Transcript T - Universidad de Puerto Rico en Bayamón
Mate 3041 Universidad de Puerto Rico Recinto de Bayamón Prof. Juan L. Vélez Prof. José A. Toro Clarke
Proposiciones y Cuantificadores
Proposiciones Definición: Una oración declaratoria (o afirmación) que es falsa o verdadera, pero no ambas, se llama proposición.
Oraciones exclamativas, interrogativas o imperativas por naturaleza no son proposiciones.
Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
Ponce es la capital de Puerto Rico Proposición 2 + 2 = 3 Proposición ¿Qué hora es?
No es una Proposición; oración interrogativa x + y = z No es una Proposición; desconocemos x, y, z
Ejemplos:
5.
Tome una taza de café No es una Proposición; oración imperativa Nota: “Tomé una taza de café”. Si es una proposición 6.
Alex Rodríguez es mejor jugador de beisbol que Dereck Jeter.
No es una Proposición
Proposiciones Compuestas
Definición: Una proposición es compuesta cuando se forma por la combinación de dos o más proposiciones usando conectivos lógicos.
Conectivos y sus respectivos símbolos tales como:
y
,
o
,
negación
,
si
...
entonces
,
si y solo si
Ejemplos de proposiciones compuestas
Leo el nuevo Día y leo el Vocero.
Compuesta; conectivo y Si él lo dijo, entonces es cierto.
Compuesta; conectivo si…entonces Mañana será Domingo.
No es compuesta Nota: “Mañana no será Domingo”.
Aunque no consta de dos proposiciones, para conveniencia se considera compuesta ya que su valor de verdad depende de una proposición diferente. “Mañana será Domingo”.
Ejemplos de proposiciones compuestas
La firma de abogados que atendió el caso se llamó Goldman Antonetti y Cordóva, P.S.C
No es compuesta; y no es un conectivo en este caso por que y es parte del nombre de la firma de abogados
Símbolos de la Lógica Matemática
p
q
;
p o q
,
disyunción p y q
: proposición compuesta que es falsa cuando ambas
p y q
son falsas y verdadera en otro caso.
p
F
q
F
p
q
F
p
q
;
p y q
,
conjunción p y q
: proposición compuesta que es verdadera cuando tanto como
p y q
son verdadera y falsa en otro caso.
p
T
q
T
p
q
T
Símbolos de la Lógica Matemática
p
;
no p
,
negación de p
: proposición formada al escribir “no es el caso que” o “es falso que” antes de
p
o al insertar la palabra “
no
” de manera adecuada en
p
.
p
T
p
F
p
q
;
“si p entonces q”
: proposición compuesta condicional la cual es falsa cuando
p
es verdadera y
q
es falsa, y verdadera en otro caso
p
T
q
F
p
q
F
Símbolos de la Lógica Matemática
p
q
;
“p si y sólo si q”
: proposición compuesta bicondicional la cual es verdadera cuando
p
y
q
tienen los mismos valores de verdad y falsa en caso contrario.
p
q
p
T F
q
T F T T
P
Q
;
P y Q
Q
q
1 son lógicamente equivalentes: ,
q
2 ,
q
3 ,...,
q n
P
p
1 ,
p
2 ,
p
3 ,...,
p n
equivalentes si tienen tablas de verdad idénticas. A esto es lo que se le conoce como una tautología.
Símbolos de la Lógica Matemática
“por lo tanto”
“para todo”
Cuantificadores
“existe”
Cuantificadores universales: todo, cada uno, todos, ninguno Cuantificadores existenciales: hay, al menos uno
Uso de conectivos lógicos
Sean
p q
que representa “Hoy estamos a 80 F”, que representa “Hoy es martes”.
Transcriba cada proposición simbólica en palabras 1 )
p
q
: Hoy estamos a 80 F o es martes.
2 )
p
q
: 3 )
p
q
: Hoy no estamos a 80 F y es martes.
No es el caso que hoy estemos a 80 F o que sea martes.
Ésta proposición se puede traducir como “ni
p
ni
q
” o
p
q
Uso de conectivos lógicos
Sean
p q
que representa “Hoy estamos a 80 F”, que representa “Hoy es martes”.
Transcriba cada proposición simbólica en palabras 4 )
p
q
: No es el caso que hoy estemos a 80 F y sea martes.
p
q
Uso de conectivos lógicos
Ejemplo: Proporcione la negación de cada desigualdad sin usar los símbolos o .
1 )
p
q
;
p
q
2 ) 7
x
11
y
77 ; 7
x
11
y
77
Orden de prioridad de los conectivos lógicos
Se usará generalmente paréntesis para especificar el orden en que se aplicarán los operadores lógicos.
De no haber paréntesis, se adopta el siguiente orden de prioridad.
Conectivo
Prioridad
1 2 3 4 5
Tablas de verdad
Una proposición lógica con 2
n n
su tabla de verdad.
p
T F
p
F T Nota:
p
proposición (1 componente): 2 1 2 2 2 2 3 4 8 renglones.
renglones. renglones.
Tablas de verdad
T T F
F
p q
T F T
F
p
q
T T T
F disyunción p y q
: proposición compuesta que es falsa cuando ambas
p y q
son falsas y verdadera en otro caso.
2 2 4 renglones
T
T F F
p q
T
F T F
p
q
T
F F F
conjunción p y q
: proposición compuesta que es verdadera cuando tanto como
p y q
son verdadera y falsa en otro caso.
Tablas de verdad
T
T
F F
p q
T
F
T F
p
q
T
F
T T
“si p entonces q”
: proposición compuesta condicional la cual es falsa cuando
p
es verdadera y
q
es falsa, y verdadera en otro caso
T
T F
F
p q
T
F T
F
p
q
T
F F
T
“p si y sólo si q”
: proposición compuesta bicondicional la cual es verdadera cuando
p
y
q
tienen los mismos valores de verdad y falsa en caso contrario.
Tautología y Contradicción
Una proposición compuesta
P
P
p
1 ,
p
2 ,
p
3 ,...,
p n
Proposiciones elementales Se denomina tautología si es verdadera para toda asignación de verdad de y contradicción si es falsa.
p
p p
p p
p
T F
Tautología y Contradicción
Una proposición compuesta
P
P
p
1 ,
p
2 ,
p
3 ,...,
p n
Proposiciones elementales Se denomina tautología si es verdadera para toda asignación de verdad de y contradicción si es falsa.
p
p p
p p
p
T F F T
Tautología y Contradicción
Una proposición compuesta
P
P
p
1 ,
p
2 ,
p
3 ,...,
p n
Proposiciones elementales Se denomina tautología si es verdadera para toda asignación de verdad de y contradicción si es falsa.
p
p p
p p
p
T F F T T T
Tautología y Contradicción
Una proposición compuesta
P
P
p
1 ,
p
2 ,
p
3 ,...,
p n
Proposiciones elementales Se denomina tautología si es verdadera para toda asignación de verdad de y contradicción si es falsa.
p
T F
p
F T
p
p
T T
p
p
F F
p
p p
p
Es una tautología Es una contradicción
Proposiciones equivalentes
p
q
p
q
p
q
p
q p
T T F F
q
T F T F
Proposiciones equivalentes
p
q
p
q
p
q p
T T F F
q
T F T F
p
q
T T T F
Proposiciones equivalentes
p
T T F F
q
T F T F
p
q
T T T F
p
q
F F F T
p
q
p
q
Proposiciones equivalentes
p
T T F F
q
T F T F
p
q
T T T F
p
q
F F F T
p
F F T T
q
p
q
Proposiciones equivalentes
p
T T F F
q
T F T F
p
q
T T T F
p
q
F F F T
p
F F T T
q
F T F T
p
q
Proposiciones equivalentes
p
T T F F
q
T F T F
p
q
T T T F
p
q
F F F T
p
F F T T
q
F T F T
p
q
F F F T
Proposiciones equivalentes
p
T T F F
q
T F T F
p
q
T T T F
p
q
F F F T
p
F F T T
q
F T F T
p
q
F F F T
entonces
p
q
p
q
Leyes del álgebra de proposiciones 1.
2.
Ley de idempotencia
p
Ley de identidad
p
p F
p
,
p
,
p
p p
T
p p
Prueba: Suponga que
p
es verdadero, entonces
p T
F F
T p
Suponga que
p
es falso, entonces
p
F F
F F p
Leyes del álgebra de proposiciones 3.
Ley dominante
p
T
T
,
p
F
F
Prueba:
p
T
T
T
T
p F
F
T F p
T
T
F
F
p F
F
F F
Leyes del álgebra de proposiciones 1.
Ley de complemento 2.
Ley conmutativa
p
p
T p
p
F p
q
q
p p
q
q
p
3.
Ley asociativa
p
q
r
p
q
r
p
q
r
p
q
r
Leyes del álgebra de proposiciones 4.
Ley distributiva
p
q
r p
q
r p
q p
q p
r
p
r
5.
Ley de absorción 6.
Ley de De Morgan
p
p
q
p
p
q
p p
p
q
q
p
p
q
q
p