Transcript Variace bez opakování

20. září 2012
VY_32_INOVACE_110204_Variace_bez_opakovani_II.cast_DUM
VARIACE
BEZ OPAKOVÁNÍ
II. část
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel Hanzlík
Obchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace.
Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám,
registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.
obr.1
O čem pojednává prezentace…
V 1. části prezentovaného učiva o variacích jsme se setkali
s úlohami na jednoduché využití variačního vzorce,
s úlohami na úpravu jednoduchých matematických výrazů
s variacemi a s úlohami, kde se variace vyskytovaly
v rovnicích.
Tato 2. část nám připomene, že variace je možné i využít
v kombinatorických úlohách o počtu různých přirozených
čísel bez opakování číslic nebo v příkladech na počet
prvků, ze kterých se variace tvoří.
Variace bez opakování
Připomeňme si, co znamená
v kombinatorice pojem variace bez
opakování:
obr.2
k-členná variace z n prvků je každá
uspořádaná k-tice (tj. k-tice, v níž záleží
na pořadí prvků) vytvořená pouze
z těchto n prvků tak, že každý prvek se
v ní vyskytuje nejvýše jednou.
Variace bez opakování
obr.2
Abychom mohli opět počítat s variacemi,
je třeba si znovu připomenout
dva základní variační vzorce!
1. vzorec pro počet variací
pomocí faktoriálu:
n!
V ( k , n) 
 n  k !
obr.2
Poznámka 1:
Označení V(k,n) čteme: „variace k-té třídy z n prvků“
Poznámka 2:
n-faktoriál se definuje jako: n !  n  (n  1)  (n  2)  ...  (n  k  1)
2. vzorec pro počet variací
Pro k, n  N0; k  n platí:
V (k , n)  n  (n  1)  (n  2)  ...   n  k  1
obr. 2
Variace bez opakování
V následujících sedmi variačních úlohách si
přiblížíme další využití obou variačních
vzorců, které už známe z minulé prezentace.
obr. 1
Úloha 1
Kolik různých šesticiferných přirozených čísel, v nichž se
žádná číslice neopakuje, lze sestavit z číslic 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6 ?
obr. 3
Řešení úlohy 1
Šesticiferná přirozená čísla mohou začínat na libovolnou číslici
ze zadaných číslic, ale nikdy nesmí začínat nulou!
Obsazujeme tedy šest pozic v čísle sedmi číslicemi, ale musíme přitom
vyloučit všechny uspořádané šestice, které začínají nulou:
______
(k=6, n=7)
-
0_____
(k=5, n=6)
Pomocí variací lze tedy psát:
V (6,7)  V (5,6) 
obr.1
7!
6!
7! 6!

   7! 6!  5040  720  4320
(7  6)! (6  5)! 1! 1!
Existuje celkem 4320 těchto čísel.
Úloha 2
Kolik různých:
a) lichých trojciferných přirozených čísel,
b) sudých čtyřciferných přirozených čísel
lze sestavit z číslic 0, 1, 2, 5, 8 tak, že se žádná
číslice neopakuje?
obr. 3
Řešení úlohy 2
a) Lichá trojciferná čísla musí končit na číslice
1 nebo 5, nesmí začínat číslicí 0.
Schematicky tuto situaci znázorníme:
_ _ 1 - 0 _ 1 nebo _ _ 5 - 0 _ 5
(n=4,k=2) – (n=3,k=1)
Pomocí variací bez opakování lze psát:
𝟐 ∙ 𝑽 𝟐, 𝟒 − 𝟐 ∙ 𝑽 𝟏, 𝟑 = 𝟐 ∙ 𝟒 ∙ 𝟑 − 𝟐 ∙ 𝟑 =
𝟏𝟖 čísel
Řešení úlohy 2
b) Sudá čtyřciferná čísla končí na číslice 0, 2, 8, ale nesmí začínat
nulou, schematicky tuto situaci nejprve opět znázorníme:
_ _ _ 0 nebo _ _ _ 2 - 0 _ _ 2 nebo _ _ _ 8 – 0 _ _ 8
Pomocí variací lze psát:
𝟑 ∙ 𝐕 𝟑, 𝟒 − 𝟐 ∙ 𝐕 𝟐, 𝟑 = 𝟑 ∙ 𝟒 ∙ 𝟑 ∙ 𝟐 − 𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 𝟐 = 𝟕𝟐 − 𝟏𝟐
= 𝟔𝟎
Existuje 60 čísel.
obr. 2
Úloha 3
Kolik různých:
a) přirozených čísel menších než 300,
b) přirozených čísel větších než 5000
lze sestavit z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5 tak, že se
žádná číslice neopakuje?
obr. 3
Řešení úlohy 3
ad a) Přirozená čísla menší než 300 z číslic 0,1,2,3,4,5 bez opakování:
a1) trojciferná čísla začínající na číslice 1 nebo 2:
1 _ _ nebo 2 _ _ ,
ve variacích zapisujeme: 𝟐 ∙ 𝑽 𝟐, 𝟓 = 𝟐 ∙ 𝟓 ∙ 𝟒 = 40 čísel
a2) dvojciferná čísla nesmí začínat nulou, tzn. začínají na některou
z číslic 1,2,3,4,5: 1 _ nebo 2 _ nebo 3 _ nebo 4 _ nebo 5 _,
ve variacích zapisujeme: 𝟓 ∙ 𝑽 𝟏, 𝟓 = 𝟓 ∙ 𝟓 = 𝟐𝟓 čísel
a3) jednociferná přirozená čísla z daných číslic jsou kromě nuly
všechna ostatní čísla (1,2,3,4,5), tj. celkem 5 čísel
Celkem lze tedy sestavit 40 + 25 +5 = 70 různých přirozených čísel
menších než 300.
Řešení úlohy 3
ad b) Přirozená čísla větší než 5 000 z číslic 0,1,2,3,4,5:
obr. 2
b1) čtyřciferná přirozená čísla musí začínat na číslici 5:
5 _ _ _ (n=5, k=3)
Ve variacích lze psát: 𝑽 𝟑, 𝟓 = 𝟓 ∙ 𝟒 ∙ 𝟑 = 𝟔𝟎 čí𝒔𝒆𝒍
b2) pěticiferná přirozená čísla nesmí začínat na číslici nula:
_____ - 0____
(n=6,k=5) – (n=5,k=4)
Ve variacích lze psát:
𝑽 𝟓, 𝟔 − 𝑽 𝟒, 𝟓 = 𝟔 ∙ 𝟓 ∙ 𝟒 ∙ 𝟑 ∙ 𝟐 − 𝟓 ∙ 𝟒 ∙ 𝟑 ∙ 𝟐 = 𝟕𝟐𝟎 − 𝟏𝟐𝟎 = 𝟔𝟎𝟎 čí𝒔𝒆𝒍
b3) šesticiferná přirozená čísla nesmí začínat nulou:
______-0_____
(n=6,k=6) – (n=5,k=5)
Ve variacích lze psát:
𝑽 𝟔, 𝟔 − 𝑽 𝟓, 𝟓 = 𝑷 𝟔 − 𝑷 𝟓 = 𝟔! − 𝟓! = 𝟕𝟐𝟎 − 𝟏𝟐𝟎 = 𝟔𝟎𝟎 čí𝒔𝒆𝒍
Celkem tedy existuje 60+600+600 = 1260 různých přirozených čísel
větších než 5000.
Úloha 4
Z kolika prvků lze vytvořit 30 variací 2. třídy bez
opakování ?
obr. 3
Řešení úlohy 4
Jedná se o variace 2.třídy bez opakování, tj. k=2, n=?.
Počet těchto variací má být 30.
Lze tedy psát: 𝑽 𝟐, 𝒏 = 𝟑𝟎 (podmínkou je: n ≥ 2, n∈ 𝑵)
Podle variačního vzorce přepíšeme:
𝑽 𝟐, 𝒏 =
𝒏!
𝒏−𝟐 !
= 𝒏 ∙ (𝒏 − 𝟏) = 𝟑𝟎
𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟏 = 𝟑𝟎
𝒏𝟐 − 𝒏 = 𝟑𝟎
𝒏𝟐 − 𝒏 − 𝟑𝟎 = 𝟎
Pomocí Viétových vzorců zapisujeme: 𝒏𝟏 ∙ 𝒏𝟐 = −𝟑𝟎
𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 = 𝟏
Vyhovuje dvojice kořenů: 𝒏𝟏 = 𝟔; 𝒏𝟐 = −𝟓.
Pro 𝒏𝟐 = −𝟓 nejsou variace definovány (n ≥ 2), pro kořen 𝒏𝟏 = 𝟔
provedeme zkoušku.
Řešení úlohy 4
obr. 2
Zkouška pro kořen : 𝒏𝟏 = 𝟔
𝑳 𝟔 = 𝑽 𝟐, 𝟔 = 𝟔 ∙ 𝟓 = 𝟑𝟎
𝑷 𝟔 = 𝟑𝟎
𝑳 𝟔 =𝑷 𝟔
Kořen 𝒏𝟏 = 𝟔 vyhovuje.
Počet prvků pro vytvoření třiceti variací 2.třídy bez opakování je 6.
Úloha 5
Zvětší-li se počet prvků o 2, zvětší se počet variací
2. třídy z těchto prvků vytvořených o 34. Kolik
je prvků ?
obr. 3
Řešení úlohy 5
Jedná se o variace 2. třídy bez opakování: 𝒌 = 𝟐, 𝒏 =?
Můžeme tedy sestavit rovnici:𝑽 𝟐, 𝒏 + 𝟐 = 𝑽 𝟐, 𝒏 + 𝟑𝟒
Podmínky jsou: 𝒏 ≥ 𝟐,
𝒏 + 𝟐 ≥ 𝟐 → 𝒏 ≥ 𝟎.
Z obou podmínek plyne, že: 𝒏 ≥ 𝟐, 𝒏𝝐𝑵
Při řešení rovnice dostaneme:
𝒏 + 𝟐 ∙ 𝒏 + 𝟏 = 𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟏 + 𝟑𝟒
𝒏𝟐 + 𝟑𝒏 + 𝟐 = 𝒏𝟐 − 𝒏 + 𝟑𝟒
𝟒𝒏 = 𝟑𝟐
𝒏=𝟖
Pro kořen 𝒏 = 𝟖 provedeme zkoušku.
obr. 2
Řešení úlohy 5
Zkouška pro kořen 𝒏 = 𝟖 :
𝑳 𝟖 = 𝑽 𝟐, 𝟏𝟎 = 𝟏𝟎 ∙ 𝟗 = 𝟗𝟎
𝑷 𝟖 = 𝑽 𝟐, 𝟖 + 𝟑𝟒 = 𝟖 ∙ 𝟕 + 𝟑𝟒 = 𝟓𝟔 + 𝟑𝟒 = 𝟗𝟎
𝑳 𝟖 =𝑷 𝟖
Kořen 𝒏 = 𝟖 vyhovuje.
Prvků je 8.
Úloha 6
Zmenší-li se počet prvků o 4, zmenší se počet
variací druhé třídy z těchto prvků vytvořených
třikrát. Kolik je prvků ?
obr. 3
Řešení úlohy 6
Jedná se opět o variace 2.třídy bez opakování: 𝒌 = 𝟐, 𝒏 =?
Sestavíme tedy rovnici: 𝟑 ∙ 𝑽 𝟐, 𝒏 − 𝟒 = 𝑽 𝟐, 𝒏
Podmínky jsou: 𝒏 − 𝟒 ≥ 𝟐 → 𝒏 ≥ 𝟔
𝒏≥𝟐
Z obou podmínek plyne:𝒏 ≥ 𝟔, 𝒏 ∈ 𝑵
Při řešení rovnice dostaneme:
𝟑∙ 𝒏−𝟒 ∙ 𝒏−𝟓 =𝒏∙ 𝒏−𝟏
𝟑 ∙ (𝒏𝟐 − 𝟗𝒏 + 𝟐𝟎) = 𝒏𝟐 − 𝒏
𝟑𝒏𝟐 − 𝟐𝟕𝒏 + 𝟔𝟎 = 𝒏𝟐 − 𝒏
𝟐𝒏𝟐 − 𝟐𝟔𝒏 + 𝟔𝟎 = 𝟎/: 𝟐
𝒏𝟐 −𝟏𝟑𝒏 + 𝟑𝟎 = 𝟎
Na dořešení kvadratické rovnice využijeme Viétovy vzorce:
𝒏𝟏 ∙ 𝒏𝟐 = 𝟑𝟎; 𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 = 𝟏𝟑 → 𝒏𝟏 = 𝟏𝟎; 𝒏𝟐 = 𝟑 - nevyhovuje
podmínce
Řešení úlohy 6
Pro kořen 𝒏 = 𝟏𝟎 provedeme zkoušku.
Zkouška pro kořen 𝒏 = 𝟏𝟎 :
𝑳 𝟏𝟎 = 𝟑 ∙ 𝑽 𝟐, 𝟔 = 𝟑 ∙ 𝟔 ∙ 𝟓 = 𝟗𝟎
𝑷 𝟏𝟎 = 𝑽 𝟐, 𝟏𝟎 = 𝟏𝟎 ∙ 𝟗 = 𝟗𝟎
𝑳 𝟏𝟎 = 𝑷(𝟏𝟎)
Kořen 𝒏 = 𝟏𝟎 vyhovuje.
Prvků je 10.
obr. 2
Úloha 7
Z kolika prvků lze vytvořit sedmkrát více variací
třetí třídy než variací druhé třídy ?
obr. 3
Řešení úlohy 7
Jedná se o variace 2.třídy resp. 3.třídy: 𝒌 = 𝟐𝒓𝒆𝒔𝒑. 𝒌 = 𝟑, 𝒏 =?
Sestavíme rovnici: 𝟕 ∙ 𝑽 𝟐, 𝒏 = 𝑽(𝟑, 𝒏)
Podmínky jsou: 𝒏 ≥ 𝟐
𝒏≥𝟑
Z podmínek plyne: 𝒏 ≥ 𝟑; 𝒏 ∈ 𝑵
Po úpravě podle variačního vzorce následně řešíme rovnici:
𝟕 ∙ 𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟏 = 𝒏 ∙ (𝒏 − 𝟏) ∙ (𝒏 − 𝟐)/: 𝒏(𝒏 − 𝟏)
𝟕=𝒏−𝟐
𝟗=𝒏
Pro kořen 𝒏 = 𝟗 provedeme zkoušku.
Řešení úlohy 7
Zkouška pro kořen 𝒏 = 𝟗:
𝑳 𝟗 = 𝟕 ∙ 𝑽 𝟐, 𝟗 = 𝟕 ∙ 𝟗 ∙ 𝟖 = 𝟓𝟎𝟒
𝑷 𝟗 = 𝑽 𝟑, 𝟗 = 𝟗 ∙ 𝟖 ∙ 𝟕 = 𝟓𝟎𝟒
Kořen 𝒏 = 𝟗 vyhovuje.
Prvků je 9.
obr. 2
POUŽITÁ LITERATURA
1) HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z
matematiky pro střední odborné školy, střední
odborná učiliště a nástavbové studium. Havlíčkův
Brod: Prometheus, spol. s. r. o., 2000, s. 197.
ISBN 80-7196-165-5.
CITACE ZDROJŮ
Použité obrázky:
1) Search results - "math" - math 4 u color - Public Domain Clip Art [online].
[cit. 2012-09-20]. Dostupné pod licencí Public domain z:
http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=search&cat=0&pos=1
2) People - Stick Figures - Stick sm 010 - Public Domain Clip Art [online].
[cit. 2012-09-20]. Dostupné pod licencí Public domain z:
http://www.pdclipart.org/albums/People__Stick_Figures/Stick_sm_010.png
3) People - Stick Figures - Stick sm 005 - Public Domain Clip Art [online].
[cit. 2012-09-20]. Dostupné pod licencí Public domain z:
http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=93&pos=32
Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint
2010.
Konec prezentace.
Děkuji Vám za pozornost.
Mgr. Daniel Hanzlík