Transcript Слайд 1 - Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Международная конференция
«Дни геометрии в Новосибирске, 2013»
МЕЛКАЯ ВОДА НА СФЕРЕ:
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ И КОМПЬЮТЕРНОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
Иванова Анна Владимировна
Остапенко Владимир Викторович
Черевко Александр Александрович
Чупахин Александр Павлович
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск,
28 – 31 августа, 2013 г.
Физическая
постановка задачи
Движение сплошной среды (газ, жидкость) на вращающейся притягивающейся сфере
(атмосфера планет, Мировой океан).
Гравитация и вращение, действуя в различных направлениях, обеспечивают глобальный
баланс среды. На этом фоне развиваются движения среды различных масштабов.
Перемещение потока, несущего обломки
деревьев, домов и т.д., смытые в океан во время
цунами в Японии (концентрация примеси)
Ученые работали под руководством россиянина Николая
Максименко. Используя данные спутниковых наблюдений,
а также информацию, полученную от 15 тысяч плавучих
датчиков, специалисты попытались предсказать, как будет
двигаться поток, несущий обломки деревьев, домов и так
далее, смытые в океан во время цунами 11 марта 2011
года.
Как показала разработанная авторами модель, первое
столкновение потока с Гавайями произойдет через два
года, а второе - через пять лет.
Международный тихоокеанский исследовательский центр
при университете штата Гавайи
Модель мелкой воды
•Малость параметра мелкой воды
H0

a0
•Бессдвиговое течение по вертикальной
переменной.
V0
R0 
2a0 0
F
a0
Н0
V0
- радиус сферы
V0
gH0
- число Россби,
- число Фруда.
- характерный вертикальный масштаб
- масштаб горизонтальной скорости
Значения для Земли
2
2
f

F
~
10
.
r0  R ~ 94, 0
1
0
Дифференциальные
уравнения модели
1 2

2
 D  V ctg  r0V cos  4 r0 h sin  cos  f 0 h ,


1
 DV  Vctg  r0 cos  f 0 (sin  ) h ,

1
Dh

(sin

)
h(V  ( sin  ) )  0,



1
- полная производная вдоль поверхности сферы,
D  t    (sin ) V
0     - дополнение до широты, 0    2 - долгота;
, V
- меридиональная, долготная компоненты скорости.
h0
- глубина слоя,
Особенности:
•Гиперболическая система на компактном многообразии
•Наличие особенностей в решении (сильные и слабые разрывы)
•Построение решения в целом – склейка решений в различных областях,
частях сферы
Интегральные законы
сохранения
Закон сохранения массы
 hds
S
Закон сохранения
полного импульса
 qds
S
t2
t1
t2
t1


    qndl dt  0
t1  S

t2


gh2

    (q(vn) 
n) dl   hFds dt  0
2
t1  S
S

t2
Закон сохранения энергии является выпуклым расширением.
F  Fk  Fc
 
Fk  2w  v – сила Кориолиса,

 
Fc  w  (w  x) – центробежная сила.
Примеры
разрывных решений
Состояние равновесия
Состояние равновесия
  V  0,
2
0
r
h( )  h0 
sin 2 
8 f0
Разрывное состояние равновесия
  V  0,

r02
sin 2  ,    k ,
h1 
8 f0

h( )  
2
h  r0 sin 2  ,    ,
k
 2 8 f 0
h(k )
В дальнейшем они используются как начальные
данные для нестационарных решений
Разностная схема для
двумерной задачи
Разностная схема, предложенная В.В. Остапенко
1
   :   i  , i  0, N  1,
 i  i , i  0, N ,
2
1
i  j , j  0, M  1,
    :   j  , j  0, M  1,
2
Закон сохранения массы
r sin 
hn,1  hn,
n

(qin1, sin i 1  qin, sin i )


(Qn, j 1  Qn, j )

 0,
Закон сохранения импульса
r sin  i
qin, j 1  qin, j
n

(q ) in1, j sin  i 1  (q ) in1 sin  i 1
2

(qV ) in, j 1  (qV ) in, j 1
2

(h 2 )n , 1j  (h 2 )n 11, j
g
 sin  i
 W 2 hin, j 1 sin 2  i cos i  (in, j )1  WQ in, j 1 sin 2 i  Qin, j 1Vi ,nj cos i ,
2

r sin  i
g
Qin, j 1  Qin, j
n

(Q ) in1, j sin  i 1  (Q ) in1 sin  i 1
( h 2 ) in,1  ( h 2 ) in,11
2
2

(QV ) in, j 1  (QV ) in, j 1
 qin, j 1Vi ,nj cos i  Wq in, j 1 sin 2 i  (in, j ) 2 ,
2

Примеры расчетов
Шеврон с углом на экваторе
Распад разрыва на сфере
Эффекты:
Экватор
1)
Кумуляции для хребтовшевронов или хребтовколец.
2)
Воспроизведение хребта в
противоположной точке
сферы ( в ослабленном
виде)
3)
Воспроизведение хребта в
начальной позиции (еще в
более ослабленном виде)
Линии тока
а(t=0)
в(t=50)
б(t=10)
г(t=120)
Примеры расчетов
Два шеврона в разных местах
Экватор
Линии тока
а(t=0)
в(t=120)
б(t=50)
г(t=225)
Примеры расчетов
Эллиптическое кольцо
Экватор
Кумуляция происходит в фокусах эллипса
Линии тока
а(t=0)
в(t=90)
б(t=7)
г(t=250)
Эти задачи имеют наглядную физическую интерпретацию, водяные хребты в виде шевронов встречаются на снимках со
спутников поверхности Земли и других планет (как облаков в атмосфере, так и течений в океане). Хребет в виде
эллиптического кольца моделирует распространение волн при падении метеорита или другого крупного объекта в океан.
Зональные течения

r02
sin 2  ,
h1 
8 f0

h( ,  )  
2
h  r0 sin 2  ,
2

8 f0

0    1
r02
h2  h1  8
sin 2  ,
8 f0
1    
Помимо состояния равновесия существует класс
точных зональных течений, в которых
меридиональная скорость   0 , а скорость по
параллелям V  0 . Течение направлено вдоль
параллелей.
Существуют решения, сопрягающие состояние
равновесия с такими течениями через контактный
разрыв.
Профиль свободной поверхности
жидкости (1) относительно
вращающейся сферы (2) в стационарном
решении с контактным разрывом при
h1  7,
r02
 1,
8 f0
1  2 3
Примеры расчетов
Устойчивость зонального течения относительно
периодического возмущения границ
Профиль глубины h
t=0
Долготная компонента скорости V
t=0
t=10
t=200
t=10
t=200
Примеры расчетов
Устойчивость зонального течения
относительно периодического
возмущения границ
V – долготная скорость
Струйные течения и
шевроны на Юпитере
На снимке «Кассини» выделены «шевроны» и антициклон South Equatorial Disturbance
(SED). (Здесь и ниже изображения NASA / JPL / Space Science Institute.)
Обратите внимание на линию маленьких тёмных V-образных «шевронов»,
которая сформировалась вдоль одного края течения и мечется то на запад, то
на восток. Со временем относительно чёткая линия превращается в волну, и
«шевроны» движутся вверх и вниз (то есть на север и юг) — точно так же, как
на Земле.
http://science.compulenta.ru/666521/
Примеры расчетов
Шевроны с зональным течением
Вихри в трехмерном виде
при t=60
Заключение

Приведена система законов сохранения массы и полного импульса для
уравнений мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере.

Выполнены численные расчеты задач о распаде разрыва в двумерном случае.
1) Представлены результаты численного моделирования задачи о распаде разрыва
в результате обрушения водяных «хребтов» различной геометрии.

Основные эффекты при распространении возмущений на сфере:

периодическое повторение основных этапов,

кумулятивный эффект (фокусировка) возмущений,

образованием вихрей различных масштабов, взаимодействие их между
собой: рождение и уничтожение.
2) Представлены результаты численного моделирования распространения
возмущений на контактном разрыве между состоянием равновесия и зональным
течением с возмущением

Показана устойчивость зонального течения относительно периодического
возмущения границы.
Литература
•ЧеревкоА.А., Чупахин А.П. Уравнения мелкой воды на вращающейся притягивающей
сфере// ПМТФ. 2009. №2
•ЧеревкоА.А., Чупахин А.П. Уравнения мелкой воды на вращающейся притягивающей
сфере II. Простые стационарные волны и звуковые характеристики// ПМТФ. 2009. №3
•Остапенко В.В., ЧеревкоА.А., Чупахин А.П., О разрывных решениях уравнений
мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере // Изв. РАН. МЖГ. 2011. № 2.
С. 33-51.
•Иванова А.В., Остапенко В.В., Чупахин А.П., Численное моделирование течений
мелкой воды на вращающейся притягивающей сфере // Вестник НГУ. Серия:
Математика, механика, информатика. 2010. Т.10, вып. 3. С. 30-45.
Спасибо за внимание!