Transcript Κεφάλαιο 3. Κατηγορηματική Λογική

III.ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ
1
1.Εισαγωγή
• Η συμβολική γλώσσα της Προτασιακής Λογικής
έχει τέτοια συγκρότηση ώστε δεν έχει την
δυνατότητα να εκφράσει τη δομή υποκείμενοκατηγόρημα ,καθώς και τη δομή των προτάσεων
που αναφέρονται σε σχέσεις μεταξύ ατομικότητων
.Η γλώσσα αυτή δεν είναι αρκετά ευέλικτη για να
εκφράσει ατομικότητες είτε με συγκεκριμένο είτε
με γενικό τρόπο .Επίσης δεν είναι σε θέση να
περιγράψει τη δομή προτάσεων όπως <<κάθε τι >>
ή << μερικά >>.
2
2. Η δομή Υποκείμενο –Κατηγόρημα.
•
•
•
•
•
(1) << Ο Γιώργος είναι ψηλός>>
(2) <<Ο Όλυμπος είναι ψηλός>>
(3)<<Αυτός είναι ψηλός>>
(4) <<Αυτός που νίκησε στον αγώνα είναι ψηλός>>
Ονόματα: πρόσωπο ,αντικείμενο ,κάτι αφηρημένο ( αποκύημα της
φαντασίας ,ιδέα έννοια ) χρησιμοποιούμε κύρια ονόματα ή
προσωπικές αντωνυμίες.
• Κατηγόρημα
3
2. Η δομή Υποκείμενο –Κατηγόρημα
συνέχεια(1)
•
•
•
•
•
•
-------------------- είναι ποιητής .
Ο Γιώργος είναι ψηλός
Ο Όμηρος είναι ποιητής
γ :Όμηρος ή Γιώργος
Α: << … είναι ποιητής >> ή <<… είναι ψηλός >>
Τα αρχικά μικρά γράμματα α,β, γ τα χρησιμοποιούμε για να
δηλώσουμε συγκεκριμένα ονόματα που τα ονομάζουμε ατομικές
σταθερές ή σταθερές
Α(γ)
Συμβολική έκφραση.
4
2. Η δομή Υποκείμενο –Κατηγόρημα
συνέχεια (2)
• Χρησιμοποιούμε χ,ψ ,ω συχνά με δείκτες στην
θέση του υποκειμένου . Τα γράμματα αυτά τα
ονομάζουμε ατομικές μεταβλητές ή μεταβλητές.
• Η έκφραση Α(χ) καλείται τύπος .
5
3.Πολυμελή Κατηγορήματα
• (1) << ο Γιώργος και ο Κώστας είναι υπάλληλοι >> ή οποία
αναλύεται :
<< ο Γιώργος είναι υπάλληλος και ο Κώστας είναι υπάλληλος>> .Ενώ
η πρόταση :
(2) << ο Γιώργος και ο Κώστας είναι συνάδελφοι>>
Δεν μπορεί να αναλυθεί με τον παραπάνω τρόπο εκτός αν γίνει ως εξής:
<< ο Γιώργος είναι συνάδελφος του Κώστα και ο Κώστας είναι
συνάδελφος του Γιώργου>> αλλά χωρίς να έχει ιδιαίτερο νόημα .
Η έκφραση << είναι συνάδελφος >> καλείται σχέση.
6
3.Πολυμελή Κατηγορήματα ( συνέχεια)
•
•
•
•
<<…είναι μαθητής…>> Δυαδική ή διμελής σχέση
<<… είναι μεταξύ …. και ….>> Μ (χ,ψ,ω)
Το Μ λέγεται τριμελές κατηγορηματικό σύμβολο.
Α ( 1, 2 , 3... )
Τύπος
7
4. Ποσοδείκτες.
• « σε αυτό το δωμάτιο υπάρχει κάτι ευωδιαστό»
• « στον κήπο υπάρχει κάτι ευωδιαστό»
• «στη σύσταση του μίγματος υπάρχει κάτι ευωδιαστό»
• Κοινό μέρος: (1) «υπάρχει κάτι ευωδιαστό» είναι ισοδύναμο με την έκφραση :
(2) « Υπάρχει τουλάχιστον ένα πράγμα το οποίο είναι ευωδιαστό»
ΠΡΑΓΜΑ =ΚΑΤΙ : Δηλώνει το οποιοδήποτε στοιχείο του περιβάλλοντος μπορεί να
μας απασχολήσει. Έχουν την ίδια εμβέλεια .Χρησιμοποιείται όταν αναφερόμαστε
εντελώς αόριστα σε κάτι .Θεωρείται το πλησιέστερο στοιχείο της φυσικής μας
γλώσσας που αντιστοιχεί στην συμβολική γλώσσα στην ατομική μεταβλητή. Με
την λέξη « πράγμα» είναι δυνατόν να αναφερόμαστε σε οτιδήποτε.
8
Ποσοδείκτες.-Υπαρκτικός Ποσοδείκτης
• Συγκρότηση της πρότασης:
« Υπάρχει τουλάχιστον ένα πράγμα το οποίο είναι ευωδιαστό»
Κατηγόρημα: είναι ευωδιαστό με σύμβολο το Α.
Υποκείμενο σε σχέση με το κατηγόρημα: το οποίο με σύμβολο
το χ.
Οπότε : « το οποίο είναι ευωδιαστό» Α (χ)
« Υπάρχει τουλάχιστον ένα πράγμα το οποίο είναι ευωδιαστό»
χ
χ
Α
Χ Α(χ)
9
Ποσοδείκτες.(συνέχεια1)
• Ταυτόσημες εκφράσεις της έκφρασης :
«υπάρχει τουλάχιστον ένα πράγμα»
1. «τουλάχιστον ένα πράγμα είναι τέτοιο ώστε»
2. «υπάρχουν κάποια πράγματα τέτοια ώστε »
3. «υπάρχει κάποιο πράγμα τέτοιο ώστε»
4. «κάτι είναι τέτοιο ώστε»
5. «για τουλάχιστον ένα πράγμα ισχύει ότι»
6. «για κάποιο πράγμα»
7. «μερικοί-ες-α»
10
Ποσοδείκτες- Καθολικός Ποσοδείκτης
• (3) « κάθε πράγμα είναι φθαρτό»
Κάθε: 
Πράγμα: χ
Είναι φθαρτό: Β
Άρα
 χ Β(χ)
11
Ποσοδείκτες.(συνέχεια2)
• Ταυτόσημες εκφράσεις της έκφρασης :
1. « κάθε πράγμα»
2. «όλοι –ες –α»
3. «κάθε τι»
4. « για κάθε πράγμα είναι αλήθεια ότι»
12
Ποσοδείκτες.(συνέχεια3)
• Χ Α(χ)
• χ Β(χ)
Για τις παραπάνω εκφράσεις λέμε ότι:
οι ποσοδείκτες δεσμεύουν την ατομική μεταβλητή χ.
Ενώ η εμφάνιση της χ στην έκφραση :Α(χ) λέμε ότι
είναι ελεύθερη.
Για τις δεσμευμένες εκφράσεις το Α(χ) ή Β(χ )
καλείται εμβέλεια ή ακτίνα του ποσοδείκτη.
13
Ποσοδείκτες.(συνέχεια4)
• Σύνολο αναφοράς : Ολότητα πραγμάτων στα οποία
μπορούν να αναφέρονται διάφορές λέξεις.
•
•
•
•
•
Παραδείγματα:
(4) « σε αυτό το δωμάτιο υπάρχει κάτι ευωδιαστό»
(5) «σε αυτό το δωμάτιο υπάρχει τουλάχιστον ένα πράγμα που είναι ευωδιαστό»
(6) «κάθε πράγμα που βρίσκεται σε αυτό το αρωματοπωλείο είναι ευωδιαστό»
Στα (4) και (5) οι λέξεις πράγμα και κάτι αναφέρονται σε όλα εκείνα που είναι
σε αυτό το δωμάτιο .
• Στο (6) η λέξη πράγμα αναφέρεσαι σε όλα που υπάρχουν στο αρωματοπωλείο.
14
Ποσοδείκτες.(συνέχεια5)
•
•
•
•
(1)«υπάρχει κάτι ευωδιαστό»
(2) « Υπάρχει τουλάχιστον ένα πράγμα το οποίο είναι ευωδιαστό»
(3) « κάθε πράγμα είναι φθαρτό»
Οι παραπάνω εκφράσεις δεν έχουν σαφώς καθορισμένο σύνολο
αναφοράς.
• Για να μην έχουμε αυτή την ασάφεια προβαίνουμε :
είτε σε μια διαφορετική διατύπωση των προτάσεων π.χ « Υπάρχει
τουλάχιστον ένα πράγμα στη σύσταση αυτου του μίγματος το οποίο
είναι ευωδιαστό»
Είτε δεν κάνουμε καμιά τέτοια ερμηνεία και θεωρούμε ότι σύνολο
αναφοράς είναι το ευρύτερο που μπορεί να υπάρξει.
15
5.Ποσόδειξη σε οποιουσδήποτε Τύπους.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ
Α(χ)
Α(χ)  Β(χ)
Α(χ)  Β(χ)
 Α(χ)
Α(χ)Β(χ)
Γ(χ,ψ)Δ(χ,ψ)
Γ(χ,ψ)Ζ(ω)
Α(χ)Θ(χ,ψ)Κ(ψ,ω)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ
Π ,Ρ
ΠΡ
ΠΡ
Π
ΠΡ
ΠΡ
ΠΡ
(ΠΡ)Τ
16
Δηλαδή …
• Ότι έχουμε πει για τους
προτασιακούς τύπους ,για τις τιμές
αληθείας τους ,για τα επιχειρήματα
και την εγκυρότητα τους ,ισχύουν
και για τους τύπους της
κατηγορηματικής λογικής .
17
Παραδείγματα…
• (1) « όλοι οι θάμνοι είναι φυτά»
Ταυτόσημη με την:
• (2)« κάθε τι αν είναι θάμνος ,τότε είναι φυτό»(υποθετική)
• (3) « αν είναι θάμνος ,τότε αυτό θα είναι φυτό»
• (3΄) «αν αυτό είναι θάμνος , τότε αυτό είναι φυτό»
• (4) «αυτό είναι θάμνος» (5) «αυτό είναι φυτό»
Υποθετική πρόταση
ηγούμενος όρος
επόμενος όρος
Α: είναι θάμνος
Β: είναι φυτό
(4) :Α(χ)
(5) :Β(χ)
(3) Α(χ) Β(χ) «
κάθε τι
αν αυτό είναι θάμνος ,
τότε
αυτό είναι φυτό»
χ
Α(χ)
Β(χ)
χ
Α(χ) Β(χ)
χ(Α(χ) Β(χ) )
18
Παραπέρα…
•
χ(Α(χ)Β(χ) )
• Η δράση του καθολικού ποσοδείκτη εκτείνεται σε ολόκληρη την
Α(χ)Β(χ) και χρησιμοποιούμε παρενθέσεις για να δηλώσουμε αυτό
το γεγονός.
• Ο τύπος στον οποίο εκτείνεται η δράση του ποσοδείκτη καλείται
εμβέλεια ή ακτίνα αυτού.
• Ο καθολικός ποσοδείκτης δρα συνήθως σε προτάσεις υποθετικές• Στο πλαίσιο της Αριστοτελικής Λογικής καλούνται καθολικές
καταφατικές .
19
Παραδειγμάτων συνέχεια…
• (6) « ουδείς πλανήτης είναι αυτόφωτος»
• (7) « κάθε τι που είναι πλανήτης δεν είναι αυτόφωτο»
χ(Α(χ) Β(χ)) ( καθολική αποφατική)
• (8)« μερικά φυτά είναι θάμνοι»
• (9) « υπάρχει ένας τουλάχιστον οργανισμός , ο οποίος είναι φυτό και είναι θάμνος»
χ(Α(χ)Β(χ)) ( μερική καταφατική )
• Ο υπαρκτικός ποσοδείκτης δρα συνήθως σε προτάσεις συζευκτικές.
• (10) « μερικά φυτά δεν είναι θάμνοι»
• (11) «υπάρχει τουλάχιστον ένας οργανισμός , ο οποίος είναι φυτό και δεν είναι
θάμνος»
χ(Α(χ) Β(χ)) (μερική αποφατική)
20
6.Πολλαπλή ποσόδειξη
• (1) « υπάρχει κάτι ψηλότερο από τον Πάρνωνα»
• (2) «υπάρχει κάτι ψηλότερο από τον πύργο των Αθηνών»
• (3) «υπάρχει κάτι ψηλότερο από τον πύργο του Αιφέλ»
ΑΝΑΔΙΑΤΥΠΩΣΗ
(4) « υπάρχει τουλάχιστον ένα πράγμα που είναι ψηλότερο από τον Πάρνωνα»
(5) «υπάρχει τουλάχιστον ένα πράγμα που είναι ψηλότερο από τον πύργο των
Αθηνών»
(6) «υπάρχει τουλάχιστον ένα πράγμα που είναι ψηλότερο από τον πύργο του Αιφελ»
Παρατηρήσεις: 1. Υπαρκτικός ποσοδείκτης : «υπάρχει τουλάχιστον»
2.Διμελές κατηγόρημα : « …είναι ψηλότερο από …»
3.Η πρώτη θέση του κατηγορήματος καταλαμβάνεται από την
έκφραση το « οποίο» που αναφέρεται στη λέξη «πράγμα» ενώ την δεύτερη θέση το
όνομα «Πάρνων» ,«πύργος των Αθηνών» «πύργος του Αιφέλ»
21
Πολλαπλή ποσόδειξη (συνέχεια 1)
• Συμβολικά:
« …είναι ψηλότερο από …»
Α
Τα αντίστοιχα ονόματα α ,β ,γ άρα οι προτάσεις γράφονται :
χ Α(χ,α) ,  χ Α(χ,β) , χ Α(χ,γ) οι παραπάνω τρεις
εκφράσεις προέρχονται από την έκφραση
«υπάρχει τουλάχιστον ένα πράγμα ,το οποίο είναι ψηλότερο
από …»
δηλαδή
 χ Α(χ,ψ) .
22
Πολλαπλή ποσόδειξη (συνέχεια 2)
• Δηλαδή … ένας ποσοδείκτης μπορεί να
επισυναφθεί σε έναν τύπο που περιέχει εμφανίσεις
δύο ή περισσότερων μεταβλητών ….
• Η επισύναψη αυτή δεσμεύει τις εμφανίσεις της
αντίστοιχης μεταβλητής αλλά αφήνει ελεύθερες τις
άλλες .
23
Πολλαπλή ποσόδειξη (συνέχεια 3)
• Παρατηρήσεις:
1.
χΒ(χ) αντικαθίσταται από την χΒ(χ) όταν δεν
περιέχει ελεύθερη μεταβλητή.
2. Η επισύναψη του ψ στον τύπο Γ(χ,ψ,ω) δημιουργεί
τον τύπο ψ Γ(χ,ψ,ω) .
3. Μπορώ να επισυνάψω στην έκφραση ψΑ(χ,ψ) που
έχει ελεύθερη ως προς χ το ως προς τη χ και να γίνει
χ ψΑ(χ,ψ) .
4. Ποία είναι εμβέλεια των ποσοδεικτών;
24
Πολλαπλή ποσόδειξη (συνέχεια 4)
• Έστω Μ το κατηγόρημα «…είναι μεγαλύτερος από…»
Και οι συμβολικές εκφράσεις :
1)
ψ χΜ(χ,ψ)
2)
χ ψΜ(χ,ψ)
3)
χ ψΜ(χ,ψ)
4)
ψ χ Μ(χ,ψ)
5) Να βρεθούν οι αντίστοιχες εκφράσεις της φυσικής
γλώσσας.
25
Απαντήσεις
ψχΜ(χ,ψ) (7) «για κάθε τι υπάρχει ένα
τουλάχιστον πράγμα μεγαλύτερο του»
χψΜ(χ,ψ) (8) «υπάρχει ένα τουλάχιστον πράγμα
,το οποίο είναι μεγαλύτερο από κάθε τι»
χψΜ(χ,ψ) (9) « το κάθε τι είναι μεγαλύτερο από
ένα τουλάχιστον πράγμα»
ψχ Μ(χ,ψ) (10) «υπάρχει ένα τουλάχιστον πράγαμ
τέτοιο ώστε κάθε τι να είναι μεγαλύτερο του»
26
Πολλαπλή ποσόδειξη (συνέχεια 5)
• Σημασιολογικές παρατηρήσεις:
1. Καθορισμός συνόλου αναφοράς: οι μετάβλητές χ
ψ παίρνουν τιμές από το σύνολο των φυσικών
αριθμών 0,1 ,2 ,3 ,4,….
2. Το κατηγόρημα «…είναι μεγαλύτερος από…»
σημαίνει ότι « ο αριθμός … είναι μεγαλύτερος από
τον αριθμό …»
27
Άρα …
• (7) : (7΄) « για κάθε φυσικό αριθμό υπάρχει φυσικός αριθμός
μεγαλύτερος του»
• (8) : (8΄) « υπάρχει ένας τουλάχιστον φυσικός αριθμός ,ο
οποίος είναι μεγαλύτερος από κάθε φυσικό αριθμό»
• (9) :(9΄) « κάθε φυσικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από
έναν τουλάχιστον φυσικό αριθμό»
• (10) :(10΄) «υπάρχει ένας τουλάχιστον φυσικός αριθμός
τέτοιος ώστε κάθε φυσικός αριθμός είναι μεγαλύτερος του»
28
• Οι προτάσεις (7΄) και (8΄) διαφέρουν στηνσειρά των ποσοδεικτών
,και η πρώτη χαρακτηρίζεται ως αληθής ενώ η δεύτερη ψευδής .
• Οι εκφράσεις :
• « υπάρχει πράγμα για το οποίο υπάρχει κάτι του οποίου είναι
μεγαλύτερο»
• χψ Μ(χ,ψ)
• « υπάρχει πράγμα για το οποίο υπάρχει κάτι που είναι μεγαλύτερο
του»
• ψχ Μ(χ,ψ)
• Δεν έχει σημασία η σειρά των ποσοδεικτων.
29
7.ΤΥΠΟΙ
• Προτάσεις φυσικής γλώσσας συμβολίζονται με τύπους.
• Υλικά κατασκευής τύπων:
i. Ατομικές μεταβλητές :χ, ψ ,ω, ή x1 , x2 ,...xn
ii. Ατομικές σταθερές : α, β, γ …
iii. Κατηγορηματικές σταθερές : Α , Β ,Μ ,…
iv. Σύνδεσμοι : , , , ,και .
v. Ποσοδείκτες
vi. Παρενθέσεις
30
7.ΤΥΠΟΙ ( συνέχεια 1)
• Στοιχειώδης Δομική μονάδα :
i. Συμβολικές εκφράσεις απλών προτάσεων της μορφής
υποκείμενο –κατηγόρημα .
ii. Αποτελούνται: κατηγορηματική σταθερά ,και ατομικές
σταθερές ή μεταβλητές .π.χ Ρ(χ) ,Δ(ψ,χ) , Α(β) ,Ο(χ) και
καλούνται ατομικοί .
iii. Χρησιμοποιώντας ΑΤΟΜΙΚΟΥΣ ΤΥΠΟΥΣ ,
ΛΟΓΙΚΟΥΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ ΠΟΣΟΔΕΙΚΤΕΣ ΚΑΙ
ΠΑΡΕΝΘΕΣΕΙΣ ,κατασκευάζω τύπους
31
7.ΤΥΠΟΙ ( συνέχεια 2)
• ΚΑΝΟΝΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΤΥΠΩΝ.
1. Αν Α ν-μελές κατηγορηματικό σύμβολο τότε η
έκφραση Α (1, 2 ,... ) είναι ατομικός τύπος.
2. Αν 1 είναι τύπος τότε και  είναι τύπος .
3.Αν 1 και 2 είναι τύποι τότε και συμβολικές
εκφράσεις    ,     ,     ,     είναι
τύποι .
4. Αν 1είναι τύπος που περιέχει μια τουλάχιστον
ελεύθερη εμφάνιση της μεταβλητής
1
1
2
1
2
1
2
1
2
32
 1 τότε οι συμβολικέ ς εκφράσεις 11 , 11
είναι τύποι .
5. Οι μόνες συμβολικές εκφράσεις που είναι τύποι
είναι όσες κατασκευάζονται με του παραπάνω
κανόνες.
Όταν σε ένα τύπο δεν υπάρχει ελεύθερη εμφάνιση
μεταβλητής τότε ο τύπος λέγεται πρόταση στο
πλαίσιο της συμβολικής γλώσσας της
κατηγορηματικής γλώσσας .
33
Παραδείγματα τύπων …
1. Ο κανόνας (3) εισάγει τα ζεύγη παρενθέσεων, η
χρήση των οποίων γίνεται με τον εξής τρόπο:
α) Αν οι παρενθέσεις είναι ακραίο δομικό στοιχείο τότε
παραλείπετε π.χ:(χ Α(χ)Β(χ) ) γίνεται
χ Α(χ)Β(χ).
β) Ενώ στον τύπο χ(Α(χ) Β(χ) ) δεν
παραλείπεται γιατί ο καθολικός ποσοδείκτης είναι
απέξω.
34
8.Μεταφορά σε Συμβολική Γλώσσα.
• (1)«κάθε επίπεδο σχήμα ,που είναι ορθογώνιο είναι
παραλληλόγραμμο»
• (2) «κάθε τετράγωνο είναι ορθογώνιο αλλά δεν είναι κάθε ορθογώνιο
τετράγωνο»
• (3) «υπάρχει ένα υγρό στο οποίο διαλύεται κάθε στερεό»
• Ενέργειές:
Παράφραση με σκοπό την ανάδειξη των λογικών συνιστωσών δηλ.
συνδέσμους και ποσοδείκτες και των απλών προτάσεων
υποκείμενο –κατηγόρημα.
35
Μεταφορά σε Συμβολική Γλώσσα.1.
• Διαδικασία:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Εντοπίζουμε εκφράσεις με ποσοδείκτη
Αναδεικνύουμε όλες τις στοιχειώδεις εκφράσεις της μορφής
υποκείμενο – κατηγόρημα .
Εντοπίζουμε τις λέξεις που αναφέρονται στο ίδιο πράγμα και τις
συμβολίζω με την ίδια μεταβλητή
. Εντοπίζουμε συνδέσμους.
Προσδιορίζουμε εμβέλεια δράσης των συνδέσμων.
Εντοπίζουμε την κύρια λογική συνιστώσα δηλ.το σύνδεσμο ή τον
ποσοδείκτη του οποίου η εμβέλεια δράσης καλύπτει μέρος της
πρότασης.
36
Μεταφορά σε Συμβολική Γλώσσα.2
• Παράφραση :
(1΄) « κάθε τι το οποίο είναι επίπεδο σχήμα και το
οποίο είναι ορθογώνιο ,αυτό είναι
παραλληλόγραμμο» ή
(1΄΄) «για κάθε τι έχουμε αν αυτό είναι επίπεδο σχήμα
και αυτό είναι ορθογώνιο ,τότε αυτό θα είναι
παραλληλόγραμμο»
37
Μεταφορά σε Συμβολική Γλώσσα.3
• Συμβολισμοί:
1. Σ : επίπεδο σχήμα
2. Ο: ορθογώνιο
3. Π: παραλληλόγραμμο
για κάθε τι έχουμε αν αυτό είναι επίπεδο σχήμα και αυτό είναι
ορθογώνιο ,
τότε αυτό θα
είναι παραλληλόγραμμο»
χ((Σ(χ) Ο(χ)) Π(χ)
38
Μεταφορά σε Συμβολική Γλώσσα.4
• Παραδείγματα (συνέχεια )
• (2) «κάθε τετράγωνο είναι ορθογώνιο αλλά δεν είναι κάθε ορθογώνιο τετράγωνο»
• (α)κάθε τετράγωνο είναι ορθογώνιο=για κάθε τι ισχύει αν αυτό είναι τετράγωνο
,τότε αυτό είναι ορθογώνιο
• (β)είναι κάθε ορθογώνιο τετράγωνο=για κάθε τι ισχύει αν αυτό είναι ορθογώνιο
,τότε αυτό είναι τετράγωνο .
• Κύρια λογική συνιστώσα: σύζευξη (αλλά)
• To πρώτο μέρος της σύζευξης είναι η (α) και το δεύτερο η άρνηση της (β)
• Το (β) μετασχηματίζεται στην πρόταση (γ): «δεν ισχύει πως για κάθε τι έχουμε ότι
αν αυτό είναι ορθογώνιο τότε αυτό είναι τετράγωνο»
• Άρα η (2) γίνεται (2΄) « για κάθε τι ισχύει ότι, αν αυτό είναι τετράγωνο ,τότε αυτό
είναι ορθογώνιο και δεν ισχύει πως για κάθε τι έχουμε ότι ,αν αυτό είναι ορθογώνιο
τότε είναι τετράγωνο»
39
Μεταφορά σε Συμβολική Γλώσσα.5
• « για κάθε τι ισχύει ότι, αν αυτό είναι τετράγωνο ,τότε αυτό
είναι ορθογώνιο και δεν ισχύει πως για κάθε τι έχουμε ότι
,αν αυτό είναι ορθογώνιο τότε είναι τετράγωνο»
• Συμβολισμοί:
1. Τ : τετράγωνο ,Ο: ορθογώνιο
2.
χ(Τ(χ) Ο(χ))
( χ(Ο(χ) Τ(χ))
3.
χ(Τ(χ) Ο(χ))
( ψ (Ο(ψ) Τ(ψ))
Γιατί η δέσμευση των μεταβλητών είναι ανεξάρτητες .
40
Μεταφορά σε Συμβολική Γλώσσα.6
• (3) «υπάρχει ένα υγρό στο οποίο διαλύεται κάθε στερεό»
• (3΄) «υπάρχει κάτι το οποίο είναι υγρό και στο όποιο διαλύεται κάθε
στερεό»
υπάρχει κάτι= υπαρκτικός ποσοδείκτης με δράση στην (δ) «το οποίο είναι
υγρό και στο οποίο διαλύεται κάθε στερεό»
και =κύρια λογική συνιστώσα
Είναι υγρό :Υ(χ)
«κάθε στερεό διαλύεται σε αυτό το υγρό»(ε) : «για κάθε τι ισχύει αν αυτό
είναι στερεό τότε διαλύεται σε εκείνο (το υγρό)
(ζ) :«αν αυτό είναι στερεό ,τότε αυτό διαλύεται σε εκείνο (το υγρό)»
41
Μεταφορά σε Συμβολική Γλώσσα.7
• «υπάρχει κάτι το οποίο είναι υγρό και για κάθε τι
χ
χ
ψ
ισχύει ότι αν αυτό είναι στερεό ,τότε αυτό διαλύεται σε
ψ
ψ
εκείνο.»
χ
Είναι υγρό : Υ
Είναι στερεό :Ρ
… διαλύεται… :Δ
 χ (Υ (χ) ψ(Ρ(ψ) Δ(ψ,χ)))
42
9.Παραδείγματα τυποποίησης προτάσεων της
φυσικής γλώσσας και επιχειρημάτων.
• 1. « Κάθε αγαθό εκτός των βιβλίων έχει Φ.Π.Α 19%»
Παράφραση «για κάθε τι ,αν αυτό είναι αγαθό και δεν είναι
βιβλίο τότε αυτό έχει Φ.Π.Α 19%»
Τυποποίηση :χ((Α(χ)Β(χ))Γ(χ))
• 2.«Τα κρέατα και τα γαλακτοκομικά έχουν χοληστερίνη»
Παράφραση «για κάθε τι αν αυτό είναι κρέας ή αυτό είναι
γαλακτοκομικό ,τότε αυτό έχει χοληστερίνη»
Τυποποίηση: χ((Α(χ) Β(χ))Γ(χ))
43
9.Παραδείγματα τυποποίησης προτάσεων της
φυσικής γλώσσας και επιχειρημάτων.(2.)
• 3. «κάθε φυσικός αριθμός που είναι πολλαπλάσιος του 4 είναι άρτιος»
Παράφραση: « για κάθε τι ,αν αυτό είναι φυσικός αριθμός και αυτό είναι
πολλαπλάσιο του 4 ,τότε αυτό είναι άρτιος»
Τυποποίηση: χ((Α(χ) Β(χ))Γ(χ))
• 4. «Μερικά φυτά αν είναι μονοετή δεν παράγουν καρπούς»
Παράφραση: « υπάρχει ένα τουλάχιστον πράγμα τέτοιο ώστε :αν
αυτό είναι φυτό και ,αν αυτό είναι μονοετές ,τότε αυτό δεν παράγει
καρπούς»
• Τυποποίηση:χ(Α(χ) (Β(χ)Γ(χ)))
44
9.Παραδείγματα τυποποίησης προτάσεων της
φυσικής γλώσσας και επιχειρημάτων.(3)
• 5. «Δεν υπάρχουν ιπτάμενοι δίσκοι»
Παράφραση: «δεν υπάρχει πράγμα τέτοιο ώστε :αυτό
είναι ιπτάμενος δίσκος»
Τυποποίηση:
Α(χ)
• 6. « Μερικά πράγματα δεν είναι ιπτάμενοι δίσκοι»
Τυποποίηση:
Α(χ)
45
9.Παραδείγματα τυποποίησης προτάσεων της
φυσικής γλώσσας και επιχειρημάτων.(4)
• 7 «Κάθε τι έχει χρώμα και βάρος»
Παράφραση: «για κάθε τι :αυτό έχει χρώμα και αυτό έχει βάρος» ή
«κάθε τι έχει χρώμα και αυτό έχει βάρος»
Τυποποίηση: χ(Α(χ) Β(χ)) ή χΑ(χ) ψΒ(ψ)
• 8. « Μερικά πράγματα έχουν χρώμα ή βάρος»
Παράφραση: «υπάρχει πράγμα τέτοιο ώστε :αυτό να έχει χρώμα ή αυτό
να έχει βάρος» ή «υπάρχει κάτι το οποίο έχει χρώμα ή υπάρχει κάτι
το οποίο έχει βάρος»
Τυποποίηση: χ(Α(χ) Β(χ)) ή χ Α(χ)
ψ Β(ψ)
46
9.Παραδείγματα τυποποίησης προτάσεων της
φυσικής γλώσσας και επιχειρημάτων.(5)
• 9. «Κάθε τι έχει χρώμα ή βάρος»
Παράφραση: « για κάθε τι αυτό έχει χρώμα ή αυτό
έχει βάρος»
Τυποποίηση: χ(Α(χ) Β(χ)).
• 10. «Κάθε τι έχει χρώμα ή κάθε τι έχει βάρος»
Τυποποίηση: χΑ(χ)
ψΒ(ψ)
47
9.Παραδείγματα τυποποίησης προτάσεων της
φυσικής γλώσσας και επιχειρημάτων.(6)
• 11. «Κάτι έχει χρώμα και βάρος»
Παράφραση: « υπάρχει πράγμα τέτοιο ώστε : αυτό
έχει χρώμα και αυτό έχει βάρος»
Τυποποίηση: χ(Α(χ) Β(χ) )
• 12. « Κάτι έχει χρώμα και κάτι έχει βάρος»
Παράφραση: «υπάρχει κάτι το οποίο έχει χρώμα
και υπάρχει κάτι το οποίο έχει βάρος»
Τυποποίηση: χΑ(χ)
ψΒ(ψ )
48
9.Παραδείγματα τυποποίησης προτάσεων της
φυσικής γλώσσας και επιχειρημάτων.(7)
• Παρατήρηση
χ φ και χφ
οι τύποι χφ και χφ
• οι τύποι
και
Είναι ισοδύναμοι
φ: είναι τύπος με μια τουλάχιστον ελεύθερη εμφάνιση της μεταβλητής χ
49
10 .Απόδοση σημασίας σε τύπους.
• Οι προτάσεις της φυσικής γλώσσας που
συμβολίζονται με ποσοδείκτες παρουσιάζουν μια
αβεβαιότητα ως προς την σημασία τους.
Π.χ « υπάρχει κάτι ευωδιαστό»
Δεν ξέρουμε ακριβώς που αναφέρεται η λέξη κάτι
Χημική ένωση –αρώματα- άνθη .
Χρειαζόμαστε τρόπο καθορισμού σημασίας των
τύπων.
50
10 .Απόδοση σημασίας σε τύπους.(1)
• Έστω οι παρακάτω τύποι:
(1) χ(Α(χ) Β(χ))
(2) χ ψΓ(χ,ψ)
(3) χ ψ Γ(ψ,χ)
(4) x(Δ(χ) Α(χ))
(5) Δ(α)
(6) Δ(β)
51
10 .Απόδοση σημασίας σε τύπους.(2)
• Ερμηνεία 1η
Σύνολο αναφοράς:
• Ερμηνεία 2η
Σύνολο αναφοράς:
 Αντώνης, Βασίλης, Γιώργος ,Ευάγγελος,
Ζαχαρίας, Θεόδωρος,Ηλίας (πρόσκοποικατασκήνωση).
 Βασίλης,Δημήτρης,Ζαχαρίας :Μάγειροι
 Αντώνης,Γιώργος,Ευάγγελος,Ηλίας:Φύλακες
 Βασίλης ,Δημήτρης,Ζαχαρίας,Θεόδωρος:Συντ.
 Αντώνης,Γιώργος,Ευάγγελος,Ηλίας :Συμμαθ.
 Βασίλης ,Θεόδωρος :Συμμαθητές Β Λυκείου.
Οι αριθμοί 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
52
10 .Απόδοση σημασίας σε τύπους.(3)
Ερμηνεία κατηγορημάτων
Α: φυλάει βάρδια
Β:είναι συντηρητής
Γ:είναι ο συμμαθητής του
Δ:είναι μάγειρος
α: Βασίλης
β:Θέοδωρος.
Ερμηνεία κατηγορημάτων
Α: είναι άρτιος
Β:είναι περιττός
Γ: διαιρεί τον
Δ: είναι πρώτος
α: 2
β:4.
53
10 .Απόδοση σημασίας σε τύπους.(4)
(1) χ(Α(χ)Β(χ))
 «κάθε κατασκηνωτής φυλάει βάρδια
ή είναι συντηρητής»
 Α
(2) χψΓ(χ,ψ)
 «κάθε κατασκηνωτής έχει
τουλάχιστον έναν κατασκηνωτή ως
συμμαθητή του»
 Ψ
(3) χψΓ(ψ,χ)
 «υπάρχει κατασκηνωτής που δεν έχει
συμμαθητή στην κατασκήνωση»
 Α
(1)χ(Α(χ)Β(χ))
 «κάθε ψηφίο είναι άρτιο ή περιττό»
 Α
(2)χψΓ(χ,ψ)
 «κάθε ψηφίο διαιρεί τουλάχιστον ένα
ψηφίο»
 Ψ
(3)χψΓ(ψ,χ)
 «υπάρχει ψηφίο που δεν διαιρείται από
οποιοδήποτε ψηφίο»
 Ψ
54
(4)x(Δ(χ)Α(χ))
 «κανένας μάγειρος φυλάει
βάρδια»
(5)Δ(α)
 «ο Βασίλης είναι
μάγειρος»
(6)Δ(β)
 «ο Θόδωρος είναι
μάγειρος»
(4)x(Δ(χ)Α(χ))
 «ουδέν πρώτο ψηφίο είναι
άρτιο»
(5)Δ(α)
 «το 2 είναι πρώτος»
(6)Δ(β)
 «το 4 είναι πρώτος»
55
10 .Απόδοση σημασίας σε τύπους.(5)
Ο καθορισμός της σημασίας ενός τύπου ή ομάδας τύπων απαιτεί:
1. Ένα σύνολο αναφοράς ( πεδίο ή σύμπαν) : το σύνολο των
ατομικοτήτων στο οποίο αναφέρονται οι μεταβλητές που υπάρχουν
στους τύπους.
2. Μια αντιστοίχηση:
α) των κατηγορηματικών συμβόλων που υπάρχουν στους τύπους με
συγκεκριμένα κατηγορήματα ή σχέσεις που αναφέρονται στα
στοιχεία του συνόλου αναφοράς.
β) των ατομικών σταθερών με συγκεκριμένα ονόματα στοιχείων του
συνόλου αναφοράς.
56
10 .Απόδοση σημασίας σε τύπους.(6)
• ΕΡΜΗΝΕΙΑ :(τύπου ή ομάδας τύπων) έχουμε όταν
αποδώσουμε σημασία στους τύπους με την παραπάνω
διαδικασία .
• ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ: ( σε σχέση με μια ερμηνεία ) είναι η
αντιστοίχηση των μεταβλητών που υπάρχουν σε αυτούς
με τα ονόματα συγκεκριμένων στοιχείων του συνόλου
αναφοράς.
• Μια ομάδα τύπων επιδέχεται οσεσδήποτε ερμηνείες και σε
κάθε ερμηνεία μπορούμε να έχουμε πολλές αποτιμήσεις
των μεταβλητών.
57
Ιστορίες
58
Ιστορία 1η
• Σελίδα 71
• «αν 2+2=5 τότε εγώ
είμαι Πάπας»
59
Ιστορία 2η
• Σελίδα 83
π
Α
Β
Γ
Δ
Ε
Ζ
Α
-
2η
-
-
-
5η
Β
-
-
2η
-
-
1η
Γ
-
-
-
1η
6η
-
Δ
1η
-
4η
-
-
-
Ε
-
5η
-
3η
-
-
Ζ
4η
-
-
-
3η
60
κριτήριο
• Ο προπονητής που είχε δύο σωστές
προβλέψεις κατέκτησε με την ομάδα του την
1η θέση.
• Ο προπονητής που είχε μια σωστή πρόβλεψη
κατέκτησε με την ομάδα του την 2η θέση.
61
• Α:
p1 , p 2
62