategija – nasumce se bira jedan od ciljeva (volumen spremnika), a ako se ne
uspije donijeti odluka bira se nasumce drugi cilj (cijena) 
 strategija zadnjeg izbora – bira se cilj koji je riješio zadnji sličan problem (cijena), ako se ne
uspije donijeti odluka bira se cilj iz riješenog sličnog problema koji je prethodio zadnjem (kvaliteta) …
 leksikografska strategija
– formira se niz ciljeva po značaju (cijena, kvaliteta ) i odabire
najznačajniji (cijena), a ako se ne uspije donijeti odluka bira se sljedeći cilj po značaju (kvliteta) …
 semi-leksikografska strategija
– kao i prethodna, s tim što se postavljaju granice
prihvatljivog odstupanja u postizanja cilja (cijena: ± 10 %, kvaliteta: ± 20 %, )
 strategija eliminacije
– bira se najznačajniji cilj s definiranim granicama (cijena 700  800 kn),
a ako se ne uspije donijeti odluku bira se sljedeći cilj po značaju (visoka kvaliteta) 
 strategija zadovoljstva – bira se skup ciljeva koji se moraju ispuniti s definiranim granicama
(volumen 5  6 m3 , cijena visoka kvaliteta i cijena do 20.000 €)
Izbor metode ovisi o:





raspoloživom vremenu za donošenje odluke (rokovi)
potrebnom radu koji je potrebno uložiti u donošenje odluke
raspoloživim znanjima i informacijama o relevantnom problemu
značaju donošenja ispravne odluke (posljedice)
koga sve treba zadovoljiti odluka (izbjegavanje konflikta)
4.3.4 Teorija igara