Transcript Aikasarja-analyysin perusteet - Aalto

Aikasarja-analyysin perusteet
Janne Kunnas
5.10.2011
Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.
Sisältö
• Taloudellisten aikasarjojen empiirinen analyysi
– Tyypilliset ominaisuudet
• Aikasarja-analyysin perusteet
–
–
–
–
–
–
Peruskäsitteet
ARMA-mallit
Tarkastelu aika-avaruudessa
Aikasarjojen tilastollinen tarkastelu
Ennustaminen
Kotitehtävä
Tyypilliset ominaisuudet (1/3)
• Pätevät päivittäiselle finanssidatalle
– Osakkeet, indeksit, valuutat, raaka-aineet
• Pätevät usein myös pidemmän aikavälin datalle
– Viikoittaiset ja kuukausittaiset tuotot
• Pätevät usein myös intra-daily datalle
Tyypilliset ominaisuudet (2/3)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Tuotot eivät ole iid vaan hieman autokorreloituneita
Absoluuttiset tai neliölliset tuotot ovat selvästi autokorreloituneita
Tappioiden ehdolliset odotusarvot ovat lähellä nollaa
Volatiliteetti ei ole vakio
Tappiojakauma on leptokurtinen tai paksuhäntäinen
Äärimmäiset tuotot esiintyvät rykelminä
Tyypilliset ominaisuudet (3/3)
Series data
1000
1500
0.0
0
5
10
15
20
25
30
0
10
15
20
25
Lag
Normal
Series ndata
Series abs(ndata)
1000
1500
0.0
0.4
ACF
0.8
0.0
0.4
ACF
500
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
Lag
Lag
Student t
Series tdata
Series abs(tdata)
1500
0.0
0.4
ACF
0.8
0.0
0.4
ACF
1000
Index
30
0.8
Index
500
30
0.8
Lag
-0.06
0
5
Index
0.00 0.04
0
0.4
ACF
0.0
0.4
ACF
0.8
Series abs(data)
0.8
0.00 0.04
-0.06
500
0.00 0.04
0
-0.06
data
SP500
0
5
10
15
Lag
20
25
30
0
5
10
15
Lag
20
25
30
Monimuuttujien Tyypilliset ominaisuudet
1.
2.
3.
4.
Monimuuttujien tuotot hieman ristikorreloituneita
Absoluuttiset tuotot selvästi ristikorreloituneita
Aikasarjojen korrelaatiot vaihtelevat ajassa
Äärimmäiset tuotot ilmenevät usein monissa aikasarjoissa samaan
aikaan
Aikasarja-analyysin peruskäsitteitä
Momentit
• Keskiarvofunktio
𝜇 𝑡 = 𝐸 𝑋𝑡 ,
𝑋𝑡
𝑡=1,2…
• Autokovarianssifunktio
𝛾 𝑡, 𝑠 = 𝐸
𝑋𝑡 − 𝜇 𝑡
𝑡, 𝑠 ∈ 𝑍
𝑋𝑠 − 𝜇 𝑡
,
Aikasarja-analyysin peruskäsitteitä
Kovarianssi-stationaarisuus
• Aikasarja on kovarianssi-stationaarinen (heikosti stationaarinen),
jos sen ensimmäiset kaksi momenttia ovat olemassa ja sille pätee
𝜇 𝑡 = 𝜇,
𝛾 𝑡, 𝑠 = 𝛾 𝑡 + 𝑘, 𝑠 + 𝑘 ,
𝑡 ∈ 𝑍,
𝑡, 𝑠, 𝑘 ∈ 𝑍
Aikasarja-analyysin peruskäsitteitä
Vahva stationaarisuus
(𝑋𝑡 1 , … , 𝑋𝑡 𝑛 )𝑇 = (𝑋𝑡 1 +𝑘 , … , 𝑋𝑡 𝑛 +𝑘 )𝑇 ,
𝑡1 , … , 𝑡𝑛 , 𝑘, ∈ 𝑍,
𝑘𝑎𝑖𝑘𝑖𝑙𝑙𝑎 𝑛 ∈ 𝑍
• Jos satunnaisvektoreilla
on sama yhteisjakauma, niin aikasarja
stationaarinen.
ja
on vahvasti
Aikasarja-analyysin peruskäsitteitä
Autokorrelaatiofunktio
• Autokorrelaatiofunktio kovarianssi-stationääriselle prosessille
määritellään seuraavasti
missä
ja
Aikasarja-analyysin peruskäsitteitä
Valkoinen kohina
• Aikasarja
on valkoista kohinaa jos se on kovarianssistationaarinen ja sen autokorrelaatiofunktio on
ja sen odotusarvo on nolla sekä varianssi
• Valkoista kohinaa merkitään
• Kovarianssi-stationaariset ARCH ja GARCH prosessit ovat
valkoista kohinaa.
Aikasarja-analyysin peruskäsitteitä
Vahva valkoinen kohina (strict white
noise)
• Aikasarja
on vahvaa valkoista kohinaa jos sarja
ja sen varianssi on
• Vahvaa valkoista kohinaa merkitään
on iid
ARMA-mallit
• Aikasarja
on nolla-keskiarvoinen ARMA(p,q) prosessi jos
se on kovarianssi-stationaarinen ja se toteuttaa yhtälön
𝑋𝑡 − 𝜙1 𝑋𝑡−1 − ⋯ − 𝜙𝑝 𝑋𝑡−𝑝 = 𝜀𝑡 + 𝜃1 𝜀𝑡−1 + ⋯ + 𝜃𝑝 𝜀𝑡−𝑝 , ∀𝑡 ∈ 𝑍
missä
𝜀𝑡
𝑡∈𝑍 ~𝑊𝑁(0, 𝜎
2
)
• Käytännön sovelluksissa käytetään kausaalista ARMA-mallia
∞
𝑋𝑡 =
𝜓𝑖 𝜀𝑡−𝑖 ,
𝑖=0
∞
𝜓𝑖 < ∞.
missä painot toteuttavat yhtälön
𝑖=0
(4.3)
ARMA-mallit
• ARMA(1,1)
𝑋𝑡 − 𝜙𝑋𝑡−1 = 𝜀𝑡 + 𝜃𝜀𝑡−1
joka on voidaan esittää MA(∞) –muodossa (myös kausaalinen muoto)
∞
𝜙 𝑖−1 𝜀𝑡−1 ,
𝑋𝑡 = 𝜀𝑡 + 𝜙 + 𝜃
𝜙 <1
4.11
𝑖=1
• Ja AR(∞)) -muodossa
∞
𝑋𝑡 = 𝜀𝑡 + 𝜙 + 𝜃
1−𝜃
𝑖−1
𝑋𝑡−1 ,
𝜃 < 1.
4.12
𝑖=1
• ARMA-malli voidaan kirjoittaa myös muodossa
𝑝
𝑋𝑡 = 𝜇𝑡 + 𝜀𝑡 , 𝜇𝑡 = 𝜇 +
𝑝
𝜙𝑖 𝑋𝑡−1 − 𝜇 +
𝑖=1
𝜃𝑗 𝜀𝑡−𝑗 .
𝑖=1
(4.13)
Tarkastelu aika-avaruudessa
• Tarkastellaan aikasarjaa estimoimalla sen autokovarianssit ja
autokorrelaatiot
• Autokovarianssit saadaan yhtälöstä
𝛾 ℎ =
1
𝑛
𝑛−𝑘
𝑋𝑡+ℎ − 𝑋 𝑋𝑡 − 𝑋 , 0 ≤ ℎ < 𝑛
𝑡=1
• Korrelaatiodiagrammia käytetään aikasarjan systemaattisten
riippuvuuksien tutkimisessa
ℎ, 𝜌(ℎ) : ℎ = 0,1,2 … , 𝜌 ℎ =
𝛾 ℎ
, 0 ≤ ℎ < 𝑛.
𝛾 0
Aikasarjojen tilastollinen tarkastelu
• Alustavan tarkastelun tarkoituksena on selvittää löytyykö datasta
trendejä tai jaksollisuutta ja poistaa ne, jotta sitä voidaan käsitellä
stationaarisena
• Seuraavaksi tarkastellaan satunnaisprosessia aika-avaruudessa
piirtämällä korrelaatiodiagrammit ja testaamalla onko prosessi
valkoista kohinaa
• Jos prosessi on valkoista kohinaa voidaan siirtyä yksinkertaisen
jakauman parametrien sovittamiseen
• Jos prosessi ei ole valkoista kohinaa, siirrytään dynaamisiin
malleihin
Ennustaminen
• ARMA-malli
𝐸 𝑋𝑡+ℎ ℱ𝑡 = 𝜇𝑡+1 = 𝜇 + 𝜙 ℎ 𝑋𝑡 − 𝜇 + 𝜙 ℎ−1 𝜃𝜀𝑡 ,
𝐴𝑅𝑀𝐴(1,1)
• Eksponentiaalinen tasoitus
𝑛−1
𝛼 1 − 𝛼 𝑖 𝑌𝑡−𝑖 ,
𝑃𝑡 𝑌𝑡+1 =
𝑖=0
0 < 𝛼 < 1.
Kotitehtävä
• Todista, että MA(1) –prosessi on stationaarinen
• Millä ehdolla AR(1) –prosessi on stationaarinen
• Sovita osakedataan studentin t –jakauma, generoi saaduilla
parametreilla yhtä pitkä vektori, plottaa molemmista logaritmiset
tuotot sekä korrelaatiodiagrammit tappiolle ja absoluuttisille arvoille
– Tulkitse