Transcript Взаимодействие лазерного излучения с веществом. 1 часть.

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ С
ВЕЩЕСТВОМ
I часть (осенний семестр) Лекционный курс




























Предисловие
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И
ПРОЦЕССЫ ПРИ
ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ С
ВЕЩЕСТВОМ
1.1. Основные свойства и характеристики лазерного
излучения
1.2. Основные направления существующих и
перспективных
Исследований
2. МЕХАНИЗМЫ ПОГЛОЩЕНИЯ И ДИССИПАЦИИ
ЭНЕРГИИ В ВЕЩЕСТВЕ
2.1. Оптические процессы в металлах
2.2. Способы описания взаимодействия излучения
с веществом
2.3. Макроописание оптических характеристик вещества
2.4. Особенности распространения световых волн в
анизотропных средах
2.5. Дисперсионные соотношения
2.6. Оптические процессы в полупроводниках
2.6.1. Оптические константы полупроводников
2.6.2. Полоса «собственного» оптического поглощения
2.6.3. Влияние температуры, давления, электрического и
магнитного полей на оптическое поглощение в основной
полосе
2.6.4. Экситонное поглощение света
2.6.5. Примесное поглощение
2.6.6. ИК-поглощение глубокими уровнями
2.6.7. Инфракрасное поглощение носителями тока
2.6.8. Влияние электрически неактивных примесей на
ИК-поглощение в полупроводниках
2.6.9. Поглощение света при возбуждении колебаний
кристаллической решетки






























2.7. Вынужденное рассеяние света
2.7.1. Вынужденное поляритонное рассеяние
2.7.2. Вынужденное комбинационное рассеяние (ВКР)
2.8. Кинетика фотовозбуждения полупроводника
3. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЭМВ ОПТИЧЕСКОГО ДИАПАЗОНА
3.1. Основные свойства поверхностных ЭМВ, структура и
распределение полей
3.2. Волновое уравнение
3.3. Распространение излучения в анизотропных средах
3.4. Эффект Гуса  Хэнхэна
3.5. Поверхностные плазмон-поляритоны на границе
металла с диэлектриком
3.6. Методы возбуждения поверхностных волн
3.6.1. Призменный элемент связи
3.6.2. Решеточные элементы связи
3.6.3. Вопросы конструирования призменных элементов связи
3.6.4. Другие виды элементов связи
4. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА НАГРЕВА МАТЕРИАЛОВ ЛИ И
СОПРОВОЖДАЮЩИЕ ТЕРМИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ
4.1.Общая характеристики нагревания ЛИ
4.2. Теплопроводностные механизмы отвода тепла. Уравнение
теплопроводности, начальное и граничные условия
4.3. Термические эффекты, сопровождающие лазерный нагрев
4.4. Диффузионно-химические явления и фотохимические
методы
4.5. Эмиссионные процессы
4.6. Основные предпосылки для построения квантовой
теории фотоэффекта
4.7. Фотоэлектрический эффект под действием ЛИ
4.8. Термоэлектронная эмиссия
4.9. Особенности действие ЛИ в жидкости и в вакууме
4.10. Лазерное плавление поверхности
ПЭПиУ II часть
2
Требования ГОС к уровню освоения дисциплины
Взаимодействие лазерного излучения с веществом
Студент считается освоившим содержание дисциплины, если он:
 знает общие понятия и определения, используемые при описании
процессов взаимодействия ЛИ с веществами;
 знает основные свойства и параметры ЛИ;
 знает перспективные направления исследований в области применения
ЛИ в науке, технике и технологиях;
 умеет оценить результаты влияния ЛИ заданной интенсивности и
частоты на различные материалы;
 может пояснить и теоретически описать механизмы поглощения и
диссипации энергии ЛИ;
 освоил базовые знания в области применения ЛИ в технологических,
телекоммуникационных, исследовательских и прикладных областях;
 получил информацию о традиционных и прогрессивных техниках и
технологиях применения ЛИ;
 получить навыки расчета и измерения параметров нагрева, плавления,
возгонки, испарения и пробоя различных сред;
 получил базовые знания об основах автоматизации технологических
процессов, использующих ЛИ.
ПЭПиУ II часть
3
Расписание занятий по курсу
гр. Э-46, осень 2009 г.
I и II недели
Лекции
Понедельник, 2 пара, Е-202.
Консультации Пятница, 4 пара с 6
недели

Модуль 1:
Посещение лекций
Решение типовых задач

Экзамен
Теоретический материал
Решение задач
Допуск к экзамену
Сданные модули


Зачтены оба модуля
Модуль 2:
Посещение лекций
Решение типовых задач
ПЭПиУ II часть
4
Оценка в баллах за изучение I части
дисциплины
«Взаимодействие лазерного излучения с веществом»
Содержание
Балл
Сроки сдачи
1
Посещение лекционных
занятий и консультаций
10
В течение семестра
2
Решение типовых задач
10
Срок сдачи – 7-я неделя
3
Модуль 1-й
20
4
Посещение лекционных
занятий и консультаций
10
В течение семестра
5 Решение типовых задач
25
Срок сдачи – 15-я неделя
6
Модуль 2-й
35
ВСЕГО:
55
ПЭПиУ II часть
5
Лекция № 1
Переходы тел в свет и света в тела подчиняются законам
природы, которая, как кажется, забавляется этими превращениями».
Исаак Ньютон, трактат «Оптика» 1704 г


Изобретение лазеров (1961 год) привело к появлению новых научных
направлений, основа которых - квантовая электроника, посвящена
изучению процессов генерации, усиления и преобразования
электромагнитных колебаний в оптическом диапазоне на основе
квантовых явлений. До 1960 года когерентное излучение, как его понимают
сегодня, не было ни обнаружено в природе, ни создано экспериментально,
поэтому только с 1961 года и начинаются исследования уникальных
свойств и особенностей его воздействия на различные материалы, что и
является предметом настоящего курса.
Взаимодействие лазерного излучения (ЛИ) с веществом охватывает
как элементарные квантовые процессы, так и микроскопические
явления, проявляющиеся при воздействии ЛИ на поглощающие или
прозрачные среды. К макроскопическим явлениям относятся эффекты
нелинейной оптики (пробой газов под действием сфокусированного
лазерного излучения), а также динамические эффекты, возникающие при
воздействии мощных потоков ЛИ на конденсированные вещества.
ПЭПиУ II часть
6
Интерес к этим явлениям вызван необходимостью изучения поведения
различных веществ в условиях сильных электромагнитных полей (ЭМП) и
высоких плотностей потоков излучения, а также поиска и исследования
методов защиты от этих излучений.
ЛИ взаимодействует с веществом в трех группах процессов:
при генерировании ЛИ, распространении излучения в среде и
непосредственном воздействии излучения на вещество.
Такая классификация является достаточно условной, так как физика
различных процессов взаимодействия ЛИ с веществом часто неразделима.
Взаимодействие ЛИ различных участков электромагнитного
спектра с веществом различно, а если учесть многообразие веществ,
то число возможных взаимодействий следует признать весьма
большим. Они связаны как с состоянием вещества, так и с природой
излучения. Это и является предметом изучения современной оптики и нашего
курса, базирующегося на крупных открытиях, заложивших основы физики
наших дней, таких, как квантовая природа излучения, теория строения атома и
спектральных линий, теория парамагнетизма, эффект Рамана и объяснение
сил молекулярного взаимодействия.

При воздействии ЛИ на вещество проявляются различные
эффекты взаимодействия: теплопроводность, конвекция,
переизлучение, изменение агрегатного состояния, образование
ударных и звуковых волн в веществе, его ионизация, различные
фотоэлектрические, фотохимические процессы и ряд других.

ПЭПиУ II часть
7




Поскольку объект исследований – само взаимодействие ЛИ с
веществом, то целесообразно природу вещества рассматривать
с точки зрения его восприимчивости к излучению и, кроме того,
определять взаимосвязь свойств вещества с оптическими
процессами.
Понятно, что характер взаимодействия существенно
зависит от режимов работы лазеров (непрерывный, импульсный
периодический, импульсный с модуляцией добротности, генерирование
одиночного миллисекундного импульса, генерирование одиночного
пико- и фемтосекундного импульса).
А сами вопросы взаимодействия ЛИ с веществом
охватывают широкий круг явлений взаимодействия ЭМП с
проводниками, полупроводниками и диэлектриками их изучение и
использование позволяет исследовать строение различных
веществ и получать более полное представление о природе их
свойств, что важно для технического применения различных
веществ и материалов.
Развитие основных представлений об оптических свойствах
веществ по классической электронной теории связано с именами Г.А.
Лорентца, П. Друде, С. Зинера, П.Л. Кронига, и др., а квантовая теория
оптических явлений в металлах развивалась П.Л. Кронигом, В.
Фуджиокой, Н. Фрёлихом, А. Вильсоном, Н.Ф. Моттом и Е. Джонсоном,
Г. Бетен, Т. Муто, М.И. Сергеевым, М.Г. Черниховским и др.
ПЭПиУ II часть
8
РАЗДЕЛ 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ ПРИ
ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ



Изучение процессов взаимодействия происходило в
основном в экспериментальных исследованиях, где и были
обнаружены уникальные свойства как когерентного излучения, так и
различных материалов.
Теоретические работы основаны на рассмотрении моделей,
которые отражают лишь отдельные стороны процесса и не
описывают в полной мере ни один реальный эксперимент. при
плотностях, недостаточных для разрушения поверхности
поглощающего тела. Сегодня достаточно подробно рассмотрены
и изучены: процессы эмиссии электронов с поверхности (в
которых основной вклад в наблюдаемый ток вносит термоэлектронная
эмиссия); фотоэлектрический эффект (который для красного и ИКсвета является многоквантовым и здесь играет вторичную роль);
определены условия, при которых эффекты фото- и
термоэмиссии наблюдаются раздельно.
Известно, что с ростом плотности потока ЛИ поверхность
испытывает разогрев, приводящий (в случае металлов) к
плавлению и далее к испарению, и в настоящее время точно
определены граница критической плотности излучения для
таких переходов.
ПЭПиУ II часть
9


Поток атомов испаряющихся в процессе воздействия мощного потока
света, конденсируется обратно на поверхность металла, с которой
происходит испарение (и в случае, когда коэффициенте прилипания, равен
единице, составляет около 20 % от полной массы потока). Анализ продуктов
разрушения показывает, что значительную долю в продуктах разрушения
составляет жидкий металл. Отдельные вопросы данного процесса
описываются теоретическими соотношениями, из которых следует,
что после перехода процесс движения стенок и дна лунки выходит на
некоторый предельный режим, при котором лунка растет без изменения
геометрической формы, что хорошо соответствует экспериментальным
данным.
При переходе к ЛИ с высокой плотностью, качественное различие
заключается в том, что скорость движения фронта разрушения не
определяется кинетикой фазового перехода, а зависит только от
скорости подвода энергии к твердому телу. Продуктами разрушения
экранируется разрушаемая поверхность, и главная часть энергии ЛИ
переходит во внутреннюю и кинетическую энергию расширяющейся
плазмы. Граница между «тепловым механизмом» (когда кинетическая
энергия движения атомов значительно меньше теплоты испарения) и
«гидродинамическим» (когда основная часть поглощенной энергии
превращается в кинетическую) определяется свойствами облучаемых
веществ и лежит в области
 Q ~ 109…1010 Вт/см2.
ПЭПиУ II часть
10



Анализ процесса разогрева плазмы и возможных
механизмов передачи энергии (проведен в связи с изучением
пробоя газов) показал, что граница нагретой области
распространяется в холодном газе в виде своеобразной
тепловой волны с различными механизмами передачи
энергии фронту. При этом волна двигается от области,
где плотность излучения максимальна и произошел пробой
газа. Определены условия пробоя и вычислены критические
напряженности поля при лавинном механизме ионизации.
Теоретические исследования воздействия ЛИ проведены
в основном, для двух предельных случаев (сравнительно
малых и очень больших плотностей потока излучения). Последнее
связано со специфической особенностью лазерных
экспериментов: в режиме свободной генерации (тепловой
механизм разрушения); в режиме модулированной
добротности (внутренняя энергия значительно превышает
удельную теплоту испарения).
Недостаточно исследованным остается явление
отражения света от нагретой поверхности твердого или
«жидкого» тела. Сложность состоит в том, что
коэффициент отражения существенно зависит от условий,
реализуемых на границе фаз, которые могут изменяться за
время действия импульса
ПЭПиУ II часть
11
1.1 Основные свойства и характеристики лазерного
излучения



Как известно, излучение некогерентных источников
является результатом генерации колебаний огромного
множества атомов (ионов, молекул, при этом фаза, частота и
амплитуда колебаний, определяемые излучениями отдельных атомов,
хаотически меняются (по случайному закону) с большой скоростью.
Поэтому излучение обычного источника света более похоже на
статистический шум, чем на излучение какой-то определенной
частоты и годится лишь для осуществления примитивной
световой сигнализации.
ЛИ создается одновременным излучением множества
атомов и, сосредоточенная в оптическом резонаторе энергия
генерируется таким образом, что вновь возникающее
излучение оказывается в фазе с уже распространившимся в
пространстве. Стимулированное излучение в активной среде
объединяет возникающие в разное время единичные излучения,
и результирующее выходное излучение определяется как
когерентное.
Таким образом, пространственная когерентность волн
обеспечивает получение концентрации энергии (в поперечном
сечении лазерного луча), а временная – позволяет использовать
все преимущества монохроматического колебания для
передачи информации с помощью передающих и приемных
устройств систем лазерной связи.
ПЭПиУ II часть
12
Оптический диапазон
Радио-, СВЧ- и КВЧдиапазоны
 =100 км
0,6 мм 0,3 мм
0,8
0,1 6 нм
мкм 0,4 мкм
мкм
ПЭПиУ II часть
0,01
нм
Космические
лучи
Область
гаммаизлучения
Область
рентгеновского
излучения
Ультрафиолетовая
область
Видимая область
излучения
инфракрасного
Диапазон излучения
существующих лазеров
Область

ЛИ характеризуется рядом уникальных свойств: большой
интенсивностью (мощностью) потока электромагнитной энергии
(ЭМЭ), высокой монохроматичностью, значительной степенью
временной и пространственной когерентности. Вследствие этого
оно отличается от других источников ЭМЭ очень узкой
направленностью своего распространения.
Диапазон длин волн, генерируемых различными типами лазеров,
простирается (рис. 1.1) от УФ-области спектра до далекой ИК
(примерно 100 – 70 мкм), причем с каждым годом этот диапазон
расширяется.
Субмиллиметровая
область

0,0005
нм
13




В дальнейшем будем рассматривать преимущественно
характеристики когерентных источников (с длинами волн от 0,4
до 10,6 мкм), генерирующих излучение с достаточно высокими
энергетическими параметрами, что определяет эффективность
использования лазеров в технологических целях [2].
Одной из основных характеристик ЛИ является
монохроматичность, определяющая диапазон частот (или длин
волн), который занимает излучение, т.е. ширину его спектра.
Степень монохроматичности μ для некоторой спектральной
линии с длиной волны λ0 (частотой 0) определяется
соотношением [3]
 μ = Δλ/λ0 = Δ/0,
(1.1)
Ширина спектра ЛИ зависит от числа одновременно возбужденных
мод резонатора, при этом минимальную ширину получаем в случае
генерации только одной моды, что необходимо, например, для работы
лазеров в системах телекоммуникации и связи (где требуется минимум
шума и высокая спектральная чистота излучения, для уплотнения
сигналов в каналах связи).
Теоретически идеальная одномодовая генерация для гелийнеонового лазера может иметь ширину спектральной линии,
равной 10-3 Гц.
ПЭПиУ II часть
14




Реальная монохроматичность ЛИ на несколько порядков хуже
вследствие флуктуаций механического характера, теплового ухода и
изменений, обусловленных эффектами затягивания процесса генерации
(спектральная ширина линии генерации гелий-неонового лазера
достигает 2 Гц).
Поскольку задача теоретического определения монохроматичности (ширины спектра ЛИ) в настоящее время полностью не
решена, то спектральная ширина ЛИ обычно измеряется
экспериментально. Несмотря на сказанное выше, ОКГ считают
источниками монохроматического излучения, характеризуемыми
одной частотой (или длиной волны). Но монохроматичность тесно
связана с когерентностью (пространственной и временной), которая,
в свою очередь, связана с корреляцией характеристик поля
излучения, образованного в одно и то же время пространственноразнесенными источниками,  пространственная когерентность;
или одним и тем же источником, но в разные моменты времени 
временная когерентность.
Если в результате сложения полей результирующая
интенсивность I в точке r (в зависимости от разности фаз) принимает
любые значения от
2
2
[
I

I
]
[
I

I
]

до
,
1
2
1
2
то источники когерентны. Полностью некогерентные источники
будут в случае, когда интенсивность I равна сумме отдельных
интенсивностей: I1 + I2.
ПЭПиУ II часть
15





Именно свойства пространственной когерентности ЛИ
позволяют создавать высокоэффективные мощные лазерные
устройства с огромной выходной мощностью излучения.
Когерентне излучение ОКГ теоретически можно
сфокусировать в пятно диаметром, равным длине волны ЛИ, что
приводит к колоссальной концентрации энергии.
В противоположность ЛИ излучение обычных источников света
удается сфокусировать лишь до размеров излучающего тела, при
этом уровень концентрации энергии значительно ниже.
Для случая временной когерентности выражение
 lког = ског
(1.2)
определяет связь между характеристиками временной и
пространственной когерентности источников (т.е. если разность
хода лучей I1 и I2 превышает некоторое значение параметра lког,
называемого длиной когерентности, то корреляция между
характеристиками ЭМП в различные моменты времени отсутствует),
а величины: с  скорость света; ког  время когерентности (в течение
которого разность фаз колебаний источников не успевает измениться
на величину, сравнимую с ), которое связано с шириной спектра
излучения Δλ (т.е. со степенью монохроматичности) соотношением
 ког ~Δλ ~ μ.
(1.3)
ПЭПиУ II часть
16


Значения времени когерентности ког ЛИ достигает
величин 102 – 101 с, в то время как для обычных источников
оно равно 108 с.
Свойства когерентности излучения принято описывать
функцией когерентности, которая представляет собой
среднее значение по времени от произведения двух компонент
ЭМП в точках r1 и r2, т.е.
T




1
*
V(r
,
t

τ)V
(r2 , t)dt,
Г(r1, r2, ) = lim
1
T  2π 
T
(1.4)

V(r, t) = A (r, t)cos [(r, t)  t],
(1.5)
где A (r, t) и  (r, t)  соответственно амплитуда и фаза
колебания;   средняя частота.
Эта функция определяет степень корреляции колебаний в
разных точках поля в одно и то же время в зависимости от
времени, поэтому наличие интерференционной картины в
точке Ρ дает информацию о корреляции колебаний в точках P1
и P2 в одно и то же время ( = t2  t1 = 0). При этом имеет место
пространственная когерентность, характеризуемая функцией
Г(r1, r2, 0).
Рассмотрение корреляции колебаний в одной точке Pi при
различных временах  позволяет говорить о временной
когерентности, характеризуемой функцией Г(r1, r2, ).
ПЭПиУ II часть
17



Высокая степень временной когерентности ЛИ позволяет
использовать его для различных научных и технических
приложений, связанных с интерференцией, измерением длин,
линейных и угловых скоростей, малых перемещений, для
передачи информации на оптических частотах и т.д.
Пространственная когерентность обусловливает высокую
направленность излучения ОКГ и возможность фокусирования
его на площадки малых размеров.
Направленность излучения характеризуют телесным углом,
охватывающим основную часть излучаемой энергии. Если
телесный угол представляет собой конус, то в качестве
параметра излучения ОКГ выбирается плоский угол
расхождения потока (угол расходимости). Для телесного угла,
отличающегося от конуса (что характерно для большинства
источников световых колебаний), обычно приводят значения двух
плоских углов в вертикальной и горизонтальной плоскостях.
ПЭПиУ II часть
18
Теоретическая диаграмма направленности круглой излучающей
площадки показана на рис. 1.2 (а в декартовой: б  в полярной системах
координат). Её физическое объяснение понятно из теории дифракции.
Известно, что излучение из круглого отверстия диаметром D
происходит в фазе и с однородной амплитудой, т.е. получается
изображение точечного источника когерентного излучения.

1,0 I/I0
0,5  0
0,5
0,5   /D
-2

-1
0
1
 0 = 2,44  /D
2
D  /
Это изображение включает в себя яркое центральное пятно и
окружающие его, следующие друг за другом, темные и светлые
кольца (рис. 1.3 - изображение интерференционных колец и схематическое
изображение хода лучей).
Максимум
света
Первый
минимум
Первый
минимум
Излучение
ПЭПиУ II часть
D
2
Оптическая ось
19







Основная часть энергии излучения сосредоточена в основном
лепестке диаграммы, а максимальная интенсивность поля в
боковых лепестках не превышает 2 % (от максимальной
интенсивности поля излучения I0).
Если полагать, что распределение амплитуды и фазы колебаний
однородно в поперечном сечении потока излучения, то его
расходимость (угол между оптической осью излучения и направлением
на первый минимум, рис. 1.4), ограниченная дифракцией, и составит
угол (по уровню половинной мощности)
 0,5 = 1,22λ/D,
(1.6)
где D  диаметр потока излучения.
Из формулы (1.6) следует, что чем меньше длина волны  ЛИ и
чем больше диаметр излучающей D поверхности (апертуры
лазера), тем меньшей угловой расходимостью обладает его
излучение.
(Например, теоретический угол расходимости ЛИ для рубинового
лазера, при диаметре круглого торца рубина D = 8 мм и λ = 0,69
мкм
0,5 = 1,22/D = (1,220,6957о17)/8103 = 22,
т.е. составляет 22 угловых секунды. Для газового СО2 лазера при
D = 1 см и λ = 10,6 мкм получаем θ0.5 = 1,2110–3 рад (320).).
ПЭПиУ II часть
20




Такое же значение угловой расходимости для излучения обычного
источника света (с применением системы коллимирования луча)
может быть получено при использовании объектива коллиматора
с фокусным расстоянием, равным 50 м.
Отметим, что реально достижимая расходимость ЛИ всех
типов значительно превосходит теоретическую величину.
(Например, для рубинового лазера с диаметром торца рубина 10
мм генерируется луч с углом расходимости 6 мрад (21)).
Причиной этому является, с одной стороны, сложная мозаичная
структура излучающей поверхности активного элемента,
например рубинового кристалла (в виде отдельных светящихся пятен,
размер которых достигает ~ 100 мкм, а образуемые ими комплексы ~ 850
мкм), а с другой – сложность селекции высших поперечных типов
колебаний в твердотельных ОКГ.
Наименьшим углом расходимости обладают одномодовые ОКГ
(генерирующие основной тип колебаний ТЕМ00), что наиболее просто
реализуется в случае газовых лазеров.
ПЭПиУ II часть
21




Опытным путем установлено, что в процессах воздействия ЛИ
на твердые непрозрачные материалы при плотностях потоков
энергии, приводящих к разрушению, рассмотренные выше
свойства излучения не играют заметной роли.
Определяющую роль в формировании профиля зоны нагрева
играют энергетические параметры - энергия, мощность,
плотность энергии, длительность импульса,
пространственная и временная структура излучения,
пространственное распределение плотности мощности
излучения в пятне фокусировки, условия фокусировки,
физические свойства материала (отражательная способность,
теплофизические свойства, температура плавления и т.д.).
Плотность мощности ЛИ Q  определяется отношением
мощности излучения, проходящего через сечение лазерного
пучка, к площади сечения и имеет размерность Вт/см2.
Соответственно плотность энергии ЛИ Wg  определяется
отношением энергии, проходящей через сечение лазерного
пучка, к площади сечения и имеет размерность Дж/см2.
ПЭПиУ II часть
22








Сфокусированное ЛИ создает в центре площадки, сравнимой с
длиной волны, плотность мощности, определяемую как
 Qs = PD2/λ2F2,
(1.7)
где Р  выходная мощность излучения лазера; D  диаметр
объектива оптической системы; λ  длина волны; F  фокусное
расстояние оптической системы.
Определяя плотность мощности ЛИ при параметрах: Р = 1 кВт;
λ = 0,69 мкм; относительное отверстие D/F = 1,2 на основании (1.7),
получаем в центре пятна
 Qs = 31014 Вт/см2,
что превышает плотность мощности излучения на поверхности
Солнца более чем в миллион раз.
Вместе с тем, ЛИ с высокой плотностью мощности обладает и
высокой напряженностью электрического поля (ЭП), определяемой
как
 E = (сQs)0,5,
(1.8)
где ηс = 120π  коэффициент (волновое сопротивление),
характеризующий свойства свободного пространства с размерностью
Ом.
Для ранее рассмотренного примера напряженность ЭП
составит
ПЭПиУ II часть
23
Еп = 31010 В/м,





то есть ЛИ характеризуется как высокой плотностью
мощности излучения, так и высокой напряженностью ЭП.
Следует добавить, что и спектральная плотность ЛИ Q
(выраженная в виде плотности мощности излучения на единицу
длины волны) также достигает огромной величины, порядка 1017
 1018 Вт/(см2·мкм1), что превышает спектральную плотность
солнечного излучения на двенадцать порядков.
В настоящее время достигнуты мощности излучения
импульсных лазеров (в зависимости от режима работы) от сотен
киловатт (свободная генерация) до Гиговатт (модулированная
добротность).
К факторам, обусловливающим результаты воздействия ЛИ
на материалы, следует отнести и условия фокусирования, под
которыми понимают расположение поверхности (с которой
взаимодействует ЛИ), относительно фокальной плоскости
оптической системы.
Минимальный размер пятна, который может быть получен
на поверхности образца, равен радиусу центрального пятна
дифракционной картины (рис. 1.3) и определяется как
 rf = θF.
(1.9)
ПЭПиУ II часть
24

Для уровня половинной мощности θ = θ0.5 имеем








rf = 1,22F/D.
(1.10)
Например, для рубинового ОКГ при отношении D/F = 0,3 rf  3 мкм.
Если мощность излучения ОКГ 106 Вт, то плотность потока в
центре пятна составит ~ 1013 Вт/см2.
Фокусировка когерентного потока ЛИ приводит к следующему
распределению интенсивности в фокальной плоскости линзы [3]:
 Q(r) = Q0[2I1(Br)/(Br)2]2,
(1.11)
где I1(u)  функция Бесселя первого рода первого порядка, В = πD/λF.
Интенсивность в центре пятна (r = 0) равна
 Q0 = 0,25D2P0/2F2,
(1.12)
где P0  мощность излучения на входе системы фокусировки.
Дифракционное распределение плотности потока ЛИ (1.11) для
твердотельных ОКГ, как правило, не реализуется, и распределение
имеет более сложный характер (часто не симметричный) из-за
неоднородностей в лазерной системе.
Угловое распределение интенсивности ЛИ на различных
расстояниях от излучающей поверхности также будет различным.
Поэтому различают ближнюю, френелевскую и дальнюю
(фраунгоферовскую) зоны (по
отношению к излучателю).
25
ПЭПиУ II часть



Область, в которой угловое распределение почти не зависит
от расстояния до излучающего торца активного элемента ОКГ,
называют дальней зоной (начало этой области находится на
расстоянии от D2/2 до 2D2/).
Поскольку в этой области наблюдаются эффекты дифракции
Фраунгофера, эту зону называют областью Фраунгофера.
Область, простирающаяся от границы дальней зоны (в направлении
излучателя) до другой границы вблизи излучателя, отстоящей от
него на расстояние (0,5D)/(D/λ)1/3, называется областью Френеля.
Таблица 1.1 дает представление о распределении энергии излучения
пространственного когерентного источника, ограниченного дифракцией [6].
Зона между внутренней границей области Френеля и
поверхностью излучателя называется ближней областью и в ней
при описании распределения поля излучения не допускается
никаких приближений, поскольку поля излучения здесь могут быть
очень сложными, быстро меняющимися, с резкими границами
теней.
Зона измерения
Расстояние от излучателя
Ближняя
L=D
Френеля (ближняя зона)
L (D/2)/(D/λ)1/3
Релея
L D2/2λ
Фраунгофера (дальняя зона)
L 2D2/λ
Ошибки фазы, измеренные на расстоянии L
от разных точек на поверхности диаметра D
Никаких допущений
Δφ λ/16
Δφ λ/4
область параллельного пучка
Δφ λ/16 область расходящегося пучка
ПЭПиУ II часть
26




Таким образом, при воздействии ЛИ на вещество основное
значение имеет интенсивность ЛИ (которая обеспечивается
малым углом расходимости луча), а монохроматичность играет
второстепенную роль.
Высокая монохроматичность ЛИ способствует хорошей
фокусировке, так как хроматические аберрации линз
практически отсутствуют. Эффект воздействия излучения
на вещество не зависит также и от когерентности излучения.
Известно, что электромагнитное излучение (ЭМИ)
взаимодействует с веществом с помощью электрических
зарядов вещества (или через движение этих зарядов) и
формально эти явления могут быть выражены лишь условно в
рамках физической модели из количественных отношений,
которые составляют теорию электромагнетизма.
Теория оптики металлов, в свою очередь, связывает такие
параметры, как отражение и поглощение, с проводимостью,
диэлектрической постоянной и магнитной проницаемостью.
Причем в явлениях излучения это могут быть электроны и
ионы, взаимодействующие с ЭМП.
ПЭПиУ II часть
27



При этом существенное значение имеют связи различных видов между
зарядами, которые определяют свойства вещества, вид взаимодействия и
частотный интервал ЛИ, участвующего в процессе. Таким образом,
структурное состояние зарядов (связанных или свободных),
зависимых или независимых друг от друга, будет определять
величину отражения, преломления или поглощения
электромагнитной волны (ЭМВ) на границе раздела двух сред, а
также селективность или непрерывность поглощения и излучения.
Развитие квантовой электроники позволило реально
наблюдать ряд новых физических явлений, обусловленных
взаимодействием интенсивного ЭМИ с веществом. Это такие
эффекты, как генерация гармоник ЛИ, параметрические
взаимодействия, различного рода вынужденное рассеяние ЛИ,
самофокусировка волновых пучков в среде и т.п., которые сегодня
усиленно изучаются (теоретически и экспериментально) и
составляют основное содержание нелинейной оптики.
Указанные выше эффекты являются следствием нелинейной (по
ЭМП) поляризации среды, при этом предполагается, что сама среда в
процессе взаимодействия с излучением не меняет своего
агрегатного состояния и служит лишь нелинейным
преобразователем излучения.
ПЭПиУ II часть
28




При этом такие процессы, как пробой в газах или разрушение
в твердых телах, рассматриваются как вторичные явления,
приводящие к потере нелинейно-оптических свойств среды.
Принятое ограничение (о неизменности состояния среды)
определяет также особенности теоретического подхода к
задачам нелинейной оптики и проявляется в том, что все они могут
быть описаны в рамках макроскопической электродинамики (т.е.
с помощью уравнений Максвелла, дополненных нелинейными
материальными уравнениями) [1].
К нелинейной оптике примыкает еще одна область, также
возникшая в связи с появлением когерентных источников излучения, 
нелинейная спектроскопия, исследования в которой направлены в
основном на изучение спектров поглощения интенсивного ЛИ в
газах, жидкостях и твердых телах.
Следует отметить, что в области слабых ЭМП (некогерентные
источники) шкала частот является определяющей, с помощью
которой классифицируются эффекты взаимодействия
оптического излучения с веществом (в основе классификации –
предположение о неизменности частоты излучения в процессе
взаимодействия со средой).
ПЭПиУ II часть
29



Вместе с тем, исследование процессов отражения на границе
двух сред является строгим лишь в случае, когда определено
направление поляризации падающей волны (например, при угле
падения, равном углу Брюстера, излучение, поляризованное в плоскости
падения, вообще не отражается). Таким образом, частота и
поляризация – основные характеристики излучения в области
слабых полей, которые не зависят от интенсивности излучения
(пока оно остается слабым) [1].
Заметим, что эффекты взаимодействия ЛИ с веществом
можно рассматривать как на основе положений классической, так и
квантовой теории. При этом квантовая теория позволяет
анализировать процессы поглощения и излучения света атомными
системами, а классическая – изучать распространения ЭМИ в среде
вдали от полос резонансного поглощения.
Взаимодействие ЭМИ со средой сводится к последовательным
элементарным взаимодействиям ЛИ с атомами и молекулами
среды. В ЭП волны Е атомы или молекулы среды поляризуются:
электроны смещаются относительно ядер и появляется
электрический дипольный момент, причем смещение определяется
величиной и знаком напряженности ЭП Е.
ПЭПиУ II часть
30


Знак и величина напряженности ЭМП изменяются с частотой
поля, что изменяет и положение электрона. Эти колебания
электрона создают свое поле (т.е. он “переизлучает” действующее
на него ЭМП), которое изменяется во времени точно так же, как
поле падающей на среду гармонической волны, но отличается
фазой и амплитудой. Амплитудные изменения обусловлены
потерями энергии при элементарном акте взаимодействия волны с
атомом и составляют причину поглощения ЭМВ.
Дипольный момент, приобретенный отдельным атомом под
действием ЭМВ, определяется как р = æЕ, где величина æ
называется линейной атомной восприимчивостью. Величина
дипольного момента, приобретенного средой объемом 1 см3,
называется поляризацией среды


Р = NæЕ = хЕ,
(1.13)
где N  число атомов в 1 см3; x  макроскопическая линейная
восприимчивость (поляризуемость), определяемая свойствами
среды.
ПЭПиУ II часть
31




Уравнение (1.13) находится в хорошем соответствии с экспериментами в
области низких интенсивностей излучения, однако линейная зависимость
между поляризацией и ЭП не является универсальной и лишь
приближенно описывает реакцию среды на воздействие ЭМП. Для
уточнения следует обратиться к микромоделям, описывающим такое
взаимодействие.
Наиболее известной и распространенной моделью такого рода
является модель осциллятора (колебательной системы, в которой
могут возбуждаться собственные гармонические колебания).
В этой модели электрон, движущийся в поле ядра и
переизлучающий ЭМП, представляется в виде осциллятора,
частота колебаний которого не зависит от амплитуды, а
возвращающая сила, действующая на электрон, линейно зависит
от смещения. Такой осциллятор называют гармоническим и его
модель непосредственно приводит к соотношению (1.13).
Однако гармонические колебания элементарного атомного
осциллятора возможны лишь при малых амплитудах ЭМП. При
значительных смещениях характер колебаний осциллятора
усложняется (возвращающая сила нелинейно связана со смещением) и
осциллятор называют ангармоническим.
ПЭПиУ II часть
32



Поэтому при воздействии ЛИ электрон рассматривают как
ангармонический осциллятор, а связь между поляризацией и полем
будет нелинейной.
Экспериментальные исследования воздействия ЛИ с плотностью
мощности 108  1010 Вт/см2 показали, что существует сильная
количественная и качественная зависимость характера эффектов
взаимодействия ЛИ с веществом от интенсивности излучения.
Причем речь идет не о малых поправках, регистрируемых в физических
экспериментах, а имеются в виду вполне определенные явления,
радикально меняющие поведение потоков излучения.
Проявляется множество эффектов нелинейной оптики, когда в
сильных полях ЛИ поляризация р уже не прямо пропорциональна
напряженности ЭП, а представляется в виде степенного ряда




р = хЕ + χЕ2 + ΘЕ3+…,
(1.14)
где χ, Θ  коэффициенты нелинейной восприимчивости χ = 1/Е,
Θ = 1/Е2.
При использовании некогерентных источников излучения все
члены выражения (1.14), кроме первого, ничтожно малы.
Простейшее проявление нелинейности состоит в генерации
гармоник частоты распространяющегося в среде излучения.
ПЭПиУ II часть
33





При распространении ЛИ в конденсированных средах ЭМВ не только
отражаются от тепловых волн, но и взаимодействуют с ними,
увеличивая интенсивность тепловых колебаний.
Эффект состоит в наложении падающих и отраженных ЭМВ, формирующем
максимумы и минимумы поля. В местах наибольшей интенсивности
излучения, где волны находятся в фазе, проявляется
электрострикционная сила (электрострикция  деформация вещества во
внешнем электрическом поле, пропорциональная квадрату напряженности
ЭП), которая приводит к сжатию.
Периодичность изменения силы сжатия вызывает увеличение как
внутренних давлений, так и интенсивности акустической волны. Такая
волна с большей интенсивностью в свою очередь приводит к увеличению
отраженного излучения. Интенсивные колебания в твердых телах могут
стать одной из причин их разрушения.
Поскольку ЭМИ переносит энергию, то при падении как обычного
света, так и ЛИ на вещество действуют силы, называемые
соответственно световым давлением или давлением ЛИ [7, 8].
Лазерный луч  это поток фотонов с определенной энергией и
импульсом силы, а атомы конденсированной среды представляют собой
резонансные системы, которые могут существовать лишь в определенных
энергетических состояниях.
ПЭПиУ II часть
34

Поэтому атомы взаимодействуют с ЛИ при условии, что
энергия фотонов соответствует энергии, необходимой для
перевода атома из одного энергетического состояния в другое.
Мерой силы взаимодействия является сечение поглощения. Для
атомов, находящихся в состоянии резонансного поглощения,
сечение поглощения равно квадрату длины волны излучения.

Если учесть, что лазерный луч можно сфокусировать в пятно площадью,
равной квадрату длины волны, то можно сделать вывод, что единичный атом,
находящийся в области фокуса лазерного луча, поглощает практически
всю энергию пучка.
При поглощении ЛИ атому сообщаются как энергия, так и импульс
фотона, при этом атом не только переходит в возбужденное состояние,
но и получает приращение скорости в направлении падающего
излучения. Прежде чем вернуться в основное состояние, атом остается
возбужденным в течение некоторого времени. При возвращении в исходное
состояние атом испускает фотон, а атому сообщается один импульс.
Повторения этих процессов сообщают атому дополнительные
импульсы, направленные вдоль луча, при этом действует сила
(направленная вдоль оси ЛИ), которая по аналогии со случаем воздействия
светового потока называется резонансным световым давлением (способна
в области падения ЛИ на поверхность материала создавать световое
давление в сотни тысяч мегапаскалей, т.е. миллионы атмосфер).


ПЭПиУ II часть
35




Следует отметить, что световое давление при некотором
значении величины мощности ЛИ достигает максимума, который
соответствует “концу” времени возбужденного состояния атома. Это
максимальное давление (в случае лазеров непрерывного действия) может
создавать ускорение, в миллион раз превосходящее ускорение свободного
падения, что используется для разделения частиц в жидкости,
ускорения до больших скоростей электрически нейтральных частиц,
разделения изотопов и анализа атомных пучков.
Экспериментально выявлены и некоторые закономерности
поглощения интенсивных световых пучков.
1. Оказалось, что существует значительное различие в
поглощении, причем среды, непрозрачные для слабого излучения
некоторой частоты, могут стать прозрачными для
высокоинтенсивного излучения (просветление) и, наоборот,
“прозрачные” материалы могут затемняться по отношению к
мощному излучению (нелинейное поглощение). То есть коэффициент
поглощения зависит как от частоты, так и интенсивности, а в случае,
когда интенсивность (резонансного по отношению к данной среде
излучения) велика, значительное количество частиц среды переходит в
возбужденное состояние и проявляется эффект насыщения. Это
явление называют эффектом насыщения квантовой системы.
2. Интерес представляет и обратный эффект  многофотонного
поглощения, когда интенсивное излучение поглощается гораздо
сильнее слабого.
ПЭПиУ II часть
36



Объяснение эффекта следует из основного уравнения
теоретической нелинейной оптики (1.14), т.е. если член ΘЕ3 содержит
фазовый сдвиг, то помимо нелинейной поправки к показателю
преломления появляется и нелинейная поправка к коэффициенту
поглощения.
3. Обнаружен эффект резонансного просветления в поле
коротких лазерных импульсов, длительность которых меньше
характерных времен релаксации системы (здесь релаксация  процесс
установления теплового равновесия в системе). При этом короткий
мощный лазерный импульс проходит через резонансную среду без
поглощения, а слабое излучение (той же частоты) может поглощаться
практически полностью и единственным результатом его
взаимодействия со средой оказывается резкое уменьшение групповой
скорости распространения.
4. Проявляются эффекты самофокусировки и самодефокусировки,
которые демонстрируют качественные изменения характера оптических
явлений в области сильных ЭМП. Если мощность ЛИ превышает
некоторое критическое значение Ркр, вместо обычной дифракционной
расходимости (параллельного луча) наблюдается самосжатие. При
распространении мощных импульсов ЛИ в жидкостях самосжатие носит
характер схлопывания пучка, которое сопровождается быстрым
нарастанием ЭМП, вызвающим изменение состояния среды (пробой,
фазовые переходы и т. п.) [9].
ПЭПиУ II часть
37


При распространении непрерывного ЛИ в стеклах, нарастание ЭМП
не носит катастрофического характера, а ведет лишь к
самопроизвольному сжатию на некотором расстоянии в среде. Сходство
процесса с фокусировкой пучка обычной линзой заканчивается за
фокальной точкой, где самосфокусированный пучок может
образовывать квазистационарные нити (волноводное
распространение), последовательность нескольких фокальных точек
и т.п. Причиной этого эффекта является существенное изменение
показателя преломления среды в сильном ЭМП. Причем если в
области, занятой пучком, показатель преломления возрастает, то
область становится оптически более плотной и периферийные
лучи отклоняются к центру пучка. Важным оказывается то, что
эта нелинейная рефракция может быть настолько существенной,
что дифракционные эффекты практически полностью
подавляются.
Не менее важную роль может играть и электрострикция, которая
при воздействии ЛИ на нелинейную среду приводит к появлению
постоянного давления и к изменению плотности, т.е. показателя
преломления среды. В случае жидкости, нелинейные изменения значения
показателя преломления могут быть связаны с ориентацией молекул в
ЭП ЭМВ (это высокочастотный эффект Керра). Важной причиной
изменения показателя преломления является и нагрев среды ЛИ.
ПЭПиУ II часть
38




Экспериментально показано, что критические мощности, при
которых наблюдается самофокусировка, относительно невысоки (в
сероуглероде Ркр = 10 кВт, в некоторых сортах оптического
стекла Ркр = 1 Вт), так что эффект можно наблюдать не только в
мощных пучках импульсных лазеров, но и в пучках лазеров
непрерывного действия.
Обратный эффект  самодефокусировка возникает, если в
области, занятой пучком, показатель преломления снижается и
область становится оптически менее плотной. Это
значительно изменяет свойства среды (при интенсивности излучения,
измеряемого всего лишь милливаттами), и мощный лазерный пучок
расходится гораздо быстрее, чем пучок малой интенсивности.
Тепловая природа эффекта подтверждается резким изменением
мощности луча или его положения, причем процесс стабилизируется
за несколько секунд. Подобные эффекты наблюдается не только в
жидкостях и в твердых телах, но и в газах.
5. Известно, что при воздействии ЛИ на вещество ЭМВ
взаимодействуют не только друг с другом, и с акустическими, но и
с молекулярными колебаниями (рассеяние излучения на акустических
волнах называется рассеянием МандельштамаБриллюэна, а рассеяние
на внутримолекулярных колебаниях – комбинационным рассеянием).
ПЭПиУ II часть
39



Для выяснения причин этого взаимодействия следует напомнить, что
в различных средах (жидкость, твердое тело, газ) происходят внутренние
движения, приводящие к изменениям частоты излучения. Так, тепловое
движение молекул вызывает изменение плотности среды, а
следовательно, и показателя преломления. Случайные изменения
плотности, обусловленные тепловыми движениями молекул (тепловые
акустические волны), приводят к изменению длины волны и направления
распространения ЛИ в среде, т.е. тепловые акустические волны
модулируют ЭМВ ЛИ (как в радиотехнике низкочастотный сигнал
модулирует высокочастотную несущую). При этом у спектральной линии
частоты  возникают боковые компоненты (сателлиты) с
частотой  ± Ωа, где Ωa  частота акустической волны.
Аналогично проявляются и внутримолекулярные колебания
(колебания ядер в молекуле), которые, воздействуя на лазерный пучок,
также создают сателлиты с частотами  ± Ωм, где Ωм  частота
внутримолекулярных колебаний. Таким образом, модуляция ЭМВ ЛИ
может осуществляться не только посредством коллективных движений
молекул, но и в результате внутренних движений в отдельной молекуле.
6. Наблюдается и обратное воздействие ЛИ на акустические
колебания, которое связано с явлением электрострикции и
проявляется в том, что ЛИ вызывает акустическое давление.
Поэтому с помощью лазеров удается возбуждать мощные (до 10 кВт)
звуковые колебания во многих жидкостях и твердых телах [2].
ПЭПиУ II часть
40
1.2 Основные направления существующих и
перспективных исследований




Неосвоенными сегодня и слабо исследованными остаются
области, соответствующие терагерцевому диапазону частот, рентгеновским
и гаммалучам, которым свойственны специфические особенности и
качества. Приведем наиболее важные из них.
Терагерцы (THz) – область электромагнитного спектра от (0,1 – 10)
1012 Гц, который расположен между ИК- и СВЧ-диапазонами.
В этом интервале частот располагаются устойчивые полосы
поглощения биологических материалов на основе вращательных и
молекулярных резонансов молекул, поэтому основной интерес к
нему проявляет химии и астрономии для изучения спектральных
характеристик .
Большая часть THz-источников использует возбуждение различных
материалов ультракороткими лазерными импульсами и нелинейные
эффекты в электрооптических кристаллах и плазме. Однако все эти
источники имеют очень низкую эффективность и мощность
генерации составляет несколько микроватт (при накачке
фемтосекундными импульсами оптических источников мощностью
составляет единицы ватт). Такие THz-генераторы выполняют на
основе высокоомных полупроводниковых материалов GaAs, InP и
специально обработанного Si.
ПЭПиУ II часть
41



Рентгеновское излучение занимает полосу от 1018 до 1019 Гц и
включает в себя мягкие и жесткие (коротковолновый участок)
рентгеновские лучи. Эти лучи способны ионизировать воздух,
вызывать химические реакции и не отклоняются МП. Они
обладают волновой природой излучения (что и было доказано в 1912 г.
немецким ученым М. Лауэ, который наблюдал дифракцию рентгеновых
лучей на кристаллической решетке) и высокой проникающей
способностью.
Жесткое рентгеновское излучение обладает наибольшей
проникающей способностью (длина волны 0,1 нм и менее) и
беспрепятственно проходит через многие непрозрачные
материалы, например через слой стали толщиной 15  20 см.
Гамма-излучение, согласно рис.1, граничит с жестким
рентгеновским излучением и имеет длину волны сотые и
тысячные доли нанометра, поэтому обладает ярко
выраженными корпускулярными свойствами и ведет себя как
поток частиц (гамма-квантов). Такое излучение возникает при
ядерных реакциях, при аннигиляции пар частица – античастица,
а также при прохождении быстрозаряженных частиц через
вещество. Область гамма-излучения в своей коротковолновой
части граничит с областью космических лучей.
ПЭПиУ II часть
42




По своим свойствам гамма-излучение подобно жесткому
рентгеновскому излучению и, как рентгеновские лучи, оно ионизирует
воздух, вызывает химические реакции, не отклоняется МП. При
прохождении через кристаллы гамма-излучение подобно рентгеновскому
излучению подвержено дифракции. Совпадение свойств гамма-излучения
и жесткого рентгеновского излучения доказывает их одинаковую природу.
Рентгеновское излучение и гамма-излучение распространяются, как
и все виды излучений электромагнитного спектра, со скоростью
света. Гамма-излучение обладает очень высокой проникающей
способностью и существенно превосходит жесткое рентгеновское
излучение. Это объясняется тем, что энергия квантов гаммаизлучения выше, чем энергия квантов УФ- и рентгеновского излучения.
Приведем небольшой пример. Согласно формуле М. Планка (W = h),
значение энергии квантов ИК-, УФ-, рентгеновского и гамма-излучения, при
частоте колебаний ИК-излучения ик = 31013 Гц, УФ y = 3,31015 Гц,
рентгеновского (мягкого)  p = 31017 Гц и гамма-излучения  г = 1020 Гц,
составляет для кванта ИК-излучения всего  0,124 эВ, для УФ-излучения
 13,6 эВ, для рентгеновского излучения  1,2103 эВ и, наконец, энергия
кванта гамма-излучения имеет величину  4105 эВ.
Таким образом, энергоемкость гамма-излучения почти в 4 млн раз выше
энергоемкости ИК-излучения. Если энергию рентгеновских или гамма-лучей
при стимулированном монохроматическом и когерентном излучении
сфокусировать, то она будет чрезвычайно большой. Следовательно, получение
вынужденного излучения в рентгеновской области, а также в области гаммаизлучения является заманчивой идеей для ученых.
ПЭПиУ II часть
43












Наряду с преимуществами, которыми обладает ЛИ длинноволновых
областей оптического диапазона, ЛИ рентгеновской области и области
гамма-излучения будет иметь еще и высокую проникающую способность.
Последним преимуществом ЛИ длинноволновой части оптического
диапазона не обладает.
Реально достигнутые сегодня плотности мощности ЛИ
позволяют в настоящее время с их помощью:
 резать самые твердые материалы  алмаз и сверхтвердые сплавы;
 ускорять в синхрофазотронах заряженные чacтицы;
 инициировать термоядерные процессы;
 ускорять химические реакции;
 создавать новые синтетические материалы с необычайными
свойствами;
 передавать по каналам связи громадные потоки информации;
 измерять с большой точностью время и расстояния;
 управлять космическими кораблями и искусственными спутниками;
 производить хирургические операции и терапевтическое лечение
людей.
Таким образом, изучив процессы взаимодействия света с веществом
во всем интервале частот и реальных мощностей ЛИ, получаем
возможность: анализировать физические явления; понимать эффекты,
сопровождающие процессы; использовать явления для решения
технических, экологических, экспериментальных и исследовательских
задач.
ПЭПиУ II часть
44
2 МЕХАНИЗМЫ ПОГЛОЩЕНИЯ И
ДИССИПАЦИИ ЭНЕРГИИ В ВЕЩЕСТВЕ
2.1 Оптические процессы в металлах

Качественная схема механизмов и последовательности
процессов поглощения света и перехода поглощенной
энергии в тепло может быть представлена следующим
образом. Известно, что часть энергии ЛИ, падающего на
поверхность материала, поглощается в нем, а часть
отражается. Поглощенная энергия вызывает нагрев
поверхности, который зависит от длительности
воздействия и плотности мощности ЛИ, причем, например,
потери тепла в результате теплопроводности малы, если
лазерные импульсы очень короткие, но эти потери могут стать
существенными для импульсов с большой длительностью. При
этом может наблюдаться ряд важных эффектов, связанных с
поглощением излучения в плазме, которая возникает в
материале, испарившемся с поверхности образца, а потери,
связанные с переизлучением с поверхности образца, обычно
несущественны.
ПЭПиУ II часть
45


Нагрев может протекать с высокой скоростью, при этом
поверхность быстро прогревается до температуры плавления, что
представляет интерес для сварки. Иногда желательно расплавить
максимальное количество материала без испарения поверхности, при
этом плавление в отсутствие испарения происходит в довольно узком
интервале параметров импульса ЛИ. Если плотность мощности ЛИ
слишком велика, то испарение поверхности начинается до того, как
материал успевает проплавиться на заметную глубину. Из этого
следует, что существует максимальный предел плотности мощности
ЛИ, при которой желательно проводить плавление. Соответственно
при заданной энергии импульса ЛИ часто оказывается желательным
увеличить длительность импульса. Процесс плавления зависит от
теплового потока в этом материале, величина которого
определяется теплопроводностью материала k.
Однако тепловой поток определяется не только
теплопроводностью, поскольку изменение температуры
зависит также от удельной теплоемкости материала с.
Скорость нагрева обратно пропорциональна удельной теплоемкости,
рассчитанной на единицу объема материала, которая равна с, где 
 плотность материала. Основной фактор, определяющий
тепловой поток, равен k/c.
ПЭПиУ II часть
46




Размерность этого фактора (см2/с) такая же, как
размерность коэффициента диффузии. Следовательно, фактор
k/c характеризует процесс «диффузии» температуры (или,
строго говоря, тепла) и называется коэффициентом
температуропроводности k* .
В решения всех задач нестационарного распространения тепла
входит величина k/c, которая определяет, с какой скоростью
происходит в материале поглощение и передача тепловой
энергии. (При сварке высокая температуропроводность обычно
обеспечивает большую глубину проникновения фронта плавления в
отсутствие теплового удара или растрескивания материала.)
Значения коэффициента температуропроводности k* различных
металлов и сплавов приведены в табл. 2.1.
Обычно температуропроводность сплавов ниже, чем
температуропроводность чистого металла, который является
основной компонентой сплава. Особенно низкие
температуропровод-ности имеют нержавеющая сталь и
некоторые никелевые сплавы. Низкие значения k* ограничивают
глубину проникновения тепла и могут сузить сферу применения
лазерной сварки.
ПЭПиУ II часть
47
Материал
Температуропроводность,
k*, см2/c
Тепловая постоянная времени
т
(мс) при толщине образца (см)
0,01
0,02
0,05
0,1
1,70
0,015
0,059
0,368
1,47
Технический чистый Al
0,850
0,029
0,118
0,74
2,94
Сплав 2024
0,706
0,035
0,142
0,89
3,54
Литейный сплав А1з
0,474
0,053
0,2111
1,32
5,27
Серебро
Алюминиевые сплавы:
Медные сплавы:
Электролитический
Cu (99,95%)
1,14
0,022
0,088
0,55
2,19
Патронная латунь
0,378
0,066
0,265
1,65
6,61
Фосфористая бронза
0,213
0,117
0,470
2,93
11,74
Железные сплавы:
Технически чистое железо
0,202
0,124
0,495
3,09
12,38
Нержавеющая сталь 303
0,056
0,446
1,786
11,16
44,64
Углеродистая сталь (1,22
С, 0,35 Мп)
0,119
0,210
0,840
5,25
21,01
Никелевые сплавы:
Технический чистый Ni
0,220
0,114
0,454
2,84
11,36
Монель
0,055
0,455
1,818
11,36
45,46
Инконель
0,039
0,641
2,564
16,03
64,10
ПЭПиУ II часть
48






В то же время в течение импульса длительностью 100 мкс
(типовое значение для лазеров в режиме свободной генерации)
тепловой поток может проникнуть в некоторых металлах на
глубину ~ 0,1 мм.
Для того чтобы обеспечить эффективное плавление
выбранного металлического образца, длительность лазерного
импульса должна примерно соответствовать тепловой постоянной
времени этого образца. В табл. 2.1 [13] приведены тепловые
постоянные времени ряда образцов. Тепловые постоянные времени
тонких образцов (0,1  0,2 мм) не превышают (либо по меньшей мере
сравнимы) длительности импульсов лазеров, работающих в режиме
свободной генерации (она составляет несколько миллисекунд).
Глубина, на которую тепло проникает в течение
времени t, приближенно определяется следующим
соотношением:
 d = (4k*·t)1/2,
(2.1)
где d  глубина проникновения тепла.
Рассмотрим конкретный пример.
В металле с k* = 0,25 см2/с, в течение импульса длительностью
90 нc (типичное значение для лазера с модуляцией добротности)
тепловой поток может проникнуть лишь на глубину ~3104 см.
ПЭПиУ II часть
49


Последнее предположение позволяет ввести понятие
тепловой постоянной времени, которая для пластины,
толщиной х, равна x2/4k*. Значение этой постоянной
характеризует длительность импульса, необходимую для того,
чтобы обеспечить требуемую глубину проникновения теплового
потока. (Строго говоря, тепловая постоянная характеризует
время, необходимое для того, чтобы температура нижней
поверхности пластины достигла 37 % температуры
верхней поверхности, полученной в результате нагрева очень
коротким импульсом. Величина постоянной удобна для оценки
времени распространения теплового потока через пластину.)
Тепловые постоянные времени во всех случаях значительно
превышают длительности импульсов i, характерные для лазеров с
модуляцией добротности (равной ~107 c), которые практически не
обеспечивают эффективного плавления. Именно поэтому для
сварки пригодны либо непрерывные лазеры (например, СО2лазеры и лазеры на АИГ с неодимом), либо лазеры, у которых
длительность импульса по порядку величины равна нескольким
миллисекундам (например, лазеры на рубине).
ПЭПиУ II часть
50



В более толстых образцах металлов (> 1 мм) с низкой
температуропроводностью тепловые постоянные времени оказываются
настолько большими, что тепловой поток не успевает проникнуть в толщу
образца. Для металлов с высокой температуропроводностью тепловые
постоянные времени составляют несколько миллисекунд, и за время
импульса лазера в режиме свободной генерации тепловой поток успевает
распространиться через пластины из таких металлов (серебра, чистого
алюминия и меди).
Не менее важным параметром является коэффициент отражения
R от металлической поверхности. Его значением фактически
определяется доля энергии падающего излучения, которая
поглощается и может быть использована для нагрева или плавления.
По определению, коэффициент отражения равен отношению
мощности излучения, отраженного от поверхности, к мощности
падающего излучения. Таким образом, коэффициент отражения R
является безразмерным параметром, величина которого лежит в
пределах 0  1.
Коэффициент отражения R всех металлов возрастает по мере
смещения в дальнюю ИК-область спектра. Для длин волн, превышающих 5
мкм, коэффициенты отражения практически всех металлов превышают 90
%. В указанной области коэффициент отражения связан с электропроводностью материала. Металлы с высокой электропроводностью обладают
максимальными значениями коэффициента отражения в ИК-области
спектра.
ПЭПиУ II часть
51





Так, золото имеет более высокий коэффициент отражения, чем
алюминий, а алюминий, в свою очередь, имеет более высокий
коэффициент отражения, чем сталь. В такой же
последовательности эти материалы располагаются в
зависимости от их электропроводности.
Количество света, поглощаемого металлической
поверхностью, пропорционально величине (1 – R). На длине волны
10,6 мкм коэффициент отражения R  1 и величина (1 – R) становится
малой. Отсюда следует, что лишь небольшая часть падающей на
поверхность энергии поглощается, и может быть использована для
нагрева или плавления металла. Так, например, при длине волны 10,6
мкм значение (1 – R) для серебра или меди составляет ~ 0,02, тогда как
для стали оно равно ~ 0,05. Отсюда следует, что сталь поглощает
примерно в 2,5 раза больше падающей на ее поверхность энергии по
сравнению с серебром или медью.
На практике это означает, что при помощи СО2-лазера сталь
сваривается значительно легче, чем металлы типа меди или алюминия.
Важное значение имеет также правильный выбор длины волны. В
области более коротких волн значение величин (1 – R) существенно
выше, чем на длине волны СО2-лазера. В частности, для стали при
 = 1,06 мкм величина (1 – R) составляет ~ 0,35, что в семь раз выше,
чем при  = 10,6 мкм.
ПЭПиУ II часть
52



Отсюда следует, что если на поверхность стали падают пучки
лазеров на алюминий-иттриевом гранате (АИГ) с неодимом и СО2лазеров, имеющие одинаковую интенсивность, то, по крайней мере в
начальной стадии, из пучка лазера на АИГ с неодимом поглощается в
семь раз больше энергии. Поэтому в некоторых случаях сварочные
операции выполняются легче более коротковолновым лазером.
В результате поглощения энергии ЛИ на поверхности в
материале образца могут возникать сильные волны сжатия.
Один из механизмов, приводящих к возникновению таких волн, связан с
испарением материала с поверхности образца, в результате чего
нагретый материал получает импульс отдачи, направленный от
поверхности в глубь материала. В результате может начаться
перемещение образца как единого целого. Импульс, передаваемый
облучаемому образцу, был измерен во многих экспериментальных
исследованиях, в которых были использованы в основном
высокомощные лазеры. В этом случае с поверхности удаляется
значительное количество материала.
Удельный импульс (удельный передаваемый импульс, или
просто удельный импульс, определяется как отношение
передаваемого импульса к энергии) оказывается значительно
больше импульса, который может быть передан маятнику за
счет эффекта отражения фотонов.
ПЭПиУ II часть
53

Из результатов экспериментов следует, что для каждого
материала существует оптимальная интенсивность ЛИ, при
которой передаваемый импульс в расчете на 1 Дж энергии
максимален. Если интенсивность меньше оптимальной, то часть
энергии теряется в результате теплопроводности. Если же
энергия оказывается выше оптимального значения, то часть лазерной
энергии тратится на увеличение степени ионизации и повышение
температуры испарившегося материала, в результате чего
передаваемый импульс оказывается меньше, чем в случае, когда
это же количество энергии затрачивается для испарения большого
количества материала.

При очень высоких значениях плотности мощности ЛИ
преобладают плазменные процессы. При плотностях 109  1012
Вт/см2 определяющим является процесс, называемый обратным
тормозным эффектом.
Ионная
(плазменная)
волна
Ион отдачи
Фотон
Фотон
а
Свободный
электрон
ПЭПиУ II часть
б
Электромагнитная волна
54




В основе этого процесса (рис. 2.1) лежит поглощение лазерного
фотона свободным электроном плазмы, в результате чего электрон
переходит в более высокое энергетическое состояние непрерывного
спектра. Избыточный же импульс передается иону. Сечение данного
процесса пропорционально квадрату длины волны ЛИ, вследствие чего этот
процесс достигается значительно проще, если вместо лазеров,
работающих в видимой или ближней инфракрасной области спектра,
использовать СО2-лазеры.
При более высоких значениях плотности мощности ( 1013 Вт/см2)
важную роль начинают играть коллективные плазменные процессы,
суть которых заключается в том, что поглощение света
осуществляется в результате взаимодействия с группой плазменных
частиц, а не с одиночным электроном.
Эти процессы приводят к генерации ионных волн в плазме,
коллективным колебаниям частиц плазмы и возникновению других типов
электромагнитных колебаний (например, генерации света с частотами,
отличающимися от частоты падающего лазерного излучения).
Теоретическая интерпретация описанных выше явлений находится в
стадии становления и можно ожидать, что обсуждаемые ниже физические
модели процессов будут приемлемы и по мере уменьшения длины волны ЛИ.
Поэтому исследователи, занимающиеся лазерным термоядерным синтезом,
заинтересованы в мощных лазерах, работающих в коротковолновой части
оптического спектра. Исследования в области лазерного термоядерного
синтеза проводятся с лазерами, с помощью которых можно получить на
мишени плотность мощности выше 1016 Вт/см2. При таких плотностях
мощности оказывается существенным влияние коллективных плазменных
эффектов.
ПЭПиУ II часть
55



Подведем итог рассмотренным основным физическим
явлениям.
Физические явления, возникающие при взаимодействии ЛИ с
веществом, схематично представлены на рисунке.
Когерентное излучение, падающее на поверхность образца,
поглощается в соответствии с экспоненциальным законом
Бугера – Ламберта:


I(x) = I0  x,
(2.2)
где I(х)  интенсивность ЛИ, проникшего на глубину х; I0 
интенсивность падающего ЛИ (для простоты не учитывается доля
отраженного излучения).
Испарение
Поглощение и нагревание
Лазерное
излучение
Тепловой
поток
а
I + I0e- x
Лазерное
излучение
в
 = 10 5 см -1
Оборазование плазмы
Плавление
Лазерное
излучение
Поверхность
расплава
б
Лазерное
излучение
г
ПЭПиУ II часть
56


Коэффициент поглощения металлов  имеет величину,
порядка 105 1/см, таким образом, поглощенная энергия
выделяется в слое толщиной ~ 105 см. Выделившееся тепло
проникает в глубь материала за счет теплопроводности (рис.
2.2, а), а когда температура поверхности достигнет точки
плавления, начинается распространение границы жидкой фазы
в глубь материала (рис. 2.2, б). При дальнейшем облучении
начинается процесс испарения с поверхности (рис. 2.2, в) и в
материале формируется отверстие. Если интенсивность
излучения достаточно велика, то после поглощения в
удаляемом с поверхности материале образуется
высокотемпературная непрозрачная плазма. Образовавшаяся
плазма может распространяться навстречу лазерному пучку в
форме индуцированной ЛИ волны поглощения. Возникшая
плазма поглощает падающее ЛИ и экранирует поверхность
(рис. 2.2, г).
Диапазоны изменения плотности мощности ЛИ, в которых
преобладает тот или иной механизм взаимодействия, приведены в
табл. 2.2 . Соответствующие значения приводятся для спектральных
участков: видимой и ближней ИК-областей, а также для области
генерации СО2-лазера в окрестности 10 мкм. Приведенные в таблице
данные следует рассматривать как приближенные. Их значения могут
изменяться в зависимости от длительности импульса, характеристик
облучаемой мишени и т.п. При относительно невысоких значениях
плотности мощности излучения преобладает плавление.
ПЭПиУ II часть
57
Повышение плотности мощности приводит к тому, что
основную роль начинает играть испарение. Оно носит обычный
характер и не сопряжено с заметным взаимодействием между падающим
пучком и испарившимся материалом.
При дальнейшем повышении плотности мощности излучения
возникают
индуцированные
волны
поглощения,
которые
оказывают преобладающее влияние на физические процессы, в то
время как роль испарения снижается. Для СО2-лазеров порог
возникновения волн поглощения примерно на порядок ниже, чем для
лазеров, работающих в более коротковолновой части оптического
спектра. Приведенные в табл. 2.2 данные о пороге возникновения волн
поглощения
относятся
к
случаю
воздействия
лазерного
микросекундного импульса на титановую мишень.

Процесс
Плотность мощности, Вт/см2
Видимая и ближняя
ИК-области
СО2-лазер
Плавление
~ 105
~ 105
Испарение
106 – 1,5108
106 – 2,5107
> 1,5·108
> 2,5107
Обратный тормозной эффект в плазме
 1012
?
Коллективные эффекты в плазме
 1013
?
Индуцированная волна поглощения
ПЭПиУ II часть
58



Величина порога зависит от условий облучения. Тем не менее,
приведенные в табл. 2.2 значения можно использовать для оценки
порога возникновения рассматриваемых процессов взаимодействия по
порядку величины.
И, наконец, при очень высоких значениях плотности мощности
излучения начинают действовать дополнительные механизмы
поглощения, к числу которых относится поглощение ЛИ в
индуцированной им плазме в результате обратного тормозного
эффекта или коллективных процессов, протекающих в плазме.
Теория указанных эффектов в настоящее время подвергается
экспериментальной проверке. В данном диапазоне плотностей
мощности излучения взаимодействие излучения с плазмой становится
особенно сильным. Подобные механизмы поглощения более четко
выражены для лазеров, работающих в коротковолновой части
оптического спектра, и представляют особый интерес для
осуществления лазерного термоядерного синтеза.
Рассмотренная качественная схема механизмов и
последовательности процессов поглощения света и перехода
поглощенной энергии в тепло позволяет перейти к
количественной оценке различных режимов поглощения.
ПЭПиУ II часть
59
2.2 Способы описания взаимодействия излучения
с веществом



Макроскопическая картина взаимодействия излучения с
веществом
Изучая принципы работы когерентных источников излучения,
мы встречали различные элементарные процессы взаимодействия, в
которых происходило рождение и уничтожение фотонов в
определенных состояниях, сопровождавшиеся реальными или
виртуальными квантовыми переходами связанного электрона.
Различались процессы разной фотонной кратности. Каждый фотон
участвовал в одном из трех элементарных актов: поглощении,
спонтанном или индуцированном испускании.
Из элементарных процессов складывается сложная
макроскопическая картина взаимодействия между оптическим
излучением, распространяющимся в виде некоторого пучка света,
и веществом  кристаллом, жидкостью, атомным либо молекулярным
газом. Макропроцессы поглощения света веществом – в первом
порядке сводились к однофотонным элементарным процессам,
рассеяние света веществом – в первом порядке сводилось к
двухфотонным процессам, генерация гармоник и параметрическая
генерация света – в первом порядке сводились к трехфотонным
процессам и др.
ПЭПиУ II часть
60


В макроскопической картине взаимодействия излучения с
веществом принято выделять распространение излучения в
веществе, воздействие излучения на вещество, генерацию
излучения веществом. В рамках некогерентной оптики такое
разбиение общей картины взаимодействия излучения с веществом
было естественным. Однако в когерентной оптике оно
становится в некотором отношении условным. Действительно,
воздействие ЛИ на вещество может приводить к изменению
характера распространения излучения в данной среде, что
составляет сущность нелинейно-оптических явлений. Более
того, именно в рамках этих явлений должна рассматриваться
генерация излучения в лазерах. Все это указывает на
взаимосвязь процессов распространения, воздействия на
вещество и гeнерации излучения.
Однако, учитывая специфичность эффектов воздействия
на вещество и процессов, происходящих в оптических генераторах,
полезно сохранить указанное традиционное разбиение, сделав лишь
необходимую корректировку, связанную с учетом нелинейнооптических явлений. Поэтому ниже основное внимание будет
уделено именно распространению излучения в веществе – как
без учета, так и с учетом нелинейно-оптических явлений.
ПЭПиУ II часть
61




В рамках нелинейной оптики будет рассмотрено воздействие
излучения на вещество, а также вопросы генерации гармоник
оптического излучения.
При распространении излучения в веществе наблюдаются
различные явления: отражение на границе двух оптически разных
сред, преломление на границе оптически разных сред,
поглощение излучения, усиление излучения, называемое также
отрицательным поглощением, рассеяние излучения, изменение
поляризации излучения, нелинейно-оптические явления.
Существуют различные способы описания явлений,
связанных с распространением оптического излучения в
веществе. Применяют три способа описания: классический,
квантово-механический и полуклассический .
При классическом описании излучение представляют в виде
световых лучей (геометрический подход) либо в виде световых
волн (волновой подход), а вещество – в виде непрерывной
(изотропной или анизотропной) среды, характеризуемой
определенными оптическими макропараметрами. В этом случае
используют уравнения Максвелла, дополненные материальными
уравнениями.
ПЭПиУ II часть
62

Для непроводящих изотропных сред имеем

1 B
1 D
, rot H 
, divD  0,
c t
c t


divB  0,
D  E,
B  H.

rot E  




Основные параметры среды  диэлектрическая проницаемость  и
магнитная проницаемость . Они определяют скорость
распространения излучения в среде  = с  и, следовательно,
показатель преломления
 n = с/ =
(2.4)
 .
В более общем случае (случае проводящих сред) вводят удельную
проводимость среды σ, при этом вместо (2.3) рассматривают
систему уравнений
1 B
1 D 4
,
rot H 

j,
c t
c t
c
divD  0, divB  0, D  E, B  H,
rot E  



(2.3)



j  E.

(2.5)
Здесь j  вектор плотности тока, а дополнительное материальное
уравнение – закон Ома в дифференциальной форме.
Поскольку при классическом описании игнорируют атомную структуру
среды, то макропараметры среды не рассчитывают  они полагаются
заданными. При этом учитывают все связи между параметрами,
которые вытекают из уравнений Максвелла и материальных
уравнений.
ПЭПиУ II часть
63




В классической теории параметры среды используются как
величины, определяемые экспериментально. Число параметров
зависит от специфики рассматриваемой задачи, поэтому в конкретных
случаях могут быть введены дополнительные параметры, например
коэффициент усиления волны в среде.
Отметим, что приведенные выше скалярные макропараметры
соответствуют изотропным средам, а также кристаллам кубической
симметрии. В случае кристаллов более низкой симметрии оптические
параметры описываются тензорами 2-гo ранга.
При квантовомеханическом описании излучение представляют в
виде коллектива фотонов, а вещество – в виде коллектива
определенных частиц и квазичастиц. В этом случае и излучение, и
вещество рассматривают как единую квантовую систему,
описываемую гамильтонианом
 H = H + H0 + Н.
(2.6)
Здесь H  гамильтониан свободного излучения, Н0  гамильтониан
вещества в отсутствие излучения, H  гамильтониан взаимодействия
излучения с веществом. Гамильтониан свободного излучения можно
представить как



H 
1

s  c s c s  
2

s

,
(2.7)
где сs и сs+  операторы, соответственно, уничтожения и рождения
фотона в s-м состоянии
ПЭПиУ II часть
64
Для кристалла гамильтониан Н0 удобно представить в виде
H0 = HL + He + HeL,
(2.8)
где НL  гамильтониан кристаллической решетки («фононный»
гамильтониан), Нe  «электронный» гамильтониан, НeL  гамильтониан
взаимодействия электронов с фононами (опускаемый при использовании
адиабатического приближения). Фононный гамильтониан НL описывают
выражением, аналогичным выражению (2.7), а гамильтониан Н удобно
представить в виде
Н = He + HL,
(2.9)
где Нe описывает взаимодействие фотонов с электронами, кристалла, а
НL  взаимодействие фотонов с фононами.

Гамильтониан взаимодействия фотона с электроном можно
представить в виде (i  индекс электрона)

(2.10)
 q0
q 02
2
H e   
(pi Ai ) 
A
,
i
2mc2 
i  mc

где
A i   (c s A si  c s A si ) ,

s
Asi  cs exp( ik s ri ) 2c 2 / Vs .
ПЭПиУ II часть
(2.11)
(2.12)
65


При полуклассическом описании излучение представляют в виде
классических световых волн, а вещество  в виде атомного
коллектива, описываемого соответствующими волновыми
функциями. Иными словами, излучение рассматривают
макроскопически, а вещество  микроскопически. Вместо гамильтониана
(2.6) используют гамильтониан
 Н = Н0 + H' .
(2.13)
То есть излучение учитывается как «возмущение», определяющее
гамильтониан взаимодействия Н'. При этом вместо (2.10) обычно
используют выражение
q0
(p i A(ri )) ,

He = –
(2.14)
mc



i
где A ( ri )  классический вектор, связанный с электрической
напряженностью световой волны.
При полуклассическом подходе оптические параметры не
постулируются, а рассчитываются на основе данных об атомной
структуре и динамике среды с учетом вероятностей
соответствующих квантовых переходов в среде.
Устанавливаются связи между оптическими параметрами среды,
являющимися ее классическими характеристиками, и вероятностями
квантовых переходов в среде, которые могут рассматриваться как
квантовомеханические или микроскопические характеристики среды.
ПЭПиУ II часть
66




В соответствии с последним замечанием укажем возможность
двух подходов к рассмотрению процессов взаимодействия
излучения с веществом: микроскопического (через вероятности
переходов) и макроскопического (через оптические параметры
среды).
Таким образом, наиболее полным и последовательным
является квантовомеханическое описание, которое позволяет
учесть все аспекты взаимодействия, связанные как с изменением
состояний вещества, так и с изменением состояний поля
излучения.
Классическое описание является предельным случаем,
существенно упрощающим рассмотрение процессов взаимодействия
излучения с веществом. Основные ограничения применимости
классического описания связаны с двумя обстоятельствами. Вопервых, должно быть оправданным классическое представление
излучения в виде световых волн. Во-вторых, в рассматриваемой
задаче должны быть несущественными атомная структура и
динамика среды. Эти два обстоятельства обусловливают известную
ограниченность возможностей классического описания.
Для тех случаев, когда можно описывать излучение классическими
волнами и необходимо учитывать атомную структуру и динамику
среды, развиты методы, отвечающие полуклассическому подходу.
ПЭПиУ II часть
67



Такой подход надо рассматривать как некий компромиссный вариант,
не имеющий строгого обоснования. Его существенным недостатком
является тот факт, что здесь поле излучения «выступает» как
некое априорно заданное «внешнее возмущение»; это позволяет
рассчитывать изменение состояний вещества, но не дает
возможности рассчитывать изменения состояний поля излучения.
В этом смысле полуклассическое описание «уступает» как
квантовомеханическому, так и классическому, поскольку последние дают
последовательную картину взаимодействия излучения и вещества, хотя и с
разной полнотой рассмотрения.
В качестве примера рассмотрим классический и полуклассический подходы к задаче о поглощении излучения активными
центрами. Пусть в однородном стержне вдоль его оси (z-оси)
распространяется монохроматическое излучение, характеризуемое
частотой . Обозначим через S(z) плотность светового потока в точке
z. Будем различать в стержне активные и неактивные центры,
способные поглощать излучение на частоте . Для активных центров
поглощение сопровождается встречным процессом  индуцированным
испусканием, так что результирующее поглощение определяется
конкуренцией указанных процессов.
ПЭПиУ II часть
68




Для неактивных центров поглощение на частоте  не
сопровождается встречным процессом; к этому поглощению
формально можно отнести, в частности, рассеяние излучения в
стержне, приводящее к утечке энергии через боковую поверхность.
С учетом двух типов центров поглощения запишем
дифференциальный закон Бугера для изменения плотности потока
на длине пути от z до z + dz в виде
 dS = – (л + н)S(z)dz.
(2.15)
Здесь л  линейный коэффициент поглощения на активных центрах, а
н  на неактивных центрах. В данной задаче л и н  оптические
параметры среды. Конкуренция переходов (поглощения и
индуцированного испускания) может привести к отрицательному л; в
этом случае л будет описывать отрицательное поглощение
(усиление).
Дифференциальному закону (2.15) соответствует интегральный закон
Бугера:
 S(z) = S(0)ехр[ (л + н)z].
(2.16)
ПЭПиУ II часть
69
Однако
не следует спешить с интегрированием, поскольку в силу не
учитываемого пока нелинейно-оптического эффекта коэффициент л
оказывается зависящим от плотности потока S(z), а, следовательно, и от
координаты z:
л = f(S(z)).
(2.17)
Пусть Р(z)  (удельная) отнесенная к единице объема световая мощность
на частоте , поглощаемая активными центрами в точке z. Легко видеть,
что
Р(z) dz = dS(z)
.
(2.18)
Используя (2.15), можем записать последнее выражение в виде
Р(z) = лS(z) = л (z),
(2.19)
где (z)  плотность излучения,   скорость распространения излучения в
стержне. Этот результат соответствует классическому подходу.
Поглощаемую мощность можно выразить через вероятности переходов
12, происходящих между рабочими уровнями Е1 и Е2 активного центра
(Е2  Е1 = h), и представить формулой
Р(z) = n112(z)ħ(1  g1n2/g2n1),
(2.20)
что соответствует полуклассическому подходу.
Если выражение (2.19) отражает макроскопическое описание процесса
поглощения, использующее оптический параметр среды л, то выражение
(2.20) отражает микроскопическое описание того же процесса, основанное
на рассмотрении вероятностей переходов. Приравнивая (2.19) к (2.20),
находим выражение для параметра л, через микрохарактеристики среды:

л = 12 ħ(n1  g1 n2/g2)/.
(2.21)
ПЭПиУ II часть
70
2.3 Макроописание оптических характеристик
вещества

Оптические характеристики вещества

Рассмотрим общий случай проводящей среды, описываемой тремя
параметрами: , σ, . Исходя из (2.5), можно получить следующее уравнение
для вектора Е световой волны в среде:

Δ Е– (/c2) 2/t2 – (4σ/c2) /t = 0.
(2.22)
Это уравнение содержит член  (4σ/c2)/t, наличие которого связано с
затуханием волны в среде.
В случае монохроматической волны с частотой

Е (t) = Е exp(it)
уравнение (2.22) принимает вид

Δ Е  + (2/c2)( + i4σ/) = 0.
(2.23)
~
Обозначим
=  + i1 =  + i4σ/.
(2.24)
Введение комплексной диэлектрической проницаемости позволяет
привести уравнение (2.23) к виду

Δ + (2/c2) = 0,
(2.25)
который аналогичен виду соответствующего уравнения в
непроводящей среде:

Δ + (2/c2) = 0.






ПЭПиУ II часть
71







Иными словами, введение комплексной проницаемости
позволяет формально рассматривать проводящие среды по
аналогии с непроводящими.
Введем для проводящей среды комплексный показатель
преломления: ~n = n + ikp. По аналогии с выражением (2.4) для
непроводящей среды представим
~

.
(2.26)
n 2  ~

Используя (2.24), находим
n2 = (/2)[  2  (4 / ) 2  ],
(2.27)
k 2p = (/2)[  2  (4 / ) 2  ].
Параметр kp (мнимая часть комплексного показателя
преломления) называется коэффициентом экстинкции  он
описывает затухание волны в проводящей среде. При σ = 0
выражения (2.27) дают n2 = , kp = 0, что соответствует частному
случаю непроводящей среды.
Убедимся в том, что параметр kp действительно характеризует
затухание волны. Введем для плоской монохроматической
волны в проводящей среде комплексный волновой вектор
(здесь рассматривается одна составляющая волнового вектора).
Воспользуемся известным соотношением, которое с учетом (2.4)
позволяет записать k = n/c.
аналогии представим и комплексный
~ По
~
волновой вектор в виде k = n~ /с, или
k = k +  i = n/c + (in1/c),

(2.28)
тогда для волны вдоль оси z получаем
~
 exp (i k z) = exp (ikz) exp(–  z).
(2.29)
ПЭПиУ II часть
72






 z) как раз и указывает на
Появление множителя ехр (
затухание волны с расстоянием z, пройденным в среде.
Величина имеет смысл линейного коэффициента поглощения.
Легко видеть, что

(2.30)
 = kp/c.
Подчеркнем, что комплексность показателя преломления и
волнового вектора характерна для всех случаев, когда
излучение распространяется в поглощающей среде.
Комплексный показатель преломления определяет, в
частности, такую оптическую характеристику среды, как
коэффициент отражения. Для нормального падения волны
из вакуума на границу среды с показателем преломления
~n = n+ ikp, коэффициент отражения имеет вид
 R = [(n – 1)2 + kp2 ]/[(n + 1)2 + kp2].
(2.31)
В общем случае коэффициент отражения зависит также
от угла падения и поляризации излучения.
В заключение отметим, что ниже рассматриваются только
немагнитные среды ( = 1).
ПЭПиУ II часть
73
Оптические свойства диэлектриков и металлов



Оптические свойства среды существенно связаны с ее
проводящими свойствами. Введем следующее обозначение:
  = 4σ/.
(2.32)
В случае когда  << 1, в оптическом отношении среда
является диэлектриком (для идеального диэлектрика  = 0),
а при  >> 1 – среда является металлом.
Применив обозначение (2.32), представим выражения для
различных оптических характеристик среды в виде
~  (1  i ),

(2.33)




n 2  0,5( 1   2  1),
(2.34)
k 2  0,5( 1   2  1),
(2.35)
R  1
2 2( 1   2  1)
( 1    1)  1  2( 1    1)
2
  1 /   c 0,5( 1   2  1) / .
ПЭПиУ II часть
2
.
,
(2.36)
(2.37)
74


Величина  характеризует глубину проникновения
излучения в среду, т.е. служит мерой прозрачности среды
по отношению к излучению с частотой .
В случае диэлектрика ( << 1) выражения (2.33)  (2.37)
принимают вид

~  ,

n 2  ,

(2.38)
(2.39)
k 2p   2 / 4  1,
(2.40)
2


  1 
4 

 ,
R  1

(   1) 2    1 
(2.41)

  2c /    c  / 2.
(2.42)
Коэффициент экстинкции для диэлектрика много меньше
единицы. Соответственно, глубина проникновения излучения в
среду велика, причем она не зависит от частоты.
Отражательная способность диэлектрика определяется
его диэлектрической проницаемостью, может изменяться в
широких пределах и от частоты излучения она не зависит.
ПЭПиУ II часть
75
В
случае металла ( >> 1) выражения (2.33)  (2.37) принимают вид


~
  i  i4 / ,
(2.43)

n 2  k 2p  0,5  1,
(2.44)
(2.45)
R  1  2 2 /( 1  2 )  1  2 2 /   1  2 /   1,
  2c /    c  / 2.
.
Коэффициент
экстинкции
для
R
металла равен вещественной части
показателя преломления, причем обе 1
величины
много
больше
единицы.
Глубина проникновения излучения в среду
мала и изменяется с частотой по закону
0,5. Отражательная способность
металла
велика,
причем
с
1.10 15
увеличением
частоты
медленно
понижается (рис. 2.3).
ПЭПиУ II часть
(2.46)
 , Гц
3
5
7
76




Вернемся к соотношению (2.32). Оно показывает, что
оптические свойства среды зависят не только от
параметров σ и , но и от частоты излучения . При
возрастании частоты среда начинает все более
походить на диэлектрик. Напомним, что металлические
кристаллы становятся прозрачными по мере увеличения
частоты излучения (начиная приблизительно с
ультрафиолетовой области спектра). На рис. 2.3 показана
зависимость R() для серебра. Кривая R() указывает на то,
что при  < 41015 Гц серебро является в оптическом отношении
металлом. При дальнейшем повышении частоты излучения
серебро постепенно превращается в оптическом
отношении в диэлектрик и его коэффициент отражения
существенно уменьшается.
Диэлектрическая восприимчивость среды
Материальное уравнение D  E перепишем в виде
 D  E  4E.
(2.47)
Такая запись с физической точки зрения более логична. Она
представляет вектор электрической индукции в виде
суммы двух векторов: вектора , описывающего поле
исходной световой волны, и некоторого вектора 4,
описывающего отклик среды на световую волну.
ПЭПиУ II часть
77

Вектор



P  E
(2.48)
называют поляризацией среды. Он представляет собой
электрический дипольный момент единицы объема среды,
наведенный полем волны. Параметр , описывающий связь между
полем E и откликом среды P на это поле, называют диэлектрической
восприимчивостью среды. Легко видеть, что
  = (  1)/4.
(2.49)
Для проводящих (поглощающих) сред вводят комплексную
диэлектрическую восприимчивость ~
~
    i1  (   1) / 4.

(2.50)

Диэлектрическая восприимчивость и поглощаемая средой
световая мощность

Световая мощность Рр1, поглощаемая в единице объема среды, связана
с мнимой частью диэлектрической восприимчивости среды
соотношением

 Pp1  1  EE  / 2.
(2.51)

Если 1 < 0, то говорят об отрицательном поглощении и тогда
соотношение (2.51) описывает мощность, выделяемую средой за счет
процессов испускания, индуцированных полем E .
ПЭПиУ II часть
78


Соотношение (2.51) дает макроскопическое описание процессов
поглощения и индуцированного испускания света.
Для получения (2.51) будем исходить из выражения



Pp1    div S  c / 4  div(E  H)  .
(2.52)
Далее воспользуемся тем, что div(E  H)  H  rotE  E  rotH, после
чего величина Рр1 разбивается на два слагаемых:

Pp1  PpЭ  РрМ  с / 4  E  rotH  с / 4  H  rotE  .
Слагаемое РрЭ отвечает электрическим потерям в среде, а
слагаемое РрМ  магнитным потерям. Если среда немагнитная,
то последним слагаемым можно пренебречь. В связи с этим
рассмотрим далее только первое слагаемое
PpЭ  с / 4  E  rotH  .


(2.53)
(2.54)

Выразим rot H через t D  в соответствии с уравнениями
Максвелла. При этом воспользуемся уравнениями (2.3) для
непоглощающей среды, предусмотрев поглощение за счет
использования комплексной диэлектрической проницаемости. Тогда

PpЭ  1 / 4  E

D ,
t
ПЭПиУ II часть
(2.54)
79
причем
в предположении монохроматичности излучения


Подставляя
E(t)  0,5(Eeit  Eeit )
,
D(t)  0,5(~Eeit  ~Eeit ) .
(2.56)
(2.56) в (2.55) и учитывая, что
<ехр
(2it)> = 0 и <ехр (  2it)> = 0,
Получаем

Используя
Pp Э 
i ~  ~
(    )  EE   .
16 
(2.57)
далее (2.50), приходим к искомому результату (2.51)
~  
~)  EE  0,5  EE  .
PpЭ  0,25i(
1
ПЭПиУ II часть
80
Временная дисперсия диэлектрической восприимчивости




В соотношении (2.48) предполагалось, что отклик среды в
некоторый момент времени t определяется полем световой
волны в этот же момент времени:

(2.58)
P(t )  E(t ).
В действительности, однако, необходимо принимать во внимание
неизбежную «инерционность» среды  отклик P должен
«отставать» от поля E , поскольку всякий механизм
установления в среде поляризации, наведенной полем волны,
требует времени. Это время точно не определено и поэтому,
строго говоря, поляризация среды в данный момент должна
определяться полем волны во все предыдущие моменты
времени. Отсюда следует, что вместо (2.58) надо применять

соотношение
P ( t )   ()  E ( t  )d.

(2.59)
0
Итак, нелокальность во времени
связи между векторами и
приводит к зависимости от времени диэлектрической
восприимчивости среды. В связи с этим говорят о временной
дисперсии диэлектрической восприимчивости.
Выполним спектральное разложение поляризации среды и поля
волны:
P ( t )   Pe  it d, E ( t  )   E e  i( t   )d.
ПЭПиУ II часть
81

Тогда выражение (2.59) может быть переписано в виде
 i t
 i ( t   )
P
e
d



(

)
E
e
d,





где

 ()    ( )  e i d.
(2.60)
0





Таким образом, для фурье-компонентов векторов и
рассматриваемое материальное уравнение имеет вид
P  ()E.
(2.61)
Такая запись весьма удобна в случае монохроматических волн; в
этом случае  и  являются амплитудами соответственно
поляризации среды и поля волны.
По аналогии с (2.61) можем представить
(2.62)
D  ()E ,


где
()  1  4 ()  ei d.
(2.63)
0


Временная дисперсия и частота излучения
Чем больше частота излучения, тем, очевидно, сильнее
проявится «инерционность» среды. Отсюда, в частности,
следует, что эффект временной дисперсии диэлектрической
восприимчивости при переходе от радиодиапазона к
оптическому диапазону становится более выраженным.
ПЭПиУ II часть
82





Промежуток времени Δ, на протяжении которого функция ()
заметно отлична от нуля, определяется временем релаксации
процессов, ответственных за установление поляризации среды.
Оценим его следующим образом:
 Δ  a/1  ma2/ħ,
(2.64)
где а  линейные размеры атома, m  масса электрона, 1  скорость
электрона в атоме.
Полагая, а  10–8 см, m = 1027 г, получаем Δ  1016 с.
Если период колебаний 1/ много меньше времени Δ, то
процесс установления поляризации среды не будет
«поспевать» за изменениями поля волны, при этом интеграл
(2.60) обращается в нуль. Таким образом, необходимым
условием наведения в среде поляризации является условие
 Δ  1/.
(2.65)
В радиодиапазоне условие (2.65) выполняется всегда (поскольку
Δ << 1/) и временная дисперсия несущественна, а в
оптическом – поле меняется значительно быстрее (период 1/
становится близким к величине Δ) и временная дисперсия играет
заметную роль.
ПЭПиУ II часть
83





Чем труднее процессу поляризации среды «поспевать» за
изменениями поля волны, тем оказывается менее
выраженной оптическая «индивидуальность» данной
среды. При относительно низких частотах наблюдают
обилие оптически разных сред, но по мере возрастания
частоты излучения среды становятся оптически все
более и более похожими (постепенно превращаются в
оптические диэлектрики). Подчеркнем, что это – прямое
следствие возрастающей роли эффекта временной
дисперсии диэлектрической восприимчивости.
При достаточно высоких частотах излучение перестает
«различать» разные среды и все среды становятся в
оптическом отношении одинаковыми, а величина () для всех
сред принимает универсальный вид:
(2.66)
()  1  4n e  2 / m2
где ne  полное число электронов в единице объема среды.
При    получаем () = 0 и () = l, т.е. в предельном случае
все среды вообще оптически неразличимы (они совершенно
прозрачны, не преломляют, не отражают и не поглощают
излучения) и излучение перестает вообще «замечать»
среду.
ПЭПиУ II часть
84

Пространственная дисперсия

Наряду с временной дисперсией следует учитывать также и
пространственную дисперсию диэлектрической
восприимчивости, отражающую нелокальность связи между
векторами E и P в пространстве. Можно показать, что
нелокальность в пространстве является следствием
нелокальности во времени. Пусть поляризация среды в данный
момент времени t в данной точке r определяется полем волны в
этой точке в момент t  Δ. За время Δ волна пройдет путь,
равный Δ, и, следовательно, указанная поляризация среды будет
определяться полем волны в момент t, но уже в другой точке
пространства r 1, причем  r – r 1= Δ. При строгом подходе это
означает, что




P ( r )    (  ) E ( r   )d 
(2.67)
а величина существенно отличается от нуля для   
.
Пространственная дисперсия проявляется, когда
эффективные линейные размеры области, в которой функция
 ( ) отлична от нуля, превышают или по порядку величины
соответствуют длине волны излучения, а при
ПЭПиУ II часть
85
  



эффект пространственной дисперсии можно не учитывать.
Таким образом, при   106 см (в радиодиапазоне) условие (2.68)
выполняется хорошо, а в оптическом диапазоне (особенно в его
коротковолновой части) это условие выполняется плохо или вообще не
выполняется. Поэтому при переходе от радиодиапазона к
оптическому диапазону необходимо принимать во внимание наряду
с временной также и пространственную дисперсию диэлектрической
восприимчивости.


Итак, соотношение


P(r, t )  E(r, t)
(2.69)
должно быть заменено в оптическом диапазоне более
точным соотношением, учитывающим временную и
пространственную дисперсии диэлектрической
восприимчивости среды:


(2.68)
P ( r , t )   (, )E(r  , t  )dd.
(2.70)
Используя плоские монохроматические световые волны
E k exp(it  ikr) получаем на основе (2.70) и по аналогии с (2.61)
выражение
Pk  (k, )Ek ,
где
( k , )   (  , ) exp( i  ik  )d  d.
ПЭПиУ II часть
(2.71)
86
2.4 Особенности распространения световых волн
в анизотропных средах



Тензор диэлектрической проницаемости
Известно, что анизотропия свойств кристалла обусловливает
тензорную природу его физических характеристик. Это
относится, в частности, и к диэлектрической проницаемости.
Обозначив через ik компоненты тензора диэлектрической
проницаемости, запишем связь между электрической индукцией
и напряженностью поля волны в виде
3
(2.72)
Di 
 ik E k

k 1



Соотношение (2.72) означает, что в кристаллах векторы D и E
могут иметь разные направления.
Наряду с тензором диэлектрической проницаемости можно,
очевидно, ввести тензор диэлектрической восприимчивости.
Обозначив компоненты этого тензора через ik, обобщим
соотношения (2.47) и (2.48) на случай анизотропных сред:
3
(2.73)
Pi    ik E k ,
k 1


 ik  ( ik   ik ) / 4
(Напомним: ik = 1, если i = k; ik = 0, если i  k).
ПЭПиУ II часть
(2.74)
87





Плотность электрической энергии поля излучения в кристалле
запишем, используя (2.72), в виде
 (8) 1 ( xx E 2x   yy E 2y   zz E 2z  2 xy E x E y 
1
1
E 
Ei ik E k 
 Ei Di  8 
8 i
i
k
 2 xz E x E z  2 yz E y E z ).
Такой результат получается при произвольном выборе
координатных осей (xyz). Однако для каждого кристалла
существует жестко связанная с ним определенная система
осей (ХУZ), в которой выражение для  E существенно
упрощается:
1
E 
( X E 2X   Y E 2Y   Z E 2Z ).
(2.75)
8
Эти координатные оси называют главными диэлектрическими
осями кристалла. В случае одноосных кристаллов одна из
главных диэлектрических осей совпадает с осью наибольшей
симметрии (кристаллографической осью). Из (2.75) следует, что при
выборе главных осей тензор диэлектрической проницаемости
диагонализируется: Di = εiЕi. Величины εi называют главными
значениями этого тензора. Им соответствуют главные
показатели преломления кристалла n i   i .
В одноосных кристаллах число главных значений тензора
диэлектрической проницаемости и соответственно число
главных показателей преломления сокращается до двух. Если
OZ  кристаллографическая ось, то εx = εy и соответственно nx = nу. В
случае кристаллов кубической симметрии тензор
диэлектрической проницаемости вырождается в скаляр;
напомним, что в оптическом отношении кристаллы кубической
симметрии ведут себя как изотропные среды.
ПЭПиУ II часть
88
Оптическая индикатриса

Перепишем (2.75) в виде








(2.76)
То есть (2.76)  поверхность постоянной плотности энергии и
является эллипсоидом, величины главных осей которого пропорциональны
главным показателям преломления.
Введем координатные оси (, η, ):
  D X / 8E
  DZ / 8E
  D Y / 8E

(2.77)
Направления этих осей совпадают с направлениями осей (XYZ). С
учетом (2.77) выражение (2.76) принимает вид

(2.78)
 2 / n 2X  2 / n 2Y   2 / n 2Z  1.
Уравнение (2.78) описывает эллипсоид с главными осями, имеющими
длины 2nХ, 2nY, 2nZ. Направления главных осей эллипсоида совпадают с
направлениями главных диэлектрических осей кристалла. Этот
эллипсоид называют оптической индикатрисой кристалла.
В одноосных кристаллах оптическая индикатриса превращается из
трехосного эллипсоида в эллипсоид вращения, а в кристаллах кубической
симметрии вырождается в сферу.


D2X / n 2X  D2Y / n 2Y  D2Z / n 2Z  8E
Уравнения, описывающие распространение световых волн в
анизотропной среде
Будем рассматривать анизотропную прозрачную (σ = 0) немагнитную
(µ = 1) среду. Распространение световых волн в такой среде описывается
уравнениями Максвелла
1 B
1 D
rot E  
, rot H 
,
c t
c t

(2.79)
дополненными материальными уравнениями
Di  ik E k , B  H.

(2.80)
k
89
ПЭПиУ II часть


Применим уравнение (2.79) с учетом того, что, к плоским

монохроматическим волнам E exp(it  ikr ) . В результате
получим следующую систему уравнений:
(k  E )  H / c, (k  H )  D / c.
Обозначим K  kc / .


(2.81)
(2.82)
Тогда уравнения (2.81) примут вид
(2.83)
(K  E )  H , (K  H )  D.
Подставив первое из уравнений (2.83) во второе, получим

(2.84)
D  K 2  E  K(KE ).
Используя первое из уравнений (2.80), учтем анизотропию
среды и перепишем (2.84) в виде
(2.85)
 ik E k  K 2 E i  K i K k E k ,
k
k
 или
(2.86)
k (K 2 ik  K i K k   ik )E k  0.
Это есть система трех линейных однородных уравнений.
Она имеет отличные от нуля решения при условии, что ее
определитель обращается в нуль:
(2.87)
2
K  ik  K i K k   ik  0.







ПЭПиУ II часть
90

Используя оси (XYZ), запишем (2.87) в виде
K 2 ( X K 2X   Y K 2Y   Z K 2Z )  [K 2X  X ( Y   Z ) 
 K 2Y  Y ( X   Z )  K 2Z  Z ( X   Y )]   X  Y  Z  0.
Уравнение (2.88) называют уравнением Френеля.





(2.88)
Специфика распространения световых волн в анизотропной среде
Из уравнений (2.81) следует, что три вектора (k, D, H) взаимно
перпендикулярны, кроме того, взаимно перпендикулярны векторы H и E .
Поскольку S  c ( E  H ), то взаимно перпендикулярны также векторы H , S
4
и E ,S .
Тот факт, что вектор H перпендикулярен одновременно четырем
векторам (k, D, E, S) , означает, что эти четыре вектора лежат в
одной плоскости. На рис. 2.4 показаны векторы k, D, E, S ; вектор H
направлен перпендикулярно плоскости рисунка навстречу читателю.
Следует отметить: а) векторы E и S всегда образуют друг с другом
прямой угол, б) то же можно сказать о векторах D и , k в) векторы S и k
а также векторы D и E могут иметь разные направления.
D
E
S
0
k
ПЭПиУ II часть
91



Последнее обстоятельство означает, что при
распространении световой волны в кристалле направление
нормали к волновому фронту (направление волнового вектора k )
и направление распространения световой энергии (направление
вектора Пойнтинга S ) в общем случае не совпадают. При этом
поле волны оказывается не вполне поперечным: вектор E не
перпендикулярен волновому вектору k .
Исключение составляют кристаллы кубической
симметрии, а также все те случаи для кристаллов более низкой
симметрии, когда волновой вектор k направлен вдоль одной из
главных диэлектрических осей кристалла. В этих случаях угол ЕОS на
рис. 2.4 поворачивается до совмещения S с k , а E с D ; тогда
приходим к ситуации, характерной для изотропной среды: S || k, E || D.
Обратимся к уравнению Френеля (2.88). Оно квадратично
относительно K 2 (напомним: K  kc /  ). Отсюда следует, что каждому
направлению вектора K 2соответствуют в общем случае два
различных абсолютных значения волнового вектора k , отвечающие
двум монохроматическим волнам с разными скоростями
распространения, т.е. с разными показателями преломления.
ПЭПиУ II часть
92





Можно показать, что каждая из этих волн линейно
поляризована, причем направления поляризации волн взаимно
перпендикулярны.
Уравнения Френеля определяют специфику распространения
волн в анизотропной среде:
 если в вакууме и изотропных средах могут распространяться
как линейно-, так и эллиптически-поляризованные волны, то в
анизотропной среде распространяются только линейнополяризованные;
 в каждом направлении анизотропной среды
распространяются две линейно-поляризованные
монохроматические волны, которые имеют одинаковую частоту
и одинаковое направление волновых векторов, но различаются
скоростью распространения и поляризацией.
Для определения показателей преломления и поляризаций
(направлений вектора D ) указанной пары волн используют
оптическую индикатрису. Для этого находят сечение индикатрисы
плоскостью, проходящей через центр эллипсоида перпендикулярно
волновому вектору k (рис. 2.5, а).
ПЭПиУ II часть
93

Z
0
k
KZ
н


KY
Y
X
а
а
D2
0
KZ
n2
D1
KY
n1
н
б
Рис. 2.5. Определение показателей преломления
Рис. 2.6. Сечения поверхностей волновых векторов
ПЭПиУ II часть
б
94



Это сечение есть в общем случае эллипс; он изображен на
рис. 2.5, б. Направления главных осей эллипса являются
искомыми направлениями поляризации ( D1 и D 2 ), а длины
главных полуосей  соответствующими показателями
преломления (n1 и n2).
Оптическая индикатриса двуосного кристалла, будучи
трехосным эллипсоидом, имеет два круговых сечения.
Перпендикулярные этим сечениям направления называют
оптическими осями. Заметим, что они не совпадают с главными
диэлектрическими осями кристалла. Для волн,
распространяющихся вдоль оптических осей, имеем n1 = n2 и,
следовательно, одинаковые скорости распространения. В этом
случае приходим от двух линейно-поляризованных волн к одной
волне, которая, вообще говоря, имеет эллиптическую
поляризацию. Наличие именно двух оптических осей объясняет,
почему данные кристаллы называют двуосными.
Оптическая индикатриса одноосного кристалла есть
эллипсоид вращения и, следовательно, имеет лишь одно
круговое сечение. Отсюда  одна оптическая ось (совпадающая с
кристаллографической осью кристалла) и название «одноосный
кристалл».
ПЭПиУ II часть
95



Полагая для одноосного кристалла X  Y (Z-ось выбрана
вдоль оптической оси), преобразуем уравнение Френеля (2.88) к виду
(K 2  Y )[K 2Z Z  (K 2X  K 2Y )Y   Y Z ]  0.

(2.89)
Обозначим Z  H , X  Y  Z  0 . Уравнение (2.89) распадается
на два уравнения, которые могут быть записаны в виде





Поверхности волновых векторов для одноосного
кристалла; обыкновенные и необыкновенные волны
K 2 / 0  1,
K 2X  K 2Y K 2Z

н
0
= 1.
(2.90)
Первое из уравнений (2.90) описывает в пространстве
волновых векторов сферу радиусом 0 , а второе  эллипсоид
вращения, главные оси которого имеют длины 2  0 и 2 H. Эти
поверхности называют поверхностями волновых векторов
одноосного кристалла [20].
На рис. 2.6 приведено сечение указанных поверхностей
плоскостью ZY для двух случаев: 0  H (отрицательный одноосный
кристалл);  0   H (положительный одноосный кристалл).
В обоих случаях имеются две поверхности волновых
векторов; это соответствует распространению в каждом
направлении в кристалле двух линейно-поляризованных волн.
ПЭПиУ II часть
96

В одноосном кристалле одна из этих волн имеет сферический
фронт, для нее кристалл является как бы изотропной средой; эту
волну называют обыкновенной. Другая волна имеет поверхность
волновых векторов в виде эллипсоида; эту волну называют
необыкновенной.


Скорость распространения обыкновенной волны изотропна и равна
.
(2.91)
V0  c / K 0  c /  0
Скорость же распространения необыкновенной волны зависит от
угла Ψ между направлениями волнового вектора и оптической оси (Zоси). Нетрудно убедиться, что
с
sin 2  cos 2 

.

При распространении вдоль оптической оси кристалла (  0)
скорости обыкновенной и необыкновенной волн совпадают; если же
, то разность скоростей указанных волн максимальна.
  / 2
Отметим, что обыкновенная волна характеризуется диэлектрической проницаемостью 0 и показателем преломления n 0  0 ;
необыкновенная волна характеризуется главными значениями
тензора диэлектрической проницаемости ε0 и εн и соответственно
главными показателями преломления n 0  0 и n0  H .


Vн 
Кн
с
ПЭПиУ II часть
н

0
(2.92)
97
Обыкновенная и необыкновенная волны линейнополяризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях. Назовем
главным сечением для данного волнового вектора k плоскость,
проходящую через вектор k и оптическую ось кристалла. Можно
показать, что векторы E и D необыкновенной волны лежат в
плоскости главного сечения, тогда как векторы E и D
обыкновенной волны перпендикулярны главному сечению (это
видно также из рис. 2.7).
Оптическая индикатриса и поверхности волновых векторов
Итак, существует два способа рассмотрения кристаллооптики 
с использованием оптической индикатрисы либо с использованием
поверхностей волновых векторов. Не следует путать эти способы
друг с другом. Чтобы подчеркнуть различие между оптической
индикатрисой кристалла и его поверхностями волновых
векторов, ниже приведена табл. 2.2.
Тип кристалла
Оптическая
индикатриса
Поверхности волновых векторов
Двуосный
Трехосный эллипсоид
Две сложные поверхности
Одноосный
Эллипсоид вращения
Одна – сфера,
другая – эллипсоид вращения
Кубический
Сфера
Две
ПЭПиУ II часть
совпадающие друг с другом
сферы
98


Покажем, как можно построить поверхности волновых
векторов, исходя из оптической индикатрисы. На рис. 2.7
изображена в виде эллипсоида вращения оптическая
индикатриса положительного одноосного кристалла.
Предположим, что волновой вектор лежит в плоскости
ZY. Для некоторого положения, характеризуемого углом Ψ,
показано нopмальноe к вeктopy K сечение индикатрисы (на рисунке
оно частично заштриховано). Измеряем главные полуоси этого
сечения (получим отрезки 0А и 0B) и откладываем полученные
отрезки на направления волнового вектора: получим точки К0 и
Кн (0К0 = 0A, 0Кн = 0B). Изменяя угол Ψ, будем варьировать
положение волнового вектора в плоскости ZY. Повторяя для
каждого нового положения указанную выше процедуру, получаем
в конечном итоге две замкнутые кривые в плоскости ZY: одну
из них опишет при своем движении вместе с вектором точка К0,
а другую  точка Кн.

Кривая, описанная точкой К0, есть
Z
K
сечение поверхности обыкновенной
волны (легко видеть, что 0К0 = const при
B
Kн
всех значениях Ψ), а кривая, описанная

точкой Кн, есть сечение поверхности

необыкновенной волны. На рис. 2.7 эти
K0
кривые показаны пунктиром.
0
Y
А
X
ПЭПиУ II часть
99






Двойное лучепреломление
Тот факт, что внутри кристалла распространяются две
разные линейно-поляризованные волны, имеет своим следствием
специфику преломления света на границе кристалла  так
называемый эффект двойного лучепреломления. При двойном
лучепреломлении наблюдается появление двух различно
преломленных световых лучей. В случае одноосного кристалла
один из лучей соответствует обыкновенной волне, другой 
необыкновенной. Луч, соответствующий необыкновенной волне,
аномален; он лежит, вообще говоря, не в плоскости падения.
Двойное лучепреломление при нормальном падении
показано на рис. 2.8. Здесь 1  необыкновенный луч; 2 
обыкновенный луч, 00  оптическая ось кристалла.
0
1
h

2
L
0
Величина смещения h лучей максимальна, когда угол между
направлениями падающего луча и оптической оси удовлетворяет
условию
tg  n 0 / n H .
(2.93)
2
2
При этом h  Ltg(n 0  n H ) / 2n 0 n H , где L  длина кристалла в
направлении распространения света.
ПЭПиУ II часть
100


Двойное лучепреломление наблюдают на границе всех
монокристаллов, за исключением кубических, а также тех
случаев, когда световая волна падает нормально к поверхности
при условии, что последняя перпендикулярна оптической оси.
Эффект двойного лучепреломления наблюдают также на
границе оптически изотропных сред (кубических кристаллов,
поликристаллических тел, жидкостей), если в последних создана
искусственная анизотропия.
Рассмотрим частотные зависимости оптических параметров,
определяющих характер взаимодействия света с веществом.
2.5 Дисперсионные соотношения

Дисперсионные соотношения представляют собой
интегральные функции отклика, описывающие реакцию
равновесной стационарной физической системы на внешние
воздействия, отражают аналитические свойства функций
отклика в комплексной плоскости частоты (энергии) и
фиксируют их частотную зависимость. В более узком смысле
они связывают рефракцию распространяющихся в системе
волн с их поглощением.
ПЭПиУ II часть
101



Дисперсионные соотношения имеют универсальный вид, не
зависящий от конкретной динамики системы.
Вывод дисперсионных соотношений основан на общем
принципе причинности: никакое физическое событие не может
повлиять на уже происшедшие события.
Соответственно, реакция системы в момент времени t на
воздействие в момент t описывается функцией отклика R(t  t), равной
нулю при t < t, а Фурье-компонента R() этой функции конечна и
потому аналитична в верхней полуплоскости частоты .
Использование интеграла Коши приводит к простейшему
безвычитательному дисперсионному соотношению (см.
преобразование Гильберта):


(2.94)
1
Re R ()   P  d Im R () /(  ) ,



справедливому, если R  0 при    (Р – символ главного значения
интеграла).
Исторически первыми дисперсионными соотношениями
были соотношения Крамерса – Кронига, связывающие
действительную и мнимую части показателя преломления
среды, которая обладает частотной дисперсией.
ПЭПиУ II часть
102

Более общие дисперсионные соотношения, охватывающие и
случай пространственной дисперсии, имеют вид (2.94) с заменой R
величинами
1
1
2
2 2 1

(

,
k
)

1
,

(

,
k
)



(

,
k
)
/
k
c

,
(2.95)
прямо связанными с продольной и поперечной функциями Грина ЭМП в
однородной изотропной среде ( и  – диэлектрическая и магнитная
пронциаемости,k – волновой вектор). Дисперсионные соотношения для
величины , когдаR  [(k) 1] , справедливы лишь в пределеk  0 , в
котором эта величина становится функцией отклика.
Релятивистскому принципу причинности отвечают дисперсионные
соотношения, введенные М.А. Леонтовичем в 1961 году и отличающиеся от
дисперсионных соотношений для величин (2.95) заменой в правой части
k  k  (  )u / c ( u – произвольный вектор, u  1 ). В сочетании с
флуктуационно-диссипативной теоремой, связывающей ImR c
процессами диссипации в среде, дисперсионные соотношения дают
информацию об общих свойствах последней.
Экспериментальная проверка дисперсионных соотношений,
выведенных непосредственно из общих принципов квантовой теории поля,
показала применимость этих принципов вплоть до масштабов ~ 1016 см.





ПЭПиУ II часть

103






Дисперсионные соотношения послужили исходным пунктом целого ряда
методов описания сильного взаимодействия, однако они в значительной мере
утратили свою исключительную роль в связи с успехами квантовой
хромодинамики как динамической теории сильного взаимодействия.
Дисперсия света – совокупность оптических явлений, обусловленных
зависимостью комплексной величины  от частоты  световой волны и ее
волнового вектора .
Отклик среды на воздействие световой волны является инерционным
и нелокальным, т.е. значение электростатической индукции D в данный
момент времени t и в данной точке r0 зависит от значений электрического
поля Е в предыдущие моменты времени (временная, или частотная дисперсия
света) и значений Е в окрестности этой точки (пространственная дисперсия
света). Математически это утверждение записывается в виде интегрального
материального уравнения (см. Максвелла уравнения), связывающего векторы D и

E [23, 25]:
D i ( t, r0 )  d dr ij (, r )E i ( t  , r0  r )

.
(2.96)
0
Представляя реальный световой пучок в виде разложения по плоским
гармоническим волнам, с частотой  и волновым вектором k , и переходя к
Фурье-представлению в уравнении (2.96), получим простую связь между
компонентами D и E:
Di   ij (, k)E j

,
(2.97)
где  ij – комплексный тензор диэлектрической проницаемости. Магнитная
проницаемость прозрачных диэлектриков в оптическом диапазоне частот
практически не отличается от единицы.
 
ПЭПиУ II часть
104





Эффекты пространственной дисперсии света в оптическом
диапазоне проявляются слабо, так как длина световой волны  >> а
(характерного линейного размера, например постоянной кристаллической
решетки), однако многие оптические явления объясняются ею.
В дальнейшем будем рассматривать только частотную
дисперсию света, которая более существенная, так как частоты
оптического излучения ( ~ 41015 Гц) и внутриатомных (молекулярных)
процессов соизмеримы, и отклик среды часто носит резонансный
характер.
Так как фазовая скорость света определяется
действительной частью показателя преломления, а n зависит от , то
под частотной дисперсией света понимают также зависимость
фазовой скорости от . Простейшее проявление частотной дисперсия
света – это разложение белого света в спектр с помощью призмы.
Экспериментальное исследование этого явления проведено И. Ньютоном (I.
Newton, 1672) с помощью скрещенных призм (рис. 2.9).
Спектральные составляющие исходного пучка преломляются
под разными углами в зависимости от  и образуют цветную полосу. Во
второй призме, расположенной перпендикулярно к первой, различные
участки спектра тоже отклоняются неодинаково. На экране
наблюдается изогнутая цветная полоса, расположение и форма
которой дают информацию о зависимости n() для обеих призм.
Для большинства оптических материалов в видимом
диапазоне n растет с частотой – нормальная дисперсия показателя
преломления. Вблизи полос поглощения вещества наблюдается
уменьшение n с частотой – аномальная дисперсия (рис. 2.10).
ПЭПиУ II часть
105
Ф
Ф
Ф
Кр
Кр
Ф
К
К
а
б
0
Рис. 2.9  Наблюдение частотной дисперсии света
Рис. 2.10  Нормальная и аномальная дисперсии


Явления дисперсии света получили теоретическое
объяснение в классической теории дисперсии Х.А.Лоренца (Н.А.
Lorentz), согласно которой под действием ЭП световой волны
возникает ускоренное движение элементарных электрических
зарядов в веществе. Излучение этих зарядов складывается с
полем исходной волны и служит причиной дисперсии света.
В прозрачных диэлектриках оптический (находящийся на
внешней орбите) электрон рассматривается как затухающий
гармонический осциллятор, его дипольный момент
удовлетворяет уравнению

d2p
dt

2
 2
dp
 0 p  (q 02 / m)E эфф exp(i, t )
2
(2.98)
dt
где q0 и m – заряд и масса электрона; р – проекция индуцированного
дипольного момента на направление вектора Е; Еэфф – амплитуда ЭП,
действующего на электрон; 0 – собственная частота;  – коэффициент
затухания этого диполя.
ПЭПиУ II часть
106





Частное решение уравнения (2.98), соответствующее
установившемуся режиму колебаний, имеет вид
p  p 0 exp(t),
p 0  (q 02 / m) /(02  2  2i)E 0  p()E 0
,
где p() – поляризуемость атома. Между гармоническими изменениями
дипольного момента и внешнего поля имеется разность фаз, а по мере
приближения частоты воздействия к 0 амплитуда колебаний быстро
увеличивается (резонанс, обусловливающий поглощение света).
В конденсированных средах столкновения между атомами
приводят к появлению непрерывного распределения собственных
частот с центром в точке 0 и вызываются наличием дислокаций,
примесей, тепловых флуктуаций плотности и т.д. Коэффициент
затухания поляризации единицы объема диэлектрика Г,
содержащей N диполей, определяется, как правило, расфазировкой
всех диполей. Поэтому комплексная амплитуда поляризации
единицы объема (при однородном уширении спектральной линии)
записывается в виде
2

.
(2.99)
P0  (Nq0 / m) /(02  2  2iГ)Е0
Из соотношения между векторами D  E  4P  E следует, что

.
(2.100)
2
2
2
  1  (4Nq0 / m) /(0    2iГ)
Учитывая выражение для комплексного показателя преломления
(где n характеризует преломление, а kp  поглощение), получим

(2.101)
2
2
4

Nq
/
m
4

Nq
/
m
2
0
0
n2  kp  1 2
(02  2 ),
nkp  1  2
Г.
2 2
2 2
2 2
(0   )  4Г 
(0   )  4Г22

ПЭПиУ II часть
107
n , kp
kp
n
1

0



Зависимость n и kp от частоты 
представлена на рис. 2.11.
В конденсированных средах существенным
становится взаимодействие молекул. Если среда
статически изотропна или представляет собой
кристалл с кубической симметрией, то
действующее поле связано со средним
макроскопическим полем простым соотношением
Eэфф  E  4P / 3.
Подстановка этого соотношения в правую часть уравнения
(2.98) приводит к формуле Лоренц – Лоренца
 1 ~
n 2  1 4N

(2.102)
 ~2

p().
2 n 2
3
Классическая теория [22] позволяет учесть наличие в веществе
различных видов осцилляторов с собственными частотами k и
коэффициентами затухания Гk (k = 1, 2, 3…) и обобщить формулу
(2.100) следующим образом:
q02
fk
  1  4N

,
 2 2
m k k    2iГ k  (2.103)
где эмпирическая константа fk называется силой осциллятора и
характеризует относительный вклад определенного типа
колебаний в поляризуемость на данной частоте. Собственные
частоты электронных колебаний обычно расположены в УФобласти спектра (реже – в видимой), ионных – в ИК-области.
ПЭПиУ II часть
108



С помощью дисперсионной формулы (2.103) по
результатам экспериментального измерения поглощения или
преломления в пределах спектральных линий (полос) можно
определить эмпирические константы k, Гk, fk и построить
аппроксимационную формулу, пригодную для вычисления
зависимости () в широком спектральном диапазоне.
В полуклассическом описании дисперсии света атом
(молекула) рассматривается как квантовая система, обладающая
дискретным набором энергетических состояний ℰk. Переход с
низшего энергетического состояния ℰk на высшее ℰn сопровождается
поглощением кванта энергии ħnk = ℰn  ℰk, а при обратном переходе
– излучением. Воздействие на атом классического ЭМП световой
волны учитывается с помощью теории возмущений. Зависимость
поляризуемости от частоты вне линий поглощения имеет вид
p() 
q0
2
m


  k
n
k
f nk
,
(2.104)
2nk  2
где k  вероятность нахождения атома в состоянии с энергией ℰk, а
силы осцилляторов связаны с матричными элементами дипольного
перехода следующим соотношением:
2m
2
f nk 
nk p nk
.
(2.105)
2
3q 0 
ПЭПиУ II часть
109





Основное значение квантового подхода состоит в том, что он
раскрывает смысл эмпирических констант и позволяет связать
дипольные моменты перехода и другие внутриатомные
характеристики с экспериментально измеряемыми величинами.
Квантовая теория предсказала принципиально новое явление –
отрицательную дисперсию. В среде с инверсией населенности
n > k переходы с верхних уровней на нижние сопровождаются
усилением света, что соответствует отрицательным значениям
силы осциллятора fnk (обычно силы осцилляторов считаются
положительными для поглощения и отрицательными для испускания).
Наличие отрицательных слагаемых в дисперсионной формуле (2.105)
экспериментально обнаружено Р. Ладенбургом (R. Ladenburg) в 1930 году.
Отрицательная дисперсия света типична для всех лазерных сред.
Совместное проявление дисперсии света и нелинейности показателя
преломления может привести к компенсации дисперсионного
расплывания и формированию стационарных световых импульсов –
солитонов, наблюдаемых в оптических волокнах.
Если в диэлектрике ЭП E изменяется во времени, то поляризация
диэлектрика не успевает следовать за вызывающим ее переменным ЭП,
так как смещения зарядов не могут происходить мгновенно.
Вследствие этого векторы P и D в данный момент времени t зависят
от значений функции E (t) во все предшествующие
моменты времени:
t

(2.106)
D(t )  E(t )  df (t  )E(),



где вид функции f зависит от свойств среды.
ПЭПиУ II часть
110






Поскольку любое переменное поле можно представить в виде
совокупности полей, меняющихся по гармоническому закону, то
достаточно рассмотреть поведение диэлектрика в поле E = Е0 ехр(it).
Под действием такого поля величины D и P будут колебаться также
гармонически, с той же частотой . Однако между колебаниями D и E
будет существовать разность фаз, что вызвано отставанием
поляризации P от E . Зависимость D ( E ) выражается формулой
(2.107)
D  ()E.
Диэлектрическая проницаемость  () является комплексной
величиной
()  1 ()  i 2 (),

(2.108)
т.е. характеризуется двумя величинами 1 и 2, зависящими от .
Абсолютная величина
i()  12   22

(2.109)
определяет амплитуду колебания D , а отношение 2/1 = tg
определяет разность фаз  между колебаниями D и E . Величина 
называется углом диэлектрических потерь в связи с тем, что наличие
разности фаз приводит к поглощению энергии ЭП в диэлектрике. В
переменных ЭП СВЧ и в поле световой волны свойства диэлектрика
характеризуют, как показано выше, показателем преломления n и
показателем поглощения kр (вместо 1 и 2).
ПЭПиУ II часть
111





Показатель преломления n равен отношению скоростей
распространения ЭМВ в диэлектрике и в вакууме; kр характеризует
затухание ЭМВ в диэлектрике. Величины n, kр, 1 и 2 связаны
соотношением
n  ik p  1  i 2
.
(2.110)
Из общих соображений можно показать, что функции 1() является
четной: 1() = 1(), а функция 2() – нечетной: 2() =  2(). Кроме
того, функции 1() и 2() связаны интегральными соотношениями
Крамерса  Кронига. Характер зависимостей 1() и 2() отражает
процесс установления поляризации во времени. Если изменение P при
включении поля имеет характер затухающих колебаний (рис. 2.12, б), то
зависимости 1() и 2() называются резонансными.
При ориентационной поляризации P (t) – экспонента, и в этом случае
1() и 2() называются релаксационными (рис. 2.13, а).
Функция () имеет простой вид лишь для простейших систем,
например для разреженного инертного газа. Если рассматривать атомы как
совокупность классических гармонических осцилляторов, то уравнение
движения осциллятора в ЭП E = Е0ехр(it) имеет вид

x  1x  02 x  q 0 E 0 m1 exp(it)
ПЭПиУ II часть
.
(2.111)
112
Р
 ( )
Р
 ( )
1
1
2
t
0
а





2
t
0
б

1/ 
б
а
Рис. 2.12  Характер изменения при включении поля
 Рис. 2.13  Резонансные и релаксационные зависимости 1() и 2()
0
0
0

Здесь q0, m – величины порядка заряда электрона и его массы, 0 –
собственная частота, 1 характеризует затухание.
Из (2.100) следует закон дисперсии:
()  1  2p /(02  i1  2 ) .

(2.112)
2
Здесь 2p  4Nq 0 / m , где N – число атомов-осцилляторов в единице
объема диэлектрика. Квантовомеханическое рассмотрение дает
сходный результат с тем отличием, что частотам 0, 1, р придает
иное физическое содержание: 0 – одна из частот поглощения или
излучения атома, 1 отвечает обратному времени жизни атома в
соответствующем возбужденном состоянии, р – величина, связанная с
вероятностью переходов атома из одного состояния в другое
(плазменная частота).
Колебания ионов в твердом теле можно представить в виде
совокупности нормальных колебаний, т.е. рассматривать
кристаллическую решетку как набор независимых гармонических
осцилляторов.
ПЭПиУ II часть
113




На однородное в пространстве, переменное по времени ЭП
реагирует строго определенное число этих осцилляторов – те из них,
которые отвечают предельным оптическим колебаниям,
сопровождающимся изменением поляризации (их называют также
колебаниями, активными в ИК-поглощении).
В области низких частот дисперсия  может быть описана с
помощью формулы (2.112) и для сильно ангармонических систем. При
этом нужно учесть, что 0 << , и формулу (2.112) можно представить
в виде формулы Дебая:
()  1  const/(1  i)

,
(2.113)
где   время релаксации. Такая зависимость применима в широком
интервале , когда основным механизмом поляризации является
ориентационный.
На рис. 2.14 изображена зависимость (), характерная для
широкого класса твердых диэлектриков.

0
p

1
 p
0
6
8
~10 ....10 Гц
ПЭПиУ II часть

~10
13
Гц
~10
15
Гц
114





Выделяется несколько областей дисперсии в разных диапазонах
, что указывает на несколько различных механизмов поляризации.
В ионных кристаллах типичные периоды колебаний ионов ~ 1013
с. Поэтому область дисперсии (), обусловленная ионной
поляризацией, приходится на частоты  ~ 1013 Гц (ИК-диапазон).
При более высоких частотах ионы уже не успевают смещаться,
и весь вклад в поляризацию обусловлен электронами. Характерные
периоды колебаний электронов ~ 1015 с. ЭМВ на частотах  ~ 1015
Гц (УФ-диапазон) сильно поглощаются, т.е. резко возрастает 2.
При меньших  (в частности, для видимого света) чистые
однородные диэлектрики (в отличие от металлов) прозрачны
(наличие примесей и дефектов приводит к появлению электронных
уровней в запрещенной зоне диэлектрика, а следовательно, к
дополнительному поглощению ЭМВ определенных частот, что
вызывает окраску кристаллов).
В диэлектриках с полярными молекулами характерные
времена  установления ориентационной поляризации
определяются величиной потенциального барьера U,
разделяющего состояния с различными ориентациями
электрических диполей. Эти времена зависят от
температуры:
  ~ exp(U/kT)
(2.114)
и сравнительно велики, порядка 106  108 с.
ПЭПиУ II часть
115








В еще более низкой области частот может наблюдаться
релаксационная дисперсия, обусловленная дефектами и
неоднородностями диэлектрика. Для некоторых диэлектриков могут быть
существенными более специфические механизмы дисперсии, например
связанные с колебаниями под действием поля доменных стенок в
сегнетоэлектриках. Таким образом, изучая зависимость (), можно
получить сведения о свойствах диэлектрика, выделить вклад в
поляризацию от различных ее механизмов и оценить проводимость, а
следовательно, и потери (поглощение) в объеме материала световой
энергии (нижняя кривая на рис. 2.14), вызванные аномальной дисперсией.
Для оценки тепловых потерь энергии в единице объема диэлектрика
за время t подставим плотность тока (смещения
j = d D /dt) в закон Джоуля  Ленца в дифференциальной форме
(Ер = j E t) и, полагая ЭП гармоническим (Е = Е0exp(it)), получим
 Ер/t = E d(0E)/dt = 0(1  i2)E dE/dt = 0(1  i2)E2 .
Действительная часть этого выражения описывает тепловые
потери энергии из-за наличия смещения (вектор электрического смещения
D = 0 E + P = E 0):
 Q/t = E210 tg,
т.е., чем больше сдвиг фаз между колебаниями P и E , тем большая часть
энергии идет на нагрев диэлектрика.
Вместе с тем, поглощенная энергия вызывает повышение
температуры, что, как правило, приводит к снижению времени
релаксации диполей, поэтому возрастание температуры может
приводить в ряде случаев и к снижению диэлектрических потерь.
ПЭПиУ II часть
116






Поглощение и дисперсия длинноволнового излучения
Классическая теория поглощения справедлива для частот, при
которых период колебаний световой волны гораздо больше среднего
времени релаксации электрона , т.е. при  << 1 (при этом имеется в
виду, что ħ << kT) [26].
Если условие  << 1 не выполняется, то следует применить
более строгую теорию, учитывающую релаксационные эффекты.
Электроны и здесь рассматриваются как квазисвободные, т.е.
их энергия связана с квазиимпульсом k соотношением
(2.115)
E(k)   2 k 2 / 2m.
Поэтому для анализа длинноволнового излучения можно
пользоваться формулами Друде  Зинера, которые, вообще говоря,
можно получить, решая кинетическое уравнение для электронов в
металле, подвергающихся одновременному действию ЭМП световой
волны и столкновениям с решеткой. Как будет показано далее (в
разделе о влиянии аномального скин-эффекта на оптические свойства
металлов), из кинетического уравнения можно получить формулу для
плотности тока j в виде
 E
 E(1  i)
0 E
i0 E

j 0  0


. (2.116)
1  i

1  2  2
 2 ( 2  1 /  2 )
 и   1/ , то для (2.116) находим
Так как iE  E

0  2
0  
j
E
E.
2
2
2
2
 
 
ПЭПиУ II часть
 2 ( 2  1 /  2 )
(2.117)
117


Из формулы (2.117) видно, что при малых частотах ( << ) ток
находится в основном в фазе с возбуждающим полем E , а при
высоких частотах ( >> ) он отстает от поля на 90° и по
абсолютному значению меньше, чем при самых низких частотах.
  E и сравнивая с (2.117), после ряда
Учитывая, что j  E
преобразований получим известные формулы Друде  Зинера

2
() 
 
2
2
0 
Nq0 
2

m 
2
2


1 
,
4
(2.118)
4Nq 0
4
()  1  2


1

0

(2.119)
  2
m 2   2
(N – число осцилляторов в единице объема, 0 – удельная
электропроводность металла). Интересно найти критическую
частоту , при которой световая проводимость и диэлектрическая
проницаемость начинают приближаться к своим значениям в
пустоте, т.е. к нулю и единице соответственно.
Из (2.118) видно, что  при  <<  равняется 0, а при  = 
начинает убывать, так что при  >> ,   ( / ) 2 ,  0  0.
Одновременно при этом   0. Поэтому критическую циклическую
частоту следует принять равной  = . Но в случае свободных
электронов
2
  Nq0 / m0 .
(2.120)
2




ПЭПиУ II часть

118






Для серебра (N = 61022, 0 = 61017 CGSE)  = 2,61013 1/с, что
соответствует «критической» длине волны  ~ 75 мкм
(экспериментально  ~ 6,721014 1/с).
При высоких частотах ( >> ) световая проводимость, а
следовательно, и поглощение тем больше, чем больше затухание (т.е.
чем меньше ), или чем быстрее столкновения восстанавливают
равновесие (противоположно соотношениям при малых частотах).
Например, для серебра при  = 251014 ( = 6000 ангстрем) имеем
 = 0 (2,61013/251014)2 = 41013 1/с, тогда как опыт дает 31014 1/с,
т.е. в десять раз большее значение, чем формула (2.118). Отсюда
следует, что ток, возбуждаемый в видимом свете путем
ускорения электронов, для поглощения уже не имеет
существенного значения. Поэтому поглощение в видимой и тем
более в ультрафиолетовой области спектра сводится к другим
причинам  квантовому поглощению (причем здесь имеют значение
также и волны решетки).
В случае малых частот для диэлектрической постоянной получается
большое отрицательное значение. Так, например, для серебра имеем
40
4  6  1017
5
 1
1


3

10
.
13

2,6  10
На величины n и kр, имеющие физическое значение, этот факт не
оказывает слишком большого влияния, так как соотношение n2  kр2 = 
при отрицательном  возможно лишь при kр > n. Это неравенство
выполняется и в действительности для всех металлов при малых
частотах.
ПЭПиУ II часть
119





При более высоких частотах ( > ) величина  становится
независимой от затухания и проводимости 0. Подставляя величину
 из (2.119) в (2.120), получим формулу для комплексного показателя
преломления, а именно:
  1  4Nq02 / m2 .
(2.121)
Если учесть тот факт, что электроны движутся в
 0  Nq02 / m0
кристаллической решетке, то вместо постоянной
затухания
m
m  2 E m
следует подставить    0 f ,
f 


где
(2.122)
m *  2 k 2x
k
есть сила осциллятора, соответствующая линии поглощения с
частотой, равной нулю. Эта величина характеризует меру
отклонения электронов от полной свободы. Тогда вместо (2.121)
будем иметь
2


4Nq0
f.
m2
(2.123)
4
,
 1
(2.124)
Эту формулу можно истолковать так, что только часть
электронов в 1 см3, а именно Nf, участвует в дисперсии. Из формулы
(2.122) следует, что для совершенно свободных электронов
проводимости величина f равна единице, а в общем случае f
несколько меньше единицы. Комбинируя (2.118) и (2.119), можно
определить постоянную затухания


 1

которая должна быть независимой от длины волны, если
развиваемая теория справедлива.
ПЭПиУ II часть
120








Соотношение (2.124) удовлетворительно выполняется в области
длинных волн, тогда как при коротких волнах согласие с опытом
плохое. Таким образом, теория, учитывающая только ускорение
электронов, справедлива лишь в далекой инфракрасной
области спектра, формула (2.123) для  справедлива еще далеко в
видимой области, тогда как формула (2.118) для   несправедлива.
В то время как в длинноволновой области спектра с
уменьшением длины волны () делается меньше, как этого
требует теория, в коротковолновой она опять возрастает, т.е. в
этой области наряду с классическим поглощением следует
учитывать квантовое поглощение.
Таким образом, при дисперсии электроны проводимости ведут
себя в значительной степени как свободные, и лишь далеко в
фиолетовой области появляется заметное отклонение. Последнее
заключение, конечно, справедливо для щелочных и благородных
металлов.
Особенно интересно численное значение величины f, ибо она есть
мера «свободы» электронов и вместе с тем позволяет2 сделать
m E
заключение о ширине полос энергии (так как f  2 2  A, а А
 k x
пропорциональна ширине полос энергии). Так, например,
для серебра
f = 0,9 – 1, т.е. электроны почти свободны, для золота ~ 0,7,
для меди ~ 0,4.
ПЭПиУ II часть
121

В формулах (2.118) и (2.119) N есть концентрация электронного газа.
Эффективная концентрация свободных электронов или электронов
3
проводимости, по определению, равна
8 m  m *  0 
N

 ,
3 m *  2 

где m*  эффективная масса, а m = 9,11031 кг  масса свободного
электрона.





Иногда электроны в металле считают совершенно свободными,
т.е. полагают m*  m, N  Nсв  8m0 / 2 / 3, но такое предположение
совершенно не обосновано. Нерациональным представляется также
определение концентрации электронов проводимости как величины
8
m *  0 / 2 3  m * N / m, вполне аналогичной N св.
N 
3
В этом случае   1  4q 0 2 N /[m * (2   2 )] и N уже не является
эффективной концентрацией свободных электронов.
3
Из выражений (2.118) и (2.119) следует, что входящие величины N и 
(характеризующие металл) позволяют определить лишь их отношение
N/m* = N/m. Кроме того формулы (2.118) и (2.119) определяют не полные
значения t и t, a лишь долю, вносимую электронами проводимости.
ПЭПиУ II часть
122

Однако в длинноволновой области спектра, где существенным
является механизм поглощения света, путем ускорения электронов
t =  и  t    1   a   a  4q 0 2 N /[m * (2   2 )],
а вдали от границы
квантового поглощения величина а ~1 - 10 и, в общем случае,
значительно меньше 4Nq0 2 /[m(2   2 )]. Опуская индекс t,
представим  в виде

   a  4q 0 N /[m(2   2 )].
2
(2.125)

Концентрация N заранее неизвестна; попытки определить N из
тех соображений, что на атом приходится одно, два и т.д. число
электронов проводимости, не обоснованы и не могут иметь скольконибудь определенного количественного значения. Поэтому величина
N должна определяться из сопоставления формул (2.118) и (2.119) и
им подобных с данными опыта.

При этом особенно ясная картина имеет место в области
частот, удовлетворяющих неравенствам


21 >> 2 >> 2,
(2.126)
где 1  частота, отвечающая границе квантового поглощения.
ПЭПиУ II часть
123
2
2
Дело в том, что a ~ 4Nq0 /(m ) и с учетом (2.126) имеем



 a  4Nq02 /(m12 )  3,18109 N / 2 ,
(2.127)
т.е. а зависит только от частоты  и подлежащей определению
величины N.

Установим теперь, в какой области частот неравенства (2.126) могут
выполняться в действительности. Не исключено, что для некоторых
металлов не существует или практически недостижима область, где
выражение (2.117) является достаточно точным. В этом случае величина
N должна определяться по более общим, но в то же время и менее
надежным формулам (например, (2.118) и (2.119)). Для того чтобы оценить
точность выражения (2.125), следует разложить упомянутые более общие
формулы в ряд с точностью до членов порядка 2/2 включительно. В
случае (2.118) и (2.119) мы при этом находим


 (2.128)
 a   4Nq 0 (1   /  ) / m ,

2

n  0,5 4Nq 0 / m2 (1  5 2 / 82 ) / ,


2
k p  4Nq 0 / m2 (1  3 2 / 82 ),


4n
2
2
2

A 2
  m / Nq 0 (1   / 8 ),
2

n  kp

2
2
2
2
2
2 
sin Ф t g Ф  n  k p  4Nq 0 / m (1   / 4 ).
2
2
2
ПЭПиУ II часть
2
124

Для проводников при комнатной температуре   31013. В ближней
ИК-области спектра, например, при  = 2 мкм ~ 1015 и,
следовательно, 2/2 ~ 103. С другой стороны, при   1015 и N ~
2
51022 величина   4Nq0 /(m2 ) ~ 102 и условие  >> а ~ 1 - 10
также выполняется. Поэтому невозможность пренебрежения 2 по
сравнению с 2 и а по сравнению с , как это необходимо для
применения (2.125), может оказаться существенной, только если
граница квантового поглощения лежит уже в инфракрасной части
спектра. Понижение температуры (уменьшение ) и переход в
область более низких частот благоприятны с точки зрения
возможности с достаточным основанием применять формулу
(2.125). В соответствующей области частот, измеряя на опыте n и
kр или только одну величину Ф (главный угол падения, который
2
связывает Ф с оптическими характеристиками)
sinФ tgФ  n 2  k p ,
определяем концентрацию электронов проводимости:



N
 m2
4q 0
2
n

2

 k p m2
2
4q 0
2
2
2
sin 2 Ф tg 2 Ф m2
21 sin Ф tg Ф

 1,12 10
,
2
2

4q 0
(2.129)
где   длина волны в микронах. Здесь вместо знаков приближенного
равенства поставлены знаки равенства, так как, например, при  ~ 104
–4
2
  n 2  k  sin 2 Ф tg2 Ф с точностью, не меньшей, чем 1/ ~ 10 .
p
ПЭПиУ II часть
125


Получение концентрации электронов проводимости N с
помощью формулы (2.129) или ей подобных в результате
оптических измерений величин n и  является одной из основных
задач оптики металлов, имеющей важное принципиальное значение
для теории металлов. Выражения (2.125) и (2.128) можно
рассматривать как определения величины N, которая входит также
в целый ряд других формул, не являющихся, однако, столь
независимыми от тех или иных модельных предположений.
Кроме N в (2.118) и (2.119) входит еще только число соударений
, которое может определяться лишь из этих же формул. При этом
проверить теорию можно, определяя , например из выражения для
проводимости  = 0 = Nq02/m, и затем сравнивая
экспериментальные и теоретические значения оптических
характеристик ,  или n, kр,  и т. д. при различных частотах.
Подобное сравнение приводит, особенно при низких температурах, к
резкому расхождению формул (2.118) и (2.119) с экспериментом.
Исследования показали, что для согласия теории с
экспериментом нужно учитывать аномальный характер скинэффекта, квантовую природу взаимодействия электронов
проводимости с ЭМП и межэлектронные соударения.
ПЭПиУ II часть
126


Таким образом, в ИК- и видимой области оптического
диапазона металлы отражают падающее излучение
(металлический блеск). Это объясняется преимущественным
рассеянием света при его взаимодействии со свободными
электронами, концентрация которых N достигает в
металлах ~ 1022  1023 см-3. Электроны излучают в процессе
рассеяния вторичные волны, которые при сложении
формируют сильную отраженную волну. Поглощение квантов
света непосредственно электронами проводимости возможно
только при их одновременных (относительно редких)
столкновениях с фононами, примесями, друг с другом,
поверхностью металла, границами зерен и кристаллитов.
Столкновения и формирование из рассеянного света
отраженной волны происходят в тонком приповерхностном слое
(скин-слое толщиной  << 1 мкм), в котором затухает
проникающее в металл излучение.
Роль свободных электронов во взаимодействии ЭМИ с
металлами является определяющей в широком диапазоне
частот (от радиодиапазона до ближнего ИК-диапазона). В
результате такого влияния оптические и электрические
свойства металлов взаимосвязаны: чем больше
статическая проводимость металла 0, тем сильнее он
отражает свет.
ПЭПиУ II часть
127

Отклонения возникают при низких температурах и на
высоких частотах (видимая область спектра), когда важную
роль играют квантовые эффекты, связанные с
электронным рассеянием, межзонными переходами и др. В
УФ- и более коротковолновых диапазонах с излучением
взаимодействуют электроны внутренних оболочек атомов, и,
например, в рентгеновской области спектра металлы уже не
отличаются от диэлектриков по оптическим свойствам.

Оптические свойства металлов непосредственно связаны с
величиной их проводимости (), зависящей от частоты . В рамках
классической электродинамики оптические свойства однородных
изотропных металлов описывают с помощью комплексного
n    n  ik p , причем диэлектрическая
показателя преломления ~
~
проницаемость   1  i(4 / ) .
Для анизотропных металлов   тензор. В радиодиапазоне
свойства металлов характеризуются связанным с ~n
~
поверхностным импедансом Z = 4 / cn . Оптические постоянные n и
kp зависят от частоты. При таком рассмотрении формализм
металлооптики и оптики прозрачных сред совпадает (то же
волновое уравнение, формулы Френеля и т.п.).

ПЭПиУ II часть
128



При этом постоянная распространения света в металле
является так же комплексной величиной, как ~ и ~
n , что означает
затухание ЭМВ. Глубина, на которой амплитуда
электромагнитного поля уменьшается в е раз (глубина скин-слоя),
равна   с/kp.
Основное объяснение спектральных зависимостей
коэффициентов отражения R() и поглощения () базируется на
теории твердого тела и скин-эффекта в металле.
Вид зависимостей R() и () определяется соотношением
длины свободного пробега электронов l, длины пробега l1 электрона
за период колебаний поля и величины скин-слоя  или соотношением
частот падающего излучения , плазменной частоты свободных
электронов р = (4Nq20/m*)0,5 частоты электронных столкновений 
и величины  = р/с, характеризующей влияние на поглощение
эффектов пространственной дисперсии проводимости. Здесь р 
фермиеевская скорость электрона, q0 – его заряд, m*  эффективная
масса. Типичные для металлов значения составляют: l = 0,03  0,1
мкм, р = (5  20) 1015 с-1,  = (2  50) 1013 с-1,  = (1 10) 1013 с-1.
ПЭПиУ II часть
129


При  >  связь между напряженностью ЭП и плотностью
наведенного тока проводимости локальна, т.к. либо l < , либо
l1 < . При этом свет затухает с глубиной экспоненциально
(нормальный скин-эффект), а оптические свойства
описываются комплексной диэлектрической проницаемостью
~
  (n  ik p )2 . Входящие в нее показатели преломления n() и
поглощения kp() выражаются через р и  с помощью
дисперсионных формул классической электронной теории
металлов (формулы Друде  Зинера):
n () 

k p ()



y
/   ( y    ) 2
2
p

0,5

 (y    )
0, 5
/ 2,
(2.130)
где у = р2/(2 + 2),   1 – высокочастотный предел
диэлектрической проницаемости металла при  >> ф.
В ИК-области спектра (у >> 1) и
 ()  4n /[(n  1) 2  k 2 ]  2 2 / 
p
p

c

p
1   2 / 2  1, (2.131)
0,5


2( 2   2 )
.

2
2 0,5 

[


(



)
]


ПЭПиУ II часть
(2.132)
130
При низких частотах ( << ; область I, рис. 2.15) выполняются
соотношения Хагена  Рубенса:

n  k p  p / 2  1;   c / p 2 / ;   2 2  / p  2  / 2 , (2.133)
где   удельное статическое сопротивление металла. Для сплавов
эти соотношения справедливы вплоть до средней ИК-области
спектра (до длин волн  ~ 5  10 мкм), пока  > l. При этом
n  kp 1050,   0,04  0,2,   0,1  0,3 мкм.
В ВЧ-области ( <  << р), охватывающей для хорошо
отражающих металлов ближний и средний ИК-диапазон (~ 1 – 10
мкм), оптические характеристики определяются преимущественно
недиссипативным затуханием света в электронной плазме металла
(область релаксации II, рис. 2.15). Из (2.131) следует, что








n  p / 22  1, k p  p /   1,   c /.p ,   2 / p
(2.134)
Глубина скин-слоя здесь составляет ~ 0,02  0,05 мкм, а
коэффициент поглощения  не зависит от частоты и
определяется эффективностью столкновений электронов
(  0,01  0,1). Скин-эффект близок к нормальному, так как l1 << l, .
В видимой области спектра, наряду с внутризонным
поглощением света свободными электронами, на оптические
характеристики ряда металлов влияет межзонное поглощение, не
описываемое теорией Друде  Зинера. Коэффициент поглощения 
при этом возрастает до 0,2  0,5.
ПЭПиУ II часть
131
kp
n



n


c0
p
0

1
/p
8

kp

p
 0
I
II

p
III

0
В УФ-области при  ~ р (область прозрачности III, рис. 2.15)
для всех металлов типичен переход от сильного отражения к
прозрачности, вследствие изменения характера
поляризуемости среды и знака 1. При  >> р отклик
металлов на ЭМ-воздействие связан с возбуждением излучения
внутренних электронных оболочек атомов и аналогичен отклику
диэлектриков.
В таблице приведены значения величин n, kp и R при
комнатной температуре для некоторых металлов в видимой и ИКобластях
ПЭПиУ II часть
132
 = 0,5 мкм
 = 5,0 мкм
n
kp
R,%
n
kp
R,%
Cu
1,06
2,70
63,2
3,1
32,8
98,9
Ag
0,11
2,94
95,5
2,4
34,2
99,2
Au
0,50
2,04
68,8
3,3
35,2
98,95
Zn
-
-
-
3,8
26,2
97,9
Al
0,50
4,59
91,4
6,7
37,6
98,2
In
-
-
-
9,8
32,2
96,6
Sn
0,78
3,58
80,5
8,5
28,5
96,2
Pb
1,70
3,30
62,6
9,0
24,8
95,0
Ti
2,10
2,82
52,5
3,4
9,4
87,4
Nb
2,13
3,07
56,0
8,0
27,7
96,2
V
2,65
3,33
56,6
6,6
17,5
92,7
Mo
3,15
3,73
59,5
4,25
23,9
97,2
W
3,33
2,96
51,6
3,48
21,2
97,0
Fe
1,46
3,17
63,7
4,2
12,5
90,8
Co
1,56
3,43
65,9
4,3
14,6
92,9
Ni
1,54
3,10
61,6
4,95
18,5
94,8
Pt
1,76
3,59
ПЭПиУ II часть 7,7
65,7
20,2
93,7
133





Для наклонно падающего света коэффициент отражения R
и поглощения , а также фазовые сдвиги  при отражении зависят
от состояния поляризации света. Для s-поляризованного
излучения величина коэффициента отражения RS монотонно растет
с увеличением угла падения S; зависимость Rp() для р-поляризованного излучения имеет вид кривой с минимумом при
р  аrcos(1/kp). При  = 0 и  = /2 значения Rp и RS совпадают.
Вследствие отличия Rp от RS и р от S при отражении от
металла наклонно падающей линейно-поляризованной волны она
становится эллиптически-поляризованной. Это используется
для определения оптических параметров n и kp (см. формулы
Френеля).
Особенности в оптическом поглощении появляются при
аномальном скин-эффекте, когда <  или l >  = c/р. Строгая теория
здесь основана на решении кинетического уравнения для
неравновесной функции распределения электронов по энергиям в
поле световой волны.
Из теории следует, что существует особое, поверхностное
поглощение, которое зависит от типа рассеяния свободных
электронов на поверхности металла и возникает вследствие
пространственной дисперсии проводимости.
ПЭПиУ II часть
134



В области частот  <  <  (сильно аномальный скинэффект) такой механизм поглощения является единственным, и
определяемый им коэффициентом поглощения равен
     8 3 (4 / 3)1 / 3 ( / c)1 / 3 ( /  ) 2 / 3 / 9
(2.135)
ç
p
при зеркальном отражении электронов на поверхности и  = д =
=9З/8 при их диффузном рассеянии. Вклад механизма существен и
на более высоких частотах (р >>  > , область слабо аномального
скин-эффекта), когда обусловленное им дополнительное (по
отношению к (2.135)) поверхностное поглощение равно
   0,5( / c)3 ( / )2 р  0,75 (1  р) / c,
(2.136)
п
p
p
где р – феноменологический коэффициент Фукса зеркального
отражения электронов (0  р  1), зависящий от микрогеометрии
поверхности. Хотя влияние шероховатой поверхности на рассеяние
электронов, строго говоря, не описывается одним параметром р, его
удобно использовать как подгоночный. При этом чисто зеркальное
отражение (р = 1) свойственно локально гладким поверхностям (h  5
нм << L); h – среднеквадратичная высота неровностей, L –
корреляционная длина. Для большинства реальных поверхностей р  0
(диффузное рассеяние электронов). В этих условиях п = пмакс  0,01.
Аномальный скин-эффект наиболее заметно влияет на ИК-поглощение
благородных металлов (рис. 2.16).
ПЭПиУ II часть
135
В видимой области спектра существует дополнительное поглощение, связанное
с возбуждением на шероховатостях
. . .Эксперимент
локализованных и бегущих поверхностных
. . . ..
ЭМ-мод (см. поверхностные оптические
волны), которые диссипативно затухают
Расчет по теории нормального
при распространении вдоль поверхности
скин-эффекта при р=1
металла. Оптические характеристики
металла изменяются при нагревании
 , мкм вследствие температурной зависимости
40
10
20
30
частоты электронных столкновений (Т).
Согласно существующим представлениям, в величину  вносят
аддитивный вклад процессы электрон-фононного (еf), межэлектронного
(ее) и электрон-примесного (ер) рассеяния. При низких температурах
(Т < ,   дебаевская температура) коэффициент поглощения 
минимален и определяется электронным рассеянием на
поверхности и примесях, а также квантовыми эффектами в
электрон-фононном взаимодействии.
В среднем и ближнем ИК-диапазоне

(2.137)
мин  п  2 ср / p  4 0 / 5p (1  5k / 6h) ,
где 0 – частота электрон-фононных столкновений при дебаевской
температуре. Например, при Т = 4,2 К на  = 10 мкм мин= 2103 (р = 1);
6103 (р = 0)  для меди и 1,3103 (р = 1); 4,7103 (р= 0) – для серебра.
3
 .
8
6
4
2




Расчет по теории нормального
скин-эффекта при р=0
ПЭПиУ II часть
136



При высоких температурах (Т > ) основной вклад в  и  вносят
электрон-фононные столкновения, частота которых линейно
растет с Т. Вследствие этого в том же частотном диапазоне
 (Т) = 0 + Т,
(2.138)
где 0  мин – не зависящая от Т компонента поглощения,  
термооптический коэффициент ~(1  5) 105 град-1.
Таким образом, при поглощении квантов возрастает
кинетическая энергия отдельных электронов, которая за
короткое время (~1013  1012 c) перераспределяется между
другими электронами в результате межэлектронных соударений,
и возрастает температура электронного газа Те. Далее эта
энергия передается решетке за время  ~ 1011 – 1010 c, что
приводит к росту решеточной температуры (Тi). Через время ~
10 обе температуры выравниваются (Те = Тi = Т). Нагрев
внутренних слоев осуществляется за счет электронной
теплопроводности. Поскольку коэффициент поглощения
металлов увеличивается с нагревом ( ~ Т), то это ведет к
постепенному ускорению темпа разогрева металла ЛИ
постоянной плотности, вплоть до перехода к тепловой
неустойчивости. При высоких интенсивностях и коротких
воздействиях ЛИ Те может значительно превышать Тi, а
поглощение отличаться от равновесного. Помимо
непосредственного роста температуры, к изменению
коэффициента поглощения  при лазерном нагреве на воздухе
приводит окисление поверхности металла, сопровождающееся
образованием поглощающих и интерференционных окисных пленой,
а также диффузией кислорода в скин-слой металла.
ПЭПиУ II часть
137





Эти механизмы существенны при воздействии
непрерывного интенсивного излучения. К росту  ведет также
образование на поверхности периодического рельефа при
нагреве металла в интерференционном поле падающего
излучения и возбуждаемых им поверхностных ЭМВ. Лазерное
воздействие меняет также индикатрису отражения
первоначально зеркальной металлической поверхности в
результате появления заметного диффузного рассеяния света.
Дисперсия и поглощение света в видимой и УФобласти спектра
Если описывать систему электронов металла при помощи
оператора плотности , который удовлетворяет квантовому
уравнению движения и в общем случае представляет собой
оператор в конфигурационном пространстве всех координат
электрона, включая и спиновую, то, поскольку во многих
оптических явлениях спин электрона не играет существенной
роли, можем под матрицей плотности  подразумевать
матрицу, сокращенную по спиновой координате [26].
Тогда при вычислении оптических характеристик по методу
матрицы плотности сначала находится выражение  в поле ЭМВ,
затем определяется полная плотность тока в некоторой
точке.
Определив квантовомеханическое выражение для
плотности тока и сравнивая его с плотностью тока по
классической теории, легко определить  и , а следовательно,
и оптические характеристики.
ПЭПиУ II часть
138



Более простые выражения для  и  в УФ-области для
металлов с кубической решеткой получаются если только для
совокупности электронов металла, занимающих стационарные
состояния (n), эквивалентны все направления х, у, z. Если это
условие не выполняется (что может быть, например, при наличии
постоянного тока), то параметры  и  даже для кубической решетки
являются тензорными величинами.
Особенность электронов в металле заключается в том, что
матрица импульса содержит также и диагональные элементы, т.е.
среди состояний n, комбинирующих оптически с n, находится
также само состояние n. Поэтому спектр поглощения,
происходящий от переходов электрона в металле из состояния n в
состояние n, содержит среди других линий также линию с
частотой, равной нулю. Но в то время, как силы осцилляторов для
всех остальных линий поглощения легко могут быть вычислены для
силы осциллятора fnn = f0, соответствующей линии поглощения с
частотой, равной нулю, получаемое аналитическое соотношение
дает бессмысленный результат:  .
Силу осциллятора можно определить также следующим
образом:
i x*
i
x
f nn  p nn x nn  p nxn x *nn  p nxn x nn  x nn p nxn .

(2.139)



 
ПЭПиУ II часть

139






Формула (2.139) позволяет непосредственно получить
теорему сумм. Действительно, согласно перестановочным
соотношениям
xpx  p x x  i,

ypy  p y y  i, 

(2.140)

i
i
zpz  p z z  i 
Имеем
f nxn  p x x  xpx nn   i   1.




(2.141)
n
Откуда получаем хорошо известную теорему Томаса  Кун  Рейхе
x
y
z
  f n n   f n n   f n n  1.
(2.142)
n
n
n
Сумма сил осцилляторов для всех переходов электрона из
определенного состояния n во все возможные состояния n
равна единице. В силу этого сами силы осцилляторов для
сильных переходов также порядка единицы.
Разница в поведении электрона в атоме и в кристалле
состоит в том, что в атоме величина fnn по теореме Томаса 
Куна  Рейхе равна нулю, тогда как для электрона в поле
периодического потенциала она отлична от нуля благодаря
иным граничным условиям, налагаемым на волновую функцию
(периодические граничные условия).
Можно показать, что при переходе без изменения энергии nn = 0
имеет место соотношение
i p x m p x m  2 E
m

(2.143)
x 
f0 

 2 2 
.
 k x  k x  k x mэфф
ПЭПиУ II часть
140






Следовательно, сила осциллятора fnn определяет
зависимость скорости и энергии от квазиимпульса электрона.
Если мы положим fnn = 1, то из (2.143) получим
 (2.144)
p  k, E  0,5 2 k 2 / m,
т.е. хорошо известные формулы для совершенно свободных
электронов. В силу теоремы сумм это означает, что для
свободных электронов вообще не существует вероятности
оптического перехода в состояния с другой энергией, что
представляет известный опытный факт (свободный электрон
не может поглощать, а может только рассеивать свет), т.е.
f nn   f n n  1.
(2.145)
Выражение (2.145) представляет собой теорему сумм для
электронов металла.
При этом если  f nn  f nn , т.е. f nn  1 и   nn , то можем получить
n
n




 / m2 .
je  q 0 E
Но плотность тока, обусловленная N электронами равна
 N / m2 .
je  q 02 E
(2.146)
Сравнивая (2.146) с известным выражением для плотности тока
 , получаем хорошо известную формулу Друде  Зинера. Это
j  E
означает, что при высоких частотах электроны можно
рассматривать как свободные.
ПЭПиУ II часть
141








Вклад аномального скин-эффекта в
поверхностное поглощение
Открытие аномального скин-эффекта существенно изменило
представление о физических свойствах металлов, особенно
оптических, при низких температурах.
Предполагалось, что уравнение проводимости справедливо при
любых условиях, т.е. плотность тока всегда определяется как
.
j  E  E
(2.147)
Однако в области низких температур, когда средняя длина
свободного пробега электрона сравнима с глубиной проникновения
поля в металл, электрон за время одного свободного пробега будет
двигаться через области с разной напряженностью поля, и
добавочная скорость, которую он получит, будет зависеть от
напряженности поля вдоль всего пути его движения. Это означает,
что выражение для тока должно иметь более общий вид
j  f (r, E).
Выражение для плотности тока при этом имеет вид
определенного интеграла, учитывающего значение ЭМП во всех
точках металла, и поэтому уравнение Максвелла совместно с этим
общим соотношением для плотности тока приводят к интегродифференциальному уравнению, на решении которого и основана
интерпретация аномального скин-эффекта.
ПЭПиУ II часть
142





Результаты решения показывают, что ЭП определяется сложным
выражением и не имеет экспоненциального вида (т.к. распространяющиеся волны не являются более экспоненциальными и комплексный
показатель преломления теряет физический смысл). Однако все
измеряемые оптические величины могут быть выражены через
поверхностный импеданс.
При длине свободного пробега значительно меньше глубины
скин-слоя остается справедливой теория оптических свойств,
основанная на явлении нормального скин-эффекта.
Известно так же, что если в цепи циркулирует переменный ток
достаточно высокой частоты, то он распределяется неравномерно
по сечению проводника – концентрируется у поверхности, спадая по
мере проникновения в глубь проводника. Это явление и носит
название скин-эффекта. Различают нормальный и аномальный скинэффекты.
Явление нормального скин-эффекта хорошо объясняется на
основе уравнений Максвелла и закона Ома. При этом обычно предполагается, что выводы теории справедливы для всех температур и
частот. Из этой теории скин-эффекта можно получить связь между
проводимостью проводника при переменном токе и его проводимостью при постоянном токе – оказывается, что первая
пропорциональна квадратному корню из второй.
Однако эксперименты показали, что при низких температурах
имеется сильное расхождение между предсказаниями теории и опытом: с
понижением температуры скин-сопротивление перестает зависеть
от сопротивления при постоянном токе.
ПЭПиУ II часть
143





Этому отклонению от обычной теории скин-эффекта и было
присвоено название аномального скин-эффекта.
Следует напомнить, что в колебательном последовательном
контуре амплитуда тока определяется как
 J = U/[R2 + (L  1/C)2]0,5 = U/Z,
где U  внешняя ЭДС.
Если частота  внешней ЭДС совпадает с собственной
частотой колебательного контура  = (LC)0,5, то наступает
резонанс, при котором амплитуда тока в контуре будет равна
 J = U/R.
Изменение амплитуды тока в колебательном контуре в
зависимости от частоты колебаний внешней ЭДС
представляется резонансной кривой (рис. 2.17).
2
Uk
Ширина полосы пропускания 
 между 1 и 2, при которых
квадрат напряжения на
конденсаторе равен 0,5 от
максимального при  = 0
0
ПЭПиУ II часть
  

144




Известно, что при резонансе переменное напряжение на
конденсаторе и на катушке индуктивности может во много раз
превышать по величине приложенную ЭДС, при этом
 0L = 1/0C и UC = UL = Uk.
По закону Ома произведение амплитуды тока при
резонансе на реактивное сопротивление катушки или
конденсатора равно напряжению на катушке или на
конденсаторе и добротность определится как
 Q = Uk/U = 0L/R = 1/0CR .
Введем понятие полосы пропускания контура на уровне 0,5,
при этом ширина полосы пропускания определяется как
разность  между теми двумя частотами 0  0,5, а квадрат
напряжения на конденсаторе будет равен 0,5 максимума при
 = 0 (рис. 2.17). При таком определении избирательностью
(селективностью) контура называют величину S = 0/. Можно
показать, что для контура с большой добротностью имеет
место соотношение S = Q = 0/, т.е. избирательность контура
равна его добротности, а селективность обратно
пропорциональна сопротивлению контура и приближенно
обратно пропорциональна импедансу резонатора.
ПЭПиУ II часть
145


Экспериментально измеренная скин-проводимость (рис.
2.18) сравнивалась с проводимостью на постоянном токе.
Сопротивление измерялось путем определения ширины полосы
пропускания резонатора (колебательный контур), в котором в
качестве проводников употреблялись исследуемые металлы.
Методы измерения Q и положены в основу исследования скинпроводимости.
Если бы поведение  = 1/R соответствовало классической
теории скин-эффекта, то все точки должны были бы лежать на
одной прямой линии, проходящей через начало координат.
Аномальное поведение проявляется характерным образом в том,
что кривые отклоняются достаточно сильно от ожидаемой прямой
линии и стремятся стать параллельными к оси 0,5.
-1
 , Ом
Au
700
600
500
Ag
400
Sn
300
200
3
-1
 0,5 10 , (Ом-1см )
100
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22
ПЭПиУ II часть
146




Таким образом, радиочастотная скин-проводимость практически не
зависит от проводимости для постоянного тока при достаточно низких
температурах, т.е. когда средняя длина свободного пробега электронов
достаточно велика (l >> ).
Из хода кривой зависимости  = 1/R от температуры (через 0,5)
для золота, серебра и олова следует, что классическая теория верна
лишь при комнатных температурах, когда средний свободный
пробег электронов достаточно мал. С увеличением среднего
свободного пробега скин-проводимость практически не зависит от
. В этом и состоит явление аномального скин-эффекта.
Классическая теория скин-эффекта основана, с одной стороны, на
уравнениях Максвелла, с другой стороны, на законе Ома. В справедливости уравнений Максвелла сомневаться не приходится. Следовательно,
подвергается сомнению справедливость закона Ома при низких
температурах.
Причина непригодности закона Ома возникает из
предположения о том, что плотность тока в некоторой точке
целиком определяется значением напряженности электрического
поля в той же точке. Но когда средняя длина свободного пробега
электрона сравнима или значительно больше глубины
проникновения поля, то электрон за время одного свободного
пробега будет двигаться через области с разной напряженностью
поля, и добавочная скорость, которую он получит, будет зависеть
от напряженности поля вдоль всего пути движения.
ПЭПиУ II часть
147





Это означает, что уравнение j = E, в котором  постоянна для всех
частей металла, должно быть заменено более общим уравнением
j = f(E, Z). Следовательно, предположение классической теории о том,
что ЭП можно рассматривать однородным при расчете плотности
тока, не всегда справедливо. Это предположение определенно
справедливо, когда поле изменяется незначительно на расстоянии,
равном длине свободного пробега электронов проводимости (т.е.
когда длина свободного пробега электрона значительно меньше глубины
проникновения поля в металл).
Последнее условие удовлетворяется для всех частот, если
температура достаточно высока (T >> D), но при низких температурах
(T << D) следует различать три области частот:
 для достаточно малых частот глубина скин-слоя значительно
больше длины свободного пробега электрона, и классическая теория
справедлива;
 для достаточно высоких частот глубина проникновения велика
по сравнению с расстоянием, проходимым электроном в течение
одного периода колебания ЭП. В этом случае также независимо от
длины свободного пробега можно рассматривать электрическое поле
однородным при вычислении тока в некоторой точке, так что
осуществляются классические условия;
ПЭПиУ II часть
148


 при промежуточных частотах, однако, ни одно из этих условий
не удовлетворяется, и тогда нужно учитывать пространственное
изменение ЭП.
Получим выражение для поверхностного импеданса в микроволновой
области частот, где током смещения можно пренебречь. В этом случае
импеданс скин-слоя Z представляет отношение ЭП на поверхности
металла к полному току, проходящему через единичную площадку


Z  E (0) /  jdz .
0




2
(2.148)
Исходя из уравнения Максвелла запишем
в случае пренебрежения током смещения (второй член) получаем


 2
c2 d2E
2
2
c
d
E
c

E
c 2  E 


j
4i dz 2 и, следовательно,  jdz  4i  dz 2 dz  4i  z    4i  z  .
0
0
0
0
При этом

Z
4i
c

d E 
4i

E

j
2
2
2
,
dz
c
c
2
2
E(0)
(E / z) 0
.
(2.149)
Но из уравнений Максвелла следует, что (Е/z)z=0 = (iН/с)z=0.
Подставляя (2.148) в (2.149) с учетом (2.147), получим
 Z = 4E(0)/cH(0) .
(2.150)
ПЭПиУ II часть
149




Вещественная и мнимая части Z относятся к поверхностному
активному сопротивлению R и поверхностному реактивному
сопротивлению X соответственно. Общее описание явления,
справедливое для любых частот, получается через выражение результатов
теории в зависимости от Z, из которого величины, представляющие
физический интерес в любой области частот, можно получить и
интерпретировать.
Сравнение теоретических выводов с экспериментальными
данными показывает, что для таких металлов, как Na, Cu, Ag, Au, Pt,W,
Al, Pb, Sn, наблюдаемые оптические свойства металлов находятся в
значительно лучшем соответствии с теоретическими значениями,
когда учитывается аномальный скин-эффект и предполагается
диффузное рассеяние электронов от поверхности металла. В табл.
2.5 приведены результаты для поглощательной способности чистой меди в
близкой ИК-области спектра.
Таким образом, если учитывается аномальная природа скинэффекта, то получаемые выводы будут зависеть от рассматриваемого способа отражения электронов от поверхности металла.
Полученные аналитические соотношения для оптических характеристик
как для зеркального, так и для диффузного рассеяния электронов в близкой
ИК-, видимой и УФ-областях спектра показывают, что теоретические
соотношения в предположении диффузного рассеяния электронов дают
лучшее соответствие экспериментам.
ПЭПиУ II часть
150
Температура
Поглощательная способность (в процентах)
Эксперимент
Обычная
С учетом аномального
теория
скин-эффекта
Комнатная
1,2
0,5
0,8
Жидкого кислорода
0,8
0,09
0,5
Жидкого гелия
0,6
0,003
0,4
Возможной причиной расхождения теории с опытом является
отмеченное выше отличие сопротивления поверхностного слоя от
электрического сопротивления массивного металла и наличие
дополнительного поглощения из-за шероховатости поверхности.
Открытие аномального скин-эффекта принадлежит А. Пиппарду (1947
г.), а теория предложена Дж. Рейтером и Е. Зондгреймером, которая в
последствии развивалась Р. Динглем, Т. Хольштейном, А. Гордоном, В.Л.
Гинзбургом, М.Я. Азбелем и М.И. Кагановым, В.П. Силиным, Р.Н. Гуржи и др.
ПЭПиУ II часть
151
2.6 Оптические процессы в полупроводниках





Основные механизмы оптического поглощения
Известно, что поглощение излучения в полупроводниках
существенно зависит от соотношения между шириной
запрещенной зоны Е и энергией кванта лазерного излучения h,
поэтому большую роль в этих процессах играет концентрация
свободных носителей тока и время безызлучательных переходов.
Для полупроводников наибольший интерес представляют следующие
типы механизмов поглощения когерентного излучения:
Диэлектрический (h << Е). Многофотонные процессы
генерации электронно-дырочных пар как процессы поглощения света
являются слабыми. Поглощение ЛИ происходит при
непосредственном взаимодействии его с решеткой.
Металлический (h < Е). Многофотонные процессы и
поглощение на примесях несущественны, в зоне проводимости
имеются свободные носители. Поглощение происходит путем
взаимодействия квантов со свободными носителями тока.
Индуцированный металлический (h > Е). Время
безызлучательных переходов велико. В основном поглощение
происходит на неравновесных свободных носителях, генерируемых этим же излучением, т.е. поглощение на неравновесных
свободных носителях тока превышает собственное поглощение.
ПЭПиУ II часть
152
Полупроводниковый (h > Е). ЛИ в достаточно чистых
полупроводниках генерирует электронно-дырочные пары, которые при
наличии безызлучательных переходов, рекомбинируя, выделяют энергию в
виде тепла. Этот механизм передачи энергии от света к веществу
действует, если время безызлучательных переходов мало.

Собственное поглощение в полупроводниках наблюдается при
 h > Е. Начальная стадия процесса воздействия связана с переходом
электронов валентной зоны в зону проводимости (внутренний
фотоэффект). При этом концентрация свободных фотоэлектронов не
увеличивается, ограничиваясь при дальнейшем росте рядом эффектов
таких, как процессы рекомбинации (безызлучательной на ловушках (~ne),
междузонной излучательной (~ne2), ударной (~n3e)), причем междузонная
излучательная и ударная рекомбинации существенно ограничивают рост
свободных фотоэлектронов только при больших значениях ne (из-за малой
вероятности двойных и тройных столкновений), амбиполярная диффузия,
обусловленная наличием градиента концентраций фотоэлектронов и дырок в
зоне воздействия излучения ОКГ.

Увеличение концентрации свободных фотоэлектронов изменят
электрические и оптические характеристики полупроводников, в
частности их отражательную способность. Можно показать, что в
процессе поглощения и передачи энергии в полупроводниках (h > Е) на
стадии, предшествующей разрушению, воздействие ЛИ с плотностью
мощности Q > 106 Вт/см2 через время ~ 109  108 с повышает
концентрацию свободных электронов
до 1020  1021 см–3.
153
ПЭПиУ II часть






В этом случае полупроводник по своим оптическим свойствам
приближается к металлам и возрастает его отражательная
способность. Так, для германия она удваивается при плотности
мощности Q ~ 107 Вт/см2, а коэффициент поглощения достигает
104  105 см–1. Одновременно изменяется частота релаксации ei,
приближаясь к аналогичной для металлов.
Поскольку время жизни носителей до рекомбинации (на
ловушках ~ ne) составляет 107  108 с, а свободные фотоэлектроны
за время ei ~ 1010  1011 с передают решетке только энергию
(h  Е)/h (в пересчете на один электрон), то пока незначительна
концентрация свободных фотоэлектронов, т.е. соответственно мала
доля поглощаемого светового потока, передача энергии решетке
происходит значительно позднее, чем в металлах, и увеличение
концентрации ne не приводит к повышению температуры
решетки Тi. Заметное повышение Ti начинается при некоторой
концентрации n'e. В этом случае начало нагрева решетки
полупроводника определяется временем достижения ' концентрации n'e, а не временем электронно-фононной релаксации ei.
Оценки показывают, что, например, для неодимового ОКГ n'e ~
~51020 см3, а время '~ 108  1011 с при плотности потока фотонов I
~ 1025 см2с1.
Поглощение излучения свободными электронами проводимости в полупроводниках происходит при h < Е, т.е. за краем
полосы собственного поглощения. Как правило, оно незначительно из-за малой концентрации свободных носителей,
участвующих в процессе собственного поглощения.
ПЭПиУ II часть
154



При поглощении излучения свободными носителями
возможен «разогрев» первоначально малого количества
электронов в зоне проводимости, что ведет к увеличению
концентрации электронов в результате термической
ионизации валентной зоны, т.е. может иметь место
самоускоряющийся процесс разогрева вещества.
Поглощение светового излучения примесными центрами
также зависит от соотношения энергии кванта h и
«энергетического» расстояния между примесным уровнем и
дном зоны проводимости или верхним краем валентной зоны.
Поглощение этого вида обусловлено концентрацией
примесных центров в веществе.
Максимум поглощения излучения решеткой лежит в
далекой инфракрасной области (~10  100 мкм) и для излучения
ОКГ в видимой и ближней инфракрасной областях спектра
большого интереса не представляет. Исключение составляют
процессы воздействия непрерывного излучения мощных CO2лазеров на металлы в окислительной среде, приводящие к
образованию полупроводниковых слоев на поверхности
металла.
ПЭПиУ II часть
155

Перенос энергии от поверхностных слоев полупроводника к
его объему осуществляется теплопроводностью. В начальной
стадии процесса, когда концентрация свободных электронов в
полупроводнике незначительна, преобладает фононная
теплопроводность. По мере роста концентрации nе все большая
часть энергии переносится электронами проводимости, и они
вносят существенный вклад в суммарную теплопроводность,
когда ne > n'e. Перенос энергии в полупроводниках может также
осуществляться с помощью рекомбинационного излучения.

Поглощение излучения в диэлектриках (собственных
полупроводниках) может осуществляться с помощью
непосредственного взаимодействия квантов излучения с решеткой.
Для прозрачных диэлектриков (ИК для GaAs), для которых
коэффициент поглощения мал, существенную роль для процессов
поглощения излучения и последующего разрушения могут играть
различные центры поглощения (скопления примесей, пузырьки газа,
микротрещины и т.д.).
ПЭПиУ II часть
156




2.6.1 Оптические константы полупроводников
Известно, что поглощение света кристаллами полупроводников, как и диэлектриков, может сопровождаться фотоионизацией, т.е. возникновением избыточной концентрации электронов и дырок в зоне проводимости и валентной зоне, а также
переходами электронов в возбужденные состояния. Кроме того,
поглощение света может сопровождаться возбуждением колебаний
решетки, внутризонными электронными переходами и т.д. С точки
зрения поглощения света наиболее важными являются процессы
первого типа и в первую очередь фотоионизация.
Электроны кристалла в зависимости от характера их
взаимо-действия с ЭМИ можно разделить: на электроны в
валентной зоне; носители тока (электроны в зоне проводимости и
дырки в валентной зоне); электроны, локализованные на уровнях
дефектов или примесей; электроны внутренних оболочек атомов.
Оптические свойства материала определяются показателем преломления n и показателем поглощения kp (коэффициентом
экстинкции). Ограничимся рассмотрением немагнитных изотропных
сред, для которых диэлектрическая проницаемость  и проводимость  
скаляры. Значение  определяется из выражения
  = n2 – kp2 = 1 + 4.
(2.151)
ПЭПиУ II часть
157







Восприимчивость  связана с поляризацией. Обычно   n2, так как
 n2 >> kp2 .
(2.152)
Проводимость , определяющая поглощение энергии, выражается
формулой
  = nkp,
(2.153)
где   частота света.
Экспериментально определяемый коэффициент поглощения 
связан с kp выражением
  = 4kp/с = 4kp k ,
(2.154)
где k = /с  волновое число, см1.
Данные о значениях оптических констант n,  и kp получают,
исследуя пропускание света исследуемым материалом или
отражательную способность R. Схема оптических измерений на
образцах кристаллов с полированными поверхностями приведена на рис.
2.18.
Измеряемой величиной является пропускание Т = I/I0, т.е.
отношение интенсивностей падающего I0 и прошедшего I светового
пучка. Для монохроматического излучения с длиной волны  имеем


T  I / I0 
e
d
(1  R ) 2  4R sin 2 
,
2 d
 R e  2R cos2(  )
(2.155)
где d  толщина образца, и значения углов  и  определяются по
формулам
2
2
  4nd / ,   arctg[2k p /(n  k p  1)].
ПЭПиУ II часть
158
2
5
6
4



Схема измерения оптического пропускания в
образце с плоскими поверхностями (1  щель
монохроматора, 2  сферическое зеркало, 3  плоское
зеркало, 4  образец, 5  эллиптическое зеркало, 6 –
приемник излучения)
Последний член знаменателя (2.155) соответствует
3
интерференции в пластинке, а само выражение
1
учитывает и многократные отражения от
поверхности. Применяя образцы достаточной толщины или
широкую спектральную область , можно избежать
интерференционных эффектов, что упрощает (2.155)

(2.156)
2
d
2 d
T  I / I 0  (1  R) /(e


R e
).
Выражение (2.156) также учитывает многократные
внутренние отражения, что важно при большой прозрачности
и высоких отражательных способностях кристаллов.
Отражательная способность R чистой поверхности в случае
нормального падения определяется как

(2.157)
2
2
2
2
R  [(n  1)  k p ] /[(n  1)  k p ].

Величина R в реальных условиях сильно зависит от
состояния поверхности, в частности от наличия тонких оксидных
пленок.
ПЭПиУ II часть
159
Для определения величины  удобно исключить R, проводя измерения на
образцах различной толщины с одинаково обработанной поверхностью.
Значение n можно получить по данным измерений отражательной
способности, а также интерференции в тонких пластинках.
В случае, если поглощение света кристаллами достаточно мало,
значение коэффициента преломления, действительно характеризующее
объемные свойства, определяют, изготовив из исследуемого материала
призму и изменяя отклонение светового пучка, проходящего сквозь нее.
Ниже приведены значения n и  для элементов IV группы системы Менделеева и
некоторых из интерметаллических соединений типа А3В5.
n

Элементы
n

2,417
5,9
InSb
3,988 *)
15,9
Si
3,446 *)
11,8
GaP
2,97 **)
8,4
Gе
4,006 *)
16,0
GaAs
3,348 *)
11,1
InP
3,37 **)
10,9
GaSb
3,748 *)
14,0
InAs
3,428 *)
11,7
AlSb
3,188 *)
10,1
Элементы
Алмаз
метод призмы, ** данные об отражении [32].
Из формулы (2.157) видно, что в отсутствие поглощения
пропускание
плоскопараллельной
пластинки
определяется
значением n.
ПЭПиУ II часть
160
2.6.2 Полоса «собственного» оптического поглощения
(основная полоса)




Существование у всех полупроводников широкой спектральной области
интенсивного поглощения, ограниченной со стороны длинных волн
резким краем, обусловлено тем, что поглощение фотонов достаточно
большой энергии сопровождается электронными переходами из
валентной зоны в зону проводимости.
В случае гомеополярных кристаллов или кристаллов со слабо
выраженной ионной связью, свет с частотой  < Eg/h, где Eg 
«термическая» ширина запрещенной полосы, проходит сквозь чистый (не
содержащий примесей) кристалл, не вызывая фотоионизации.
Легко обнаруживаемое возрастание коэффициента поглощения для
фотонов с энергиями h, превышающими Еg, позволяет оценить
значение ширины запрещенной полосы.
Форма края полосы поглощения, определяется зонной структурой
полупроводника. С одной стороны, существование процессов поглощения,
конкурирующих с собственным поглощением, и трудность в точном
определении малых значений  (начиная с долей обратного сантиметра и
меньше) обычно не позволяют получить очень точных значений Eg по
данным о поглощении света кристаллом. С другой стороны, приближенное
значение Eg, полученное этим методом, оказывается надежным, а сам
метод, благодаря его простоте, особенно ценен при первоначальных
экспериментах с новыми полупроводниковыми материалами.
ПЭПиУ II часть
161






Известно, что в ионных кристаллах имеет место разница
между термической и оптической шириной запрещенной
полосы. Энергия оптического возбуждения в этом случае
оказывается больше, чем для термического возбуждения.
Это обстоятельство можно качественно объяснить,
применяя принцип Франка  Кондона, согласно которому избыток
энергии системы, поглотившей фотон, переходит в энергию
колебаний решетки за время, значительно превосходящее
длительность первоначального акта поглощения.
Выражение для коэффициента поглощения, соответствующего электронному переходу из состояния i в валентной зоне в
состояние f в зоне проводимости без участия фононов, имеет
вид
2
  c Pif N(h) / ,
(2.158)
где с – постоянная, характеризующая среду, a N(h)  плотность
распределения конечных состояний в единичном интервале энергии.
Матричный элемент, определяющий переходы такого типа, равен
P  i  * e grad  d, (2.159)
if


f
k
i
где e k  вектор поляризации излучения с волновым вектором k .
ПЭПиУ II часть
162

Если записать, согласно Блоху, волновые функции
электронов в форме
ikr


 kn  e U kn (r),
(2.160)
где Ukn  периодические функции с периодом решетки, то Pif
обращается в нуль всюду, где не выполняется правило отбора

(2.161)
ki  k  kf .




Так как волновые векторы электрона в начальном и конечном
состояниях много больше волнового вектора фотона, правило
отбора можно выразить и как
(2.162)
ki  kf .
Таким образом, в соответствии с законом сохранения
импульса, разрешены, т.е. могут осуществляться, только
«вертикальные» переходы без изменения волнового вектора.
Исследование края основной полосы оптического поглощения
монокристаллов германия (проведенное с образцами, толщина
которых в некоторых случаях доводилась до долей микрона)
позволило обнаружить существование структуры, изображенной на
рис. 2.19.
ПЭПиУ II часть
163
Коэффициент поглощения, см
-1
10
10
10
10
10
1,5
2,0
2,5
Энергия фотона
5
3
C
/
.
f

.
/
.c
.i h
/
Ec
/
Ec
/
h = Eg h
E
0
Край основной полосы
оптического поглощения
в монокристаллов Ge и
Si при 300 и схема
энергетических зон К
кристалле Ge
Волновой вектор k
2
(Ge)
1
 Eg (Si) = 1, 09 эВ
 Eg (Ge) = 0, 66 эВ
-1
5
0,6

3,0
для Si,эВ
(Si)
4
1
10
-1
Энергия
-3
Волновое число х 10 , см
10
15
20
25
6
7
-3 -18
Волновое число х 10 , см
0,7
0,8
0,9
1,0
Энергия фотона для Ge , эВ
Ко времени получения этих эксперименталь0
ных результатов
методом циклотронного
резонанса было показано, что в кристаллах
германия дно зоны проводимости не соответствует волновому вектору электрона
k = 0. Зонная структура германия была
теоретически вычислена Германом, результаты
которого схематически приведены на рис. 2.20.
В соответствии с указанным выше правилом отбора и данными
Германа, пороговой энергии для вертикальных переходов должна
соответствовать частота   (Ec  E  ) / h, которая значительно
выше, чем
   Eg / h  ( Ec  Ei ) / h.
ПЭПиУ II часть
164



Однако, как следует из экспериментальной кривой рис. 2.19,
поглощение чистого монокристалла Ge резко возрастает уже при
  Eg/h. Для объяснения этого факта Дж. Бардин, Ф. Блатт и Л. Холл
предположили, что в области энергий фотонов, не достаточных
для вертикальных переходов, переходы электронов в зону
проводимости все же осуществляются, благодаря тому, что
правило отбора (2.162), которое должно строго соблюдаться в
идеальном периодическом кристалле, снимается за счет
взаимодействия электронов с фононами. Возвращаясь к рис. 2.20,
согласно [35], следует считать, что электрон оптически
возбуждается из состояния i в с и переходит из с в f с
одновременным испусканием или поглощением фонона. В
результате волновой вектор электрона значительно
изменяется и весь процесс в целом можно рассматривать как
«невертикальный» переход из i в f с поглощением фотона h  Eg.
Вследствие того, что каждый из процессов, схема которых
изображена на рис. 2.20, может идти как с испусканием, так и с
поглощением фонона, матричный элемент, определяющий
вероятность перехода, выражается формулой
4


Pif   Pim Pmc /(E m  E  ) ,
m 1
(2.163)
где m означает промежуточное «состояние» (с или ).
ПЭПиУ II часть
165








Величины Pic и Pf определяются из (2.159). Для Pi и Pсf имеет
место правило отбора
ki  kf  q ,
где q  волновой вектор фонона. Полагая фононные матричные
элементы постоянными, а величину E  Ei  Ec  Ef, можно показать,
что спектральная зависимость коэффициента поглощения для
невертикальных переходов должна иметь характер

(2.164)
i ~ (h  E g  h q ) 2
в случае, если переходы при k = 0 возможны (здесь hq  энергия
фонона). В области энергий фотонов, достаточных для прямых
(вертикальных) переходов, начиная с граничной энергии Eg,
коэффициент поглощения d согласно теории возрастает как

.
(2.165)
 d ~ (h  Eg ) 0,5
Существенное различие между последними двумя выражениями
иногда удается использовать для анализа экспериментальных
данных о форме края полосы собственного поглощения и
выяснения характера электронных переходов.
Для интерпретации данных по измерению края полосы поглощения
в Ge и Si использовали выражение
 (h  E  k) 2 (h  E  k) 2 
  A


,
 1  e  / T
e  / T  1 
где А – постоянная; k  энергия фонона;   эмпирическая постоянная
 260 К для Ge и  600 К  для Si.
ПЭПиУ II часть
166







Для интерпретации данных, получаемых вблизи края основной полосы
поглощения, лучше пользоваться представлением о непрямых переходах
с участием фононов двух видов: фононов продольных колебаний с
энергией, соответствующей 320 К, и фононов поперечных
колебаний с энергией, соответствующей 90 К. При этом необходимо принимать во внимание степень структурного совершенства
кристалла.
Анализ данных по поглощению вблизи края при непрямых переходах
позволил определить константы деформационного потенциала для с- и
v-зон в Ge и Si.
Поглощение энергии ЛИ вызывает рост концентрации носителей в
зоне проводимости, что ведет к выравниванию населенностей с
валентной зоной.
Если ЛИ интенсивности I с частотой  падает на двухуровневую
систему с собственной частотой 21, то разность населенностей
уровней N = N1  N2 описывается выражением
N  N0 /{1  (I / I н )[ 2 /( 2  (  21) 2 )]},
где N0 – разность населенностей в отсутствие падающего излучения,  
однородная полуширина спектральной линии, Iн – насыщающая
интенсивность. В случае резонансного поглощения I = Iн, а разность
населенностей уменьшается вдвое: N= 0,5N0. При значительной
интенсивности ЛИ (I/Iн = ) скорость индуцированных переходов
превышает скорость релаксационных процессов, и населенность
уровней выравнивается N = 0.
Значение насыщающей интенсивности ЛИ определяется типом перехода, его однородной шириной и временем релаксации населенностей Т1.
ПЭПиУ II часть
167

Для электронно-дипольных переходов Iн может составлять величины от долей Вт/см2 до кВт/см2 и определяется как
I н  c 2  /(8 p 21 T1 ) ,
2





где p21 – матричный элемент дипольного момента.
Насыщение играет важную роль при резонансном взаимодействии и может в поглощающих средах приводить к уменьшению
коэффициента поглощения (эффект просветления). При сильном
насыщении (N  0) поглощаемая мощность перестает зависеть
от интенсивности ЛИ.
Насыщение может приводить и к уменьшению коэффициента
усиления в активных средах с инверсной населенностью, что
уменьшает абсолютную величину резонансной добавки к
показателю преломления, т.е. обуславливает зависимость
показателя преломления от интенсивности ЛИ и является одной из
причин резонансного самовоздействия волн.
Из последней формулы следует, что степень насыщения убывает с
увеличением отстройки по частоте (это ведет к деформации
спектральных линий). В случае однородного уширения линия
поглощения ЛИ сохраняет лоренцеву форму, но ее ширина
увеличивается в (1 + I/Iн)0,5 раза. Этот эффект называется полевым
уширением.
Эффект насыщения может иметь место и в случае
многофотонных переходов между уровнями, однако требуемая для
этого интенсивность ЛИ существенно выше.
ПЭПиУ II часть
168









До настоящего времени абсолютные величины поперечных
сечений поглощения фотонов (имеется в виду отношение /N, где
N  число атомов кристалла в 1 см3) внутри основной полосы не
поддаются точному расчету. Можно с достаточным основанием
предполагать, что в случаях, когда коэффициент поглощения
достигает значений, превышающих 104 см1, в кристалле
полупроводника имеют место разрешенные междузонные
переходы. На рис. 2.21 приведены кривые зависимости
коэффициентов поглощения германия и кремния от разностей ( 
волновое число, а t  волновые числа, соответствующие ширине
запрещенной полосы, т.е. t = Eg/hc).
Из этих кривых видно, что показатель степени
n зависимости  ~ (  t)n в области
4,0 log 
не слишком больших  близок к 2,5
3,0
для германия и к 2,0 для кремния.
Оба эти значения в несколько раз
2,0
Ge
Si
превышают показатель n = 0,5,
1,0
которого следовало бы ожидать
для вертикальных переходов.
0,0
log  –  t
2,0
ПЭПиУ II часть
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
169



Зона проводимости кремния, так же как и в случае германия,
имеет минимум, соответствующий k  0 (см. рис. 2.19). Таким образом,
экспериментальные данные для германия и кремния находятся в
согласии с теорией невертикальных переходов.
Резкое возрастание коэффициента поглощения кристаллов
германия вблизи 0,81 эВ (см. рис. 2.19) объясняется тем, что эта
энергия соответствует порогу для вертикальных переходов.
Сопоставление этой величины с данными о зонной структуре Ge,
полученными иными методами, упоминавшимися выше, позволяет
считать, что минимум в зоне проводимости, соответствующий
началу отсчета (0, 0, 0), расположен выше минимума, лежащего на
оси [1, 1, 1]. Этот вывод о разнице в минимальных энергиях,
необходимых для невертикальных и вертикальных переходов в
германии, подтверждается также данными о спектре собственного
рекомбинационного излучения Ge, полученными Дж. Хейнсом [39].
Данные, опубликованные в середине ХХ столетия, о крае
полосы поглощения кремния, полученные методом измерения
коэффициентов отражения, заставляли предполажить, что
пороговая энергия для вертикальных переходов близка к 1,8 эВ.
ПЭПиУ II часть
170


Однако прямое определение  и исследование спектров
рекомбинационного излучения не подтвердили этого. В работе [41,
42] показано, что вертикальное разделение зоны проводимости и
валентной зоны при k = 0 составляет величину порядка 2,5 эВ. Анализ
формы края основной полосы поглощения монокристаллов PbS, PbTe
и PbSe и полученные выше формулы позволили получить данные о
ширине запрещенных полос этих важных для ИК-техники полупроводников. Как и в случае германия и кремния, при исследовании
поглощения в PbS в области значений от 1 до 106 см1
применялись два различных метода: измерение пропускания при
малых значениях  и измерение отражательной способности
при больших . Результаты этих измерений существенно
различались и для получения более надежных данных был применен
следующий прием.
Используя свойство кристаллов соединений типа PbS
раскалываться по плоскости (100), была изготовлена серия
монокристаллических образцов толщиной от нескольких микрон до 1
мм с размерами более 600  50 мкм и, после усовершенствования
фокусирующего устройства ИК-спектрографа, проведено измерение
пропускания во всей области края полосы поглощения соединений
PbS, PbSe и РbТе (рис. 2.22).
ПЭПиУ II часть
171
Для анализа формы края полосы использовались графики, приведенные
на рис. 2.23. На кривых выделяется хорошо выраженный линейный участок,
соответствующий значениям  > 3000 см1, экстраполяция которого дает
величину Eg для вертикальных (прямых) переходов (табл. 2.7 «Оптическая»
ширина запрещенной полосы по данным анализа края полосы поглощения).
10
, см
5
-1,0
104
PbSe
10 3
PbTe
10 2
10
PbS
Энергия фотонов, эВ
0,2
0,4 0,6 0,8
Участок края
основной полосы
поглощения
соединений PbS,
PbSe и РbТе,
соответствующий
прямым
переходам
1,0 1,2 1,4 1,6
3х108
PbSe
8
2х10
PbTe
PbS
8
1х10
Энергия фотонов, эВ
1х107
0
Край основной полосы поглощения
Вещество
2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
Еg (при 300 К), эВ
Вертикальные переходы
Невертикальные переходы
PbS
0,41
0,37
PbSe
0,29
0,26
РbTе
0,32
0,29
ПЭПиУ II часть
172

Результаты работ можно считать более убедительными по сравнению с ранее опубликованными данными о значительно больших значениях
Eg в PbS и родственных ему соединениях. Если отложить на графике зависимость 0,5 от Е = h, как это сделано на рис. 2.24, оказывается, что в области  < 3000 cм1 существует приблизительно линейный участок, который
можно связать с невертикальными электронными переходами.

Экстраполированные к  = 0 значения h = Eg для невертикальных







переходов также приведены в табл. 2.7. Отметим, что в соединениях типа
PbS значения Eg для прямых и непрямых переходов, в отличие от случая Ge,
близки друг к другу. Согласно опубликованным работам, температуры
Дебая для этих соединений лежат в области 150  200 К. В связи с этим
небольшую разницу в значениях Eg,
 1/2
наблюдаемую на опыте, можно
100
объяснить участием колебаний
80
решетки без дополнительного
PbSe
предположения о том, что
60
PbTe
минимум в зоне проводимости
PbS
40
лежит не над максимумом в
Энергия
валентной зоне.
20
Участок края основной полосы поглощения
соединений PbS, PbSe и РbТе,
соответствующий непрямым переходам
ПЭПиУ II часть
фотонов, эВ
0 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
173




Продолжительное время точки зрения исследователей на
определение «оптической» ширины запрещенной полосы Eg0
существенно расходились.
Согласно современным представлениям (в случаях, когда
форма края полосы известна, как, например, для Ge или PbS),
значение Eg0 определяют, экстраполируя теоретическую
зависимость  = f(h) к нулевому значению . Более точно значение
Eg0 определяется в случае, когда в тонкой структуре спектра
поглощения (или испускания) удается надежно выделить
участки, связанные в одном случае с испусканием, в другом  с
поглощением фонона.
В случае полупроводников, для которых прямое сопоставление с
теорией пока не удается и значение Eg0 определяется приближенно по
положению участка края полосы поглощения (где  наиболее резко
меняется с длиной волны), неточность в значении Eg0 обычно (для
монокристаллических образцов) не превышает 0,03 эВ. Данные об
оптической ширине запрещенной полосы ряда полупроводников
(определенные оптическим методом [48]) приведены в табл. 2.8.
Оптические измерения в области края запрещенной
полосы могут дать важные результаты при изучении
вырожденных полупроводников. Интересным примером служит
антимонид индия InSb, поверхности равной энергии которого,
по-видимому, близки к сферическим.
ПЭПиУ II часть
174
Таблица 2.8
Вещество
Eg0 при 300 К, эв
Eg0 при 0 К, эв
Веществ
о
Eg0 при 300 К, эв Eg0 при 0 К, эв
Si
1,09
1,14
GaP
2,24
2,4
Ge
0,66
0,75
GaAs
1,45
1,53
InP
1,25
1,34
GaSb
0,70
0,80
InAs
0,35
0,45
AlSb
1,60
1,70
InSb
0,175
0,25
В кристаллах InSb краю полосы поглощения соответствуют
вертикальные электронные переходы. Ширина запрещенной полосы у
образцов с собственной проводимостью при 300 К составляет 0,175 эВ
[49]. Было обнаружено, что в образцах InSb n-типа с большой
концентрацией электронов край полосы собственного поглощения
сильно смещается в коротковолновую область.
Учитывая малую величину эффективной массы электронов (0,015 me),
можно предположить, что этот эффект связан с заполнением
энергетических уровней вблизи дна зоны проводимости. Вследствие
малой эффективной массы электронов, уже при концентрациях порядка
1018 см3 нижняя часть зоны проводимости оказывается заполненной,
и электроны из валентной зоны могут переходить только в
состояния, достаточно удаленные от дна зоны проводимости.
ПЭПиУ II часть
175
Теоретически показано, что положение края основной полосы
 Е = Eg + E есть функция концентрации электронов в зоне
проводимости n
*
*

E

(
1

m
/
m
n
p )(E F  kT) ,

(2.166)

 где m n ,p  эффективные массы электрона и дырки соответственно,
EF  энергия Ферми и   параметр, зависящий от населенности
состояний вблизи минимума зоны проводимости. Согласно работам [38,
42]
  = ln(0  )/,
(2.167)
 где 0  коэффициент поглощения, соответствующий незаполненной
зоне проводимости.

Сплошная кривая на рис. 2.25 построена согласно формулам
(2.166) и (2.167).
Край основной
Для
наилучшего
совпадения
с
0,5 полосы оптического
4,0
экспериментом оказывается необходимым
поглощения InSb
0,4
использовать
значение
эффективной
3,0
массы
0,3
m n = 0,03m , а не 0,015m . В связи с этим
е
е
2,0
было высказано предположение, что при
0,2
уровне Ферми, лежащем выше края зоны
1,0
0,1 17
проводимости,
эффективная
масса
18
19
8
4 6 8
2
2
4 6
10
10 -3
10
электрона возрастает.
Концентрация электронов, см
Энергия фотонов, эВ

ПЭПиУ II часть
176





2.6.3 Влияние температуры, давления, ЭП и МП на оптическое
поглощение в основной полосе
Влияние температуры и давления
Данные экспериментов (как электрических, так и оптических измерений) указывают на то, что ширина запрещенной полосы полупроводников зависит от температуры. Эту зависимость, в некоторых
пределах близкую к линейной, связывают, в первую очередь, с температурным изменением размеров элементарной ячейки. Привлекая представление теории о возникновении зон разрешенной энергии из атомных уровней при сближении атомов, удается качественно объяснить как сужение
запрещенной полосы при возрастании температуры, характерное для
германия и кремния и многих других полупроводников, так и обратный
эффект, имеющий место, например, в кристаллах типа PbS.
Теоретический анализ зависимости ширины запрещенной
полосы от температуры и давления основан на том, что
деформация решетки вызывает изменение потенциала U .
Потенциал в кристалле изменяется и вследствие тепловых колебаний. В
случае изменения ширины запрещенной полосы при сжатии кристалла
под действием внешнего давления, эффект определяется только
изменением постоянных решетки. Это можно отнести и к части края
полосы поглощения, соответствующей вертикальным электронным
переходам, происходящим без изменения волнового вектора .
Однако при изменении температуры меняются не только
размеры элементарной ячейки, но и спектр тепловых колебаний,
что может вызвать дополнительный эффект.
ПЭПиУ II часть
177

Это явление было рассмотрено в работах [42, 53], получивших
удовлетворительное согласие с экспериментом для кристаллов
германия и кремния. Наиболее подробные данные о зависимости края
полосы поглощения от температуры получены для германия.
Результаты, полученные в работах [41, 54] приведены на рис. 2.26 и
2.27.
-1
, см-1
,
см
10 000
1 000
620 К 503 К 400 К
Ge
100
1 000
300 K
10
100
1,0
10
0,1
0,01
1,0
90 К
300 К
4
5
77 K
Энергия фотона, эВ
200 К
6
3
7 -1
Волновое число х10 , см
0,1
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Изменение положения и формы края основной полосы поглощения германия с
температурой [54], и край полосы поглощения в германии
ПЭПиУ II часть
178











Из результатов работ видно, что кривые, соответствующие
разной температуре, могут быть получены друг из друга
смещением по горизонтальной и вертикальной осям.
Поглощение в длинноволновой части, резко возрастающее при
высоких температурах, объясняется взаимодействием излучения с
носителями тока, не связанным с междузонными электронными
переходами. Более точные данные о зависимости Еg0 от Т в
области низких температур, где поглощение носителями,
накладывающееся на основную полосу, сказывалось достаточно
слабо, были приведены для германия в работе [55] (рис. 2.28).
В области линейной зависимости Еg от Т, при температуре
выше 150 К, для Ge значение Еg0/Т совпадает с определенным
по изменению концентрации носителей. Как видно из кривой на
рис. 2.28, при низких температурах для германия скорость
изменения Eg0 с ростом температуры уменьшается.
Изменение ширины запрещенной полосы, 0,75 Eg, эВ
связанное со сжатием кристалла,
0,73
исследовалось для германия и кремния
при постоянной температуре [56, 57].
0,71
Экспериментальные значения (Еg0/Т)Т,
определенные по сдвигу края основной
0,69
полосы поглощения, близки к 510–12 эВcм2/г.
0,67
Однако для германия значение производной
Т, K
положительно, а для кремния отрицательно.
ПЭПиУ II часть
0
100
200
300
400
179



Влияние электрического поля на край
основной полосы оптического поглощения
Область сильного «собственного» поглощения кристаллов
имеет со стороны больших длин волн резкий порог, которому
соответствует минимальное расстояние между зонами. Кванты,
частоты которых меньше 0 = Eg0/h, не могут поглощаться, так как
их энергия недостаточна для перевода электрона из валентной зоны в
зону проводимости. Наложение внешнего ЭП приводит к изменению
вероятности поглощения вследствие размытия края основной
полосы поглощения. Действительно, электрону с импульсом p во
внешнем поле вообще нельзя приписать какую-либо определенную
энергию, так как вероятность нахождения его в области кристалла
протяженностью L  Eg0/qE одинакова и его потенциальная энергия
может принимать разные значения. Наоборот, если строго
фиксировать потенциальную энергию, т.е. локализовать электрон в
определенной ячейке кристалла, то его импульс сможет принимать
любое значение в пределах данной зоны и энергия опять окажется
неопределенной.
Для того чтобы с максимальной точностью фиксировать дно
зоны в окрестности данной точки пространства х, надо из
волновых функций состояний, близких к краю этой зоны,
образовать пакет шириной х, содержащий лишь те состояния,
импульс которых не больше чем на р отличается от импульса,
соответствующего дну зоны.
ПЭПиУ II часть
180






Параметры же р и х следует определить таким образом, чтобы
неопределенность энергии
E ~ (p) 2 / m  qx

(2.168)
оказалась минимальной (m*  эффективная масса электрона, q  заряд
электрона,   напряженность поля). Из условия минимума этого
выражения с учетом соотношения неопределенностей рх   следует,
что
E мин  3 (q) 2  / m *

.
(2.169)
Следовательно, в ЭП край зоны, а вместе с ним и край полосы
поглощения должны размываться на величину порядка Емин. В
частности, становится возможным поглощение квантов, энергия
которых меньше Eg0. С известными ограничениями это размытие
можно интерпретировать как сдвиг «порога» поглощения в
сторону более длинных волн.
Строгое рассмотрение вопроса о поглощении света кристаллом,
помещенным в однородное ЭП, проведенное в литературе, подтверждает
эти качественные соображения. В ЭП порядка 105 В/см величина
Емин = h может достигать 102 эВ, что значительно превышает
величину возможного эффекта Штарка, который, как было показано в
работе [61], также приводит к сдвигу края области собственного
поглощения.
В работе [62] описаны опыты, целью которых было обнаружить
влияния сильного ЭП на поглощение света в монокристаллах кремния.
Использован кремний, имеющий при температуре 100 К удельное
сопротивление около 1011 Омсм, что было достигнуто облучением в
реакторе интегральным потоком быстрых нейтронов порядка 1018 см2.
ПЭПиУ II часть
181




Из предыдущих исследований оптических свойств облученного
подобным образом кремния было известно, что вблизи края полосы
поглощения возникает новая полоса с максимумом вблизи 1,8 мкм,
связанная с дефектами, а также несколько уменьшается пропускание
непосредственно вблизи края основной полосы. Однако указанное
изменение оптических свойств обусловлено локальными нарушениями,
а не изменением зонной структуры, и, используя достаточно тонкие
образцы, удалось произвести измерения в области длин волн, где
доминирует поглощение, связанное с междузонными переходами.
Схема опыта изображена на рис. 2.29, а, где образец в виде
прямоугольного бруска помещался между металлическими
электродами, один из которых имел температуру жидкого азота.
Модулированный монохроматический свет проходил сквозь кристалл,
торцы которого были отполированы, и попадал на охлажденное PbSфотосопротивление. Переменное напряжение с фотосопротивления
подавалось на узкополосный усилитель с выходом на стрелочный
прибор.
В спектральной области, соответствующей переходам
валентная зона  зона проводимости, с участием фонона, было
обнаружено значительное смещение края полосы поглощения (рис.
2.30).
На рис. 2.30, б видно, что в области длин волн 0,8  0,9 мкм
приложение ЭП вызывает резкое увеличение коэффициента
поглощения.
ПЭПиУ II часть
182

Величина наблюдаемого сдвига  и его зависимость от
напряженности ЭП в образце соответствуют предсказаниям
теории. Величина эффекта и малое изменение проводимости за
счет возбуждения неравновесных носителей позволяют
утверждать, что обнаруженное явление представляет истинный
эффект поля и не связано с поглощением носителями тока.
Cu, 100 К
PbS - фотосопротивление
Si - образец
р
+
-5
p = 10 мм
-
Щель
монохроматора
, см -1
Откачка
, см -1
12
1000

Е
90
о
Свет
120 мк
100
50
Е=0
6
10 мм
9
ЭП
Е
500
Е = 5 .10 В/см
Электрооптический эффект в
Si.
Спектральное разрешение
 около 0,005 мкм
Область
сильного
поля
Экран
Схема опыта по наблюдению
электрооптического эффекта
Свет
n
Е = 5 .10 В/см
Е=0
10
3
   Е  
0
0,9
1,1
1,3
ПЭПиУ II часть
5
, мк
1,5
, мк
0,01
0,7
0,9
1,1
1,3
183


Измерения проводились в стационарных условиях ( = const), однако
природа эффекта заставляет считать, что он должен быть малоинерционным, и, таким образом, с помощью простого устройства,
подобного изображенного на рис. 2.29, возможна модуляция света с
длиной волны в области 0,8  1 мкм весьма высокими частотами.
В работе [65] описаны измерения оптического пропускания кристаллов
кремния, к которым прикладывалось высокочастотное поле. Показано, что
запаздывание сигнала, соответствующего дополнительному поглощению,
относительно напряженности поля  в кристалле не превышает 2108 с.



Влияние МП на основную полосу поглощения
Измерение поглощения в кристаллах германия, InSb и InAs,
помещенных в сильное МП, показало, что внутри основной полосы,
вблизи ее края, возникает отчетливо выраженная система
периодически расположенных максимумов поглощения (рис. 2.31).
Положение этих максимумов изменяется с напряженностью поля. Этот
эффект был назван экспериментаторами (обнаружен Ge)
«осциллирующей магнетоабсорбцией».
Максимумы поглощения, возникающие при наложении МП, с
точки зрения теории соответствуют электронным переходам
между уровнями Ландау в валентной зоне и зоне проводимости.
Эти дискретные уровни возникают вследствие «сгущения»
континуума уровней около определенных положений в зонах,
которое усиливается с напряженностью поля.
ПЭПиУ II часть
184
-3
-1
Волновое число х 10 , см
It(B0)/It(0)
1,8
6,6
1,6
1,4
6,8

7,0 7,1
35,7 килоэрстед
1,0
24,0 килоэрстед
Энергия фотонов, эВ
0,83
0,85
Для простых параболических зон положение уровней
Ландау EL описывается выражением


6,9
1,2
0,8
0,6
0,81

6,7
E L  (n  0,5)h c  hk2z /(4m*),
 c  qB / 2m*,
(2.170)
(2.171)
где n  квантовое число (номер уровня); c  циклотронная частота и kz
 проекция волнового вектора в направлении, параллельном вектору
магнитной индукции. Из выражения (2.171) следует, что изменение
ширины запрещенной полосы в МП равно

(2.172)
E  0,5h(   ),
g0

Влияние МП на оптическое
поглощение в основной полосе (уровни
Ландау). Величины It(В) и It(0) 
относительные интенсивности
прошедшего излучения в присутствии
МП и без него, соответственно
cn

cp
где сn и cp  циклотронные частоты соответственно для электронов
и дырок.
ПЭПиУ II часть
185

Эксперименты по исследованию «осциллирующей
магнетоабсорбции» могут служить для определения
приведенной эффективной массы носителей. Другой
принципиальной возможностью представляется определение
минимальной энергии фотона, необходимой для осуществления
прямого (вертикального) перехода между зонами. Для этого
необходимо экстраполировать к нулевому МП положения
максимумов магнетоабсорбционного эффекта. Подобная
экстраполяция была проведена для германия и дала значение,
совпадающее с Eg0 для вертикальных переходов, определенных
другими методами.

Более точные измерения в кристаллах Ge позволили
обнаружить дополнительные максимумы поглощения,
связанные со сложной структурой зон и образованием
экситонов, что затрудняет интерпретацию экспериментов.
ПЭПиУ II часть
186



 2.6.4 Экситонное поглощение света
Представление о возбужденных состояниях электронной
системы кристалла, не связанных с локализованными центрами,
было выдвинуто Я.И. Френкелем, предложившим для обозначения
таких состояний термин «экситон». Одним из экспериментальных фактов, для объяснения которого было предложено
использовать гипотезу об экситонах, явилось существование
полос, примыкающих к краю основной полосы. Поглощение
света в дополнительной полосе не сопровождалось
возникновением фотопроводимости.
Экситон можно представить себе как возбужденное
состояние, распространяющееся от одной ячейки кристалла к
другой, или как систему, состоящую из электрона и
положительной дырки, напоминающую атом водорода. Из этих
представлений следует, во-первых, что движение экситона в
кристалле не создает электрического тока и, во-вторых, что
для образования экситона необходима меньшая энергия, чем
для генерации пары «свободных» носителей  электрона и
дырки.
Экситон может окончить свое существование либо в
результате теплового «довозбуждения», т.е. термической
диссоциации, сопровождающейся возникновением электрона и
дырки, либо отдавая свою энергию решетке. Возможно также и
исчезновение экситона с испусканием фотона. Этот процесс
является своеобразным случаем излучательной рекомбинации
неравновесных носителей.
ПЭПиУ II часть
187




Наиболее прямыми подтверждениями существования
экситонов, возникающих при поглощении света в области за
пределами основной полосы, являются эксперименты, в которых
наблюдается миграция экситонов на расстояние, на много
порядков превышающее постоянную решетки кристалла.
Показано, что в щелочно-галоидных кристаллах с F-центрами
экситоны мигрируют от места их возникновения не менее чем на
1000 постоянных решетки.
Другим аргументом, подтвердившим существование
экситонов в закиси меди Сu2О, а также в кристаллах CdS,
являются работы, в которых обнаружены (в указанных материалах)
сгущающиеся серии спектральных линий, расположенные
вблизи края основной полосы и похожие на спектральные серии
водородного атома (подобные спектры поглощения обнаружены
также в CdSe, ZnS и ряде других полупроводников). Значительная
интенсивность линий поглощения позволяет считать, что
последнее связано с основным веществом кристалла, а не с
примесями.
Частоты линий экситонного поглощения, например для
так называемой «желтой» серии в Сu2О, описываются формулой
 n =   Rex/n2,
(2.173)
где квантовое число n = 2, 3, 4, 5, ...,   частота, соответствующая
границе серии, т.е. фотодиссоциации экситона, и
ПЭПиУ II часть
188






Rex  постоянная Ридберга для экситона, связанная с постоянной
Ридберга R для атома выражением
 Rex = R*/mnn40,
(2.174)
где n0  показатель преломления, а приведенная эффективная
масса экситона * выражается через эффективные массы электрона
и дырки в кристалле:
 1/* = 1/mn* + 1/mp*.
(2.175)
Используя выражение Ваннье  Мотта для «диаметра» слабо
связанного водородоподобного экситона
(2.176)
dex  2(2 /  * q2 )n2n02 ,
Е.Ф. Гросс получил значения, во много раз превосходящие
постоянные решетки:

 для n = 2 dex  100 A

 для n = 10 dex  2 500. A
Одним из следствий слабой связи электрона и дырки
является наблюдаемое явление диссоциации экситонов в
сравнительно слабых ЭП. Начиная с напряженности ЭП, близкой к 6
кВ/см, высшие члены спектральной серии постепенно исчезают, и в
ЭП 30 кВ/см вся «желтая» экситонная серия в Сu2О пропадает.
Возможная иная интерпретация этого интересного явления
заключается в том, что в действительности основную роль здесь
играет эффект размытия или сдвига края основной полосы
поглощения при наложении ЭП, предсказанный Л.В. Келдышем и
В. Францем.
ПЭПиУ II часть
189

Исследование края полосы поглощения в чистых
монокристаллах Ge и Si и анализ формы края основной полосы на
основе теории вертикальных и невертикальных электронных
переходов позволили Дж. Макфарлейну и др. выделить весьма
слабо выраженную структуру спектра, связанную, по-видимому,
с возникновением экситонов. Спектральных серий, аналогичных
обнаруженным Гроссом, в этих кристаллах найдено не было, что
объясняется, в первую очередь, очень малыми энергиями диссоциации
экситонов, составляющими для Ge 0,0027 эВ и для Si 0,012 эВ.

Можно предположить, что вблизи края полосы сильного
поглощения, связанного с вертикальными переходами,
существуют более глубокие экситонные состояния. Однако
наличие достаточно интенсивного поглощения, обусловленного
невертикальными переходами с участием фононов, делает
экспериментальное исследование глубоких экситонных
состояний крайне трудной задачей.
ПЭПиУ II часть
190





2.6.5 Примесное поглощение
При достаточно низких температурах электроны из с-зоны
вымораживаются на примесные центры. При поглощении
фотонов, обладающих энергией , эти электроны могут быть
опять возбуждены (заброшены) в с-зону. Известно, что энергия
ионизации примесного атома, находящегося в среде с диэлектрической проницаемостью , составляет Е1,2 = 13,53m*/(2m0) эВ. По
величине энергии ионизации примесные состояния условно разделяют
на «глубокие» и «мелкие».
Спектры поглощения «мелких» примесных состояний объясняют,
считая, что примесный центр с вымороженным на него носителем
можно рассматривать как водородный атом, находящийся в сплошной
среде с диэлектрической постоянной . При этом, естественно,
следует учитывать структуру энергетических зон в кристалле.
Обычно поглощение на примесях проявляется в виде широкого
непрерывного спектра, простирающегося до края основной полосы
поглощения. Охлаждая полупроводник до температуры жидкого
гелия, спектр поглощения можно сузить в отдельные линии.
Невзирая на то, что расчеты относительного положения ряда
возбужденных уровней проводились для Ge и Si, до настоящего времени
удовлетворительно исследованными являются лишь спектры
поглощения на примесях, создающих относительно неглубокие
уровни в Si.
ПЭПиУ II часть
191

Надежные результаты по поглощению на примесях можно
получить лишь при достаточно низких температурах (Т < 20 K) и
относительно низких концентрациях примеси, поскольку как повышение температуры, так и повышение концентрации примесей (свыше
21016 см– 3) приводит к уширению полос поглощения. Поразительное
сходство, граничащее с тождественностью спектров различных донорных примесей между собой (это же относится и к спектрам, получаемым
на акцепторных примесях), является одним из веских аргументов
против упрощенной модели водородоподобного центра.
Несмотря на это, упомянутая модель (при учете того, что радиус
боровской орбиты водородоподобного центра определяется соотношением
2
 a0    / em *) показывает, что орбита примесного состояния
«размыта» по большому числу элементарных ячеек, так как в
конкретном случае Ge a0  20Å, а = 5,657 Å, следовательно, электрон
лишь малую часть времени находится вблизи своего атома,
поэтому не сильно подвержен влиянию сложного и обычно
малоизвестного потенциала в этой области. В результате этого
донорные и акцепторные примесные состояния (особенно
возбужденные) определяются, в первую очередь, структурой
соответствующих зон.

ПЭПиУ II часть
192






Согласно приближенной теории Фэна, поперечное сечение поглощения
фотона примесными центрами  вблизи порога фотоионизации,
характеризуемого частотой i, при  > i, выражается формулой

(2.177)
   / N  5 1017 mEН (i / )3,5 /(nm*Ei ),
где   коэффициент поглощения, N  концентрация центров, m*  эффективная
масса носителя, n  0,5  показатель преломления, EН = 13,6 эВ  энергия
ионизации атома водорода, Еi = hi  энергия ионизации примеси. Это
выражение дает точность, превышающую порядок величины.
Еще более грубую оценку, без учета значений эффективной массы
можно сделать, используя выражение для коэффициента поглощения i

(2.178)
i max  N 1017 /(Ei / EН ) см1;
этой оценкой приходится пользоваться, например, при первоначальном
изучении новых полупроводниковых соединений, когда известна лишь
концентрация преобладающей примеси, а также значения  и Еi.
Можно показать, что энергии переходов в возбужденное состояние и
энергию фотоионизации для мелких донорных и акцепторных уровней
удается определять по положению полос поглощения с высокой
точностью, значительно превосходящей точность определения энергий
термической ионизации.
Кроме того, мелкие донорные центры имеют единую систему
полос поглощения так же как и все мелкие акцепторы, однако между
первой и второй системами полос поглощения нет прямого
соответствия.
ПЭПиУ II часть
193




Это обстоятельство указывает на несовершенство простой
водородоподобной модели, согласно которой в обоих случаях должна
иметь место одна и та же система уровней, с различием,
определяемым только величиной эффективных масс:
 E  q 2 m * /(2n 2  2  2 ); n  1,2,3,...
(2.179)
n
Главное допущение теории эффективных масс (развитой в
основном Ч. Киттелем и А. Митчеллом, а также В. Коном и Дж. Латтинджером),
которую используют для описания системы мелких уровней примесных
центров, состоит в постулировании того, что форма потенциальной ямы
вблизи ядра примесного атома описывается уравнением
 U =  q2/r,
(2.180)
где r  расстояние от атома.
Естественно, что чем меньше вероятность нахождения электрона в
непосредственной близости от примесного атома, где истинное
распределение потенциала неизвестно, тем лучшего совпадения с
экспериментом можно ожидать. Помимо указанного основного
допущения в теории учитывается зонная структура того кристалла, в
котором находится атом примеси. Донорное состояние
представляется волновым пакетом функций Блоха вблизи дна зоны
проводимости. Таким образом, кинетическая энергия электрона
определяется энергией минимума (или минимумов) зоны проводимости
данного полупроводника. Вследствие этого, системы энергетических
уровней доноров в разных веществах должны различаться, а спектр
поглощения донорными центрами может существенно отличаться от
спектра поглощения акцепторов в том же веществе.
ПЭПиУ II часть
194


Однако в теории эффективных масс не учитываются
различия между разными донорными или акцепторными атомами в
одном и том же кристалле, которые весьма значительны. Теория
Киттеля и др., являющаяся обобщением представления о
водородоподобных центрах, предсказала для мелких доноров в
кремнии энергию ионизации Ei0, равную 0,029 эВ, в то время как
экспериментальные значения различаются от 0,039 эВ (фосфор)
до 0,069 эВ (висмут). Эти расхождения в первую очередь следует
объяснять отсутствием учета истинной формы потенциальной
кривой вблизи центра и использованием среднего значения . Тем не
менее, теория позволяет идентифицировать ряд
спектральных полос поглощения, связанных с возбужденными
состояниями, и вычислить разницу в энергии между этими
состояниями. Для р-состояний вычисленные значения хорошо
совпадают с экспериментом и, таким образом, удается
вычислить и наиболее интересную величину  энергию
оптической ионизации  с несколько большей точностью, чем
по непосредственным измерениям, где границу
соответствующей полосы обычно трудно определить.
Анализируя методом вакуумной плавки вытянутые из
расплава кристаллы Ge и Si, удалось установить, что они
содержат в своем объеме значительное количество примесей
водорода и кислорода. Обнаруженные полосы поглощения в Si
отнесены к колебаниям Si-O. Обнаруженный изотопный сдвиг
обеих полос поглощения в Si (при работе с изотопом О18)
указывает на то, что поглощение в обеих полосах связано с
кислородом в решетке кристалла.
ПЭПиУ II часть
195




2.6.6 ИК-поглощение глубокими уровнями
Глубокими уровнями обычно называют те уровни, вероятность термической ионизации которых при комнатной
температуре мала.
Существование примесных центров или дефектов структуры с
глубокими уровнями часто определяет такие основные физические
характеристики полупроводника, как скорость рекомбинации
неравновесных носителей тока, спектральную область
фотопроводимости, а также спектр люминесценции.
Естественно ожидать, что за длинноволновым краем полосы
собственного поглощения может наблюдаться поглощение,
связанное с фотоионизацией или возбуждением глубоких уровней. Такое поглощение действительно наблюдается в
полупроводниках с широкой запрещенной полосой (CdS, ZnS), а также
в кристаллах кремния, в которых путем облучения быстрыми
электронами или нейтронами созданы структурные дефекты.
Глубокие уровни часто соответствуют вторичной и т.д.
ионизации примесного атома или дефекта. В наиболее изученных
полупроводниках (Ge, Si) энергию ионизации большинства
глубоких примесных уровней, обусловленных атомами Аu, Fe,
Co и др. элементов, определяют не по данным оптического
поглощения, а путем электрических измерений или по
спектральной зависимости примесной фотопроводимости.
ПЭПиУ II часть
196



Трудности в исследовании поглощения вызваны тем
обстоятельством, что примеси, входящие в решетку путем
замещения атомов основного вещества (например, Аu в Ge или в Si),
не удается ввести в концентрациях выше чем (1 – 2)1015 см-3. Излишек
примеси, вводимой в расплав при выращивании кристалла, выпадает в
виде коллоидных включений. Поэтому вопрос о существовании
возбужденных состояний примесных центров с глубокими уровнями
до настоящего времени не изучен даже для Ge и Si.
Последние результаты исследования ИК-поглощения в Si,
содержащем радиационные структурные дефекты, указывают на
существование таких возбужденных состояний. Однако количественная
интерпретация имеющихся данных затруднена тем, что теория
центров с глубокими уровнями пока отсутствует. В таких центрах
электрон сильно связан с примесным атомом (или, например, атомом в
междоузлии), и вследствие того, что пространственное распределение
волновой функции резко меняется в пределах расстояния порядка
постоянной решетки, использовать метод эффективной массы нельзя.
Большую часть времени связанный электрон находится в области
непосредственно вблизи центра, где потенциальная энергия
неизвестна.
Данные об энергиях оптической ионизации многих примесей,
образующих глубокие уровни в Ge, приведены в работах [48, 74], где
имеются также и данные для кремния.
ПЭПиУ II часть
197





2.6.7 Инфракрасное поглощение носителями тока
Неселективное («металлическое») поглощение
За краем основной полосы поглощения при достаточно больших
концентрациях носителей тока в полупроводниках наблюдается
неселективное поглощение, плавно возрастающее с длиной волны (до
100 мкм и более). Коэффициент поглощения в этом случае
приблизительно пропорционален концентрации носителей тока
преобладающего типа, вплоть до больших концентраций примесных
центров, после чего поглощение растет с концентрацией более быстро.
Неселективное поглощение носителями тока, отчетливо
наблюдавшееся в широкой спектральной области в n-Ge, Si , InAs и в
других полупроводниках, обусловлено электронными переходами
внутри одной зоны, например зоны проводимости (часто это
поглощение не совсем точно называют «поглощением свободными
носителями»). В действительности, для носителей в совершенной
периодической решетке, не возмущенной тепловым движением, в
соответствии с законом сохранения импульса (правило отбора k i  k f )
такие переходы являются запрещенными.
Однако тепловые колебания и структурные нарушения, с
которыми могут взаимодействовать носители тока,
обусловливают возможность переходов внутри зоны. Вопрос о
поглощении света электронами проводимости, имеющими время
релаксации , был рассмотрен теоретически.
ПЭПиУ II часть
198




Считая формально «резонансную» частоту свободных
электронов равной нулю и вводя ширину резонанса,
определяемую «затуханием» (в качестве параметра,
характеризующего затухание, использовалась величина ), получим
для коэффициента поглощения формулу, аналогичную классическому выражению Друде для электронного осциллятора
  4n e q 2  /[cnm* (1  2 2 )],

(2.181)
где ne – концентрация электронов в зоне проводимости, с – скорость
света, n – показатель преломления,  = 2 – угловая частота. В
полупроводниках с большой подвижностью обычно выполняется
условие 22 >> 1. Время релаксации  можно оценить, зная
подвижность электронов ,

(2.182)
  m * / q ,
откуда следует, что коэффициент поглощения носителями тока
равен
  = neq3/(ncm*2).
(2.183)
Таким образом, характерной чертой поглощения
носителями тока должна явиться зависимость типа
  ~ 2 .
(2.184)
ПЭПиУ II часть
199





Наблюдаемое в n-Ge при комнатной температуре поглощение
сравнивалось с выражением (2.183), и оказалось, что наилучшее
согласие с экспериментом получается, если средняя эффективная
масса электрона me* составляет 0,11 – 0,22, которую выражают как
 1/me* = (1/m*e +2/m*e)/3,
(2.185)
где m*e  «продольная» и m*e  «поперечная» эффективные массы
свободного электрона m0. Средняя эффективная масса, определенная
методом циклотронного резонанса, для Ge равна 0,12m0.
Впоследствии теория поглощения носителями тока была
уточнена и при выводе выражений для коэффициента поглощения 
учтено как взаимодействие электронов в зоне проводимости или
дырок в валентной зоне с решеткой, так и влияние примесей и
дефектов. Согласно [42] в случае, когда доминирует рассеяние
носителей акустическими колебаниями решетки, имеем

(2.186)
0,5
2 2 0,5
  4 / cn  160 ( / kT)
(1  2Ek / )(1  Ek / ) /(9cn   ),
где 0  проводимость, а скобки * означают усреднение по начальной
кинетической энергии электронов (или дырок) Ek. В случае классической статистики Ek  kT. Таким образом, в отличие от классической
теории Кронига, согласно последнему выражению, запишем
  ~ 3/2 .
(2.187)
ПЭПиУ II часть
200








В случае очень высоких концентраций ионизованных
примесных центров коэффициент поглощения  должен зависеть
от длины волны, как 7/2; при данной длине волны коэффициент
поглощения должен быть пропорционален квадрату
концентрации примесных центров.
Поглощение свободными носителями в кремнии р- и n-типа
исследовалось в области длин волн от 1,1 до 11 мкм. Было
обнаружено, что в кристаллах р-типа с концентрацией носителей
от 51015 см3 и выше коэффициент поглощения возрастает с
ростом длины волны (рис. 2.32), причем для концентраций дырок
вплоть до 31017 см3 зависимость  = f() весьма близка к
предсказываемой теорией Фэна.
Сплошной кривой 1а на рис. 2.32 показана теоретическая
зависимость. Абсолютные значения коэффициентов поглощения в
спектральной области, , см -1 3, см -1
1
30
3
для которой выполняется
1а - теория
1а
3/2
условие  ~  , были
1 – Si p-типа
использованы для
20 2
2 – Si n-типа
вычисления эффективной
массы дырок m*n в кремнии.
10
Спектр поглощения Si р- и n-типа
при 300 К
1
3 – Si p-типа
l , мк
1
ПЭПиУ II часть
2
3
4
5
6
7
8
9
10
201


Согласно [75] m*p= (3,5  0,3)10-28 г, т.е. m*p/ m*e, что вполне
согласуется со значением 0,39mе, полученным методом циклотронного
резонанса. В исследованных кристаллах р-Si со сравнительно низкими
концентрациями дырок (менее 51015 см3) обнаруживались сильные
отклонения от закона 3/2 (см. рис. 2.32, кривая 3), проявляющиеся в
наличии слабо зависящего от  «поглощения» в области 1,1  7 мкм. Из
контрольных опытов следует, что наблюдаемый эффект является
объемным, однако не установлено, связано ли это ослабление
проходящего пучка с истинным поглощением света или обусловлено
рассеянием излучения на дефектах, натяжениях или скоплениях
примесей [80].
В отличие от p-Si ни в одном из исследованных кристаллов с
электронной проводимостью не наблюдалось зависимости типа 
~ 3/2. Типичная спектральная зависимость для кристалла n-типа с
большой концентрацией электронов (ne  41017 см3) также приведена на
рис. 2.32 (кривая 2). Кривая имеет перегиб в области 2,5  3 мкм, после
чего  растет с , медленнее чем 3/2 . Не исключается возможность
того, что наблюдаемая спектральная зависимость есть результат
наложения спектра типа  ~ 3/2 и широкой полосы с максимумом вблизи
2,5 мкм, как это полагал Фэн. Согласно исследованиям [81], учет
рассеяния оптическими фононами и сложной зонной структуры Si,
не проведенный в теории Фэна, заставляет считать, что
«максимум» также обусловлен поглощением электронами в зоне
проводимости.
ПЭПиУ II часть
202



Влияние неселективного поглощения носителей тока сильно
затрудняет обнаружение слабых полос поглощения, связанных с
колебаниями решетки и примесями. Ввиду этого (в особенности при
изучении ИК-спектров новых полупроводниковых материалов) крайне
существенно тем или иным способом (например, введением
компенсирующих примесей или снижением температуры опыта) понизить
концентрацию носителей тока.
Селективное поглощение
В отличие от поглощения, описанного выше и характеризуемого
монотонным возрастанием  с длиной волны, в определенных случаях
возможно существование сравнительно узких спектральных полос
поглощения, также связанных с взаимодействием излучения с носителями
тока. Наиболее изученным случаем селективного поглощения
носителями тока является поглощение дырками в кристаллах Ge.
Вскоре после получения достаточно крупных монокристаллов р-Ge,
было установлено, что в области за краем основной полосы, вблизи 3,4
и 4,7 мкм, а также при длинах волн, превышающих 10 мкм, имеют место
полосы поглощения, интенсивность которых пропорциональна
концентрации дырок. Удалось показать также, что вполне аналогичный
спектр поглощения можно наблюдать в кристалле n-Ge в
неравновесных условиях, например при инжекции дырок в n-область
пропусканием прямого тока сквозь кристалл с рn-переходом [82].
Спектр поглощения дырками в кристалле Ge показан на рис. 2.33, где по
оси ординат отложено поперечное сечение поглощения, т.е.
коэффициент поглощения, деленный на концентрацию дырок в
исследовавшемся кристалле.
ПЭПиУ II часть
203
6 5
4
3
l, мкм
10 8
6
4
2
Поглощение дырками,
инжектированными в nGe и структура
валентной зоны Ge
-16
10 8
6
4

Еu
l
u1 h n12
kT при 300 К
h n13
u3
u2
000
Волновое число, k
2
-17
10 8
6
0,1
0,4
0,5
Энергия фотонов, эВ

h n23
2,5
Энергия
2
Поперечное сечение поглощения, см
-15
15 10 8
0,6
При интерпретации наблюдаемого спектра поглощения были
использованы данные о сложной структуре валентной зоны Ge,
согласно которым эта зона разделяется на три «ветви», две из
которых 1 и 2 совпадают вблизи точки, где k = 0, а третья, 3,
лежит ниже первых двух. Полосу 3,4 мкм (0,37 эВ) связывают с
электронным переходом 3  1; 4,7 мкм (0,27 эВ)  с переходом 3 
2, наконец, наиболее длинноволновую полосу, лежащую вблизи
15 мкм, (0,08 эВ), форма которой хуже изучена,  с переходом
2  1 (рис. 2.34).
ПЭПиУ II часть
204



Следует заметить, что величина отщепления нижней зоны 3
от 1 и 2 определена именно по положению полосы поглощения 4,7
мкм, так как данные, полученные другими методами, позволяют
лишь утверждать, что такое разделение должно существовать, но
не позволяют определить расстояние между зонами. Теория
переходов между ветвями валентной зоны Ge была развита в работе
[77].
Интенсивное поглощение дырками в Ge было использовано как
для экспериментального исследования пространственного
распределения инжектированных дырок и определения длины
диффузии, так и для целей модуляции ИК-излучения.
В отличие от кристаллов Ge, несмотря на большое сходство в
структуре валентных зон, в кристаллах Si селективного
поглощения дырками практически не наблюдается.
Исследование ИК-спектров поглощения некоторых из
интерметаллических соединений, например GaSb и InAs, указывает
на наличие селективного поглощения носителями, по-видимому, так
же, как и в Ge, связанного с переходами между ветвями сложной
валентной зоны.
ПЭПиУ II часть
205




2.6.8 Влияние электрически неактивных примесей на
 ИК-поглощение в полупроводниках
В течение длительного времени о наличии примесей в
полупроводниковых материалах, в частности в Ge и Si, судили, главным
образом, по данным измерений электропроводности, эффекту Холла
и времени жизни неравновесных носителей. Впоследствии было
выяснено, что часто монокристаллы Ge и Si, помимо электрически
активных примесей (способных отдавать носители в соответствующую зону
вследствие ионизации или захватывать их), содержат весьма
значительное количество кислорода или водорода. Концентрация этих
примесей, в частности кислорода, может превышать 1018 см–3. Атомы
кислорода могут существовать в кристаллах Si в двух состояниях.
В одном из этих состояний, в котором они обычно находятся в
выращенных из расплава монокристаллах, атомы кислорода не влияют
на электрические свойства Si. Однако при последующей термической
обработке электропроводность и другие свойства Si, содержащего
кислород, могут резко изменяться.
Вопрос о существовании растворенного кислорода в Si и его
влиянии на свойства кристаллов был выяснен в основном благодаря тому,
что были обнаружены характерные полосы ИК-поглощения,
обусловленные возбуждением колебаний атомов кислорода и соседних
атомов кремния. Так как исследование «электрически неактивных»
примесей в полупроводниках представляет собой практически
важную проблему, рассмотрим случай наличия кислорода в Si несколько
подробнее.
ПЭПиУ II часть
206



Наиболее интенсивная полоса поглощения, обусловленная
колебаниями связанного с кремнием кислорода, имеет при 300 К волновое
число, близкое к 1106 см1 ( = 9,1 мкм). Другая полоса лежит в более
длинноволновой области вблизи 515 см1 и третья, более слабая,  вблизи
1205 см1. Эксперименты с Si, содержащим кислород, обогащенный изотопом
О18, показали, что имеет место ясно выраженное изотопическое
расщепление и, следовательно, полосы поглощения непосредственно
связаны с атомами кислорода.
Хотя двуокись кремния SiO2 имеет сильную полосу поглощения
вблизи 1100 см1, результаты исследования изотопического смещения и в
первую очередь соотношение интенсивностей полос позволяют
утверждать, что «вибратор», обусловливающий поглощение, содержит
лишь один атом кислорода, т.е. колебания возбуждаются как бы в
«молекуле» Si2O [88, 89]. Детальное исследование температурной
зависимости полос поглощения, связанных с кислородом в кремнии,
позволило в значительной степени выяснить структуру, т.е. геометрию и
силы связи колеблющейся «молекулы» Si2O.
В настоящее время ИК-спектроскопия используется как доступный
метод количественного анализа первоначального содержания кислорода в
кремнии, начиная с концентраций от 51015 см3. Термообработка при
температурах выше 1000 oС, а также бомбардировка нейтронами приводит
к уменьшению интенсивности поглощения. Показано, что в первом случае
имеет место «сгущение» атомов кислорода, постепенно приводящее к
возникновению частиц SiO2. При достаточной концентрации этих частиц их
удается наблюдать по возникающему рэлеевскому рассеянию света.
ПЭПиУ II часть
207




2.6.9 Поглощение света при возбуждении колебаний
кристаллической решетки
Так же, как и при возбуждении колебаний с участием атомов
примесей, поглощение света вследствие возбуждения колебаний
кристаллической решетки не сопровождается фотоионизацией. Этот
тип поглощения характерен для ионных кристаллов, каждый из
которых имеет, обычно в далекой ИК-области, полосу интенсивного
поглощения и несколько смещенный относительно нее максимум
отражательной способности (остаточные лучи).
Интенсивность поглощения (отражения) в полосе
«остаточных лучей» снижается вместе с долей ионной связи. Так,
валентные кристаллы элементов IV группы  алмаз, кремний и
германий, с точки зрения простой теории, не должны иметь
полос поглощения, связанных с возбуждением колебаний
решетки, так как эффективный заряд атомов, характеризующий степень ионной связи, в этих кристаллах равен нулю.
Однако экспериментальное изучение этих кристаллов позволило
обнаружить в каждом из них систему полос поглощения, несомненно
связанную именно с колебаниями решетки (рис. 2.35).
Поглощение (и интенсивность) полос не зависит от типа и
концентрации электрически активных примесей. В работе [94]
показано, что интенсивность поглощения в этих полосах
пропорциональна среднему квадратичному смещению атомов при
тепловом возбуждении.
ПЭПиУ II часть
208
Для объяснения причины существования полос поглощения
полагают, что тепловое движение атомов (или наличие структурных
дефектов) деформирует распределение заряда в кристалле,
создавая электрические диполи, с которыми может
взаимодействовать падающее ИК-излучение.
Полосы поглощения, связанные с
возбуждением колебаний кристаллической
решетки в Gе и Si (за исключением полосы
1106 см1 для Si, связанной с кислородом)
3
-1
1,2
1,4
Волновое число х 10 , см

100
0,6
0,8
1,0
Si
10
a, см -1
Si

Можно показать, что
1
10
электрический момент второго
порядка малости возникает, если
заряды, индуцированные
колебаниями одного типа,
Ge
осциллируют сами под действием
1
0,1
колебаний второго типа. Такой
процесс возможен при
одновременном рождении двух
, см -1
0,7
0,3
0,4
0,5
0,6
фононов или при одновременном
Ge
3
-1
Волновое
число
х
10
,
см
появлении одного и исчезновении
другого фонона.
ПЭПиУ II часть
209

Полоса поглощения InSb
значительно уже, чем аналогичные
полосы у соединений с более
выраженной ионной связью, например
у ZnS или PbS, что указывает на
малый эффективный заряд атомов.
Это объясняется малой разницей
электроотрицательности индия и
сурьмы. Карбид кремния,
напротив, по-видимому, имеет
заметно выраженный полярный
характер, что согласуется с
большой разницей
электроотрицательности Si и С.
Отражение, %
Таким образом, полосы ИК-поглощения, связанного с колебаниями
решетки в валентных кристаллах, представляют собой комбинационные
полосы, связанные с двумя фононами, имеющими одинаковый волновой
вектор, но принадлежащими к разным ветвям спектра колебаний решетки
(вместе с тем, теоретический расчет спектров поглощения колебаниями
решетки для Ge и Si не дает совпадения с экспериментом).
В отличие от истинных валентных кристаллов, такие близкие к ним
полупроводниковые соединения, как карбид кремния SiC или антимонид индия
InSb, обнаруживают полосы сильного поглощения, а также связанные с ними
максимумы коэффициента отражения (рис. 2.36).
100
80
60
40
20
ПЭПиУ II часть
SiC
ZnS
PbS
InSb
6 8 10
15 20 30 40 50
l , мк
200
100
Максимумы спектров отражения
полупроводниковых соединений,
обусловленные возбуждением
колебаний
210


2.7 Вынужденное рассеяние света
Возможность вынужденного рассеяния света была теоретически
предсказана Г. Плачеком (G. Placzek) еще в 1934 году. Однако первые
успешные эксперименты были проведены лишь в 1962 году после
появления лазеров. Вынужденное рассеяние света обычно
наблюдается при облучении интенсивным ЛИ (при накачке с
частотой н) нелинейной среды, в качестве которой
используются газ, жидкость, твердое тело, плазма (рис. 2.37).
Дисперсионный
элемент
(призма)
2-я стоксовская
компонента
сс = н -2 с
1-я стоксовская
компонента
c = н - с
н
Рассеивающая
линза
Фокусирующая
линза
Экран
1-я стоксовская
компонента
ac = н + с
Коллимирующая
линза
ЛИ частотой  н
ПЭПиУ II часть
211



Физически такое рассеяние реализуется на
индуцированных самой рассеиваемой волной элементарных
возбуждениях среды (оптических и акустических фононах, магнонах,
электронах, температурных волнах и т.п.). Причина вынужденного
рассеяния света – обратное воздействие световых волн на
рассеивающую среду, обусловленное ее оптической нелинейностью.
При спонтанном рассеянии это воздействие пренебрежимо мало, так
что рассеяние происходит на равновесных тепловых флуктуациях.
Вынужденное рассеяние света так же, как и спонтанное,
связано с модуляцией параметров среды (например, электронной
поляризуемости показателя преломления и т.п.) при ее возбуждении
светом, что приводит к амплитудной модуляции рассеянного света,
а следовательно, к появлению в нем новых спектральных компонент
(стоксовых и антистоксовых с частотами с и ас соответственно).
Однако в отличие от спонтанного рассеяния света при
вынужденном рассеянии света происходит взаимодействие
излучения накачки и рассеянного света через среду, поэтому
элементарные возбуждения становятся когерентными.
Наиболее характерные признаки вынужденного рассеяния
света – это резкое возрастание интенсивности и сужение
диаграмм направленности стоксовых и антистоксовых
компонент. В случае вынужденного рассеяния света,
интенсивности рассеянных компонент сравнимы с
интенсивностью излучения накачки (при спонтанном рассеянии
они составляют ~ 105106 интенсивности рассеиваемой волны).
ПЭПиУ II часть
212







Классическая теория
На классическом языке вынужденное рассеяние света проще всего
объяснить на примере одного из наиболее важных типов – вынужденного
комбинационного рассеяния (ВКР) на колебательных переходах
молекул. Описание взаимодействия света с внутримолекулярными
движениями основано на учете зависимости электронной
поляризуемости молекул ре от ядерной конфигурации, определяемой
координатами ядер, а именно амплитудой их колебаний gi. В простейшем
одномерном случае (i = 1) имеем
 ре(g) = рл + (ре1/g)0 g +…,
(2.186)
где pл – линейная поляризуемость. Наличие члена (ре1/g)0 в (2.186)
является причиной модуляции света молекулярными колебаниями: в
наведенной световой волной поляризации Р появляются новые частотные
компоненты, сдвинутые на частоту колебаний ядер (т.е. на собственную
частоту колебаний молекулы):
 Р = pe(g)Е = рлЕ + (ре/g)0 gЕ +…
(2.187)
В условиях, когда g определяется тепловыми движениями в
среде, (2.187) описывает спонтанное комбинационное рассеяние.
Зависимость pe(g) является одновременно причиной обратного
воздействия световых волн на молекулярные колебания.
Действительно, энергия взаимодействия W молекулы со световой
волной выражается в виде
 W =  РЕ =  pe(g)Е2,
и, следовательно, при pe/g  0 в световом поле возникает сила
 F =  W/g = (pe/g)E2,
(2.188)
действующая на колебания.ПЭПиУ II часть
213



Если световое поле, падающее на среду, такой частоты н,
что н =  + с, где   собственная частота молекулярных колебаний,
с – стоксова компонента, то эта сила может привести к
резонансной раскачке колебаний частоты с, возникновению
параметрической неустойчивости, так называемой распадной
неустойчивости. В этих условиях на хаотическое внутримолекулярное
движение накладываются регулярные вынужденные колебания, фазы
которых в различных молекулах определяются фазами компонент
светового поля (происходит фазирование молекулярных колебаний
во всем объеме, занятом световыми полями). Неустойчивость
возникает, если интенсивность Iн световой волны превышает некоторое
пороговое значение Iн  Iпор. В этом случае низкочастотная стоксова
компонента экспоненциально усиливается по мере распространения
через среду: Iс(х) = Iсоехр(GIнx). Здесь GIн – инкремент усиления, G –
коэффициент усиления, х – длина возбужденной части среды. В
практических случаях GIн может достигать величины ~ 102.
В силу (2.188) амплитуда возбужденных световой волной
молекулярных колебаний g ~ Е2 и, следовательно, для поляризации
среды можно записать выражение
 Р = Рлин + Рнл = (1)Е +(3)Е3,
(2.189)
где (3) ~ (pe/g)2 – кубическая нелинейная восприимчивость. Именно
она является универсальной характеристикой среды,
описывающей явления вынужденного рассеяния света.
ПЭПиУ II часть
214




Квантовая теория
В квантовой теории вынужденное рассеяние света
рассматривается как результат взаимодействия фотонов накачки
с рассеивающимися фотонами.
При спонтанном рассеянии рассеивающийся фотон может
оказаться в любой моде, характеризующейся частотой, поляризацией и
направлением распространения фотона. Вероятность рассеяния в данную
моду в единицу времени сп (с–1) пропорциональна интенсивности Iн
(Вт/см2) света накачки; сп = Iн/Мhн, где  (см2) – сечение рассеяния, а
величина М = (8с2/с3)Vл представляет собой число мод в облучаемом
объеме V, л – ширина спектральной линии спонтанного рассеяния, с –
скорость рассеянного света в нелинейной среде. Полная вероятность
спонтанного рассеяния Wсп = Мсп = Iн/hн. Рассеяние становится
вынужденным, если в данной моде уже находится m 1
рассеивающихся фотонов.
В соответствии со статистикой Бозе  Эйнштейна, которой
подчиняются фотоны, рассеивающийся фотон стремится попасть в
ту моду, где есть аналогичные фотоны. Это приводит к тому, что
вероятность m+1 рассеяния (m + 1)- го фотона в данную моду (в
частности, в данном направлении, рис. 2.38), где уже имеется m
фотонов, будет в (m + 1) раз больше вероятности спонтанного
рассеяния; m+1= (m + 1)сп = в + сп, где в = mсп – вероятность
вынужденного рассеяния света в данную моду.
ПЭПиУ II часть
215
h н
h н
h c
(n+1) h c
1
Картина рассеяния фотонов по модам
2
n h c



Поскольку m ~ Ic, где Ic – интенсивность рассеянного в данную
моду света, и сп ~ Iн, то в ~ IcIн, т.е. вероятность вынужденного
рассеяния света пропорциональна произведению
интенсивностей накачки (Iн) и рассеянного света (Ic). Учитывая,
что
 m+1 ~ (d/dt)m = [/t + (с/x)m],
(2.190)
можно показать, что при m >> 1 для стационарного случая
(т.е. при /t = 0) имеет место уравнение dIc/dх = GIнIc, описывающее
экспоненциальное усиление рассеянного света, как и при классическом
рассмотрении.
ПЭПиУ II часть
216

Основные виды вынужденного рассеяния света
Каждому виду спонтанного рассеяния можно сопоставить
соответствующее вынужденное рассеяние света. Поэтому
классификация вынужденного рассеяния света аналогична
классификации видов спонтанного рассеяния. По причинам
вторичного характера, рассеяние, определяемое квантовыми
микросистемами (молекулами, атомами, электронами), называют
комбинационным, а рассеяние, определяемое макроскопическими
флуктуациями среды (изменением плотности, температуры и др.
термодинамических параметров) и ориентацией молекул в газах, твердых
телах, жидкостях, называют молекулярным.

Вынужденное комбинационное рассеяние (ВКР) может быть: на
колебательных уровнях молекул газов, жидкостей, твердых тел
 (с  2102  4103 см1; коэффициент усиления G ~ 102103 см/МВт;
спектральный диапазон лазеров – источников накачки fн – от УФ до
средних ИК); на вращательных уровнях молекул газов (с = (1  6) 102
см1; G ~ 103104 см/МВт; fн  ближний и средний ИК); на электронных
уровнях атомов атомарных газов (пары металлов) (с  104 см1; G~102
см/МВт; fн – от УФ до видимого); на спиновых подуровнях уровней
Ландау полупроводников, связанное с переворачиванием спина
электрона в МП (с  10200 см1, регулируется МП, G ~ 10–3102 см/МВт;
fн  средний ИК: 5, 10, 12 мкм); ВКР на поляритонах в ионных
кристаллах (с  (1  5) 102 cм1, регулируется поворотом кристалла,
 G = 102 см/МВт; fн  видимый).

ПЭПиУ II часть
217





К молекулярному вынужденному рассеянию относятся:
вынужденное рассеяние Мандельштама  Бриллюэна (ВРМБ),
происходящее на гиперзвуковых волнах в газах, жидкостях, твердых
телах, плазме (с  (110) 102 cм1, G ~ 101 102 см/МВт; fн – от
видимого до ближнего ИК); вынужденное рассеяние крыла линии
Рэлея (ВРКР), связанное с анизотропией молекул жидкостей и газов (с
 1102 cм1; G = 102 см/МВт; fн – видимый); вынужденное температурное
рассеяние (ВТР) на температурных волнах, обусловленное поглощением
света (ВТР-1) или электрокалорическим эффектом (ВТР-2) в жидкостях и
газах (G = 103 см/МВт; fн  видимый); вынужденное концентрационное
рассеяние на волнах концентрации в смесях различных жидкостей или
газов (с  1  10 cм1; G = 103 см/МВт; fн  видимый).
Выражение коэффициента усиления G через измеряемые
величины зависит от вида вынужденного рассеяния света. Так,
например, для ВКР
2
2
G


N

/
8

m
лhн
ВКР
с

, (2.191)
где с – длина волны стоксовой компоненты, N (см3) – разность
населенностей основного и возбужденного уровней.
Для ВРМБ запишем
GВРМБ  [2н2( / )2 sin( / 2)]/ эвс3n, л (2.192)

где эв  скорость звука, n – показатель преломления среды,   угол
рассеяния (рассеяние назад соответствует  = ),   плотность среды, 
 ее диэлектрическая проницаемость.
ПЭПиУ II часть
218




Усиление рассеянного света происходит до тех пор, пока можно
пренебречь эффектами насыщения. Преобразование излучения
накачки в стоксовы и анстистоксовы компоненты уменьшает
мощность (и энергию) накачки, а следовательно, и ее
интенсивность, что приводит к уменьшению усиления (так
называемое насыщение по накачке).
К уменьшению коэффициента усиления приводит также
выравнивание населенности верхних и нижних рабочих уровней
(рис. 2.38), которое происходит, если объемная скорость
преобразования фотонов накачки велика по сравнению со
скоростью релаксации в среде (так называемое насыщение среды).
Вынужденное рассеяние света в отличие от спонтанного
дает возможность достичь высокой степени когерентности
рассеянного света, так как состояние рассеянного фотона уже
задается фотоном, содержащимся в определенной моде. Это
означает, что излучение любого центра рассеяния находится в фазе с
уже имеющимся рассеянным светом. В этом смысле вынужденное
рассеяние света аналогично вынужденному излучению при
резонансном взаимодействии излучения с атомами и молекулами.
Точно так же степень когерентности при вынужденном рассеянии света
во много раз выше степени когерентности спонтанно рассеянного света.
Большой диапазон ширин линий, разнообразные возможности
концентрации световой энергии в различных средах приводят к тому, что
вынужденное рассеяние света наблюдается не только в поле
мощных импульсов одномодовых лазеров, но и в поле лазеров
непрерывного действия, возбуждающем вынужденное рассеяние
света в волоконных световодах.
ПЭПиУ II часть
219




ВКР в волоконных световодах может наблюдаться при
мощности накачки  0,1 Вт; спектр ВКР в кварцевых стеклах широк, и с
помощью дисперсионного элемента можно осуществлять перестройку
частоты ~ 300 см1. Поэтому на основе ВКР в волоконных световодах
созданы перестраиваемые в ближней ИК-области спектра
волоконные генераторы лазерного излучения.
Интересные физические и прикладные возможности связаны с
вынужденным рассеянием света пикосекундных лазерных импульсов –
нестационарных ВКР, возникающим в условиях, когда длительность
импульса сравнима со временем релаксации фазы элементарного
возбуждения, ответственного за рассеяние. В этих случаях часто
возникают эффекты инерционного запаздывания, сужения
стоксова импульса и др.
Вынужденное рассеяние света наблюдается и при «шумовой»
накачке – оптическом излучении, обладающем низкой
пространственной и временной когерентностью. В этом случае
вынужденное рассеяние света может быть использовано для повышения
степени когерентности.
Вынужденное рассеяние света нашло широкое практическое
применение в комбинационных лазерах для эффективного
преобразования частоты ЛИ; в активной лазерной спектроскопии,
позволяющей проводить количественный и качественный газовый
анализ, локальную диагностику параметров плазмы и т.п.; в задачах по
обращению волнового фронта.
ПЭПиУ II часть
220



Некоторые вопросы спектроскопии атомов и молекул
Переходя к более сложным взаимодействиям света с атомами и
молекулами не лишним будет напомнить особенности энергетики
таких структур, атомные уровни которых участвуют в процессе
рассеяния.
Известно, что в отличие от электрона свободный атом
представляет собой полную и независимую систему с конкретной
схемой разрешенных уровней квантованных энергий.


Схема атомных уровней с различными квантовыми числами n и l
Энергетическое состояние атома принято описывать с
помощью квантовых чисел, набор которых определяется
характером взаимодействия, присущим конкретному атому. Во
многих случаях в атомах преобладающим является нерелятивистское
межэлектронное взаимодействие.
ПЭПиУ II часть
221





Классификация атомных уровней основана на представлении, что
орбитальные моменты электронов складываются в полный
орбитальный
момент L атома, а их спиновые моменты  в полный

спин S . Моменты количества движения атома обозначают теми же
символами, что и определяющие их квантовые числа, но в векторной
записи.
В физхимии и квантовой механике существующие типа движения в
молекулах (электронные, колебательные и вращательные) традиционно
рассматриваются как электронно-колебательно-вращательные.
При этом полную энергию молекулы представляют в виде суммы
кинетической энергии, связанной с движением центра масс, и внутренней
энергии молекулы. Но в отличие от атома в молекуле появляются
дополнительные степени свободы, связанные с колебательным и
вращательным движением. Так как массы ядер атомов, составляющих
молекулу, велики по сравнению с массой электронов, а скорости
движения ядер малы по сравнению со скоростями электронов, то
внутреннюю энергию молекул можно считать состоящей из трёх частей:
 электронной энергии Еэл, связанной с движением электронов вокруг
ядер;
 колебательной энергии Екол, связанной с колебаниями ядер
относительно центра масс;
 вращательной энергии Евр, обусловленной вращением молекулы
относительно центра масс:
ПЭПиУ II часть
222




Все эти виды движения квантованы, а энергетические
уровни дискретны. Порядок электронной энергии Еэл в молекуле такой
же, как в атоме, т.е. единицы и десятки электрон-вольт. Отношение
Екол/Еэл имеет порядок (m/M)0,5  10-2 .
В свою очередь, Евр/Екол  (m/M)0,5, т.е. расстояние между
колебательными уровнями энергии имеет порядок десятых, а
между вращательными  тысячных долей электрон-вольта.
Закономерности, характерные для электронно-колебательновращательных спектров, аккумулируют все особенности вращательных,
колебательных и электронных движений в молекулах, рассмотрение
которых осложняется необходимостью учёта внутримолекулярных взаимодействий, наиболее ярко проявляющихся именно в
такого рода спектрах, которые и будут участвовать во
взаимодействии с квантами света. Для их оценки следует записать
наиболее полный гамильтониан молекулярной квантовой системы:
где
 чисто электронный, колебательный, вращательный
гамильтонианы,
 гамильтонианы, описывающие энергию,
обусловленную наличием электронных и ядерных спинов,
остальные члены полного гамильтониана отвечают за
различного рода взаимодействия внутри молекулярного
масштаба.
ПЭПиУ II часть
223






Решение уравнения Шрёдингера с гамильтонианом приводит к
определению ровибронных (употребляющееся сокращение для
рассматриваемого типа состояний) волновых функций.
Приближённые ровибронные волновые функции записываются в
виде произведения вращательных, колебательных и
электронных функций:
Рассмотрим типы движения в молекулах более детально.
При анализе вращения молекул рассматривают проекции
полного момента на три главные оси вращения, проходящие через
центр тяжести молекулы. Соответственно, молекула имеет три
главных момента инерции относительно каждой оси, обозначаемых
как IА, IВ, IС. Деление молекул на группы в соответствии с
относитель-ными значениями их главных моментов инерции
позволяет провести их классификацию.
 Линейные молекулы (включая двухатомные). В этих молекулах
ядра расположены вдоль одной оси, и три направления вращения
выбираются следующим образом: А  вокруг направления связи, В 
вращение молекулы в плоскости листа и С – вращение молекулы
перпендикулярно этой плоскости. Моменты относительно осей В и С
равны между собой (IВ = IС), а момент относительно оси А очень мал
(IА  0).
ПЭПиУ II часть
224




 Симметричные волчки. Это тип молекул, в которых два момента
инерции равны между собой (IВ = IС ), а момент IА существует и отличен
от нуля (IА  0 ).
 Сферические волчки. Это молекулы, обладающие тремя равными
моментами инерции (Iа = Iв = Iс  0).
 Асимметричный волчок. Наиболее сложной моделью
вращающейся молекулы является асимметричный волчок с тремя
различными моментами инерции (Iа  Iв  Iс  0).
Простейшей молекулярной моделью является гетероатомная
молекула с атомами массой т1 и т2 и расстоянием от центра масс до
ядер r1 и r2 соответственно.






Модель двухатомной молекулы
Межъядерное расстояние между атомами
Момент инерции относительно S
Поскольку
то

I = m1m2r20/(m1 + m2) = r20,
где   приведённая масса.
Решение уравнения Шрёдингера для такой частицы позволяет
найти вращательную волновую функцию для жёсткой двухатомной
молекулы и даёт значения разрешённых уровней энергии.
ПЭПиУ II часть
225
Вращательная волновая функция жёсткой двухатомной
(линейной) молекулы
Вращение двухатомной молекулы происходит вокруг центра
масс, находящегося на оси симметрии молекулы. Энергетический
спектр определяют путём решения уравнения Шрёдингера для
жёсткого волчка, предполагая, что расстояния между ядрами атомов
остаются неизменными.
Ориентация молекулы, вращающейся вокруг центра тяжести,
может определяться с помощью сферических координат  и .
Таким образом, вращательная волновая функция двухатомной
(линейной) молекулы записывается в известном виде







где NJM  нормировочный множитель.
В рамках выбранной модели вращательная энергия для
двухатомной молекулы описывается выражением
где В  вращательная постоянная молекулы, а J = 0,1,2,3,... 
вращательное квантовое число, определяющее в единицах J
возможные значения вращательного момента количества движения
молекулы
ПЭПиУ II часть
226





Расстояние между соседними вращательными уровнями энергии
для R-ветви
,
увеличивается с ростом J, и соответственно с увеличением ЕJ .
Рассмотрим решение уравнения Шрёдингера для молекулы типа
симметричного волчка и вычисление волновых функций, т.е. жёсткой
вращающейся молекулы с двумя равными моментами инерции
Движение вращающегося тела описывается с помощью углов
Эйлера , , . Углы ,  эквивалентны обычным полярным углам между
осью, связанной с молекулой, и осью, фиксированной в пространстве; угол
. есть угол поворота вокруг оси, жёстко связанной с молекулой, которая
является осью симметрии молекулы. Решение уравнения Шрёдингера
имеет вид



Так как  и  появляются в различных слагаемых уравнения, они
определяются как циклические координаты и входят в волновую
функцию в качестве показателей экспонент, М и К для однозначного
определения функции должны принимать целые значения: 0, ±1, ±2,....
Уравнение для функции () является хорошо известным
гипергеометрическим уравнением, и его решение, называемое
гипергеометрической функцией.
ПЭПиУ II часть
227

Величина энергии вращательных уровней запишется как

где nmax  наибольшая величина в этом равенстве, при которой ап  0.

Откуда следует, что



Таким образом, J, К, М  квантовые числа, соответствующие
квадрату полного момента количества движения и его проекциям на
ось молекулярной системы координат и на ось системы координат,
фиксированной в пространстве.
Наиболее удобно в использовании выражение волновой функции
симметричного волчка через обобщённые сферические функции DJMK:




Отсюда следует квантовая идентификация уровней
вращающихся молекул.
Для молекулы типа асимметричного волчка вводят два квантовых
числа, характеризующих значения К для предельного случая
сплющенного волчка (К+1 или Кс) и для предельного случая вытянутого
симметричного волчка (K-1 или КА). Состояния описываются
квантовыми числами JКAКС, реже
JК
К+1.
228
ПЭПиУ
II -1
часть
При этом волновая функция жёсткого асимметричного волчка
представля-ется в виде разложения в базисе волновых функций
симметричного волчка, образующих полную базисную систему:
где gJKM  коэффициенты разложения.
Правила отбора для вращательных переходов между уровнями приведены в
таблице. В первом столбце приведены проекции мультипольного момента  на
соответствующие оси в молекулярной системе координат.
Компоненты 
КА
КС
a
0, ±2, ±4,...
±1, ±3, ±5,...
b
+1, ±3, ±5,...
±1, ±3, ±5,...
с
±1, ±3, ±5,...
0, ±2, ±4,...
Вращательные уровни энергии асимметричного волчка
Хотя общий характер движения асимметричного волчка,
естественно, тот же, что и в случае симметричного волчка, однако его
теоретическое описание оказывается гораздо более сложным. Такое
усложнение проявляется не только при квантово-механическом
рассмотрении движения асимметричного волчка, но и при исследовании
такого типа движения методами классической физики.
ПЭПиУ II часть
229



В случае асимметричного волчка полный момент
количества движения и его проекция М на фиксированную в
пространстве ось являются интегралами движения и поэтому
служат «хорошими» квантовыми числами, которые могут
характеризовать состояние волчка.
В то же время ни для классического движения, ни для
квантово-механического рассмотрения не имеется такого
направления, связанного с самой вращающейся асимметричной
молекулой, вдоль которого значение компоненты момента
количества движения оставалось бы постоянным.
Это означает, что квантовое число К, которое
соответствует в симметричном волчке проекции момента
количества движения на ось симметрии, не является более
«хорошим» квантовым числом и не может служить для
характеристики вращательного состояния. Действительно, набор
удобных квантовых чисел, которые могут характеризовать данное
состояние и имеют простой физический смысл, отсутствует. Хотя для
асимметричного волчка К не является хорошим квантовым числом,
однако уровни энергии могут характеризоваться заданием величины
J и значением КА (К-1) для предельного вытянутого и КС (К1) для
предельного сплющенного симметричных волчков.
ПЭПиУ II часть
230
 Постановка колебательной задачи

Известно, что упругость химических связей приводит к тому, что ядра
атомов в молекулах колеблются около некоторого среднего положения.

Самый простой объект, традиционно рассматриваемый в
колебательной задаче,  двухатомная молекула. Причиной существования
образовавшейся из двух атомов ковалентно связанной молекулы следует
считать взаимодействие двух сил. Во-первых, имеется отталкивание
ядер и электронов между собой как одинаково заряженных частиц, а вовторых, существует притяжение между разно заряженными электронами и
ядрами.

В результате ядра располагаются на некотором среднем расстоянии (равновесное расстояние r0), при котором все силы уравновешены, а
энергия молекулы минимальна.

Рассмотрим, например гомоядерную молекулу (состоящую из двух
одинаковых атомов). Внутренняя энергия такой системы зависит от
расстояния r между ядрами атомов в молекуле.
Для определения собственных значений энергии
необходимо решить стационарное уравнение
Шрёдингера. Однако качественные результаты можно
получить из общих соображений. Зависимость
энергии Е от r для основного Е0 и первого возбуждённого Е1 состояний представлена на рисунке.
Потенциальные кривые для основного и возбуждённого
состояний и колебательные уровни двухатомной молекулы
ПЭПиУ II часть
231

При очень больших r (r  ) уровни Е0 и Е1 соответствуют изолированным
атомам. При их сближении потенциальная энергия сначала плавно уменьшается,
а при r < r0 быстро возрастает. Это означает, что при больших r преобладают силы
притяжения между атомами, а при малых r  силы отталкивания. Расстояние r0
соответствует равновесному состоянию молекулы с энергией Е0. В возбуждённом
состоянии Е1 точка равновесия r1 сдвинута относительно r0. Как правило,
возбуждённое электронное состояние соответствует более растянутой
молекуле. Поэтому среднее межатомное расстояние для молекулы в
возбуждённом состоянии больше, чем в основном. Энергия

называется энергией диссоциации и равна
энергии распада молекулы на атомы.
Колебания молекулы в нулевом приближении описываются моделью
простого гармонического осциллятора. Кривая потенциальной энергии
соответствует уравнению параболы
где k  силовая постоянная, r  межъядерное расстояние.
Частота колебаний определяется как






где   приведённая масса
Колебательная энергия квантована, и разрешённые значения
получаются из уравнения Шрёдингера:
где   колебательное квантовое число, откуда ясно, что колебательная
энергия молекулы никогда не может равняться нулю, а её минимальная
величина, определяемая как hкол/2 (нулевая энергия) определяется силой
химической связи.
ПЭПиУ II часть
232

Но колебательный спектр реальных молекул описывается
иной моделью  ангармоническим осциллятором. Эмпирическое
выражение для потенциальной кривой называется функцией Морзе:

где   эмпирическая константа, Dе - энергия диссоциации. Для такой
функции решение уравнения Шрёдингера имеет вид

где е  колебательная частота, е  константа ангармоничности,
значение которой всегда мало и положительно. Соответственно,
уровни энергии ангармонического осциллятора по мере возрастания
V сближаются между собой.
По аналогии с уровнями энергии гармонического осциллятора


Для основного колебательного состояния V = 0 ангармонического осциллятора
ПЭПиУ II часть
233





Соответственно, правила отбора имеют вид  = ±1, ±2, ±3,... и
возможны переходы с большими изменениями колебательного
квантового числа. Колебательный переход с  = 1 (" = 0   = 1)
образует фундаментальную полосу поглощения, остальные
переходы с  = n образуют полосы (n  1) обертонов.
Энергия колебательно-вращательного уровня двухатомной
молекулы записывается как сумма колебательной и вращательной
энергий:
где В, D, H  эффективные вращательные постоянные молекулы.
Аналогичное выражение для центра колебательно-вращательной (КВ)
линии можно получить для перехода "J"  'J':
Частоту 0 называют центром КВ полосы. Традиционно КВ линии,
отвечающие переходам с разными J, имеют буквенную идентификацию,
соответствующую следующим значениям: J -2, -1, 0, 1, 2  O, P, Q, R, S
- ветви. Часто линия обозначается буквой с указанием значения J (Р9,
R10).
ПЭПиУ II часть
234





Фактор ангармоничности играет значительную роль в КВ
спектрах, не только изменяя положение центра полосы, но и снимая
запрет на переходы с  > 1, что приводит к появлению в спектрах
обертонных полос различного порядка.
Для двухатомной молекулы легко можно определить наиболее
заселённые уровни при конкретной температуре, поскольку
заселённость пропорциональна (2J + 1)exp(EJ/kT) дифференцируя
эту функцию, находим, что максимум достигается при целом
значении J, ближайшем к определяемому из соотношения
Центр линии с максимальной интенсивностью
знаки ± относятся к R- и Р-ветвям.
Если молекула состоит из N атомов, то положение каждого атома
характеризуется тремя координатами х, у, z в декартовой системе
координат. Очевидно, полное число значений этих координат будет
3N и молекула обладает 3N степенями свободы. Поступательное
движение молекулы описывается тремя координатами, вращение 
тоже тремя координатами относительно трёх взаимно
перпендикулярных осей. В итоге у молекулы остаётся 3N  6
степеней свободы, которые реализуются в колебательном
движении. Но линейная молекула имеет всего две вращательные
степени свободы и на колебания в ней приходится 3N  5 координат.
ПЭПиУ II часть
235
а. Изменения электрического дипольного
момента, вызываемые нормальными
колебаниями молекулы Н2О. Изменения
происходят либо вдоль (), либо поперёк ()
оси симметрии
б. Три фундаментальные моды колебаний
молекулы СО2



Традиционно N  1 колебания направлены вдоль связей (валентные
колебания), остальные 2N  5 для нелинейных молекул и 2N  4 для
линейных изгибают связи, т.е. являются деформационными колебаниями.
Примеры нормальных колебаний для нелинейной (Н2О) и линейной
(СО2) молекул приведены на рис. а и б. Нормальным называют
колебание, при котором все атомы в молекуле движутся в одной
фазе и с одинаковой частотой.
Кроме того, колебание может быть симметричным или антисимметричным. Каждая молекула обладает определённой симметрией, и
молекулярные колебания классифицируют по поведению относительно
элементов симметрии. Если рассмотреть результат операции симметрии
применительно к конкретному колебанию  при его неизменности колебание симметрично, при изменении колебания оно антисимметрично.
ПЭПиУ II часть
236






Чтобы молекула обладала спектром в ИК области, она должна
обладать дипольным моментом, изменяющимся в процессе
колебания. Это изменение может происходить параллельно оси
симметрии или перпендикулярно к ней. Поэтому часто колебания
классифицируют как параллельные и перпендикулярные.
Следует учесть, что в реальности движение ядер в молекулах
является суперпозицией всех колебаний. Спектр многоатомной
молекулы состоит не только из КВ полос, образованных
фундаментальными и обертонными полосами, возникают
полосы, обусловленные комбинационными и разностными
частотами.
Первые возникают в результате сложения основных и обертонных
частот, возможны полосы типа ni + mj,
где т, п = 0, 1, 2,...,
и разностные полосы ni + mj  pl  rs и т.д., где т, п, p,r = 0, 1, 2,... .
Но возможны ещё случайные совпадения колебательных уровней
разных мод, вызывающие резонансные явления в молекулах,
характерные, например, для молекулы углекислого газа СО2.
Построение набора базисных функций линейной молекулы в
нулевом приближении проводится как произведение собственных
функций жёсткого симметричного волчка (r), гармонического
осциллятора () и электронных орбитальных собственных
функций (e).
ПЭПиУ II часть
237











Возбуждение среды ЛИ (pfi), в общем случае может быть
одновременно активным в ИК-поглощении и в комбинационном
рассеянии, другими словами, оно может возбуждаться как
двухфотонным способом в процессе комбинационного рассеяния, так и
однофотонным способом в процессе ИК-поглощения. Такая ситуация
имеет место, например, для фононов в полярных кристаллах. Прямая
связь между ЭМВ ИК-диапазона и фононами приводит к
возникновению волны возбуждения смешанной природы, которая
известна как поляритон. Типичная дисперсионная кривая полярного
кристалла показана на рисунке.
Линия 1 соответствует осцилляторам с частотой ωт в отсутствие
14 -1
 , 10 с
3
связи с ЭМП, а наклонная
–  = сk/[()]0,5  ЭМВ в кристалле,
1/2
  сk /  
не взаимодействующем с колебаниями2
решетки на частоте ωт. Жирными 
линиями проведены кривые,
отвечающие дисперсионным
 1
соотношениям при наличии взаимо-1
4
k, 10 см
действия колебаний решетки и ЭМВ.
8

2.7.1 Вынужденное поляритонное рассеяние
L
Т
0
ПЭПиУ II часть
1,0
0,5
1,5
238





Одним из результатов взаимодействия является образование зазора
между ωт и ωL, в котором волновой вектор является чисто мнимым, а его
амплитуда задается штриховой кривой ωт = 1014 рад/с, ωр = 1014 рад/с.
Вследствие сильной дисперсии в области k ~ ωε0.5/c при комбинационном
рассеянии на поляритонах частота комбинационного резонанса зависит от угла
рассеяния, что связано с условиями сохранения энергии и импульса ωl = ωs + ωз и
kl = k s + k з, где ω3 и k з – частота и волновой вектор поляритона.
Вынужденное комбинационное рассеяние на поляритонах происходит при
достаточно мощной накачке, его можно описать, прибегнув к теории связанных
волн. В этом случае во взаимодействии участвуют четыре волны: волна E
накачки
El , стоксова волна Es, ИК-волна E3 и волна материального возбуждения fi. Этот
процесс можно считать комбинацией процесса параметрической генерации.
Соответствующие волновые уравнения, описывающие
эти четыре волны, имеют вид
2
4

2
2

e  [ ( 2)*E s E 3  NM*fi E sfi ],
   ()     / c E  
(2.193)
2
c
4s2
2
2
  ()  s  s / c E s  2 es [ ( 2)*E  E *3  NMfi E fi *],
c
432
2
2
  ()  з  3 / c E 3  2 e3 [ ( 2)*E  E 3 *  NA*fi fi ],
c
*






 / t  ifi  Гfi fi  i (Afi E3  Mfi E Es ) (i  f ) / ,
где  ( 2)  обычная квадратичная нелинейная восприимчивость, а
Аfi= < f`|  e· r  e 3|i >  матричный элемент перехода, соответствующий ИКвозбуждению материальной системы из состояния |i> в состояние |f>.
ПЭПиУ II часть
239


Слагаемые 3NR E i 2 E j , отвечающие нерезонансному вкладу в
восприимчивость, для простоты опущены.
Если отклик fi является стационарным, то, избавляясь от fi, получаем

(2.194)
42
2
2
2
( 2 )*
( 3)*
  ()   

e  [ эфф E s E 3   R E s E  ],
c2
4s2
2
2
2
2)
  ()  s  s / c E s  2 es [ (эфф
E  E *3   (R3)* E  E s ],
c
432
2
2
2)
  ()  з  з эфф / c E 3  2 e3  (эфф
E  E *s ,
c



/ c E 



N M fi ( i   f )
N A fi ( i   f )
NA *fi M fi ( i   f )

,  (R3)  
,  3 эфф   3 
,
 (3   fi  iГ fi )
 (3   fi  iГ fi )
 (3   fi  iГ fi )
2
2

где

а уравнение k3 = (3/с) 3эфф фактически описывает поляритонную
дисперсионную кривую. Последнее решение напоминает решение для
случая параметрической генерации, которое в предположении плоской
границы z = 0 и отсутствия истощения накачки имеет вид

(2.195)

( 2)
эфф

( 2)
0, 5
E 3 *  [ *s exp(iK  z )   *s exp(K z )]exp(ik s  r ),

где
E 3  [ s exp(iK  z )   s exp(K z )]exp(ik ç  r  ikz),
 ,5
k 3  23  30эфф
,
c
2
  s  k s (is  2k R ), k R  s 4(R3) E  2 ,
k  k z  k sz  k 3z , k z  k  z,
2k sz
2k sz c 2
1/ 2
3  32 k sz 
k3
4 2 s2 32 ( 2) 2
2
 3  k  i
3 ,   2
( 'эфф ) E  , *   2 
s  s k sz 
2k 3z
c k sz k 3z
ПЭПиУ II часть
1/ 2 (K    3 ) .
240


Это решение сводится к решению для случая простой
генерации стоксовой комбинационной компоненты или
параметрического усиления, когда, соответственно, исчезает связь ИКполя волны Е3 с другими волнами (Аfi = 0,  ( 2)  0) и нелинейная
зависимость fi от Е1 и Еs (Mfi = 0).
При соответствующем выборе угла между волновыми
векторами l и s, обеспечивающем перестройку вдоль
поляритонной дисперсионной кривой, выходное излучение при
вынужденном поляритонном рассеянии оказывается
перестраиваемым по частоте. Это было продемонстрировано на
примере кристалла LiNbO3. В этом случае выходное ИК-излучение
перестраивается от 50 до 238 см1. Его пиковая мощность
достигала 5 Вт, когда излучение рубинового лазера, работающего в
режиме модуляции добротности, мощностью 1 МВт и диаметром пучка
2 мм фокусировалось линзой с фокусным расстоянием f = 50 см в
кристалл LiNbO3 длиной 3,3 см. Мощность выходного излучения
ограничивается низким порогом повреждения кристалла LiNbO3. На
практике следует использовать одномодовые лазеры, чтобы избежать
появления в лазерном пучке горячих точек, которые увеличивают
вероятность повреждения кристалла. Вынужденное поляритонное
рассеяние наблюдалось также в кварце.
ПЭПиУ II часть
241

2.7.2 Вынужденное комбинационное рассеяние (ВКР)

Комбинационное рассеяние света – рассеяние света в газах,
жидкостях и кристаллах, сопровождающееся заметным
изменением его частоты. В отличие от рэллеевского рассеяния
света, при комбинационном рассеянии света в спектре
рассеянного излучения наблюдаются спектральные линии,
отсутствующие в линейчатом спектре первичного
(возбуждающего) света. Число и расположение появляющихся
линий (называемых комбинационными линиями или спутниками)
определяется молекулярным строением вещества.
Комбинационное рассеяние света открыто в 1928 году Г.С.
Ландсбергом и Л.И. Мандельштамом при исследовании рассеяния
света в кристаллах и одновременно Ч.В. Раманом и К.С. Кришнаном
при исследовании рассеяния света в жидкостях. В зарубежной
литературе комбинационное рассеяние света обычно называется
эффектом Рамана. Спектроскопия комбинационного рассеяния
света – эффективный метод изучения состава и строения
вещества.
Спектры комбинационного рассеяния света получают с
помощью специальной оптической установки, в которой
интенсивный пучок света концентрируют на изучаемом объекте
(рис. 2.40).

ПЭПиУ II часть
242
z
E
P
Л
K

z'
Iz
Ix
N


x'
Схема получения спектра
комбинационного рассеяния
x
В качестве источника света до 60-х годов
чаще всего применялись ртутные лампы, затем их
вытеснили лазеры. Рассеянный свет наблюдается под углом рассеяния  (обычно  = 90О) к
направлению падающего луча. Спектры
комбинационного рассеяния света
регистрируются фотографическим или
фотоэлектрическим методом.

При комбинационном рассеянии света изменение частоты
первичного излучения сопровождается переходом рассеивающихся
молекул на другие колебательные или вращательные уровни – так
называемые колебательные и вращательные комбинационные
рассеяния света (комбинационное рассеяние света с изменением
электронного состояния молекул наблюдалось лишь в небольшом
числе случаев).
Комбинационное рассеяние света можно рассматривать как
процесс, состоящий из двух связанных актов – поглощения кванта 
первичного света частоты  и испускания кванта    частоты 
.
ПЭПиУ II часть
243
E1



e

"
'
k = 2
k =1
k =0
k
а
б
в
Виды комбинационного
рассеяния света


E0
Однако в отличие от люминесценции при
комбинационном рассеянии света система под
действием кванта с энергией  не переходит в
возбужденное электронное состояние даже на
очень короткое время, поэтому энергия ħ
первичного кванта может быть
значительно меньше энергии ħе кванта,
способного перевести молекулу из
основного электронного состояния Еэ0 в
возбужденное электронное состояние Еэ1
(рис. 2.41, а).
В процессе комбинационного рассеяния света квант света ħ
воздействует на электронную систему молекулы, передавая ей (или
принимая от нее) часть энергии, причем молекула переходит в другое
колебательное состояние, а рассеянный ею квант имеет измененную
энергию ħ  ħ.
Комбинационное рассеяние света, возникающее при переходе
молекулы из возбужденного колебательного состояния,
характеризуемого колебательным квантовым числом  = 0, в
возбужденное колебательное состояние с  = 1,  = 2 и т.д., называется
стоксовым комбинационным рассеянием света (рис. 2.41, б).
ПЭПиУ II часть
244





Если же до воздействия света молекула находилась в
возбужденном колебательном состоянии, например,
характеризуемом  = 1, то при комбинационном рассеянии света не
может перейти в невозбужденное колебательное состояние с =0,
причем энергия рассеянного светового кванта ħ > ħ 
антистоксово комбинационное рассеяние света (рис. 2.41, в).
Все сказанное относится и к комбинационному рассеянию света
с изменением вращательного состояния молекулы, характеризуемого вращательными квантовыми числами. Соотношение
между энергиями падающего и рассеянного фотонов в случае
стоксова комбинационного рассеяния света имеет вид
 ħ  ħ  ħk,
(2.197)
и в случае антистоксова комбинационного рассеяния света
 ħ  ħ + ħk
(2.198)
величина ħk представляет собой энергию возбужденного
колебательного (или вращательного) состояния молекулы.
Соотношения (2.197), (2.198) объясняют основные закономерности
в колебательных спектрах комбинационного рассеяния света.
Комбинационные линии располагаются симметрично
относительно несмещенной (рэлеевской) линии, частота которой
совпадает с частотой возбуждающего света .
ПЭПиУ II часть
245



Частота каждого из спутников представляет собой комбинацию
частоты возбуждающего света и частоты колебательного или
вращательного переходов k рассеивающих молекул (отсюда название
«комбинационное рассеяние света»). Каждому спутнику с частотой (  k)
(красный, или стоксовский спутник) соответствует спутник с частотой
( + k) (фиолетовый или антистоксовский спутник).
В случае колебательного комбинационного рассеяния света, измерив
частоты спутников, можно определить собственные частоты
колебаний молекулы. Некоторые из колебаний молекулы в спектре
комбинационного рассеяния света не проявляются, так как они запрещены
правилами отбора. Колебательные спектры молекул, возникающие при
непосредственных переходах между колебательным уровнями энергии
ħk, лежат в ИК-области спектра. Они определяются другими правилами
отбора, поэтому спектры комбинационного рассеяния света и инфракрасные спектры не дублируют, а дополняют друг друга. Например, в случае
молекул, обладающих центром симметрии, все линии, разрешенные
в комбинационном рассеянии света, запрещены в ИК-спектре, и
наоборот.
Вращение молекул может проявляться в спектрах комбинационного
рассеяния как независимый вид движения, обусловливая возникновение
чисто вращательных комбинационных линий. Кроме того, вращательное
движение может накладываться на колебательное, что приводит к
усложнению структуры колебательных линий. Поскольку энергия
вращательного движения значительно меньше энергии колебаний,
чисто вращательный спектр лежит в области от единиц см1 до
несколько десятков см1.
ПЭПиУ II часть
246




Такой спектр представляет собой последовательность почти
равноотстоящих линий, расположенных симметрично по обе
стороны от возбуждающей линии.
Интенсивности спектральных линий, возникающих при
комбинационном рассеянии, очень малы и при обычных методах
наблюдения составляют 1010  1012 Вт, причем интенсивность
антистоксовых линий значительно меньше, чем стоксовых.
В спектрах комбинационного рассеяния света (как и в ИКспектрах) присутствуют обертоны, определяемые условием  > 1,
в пренебрежении ангармонизмом, они являются комбинациями
возбуждающей частоты и частот, кратных k (2k, 3k и т.д.), а
также составные частоты, получающиеся при одновременном
изменении двух или более колебательных квантовых чисел.
Интенсивность обертонов и составных частот в спектрах при
комбинационном рассеянии света в жидкостях и газах обычно
составляет 103 и менее от интенсивности основных линий,
определяемых условием  = 1, поэтому обертоны, как правило,
не наблюдаются и не регистрации. По этой причине спектры
комбинационного рассеяния более просты для интерпретации, чем
инфракрасные, где, как правило, проявляются обертоны и составные
частоты.
Линии комбинационного рассеяния света могут иметь
различную поляризацию, причем в большинстве случаев они
деполяризованы. Степень деполяризации Рд = Ix/Iz, Ix и Iz –
интенсивности рассеянного света с колебаниями вектора
напряженности ЭП световой волны по осям х и z (рис. 2.42).
ПЭПиУ II часть
247

Величина Рд зависит от
анизотропии электрооптических
свойств рассеивающей системы и
типа симметрии
рассматриваемого нормального
колебания. При колебательном
комбинационном рассеянии света
на свободно ориентирующихся
системах (молекулах газа или
жидкости) в случае естественно
падающего света установлены
следующие правила поляризации
линий комбинационно рассеянного
света: Рд = 6/7  для
неполносимметричных колебаний
молекул, Рд = 0  для
полносимметричных колебаний
молекул с изотропной
поляризуемостью (группы
симметрии Тd, 0h) и 0 < Рд < 6/7  для
полносимметричных колебаний
молекул, обладающих другой
симметрией.
 , (1/см)
790 760
459
313 217
0
а
в
 , (1/см)
790 760
459
313 217
0
б
Спектры комбинационного
рассеяния света
Поляризация стоксовых и
антистоксовых линий данной
колебательной частоты всегда
одинакова. При использовании
линейно поляризованного первичного
излучения степень деполяризации
неполносимметричных линий
составляет ¾. Для кристаллов
поляризации соотношения
усложняются.
ПЭПиУ II часть
248



Вследствие различной деполяризации линий комбинационного
рассеяния света при установке на пути рассеянного света поляризации
призмы N соотношение интенсивностей линий в спектре зависит от
угла поворота этой призмы относительно осей координат. В качестве
примера на рис. 2.42 приведены спектры ССl4, снятые с
поляризационной призмой, пропускающей колебания электрического
вектора , соответственно перпендикулярные оси возбуждающего
светового луча (рис. 2.42, а) и параллельные ей (рис. 2.42, б). Сильно
поляризованная линия 459 см1 во втором случае почти полностью
погашена.
Линии комбинационного рассеяния света имеют заметную
ширину. В случае колебательного комбинационного рассеяния света
жидкостей полуширина линий обычно имеет значение в пределах
1  20 см1. Форма контура и полуширина линий зависят от наличия
вращения и качания молекул, характера межмолекулярного
взаимодействия, ангармоничности колебаний. Структура линий
усложняется из-за наложения линий с близкими частотами, в т.ч. линий
разных поворотных изомеров и изотопных молекул. В качестве
примера на рис. 2.42, в показана структура линии 459 см–1 ССl4,
обусловленная тем, что в молекулы ССl4 входят разные изотопы Сl.
Сопоставление полуширины со степенью деполяризации линии
комбинационного рассеяния света показывает, что узкие линии
обладают наибольшей поляризацией, а широкие – предельной
степенью деполяризации.
ПЭПиУ II часть
249



Классическая теория комбинационного рассеяния света
(часть общей теории взаимодействия ЭМИ с веществом) на отдельных
молекулах основана на трех положениях: молекулы рассеивают свет
вследствие колебаний дипольного момента молекулы, индуцируемого
полем падающей световой волны; свет видимой и ближней УФ-областей
спектра рассеивается в основном электронной оболочкой молекулы (так
как ядра атомов, образующие «скелет» системы, смещаются в поле
световой волны незначительно); комбинационное рассеяние света
возникает в результате электронно-колебательного взаимодействия в
молекуле (взаимное расположение ядер определяет то внутреннее поле, в
котором находится электронное облако). Способность электронного облака
молекулы деформироваться под действием ЭП световой волны (ее
поляризуемость) зависит от конфигурации ядер в данный момент и,
следовательно, при внутримолекулярных колебаниях изменяется с
частотой этих колебаний, и наоборот – при деформации электронного
облака могут возникнуть колебания скелета молекулы.
Таким образом, комбинационное рассеяние света можно
рассматривать как результат модуляции индуцированного дипольного
момента колебаниями ядер.
Характер связи электронного и колебательного движения в
классической теории может быть рассмотрен лишь феноменологически
(строгое рассмотрение дает квантовая теория). Поляризуемость молекулы
ре зависит от межъядерного расстояния в данный момент времени, т.е.
является функцией колебательной координаты gi i-го колебания: ре = ре(gi).
ПЭПиУ II часть
250


Разложив эту функцию в ряд по степеням gi в окрестности
равновесного значения координаты gi = 0, находим:
 ре(gi) = ре() + (ре/gi)0 gi +…
(2.199)
Значение колебательной координаты g меняется по
гармоническому закону

g = gi0 соs(t + )
(i – начальная фаза i-го колебания). Поэтому дипольный момент
 P = реЕ, индуцированный в молекуле электрическим полем Е световой
волны (Е = Е0 соst), изменяется со временем t





P(t) = [ре(0) + (ре/gi)0 gi0cos(it + i)]E0cost] = ре(0)E0cost +
+ 0,5(ре/gi)0E0gi0 cos[(  i)t +i] +
(2.200)
+ 0,5(ре/gi)0E0gi0 cos[( + i)t + i].
Последние два слагаемых в (2.200) есть результат модуляции
колебаний индуцированного дипольного момента колебаниями ядер.
Поэтому в спектре рассеянного света кроме линии частоты 
появляются спутники с комбинационными частотами (  ) и ( + ).
Интенсивность линий комбинационного рассеяния света
пропорциональна (ре/gi)02. Если в разложении (2.199) учесть члены
высших порядков, то в выражении для P(t) появятся члены,
объясняющие существование фотонов (их интенсивности ~ (2ре/gi2)02
и т.д.) и основных тонов (их интенсивности ~ (2ре/ggk)02 и т.д.).
ПЭПиУ II часть
251

Такой способ рассмотрения возможен при малых амплитудах
колебаний ядер, что обеспечивает сходимость ряда (2.199) во всем
интервале изменений gi комбинационного рассеяния света, которое в
отличие от рэллевского рассеяния некогерентно (поскольку начальные
фазы gi колебаний ядер отдельных молекул совершенно независимы).

Квантовая теория комбинационного рассеяния света

В нерелятивистском приближении гамильтониан взаимодействия
электрона молекулы с полем падающей световой волны имеет вид
Н =  (q0/m)(PiА),
где q0 и m – заряд и масса электрона, Pi  оператор импульса, А –


оператор вектор-потенциал поля световой волны. Оператор Н
описывает переходы с участием двух фотонов лишь при учете
виртуальных состояний, отличающихся от конечного и начального
состояний системы (молекула + поле излучения) одним испущенным
или поглощенным фотоном. Вероятность комбинационного рассеяния
света, вычисленная с помощью теории возмущений в пренебрежении
ширинами начального и конечного k уровней, определяется формулой
(см. [105, 106])

W = (2)2n Sk12[n + 2/(2c)3]/ħ2.
ПЭПиУ II часть
(2.201)
252


Здесь , n – частота и число фотонов возбуждающего света,
, n – то же для рассеянного света, Sk1  матричный элемент
перехода (l – k), причем
 ( eP )(e Pk1 ) ( e Pl1 )(ePk1 ) 
Sk1    e l1
 e


, (2.202)




iq
l    iq l 
i  l
l
где Р – полный электрический момент системы, e, e  – единичные
векторы, указывающие направление поляризации соответственно
падающей и рассеянной волн, le  энергия и ql – ширина l-го
виртуального электронного состояния. Умножая вероятность перехода
на    и число рассеивающих молекул N = N0dx, где N0 – число
молекул в единице объема, dx – толщина рассеивающего слоя,
получим соответствующее рассматриваемому процессу приращение
интенсивности dI в слое dx. Кроме того, принимая во внимание, что
произведение представляет собой интенсивность возбуждающей
линии I, находим


dI = (2)2 (I2N0/)(Sk12)[I/h + 2/(2c)3] dx. (2.203)
Соотношения (2.202) и (2.203) связывают интенсивность линии
комбинационного рассеяния света с параметрами электронноколебательной структуры уровней молекулы. При значительном
удалении частоты возбуждающего света от частот электронного
поглощения молекулы, т.е. при  <<  e , и в пренебрежении первым
l
членом в скобках в формуле (2.203) имеем
 I = аI4N .
(2.204)
ПЭПиУ II часть
253



По мере приближения  к полосе электронного поглощения
молекулы (на расстояниях 20 000 – 30 000 см1 от максимума
поглощения и ближе) согласно (2.202) происходит быстрый рост
вероятности комбинационного рассеяния света с частотой, причем
этот рост тем существеннее, чем ближе частота возбуждающего света
к полосе поглощения и чем эта полоса интенсивнее. Соответственно
интенсивность комбинационного рассеяния света возрастает быстрее,
чем это следует из (2.204). В некоторых случаях удается наблюдать
комбинационное рассеяние света при возбуждении светом, частота
которого попадает в область полосы поглощения вещества
(резонансное комбинационное рассеяние света), возникающий при
этом спектр, сохраняя типичные особенности комбинационного
рассеяния света, отличается необычайно высокими значениями
молярной интенсивности линий комбинационного рассеяния света. В
некоторых случаях наблюдается также несколько обертонов [107].
Квантовая теория объясняет различие интенсивностей
стоксовых и антистоксовых линий комбинационного рассеяния света.
Поскольку вероятность рассеяния пропорциональна числу
рассеивающих молекул, интенсивности Iст и Iаст определяются
населенностями нулевого и 1-го колебательных уровней энергии
молекул.
ПЭПиУ II часть
254

При не очень высоких температурах населенность 1-го
колебательного уровня невелика (например, при комнатной температуре
при колебательной частоте 1000 см1 на 1-м уровне находится 0,7 % всех
молекул, поэтому Iаст мала). С повышением температуры населенность
возбужденного колебательного уровня возрастает и Iаст увеличивается.
Населенность уровней определяется Больцмановским распределением
молекул по колебательной энергии, в соответствии с которым

Iст /Iаст = [  k)/ ( + k)]4 exp (/kT).
(2.205)
Согласно (2.204), приращение интенсивности I комбинационного
рассеяния света зависит от уже достигнутого уровня этой величины, однако
поправочный член в правой части формулы (2.203), пропорциональный I, в
обычных условиях опыта столь мал, что им можно пренебречь. В
импульсных лазерных установках легко достигаются мощности 106 – 108 Вт,
при которых рассматриваемый член становится преобладающим.
Наблюдаемое в этих условиях комбинационное рассеяние света
(интенсивность линий ВКР) экспоненциально зависит от интенсивности
возбуждающей линии и числа молекул в рассеивающем объеме вещества.

ВКР обладает рядом особенностей. В спектре ВКР проявляется
обычно лишь одна колебательная частота k. В спектре с большой
интенсивностью проявляются обертоны с частотами
 2(  k), 3(  k) и т.д., а также антистоксовы частоты. Излучение
первой стоксовой компоненты по ширине линии и угловому распределению
«повторяет» возбуждающее излучение, т.е. распространяется по оси
возбуждающего луча.

ПЭПиУ II часть
255

Излучение антистоксовых и высших стоксовых компонент частично
распространяется по оси, частично в узких конусах под определенным
углом к оси, зависящим от свойств рассеивающего вещества и кратности
компоненты. Особенности ВКР в основном объясняются тем, что это
когерентный процесс, удовлетворяющий определенным фазовым
соотношениям [108].


Исследования состава и строения вещества по спектрам
при комбинационном рассеянии света
Основой аналитических применений комбинационного рассеяния
света является то, что каждое химическое соединение имеет свой
специфический спектр комбинационного рассеяния света. Поэтому эти
спектры могут служить для идентификации данного соединения и
обнаружения его в смесях. Параметры некоторых линий в спектрах
комбинационного рассеяния света сохраняются при переходе от одного
соединения к другому, содержащему тот же структурный элемент,
например связи С–Н, С=С, NН и др. Такая связь параметров линий
комбинационного рассеяния света лежит в основе структурного анализа
молекул с неизвестным строением [106]. Ряд заключений о строении
молекулы можно сделать, сопоставляя ее спектр комбинационного
рассеяния света и ИК-спектр. Такое сопоставление позволяет судить о
симметрии нормальных колебаний и, следовательно, о симметрии
молекулы. Применение указанных методов особенно успешно при их
сочетании с расчетом частот нормальных колебаний молекул [109].
ПЭПиУ II часть
256
Большое значение приобретает комбинационное рассеяние света
при исследовании кристаллов [110], где основное значение имеет
оптическая ветвь колебаний кристалла. Метод комбинационного
рассеяния света стал основным при изучении динамики кристаллической
решетки и изучения различных квазичастиц (фононов, поляритонов,
магнонов и др.). Вместе с тем разработаны эффективные методы анализа
по спектрам комбинационного рассеяния света кристаллов
микроскопических размеров и кристаллических порошков [106, 111].

Рассеяние Мандельштама  Бриллюэна (МБР) – рассеяние
света на адиабатических флуктуациях плотности конденсированных сред,
сопровождающееся изменением частоты. В спектре МБР
монохроматического света наблюдаются дискретные, расположенные
симметрично относительно частоты возбуждающего света спектральные
компоненты, называемые компонентами Мандельштама  Бриллюэна или
компонентами тонкой структуры линии Рэлея. Рассеяние предсказано Л.И.
Мандельштамом (1918 – 1926) и Л.Н. Бриллюэном (L.N. Brillouin, 1922), а
обнаружено и исследовано при рассеянии в кристалле кварца и в жидкости
Е.Ф. Гроссом (1930).

Адиабатические флуктуации плотности можно представить как
результат интерференции распространяющихся в среде по всевозможным
направлениям упругих волн различной частоты со случайными фазами и
амплитудами (так называемых дебаевских волн). Плоская световая волна,
распространяющаяся в такой среде, дифрагирует (рассеивается) во всех
направлениях на этих упругих волнах, модулирующих диэлектрическую
проницаемость среды.

ПЭПиУ II часть
257

Возбуждающий
свет

Рассеянный
свет
Дифракция света на упругих волнах
Каждая из упругих волн создает периодическую
решетку, на которой и происходит аналогично
дифракции света на ультразвуке. Максимум
интенсивности света, рассеянного на упругой волне
с длиной волны , наблюдается в направлении 
(рис. 2.43), отвечающем условию Вульфа  Брега
2nsin/2 = ,




где n – показатель преломления,   длина волны света в вакууме.
Поскольку каждой упругой волне, распространяющейся в
некотором направлении со скоростью , соответствует волна той же
частоты, бегущая навстречу, можно считать, что в среде имеются
стоячие упругие волны, временное изменение плотности в которых с
частотой f = / вызывает модуляцию рассеянного света [112, 113] .
Следовательно, в рассеянном свете появятся дискретные
компоненты с частотой    (стоксова и антистоксова), где  = f.
Условие (2.206) приводит к выражению для относительного
изменения частоты света, рассеянного в направлении :


(2.206)
/ =  2n(/с)sin/2,
(2.207)
где с – скорость света в вакууме. Рассмотрение отражения света от
бегущих упругих волн в направлении, соответствующем условию
(2.206), приводит к такому же результату.
ПЭПиУ II часть
258

Изменение частоты в этом случае обусловлено эффектом
Доплера. Ширина компонент Мандельштама  Бриллюэна 
определяется коэффициентом затухания  (см–1) упругих волн
=/2.



Поскольку обычно f    , смещение частоты при МБР
относительно невелико: / ~ 2/с ~ 105  106. Такие величины
измеряются интерферометрическими методами, например
интерферометром Фабри  Перо.
Существенным и хорошо наблюдаемым оказывается МБР
видимого света ( ~1015 Гц) на гиперзвуке (f ~ 109  1010 Гц). В
жидкостях наблюдаются две компоненты Мандельштама  Бриллюэна
в твердом аморфном теле – четыре компоненты, две из которых
вызваны продольными и две – поперечными гиперзвуковыми волнами
при , отличном от нуля. В кристалле в общем случае вследствие
анизотропии скоростей распространения гиперзвука (3 различные
скорости для каждого направления) и анизотропии распространения
возбуждающего и рассеянного света (4 возможные комбинации для
состояний поляризации падающего и рассеянного света) должно
наблюдаться 24 компоненты Мандельштама  Бриллюэна.
Кроме того, во всех случаях наблюдается также несмещенная
по частоте центральная компонента тонкой структуры, вызванная
рассеянием на изобарических флуктуациях энтропии.
ПЭПиУ II часть
259




При обычных (нелазерных) источниках света световая волна не
влияет на состояние среды и вызывающие рассеяние упругие волны
обусловлены только тепловым движением молекул. Такое рассеяние
света называется тепловым. Когда интенсивность световой волны
достаточно велика (напряженность волны ЭП (~ 106  108 В/см)
сравнима с внутриатомным полем), развивается процесс
вынужденного рассеяния Мандельштама  Бриллюэна (ВРМБ).
В этом случае бегущая интерференционная картина ЭП
возбуждающей и рассеянной световых волн усиливает те упругие
волны, которые вызвали первоначальное тепловое рассеяние.
Механизм усиления обусловлен силами электрострикции,
втягивающими вещество в места с большим локальным значением
напряженности ЭП и усиливающими таким образом упругие волны.
Рост амплитуды упругих волн приводит к соответствующему
увеличению эффективности рассеяния, а это, в свою очередь,
усиливает упругие волны. В результате интенсивность рассеянной
волны нелинейно возрастает по мере распространения в среде. В
процессе ВМБР возникает интенсивный гиперзвук, верхняя граница
частоты которого ~ 105 МГц для твердого тела и ~ 103  104 МГц для
жидкости.
Исследование ВМБР позволяет получить ценную информацию
о свойствах рассеивающей среды. Практическая ценность явления
вынужденного МБР связана с возможностью управлять с его помощью
параметрами лазерного излучения и в первую очередь с
возможностью осуществлять обращение волнового фронта.
ПЭПиУ II часть
260

Из рассмотренного выше следует, что ВРМБ обусловлено
параметрическим взаимодействием световых и акустических волн, при
этом уравнения связанных волн в случае жидкости можно представить в
виде

1  2 
412 нл
(2.208)
Уравнение, описывающее оптическое возбуждение акустической
волны, можем записать как
 2

2 2

2
Г

v
    f .
B
 2

(2.209)
t
 t

Акустическая волна характеризуется изменением плотности , v 
скорость волны, ГВ – постоянная затухания или полуширина линии
Мандельштама  Бриллюэна в спонтанном рассеянии.
Вынуждающая сила f и нелинейная поляризация P нл возникают
вследствие нелинейного взаимодействия всех трех волн и могут быть
получены из следующих соотношений:




  ()  c 2  t 2  E1  c 2 P (1 ),



 21  2 
422 нл
  ()  c 2  t 2  E 2  c 2 P (2 ).


P нл (1 ) 




(E 2 / 4) 
E 2  / 4,



 1

P нл (2 ) 
E1 * / 4, f  p   E1  E *2 ,

 2

(2.210)
где р – электрострикционное давление,   0 / 
 коэффициент
электрострикции, 0 – массоваяПЭПиУ
плотность
II часть жидкости.
261

Рассматриваемая задача является еще одним примером
параметрического взаимодействия волн (2.208). Мы остановимся здесь лишь
на стационарном случае ВРМБ в направлении назад. Вынужденное
рассеяние вперед не возникает, так как для него сдвиг частоты равен нулю.


Пусть
E1  e11 exp(ik 1 z  i1 t ), E 2  e 2  2 exp(ik 2 z  i2 t ),
  A exp(ik a z  ia t ),

где 1  2  a , k a  a /  . В приближении медленно меняющихся амплитуд
уравнения (2.208) и (2.109) приводятся к виду
(2.211)
где k = k1 + k2  ka. Этот случай аналогичен параметрическому усилению с
обратной волной. Если постоянные затухания  и ГВ достаточно малы, то
возможно самовозбуждение: параметрическая генерация с обратной волной.
Однако для акустических волн, участвующих в процессе рассеяния
Мандельштама  Бриллюэна в жидкостях, ситуация иная. При рассеянии
назад частота /2  5 ГГц, соответствующая величина ГВ/2 ~ 0,1 ГГц, а
коэффициент затухания ГВ/v ~ 104 см1 при v ~ 105 cм/c. Такое затухание
обычно существенно превышает коэффициент усиления за счет связи со
световыми волнами.



 
( / z  0,5)1  i12 ( / )(e1  e 2 ) 2 Ae ikz / 2k 1c 2 ,
 
( / z  0,5)*2  i22 ( / )(e1  e 2 )1* Aeikz / 2k 2 c 2 ,
 
( / z  Г В / )А  ik a  0 ( / )(e1  e 2 ) * 1 *2 e ikz / 4 2 ,
ПЭПиУ II часть
262
 3В


Если возбуждение акустической волны происходит в условиях сильного
затухания, уравнения (2.211) можно решать, избавляясь от А с помощью
приближения A / z  ikA .
Получаем
2
2 *
i212 3
 
  * i222 3
(  )1 



,
(

)




В 2
1
2
В 1 2 ,
z 2
z 2
k 1c 2
k 2c2

(2.212)
2
 ~
~


k a0
( / )(е1  е2 )
 3В  
.

4v

 k  iГ В / v



Уравнения (2.212) выглядят точно так же, как и в случае ВКР, за
исключением того, что вместо комбинационной восприимчивости здесь
стоит восприимчивость  3В , описывающая рассеяние Мандельштама 
Бриллюэна. Поскольку I m  3В  0 , то, как видно из (2.212), амплитуда 2
будет нарастать в направлении назад (z), если 21/k1c2)Im 1 2   / 2 в
то время как амплитуда 1 будет затухать в направлении вперед.
В приближении заданного поля накачки решение (2.212) имеет
вид
2
2 ( G B   )( l  z )

(
z
)


(
l
)
e
2
2

,
(2.213)
где коэффициент усиления GB для ВРМБ равен
2

.
(2.214)
G в  422 I m  3B 1 / k 2 c 2
ПЭПиУ II часть
263



Рассчитанные значения частотного сдвига в, ширины линии ГВ
и максимального стационарного коэффициента усиления для процесса
ВРМБ ( g eв )max ~ eв для ряда жидкостей приведены в табл. 2.9.
Как видно из табл. 2.9, при интенсивности накачки 100 МВт/см2
в кювете длиной 10 см показатель экспоненты может достичь
величины порядка 10 (в СS2 он еще больше вследствие меньшей
ширины линии рассеяния Мандельштама  Бриллюэна), и,
следовательно, ВРМБ должно легко наблюдаться.
Решение (2.212) при  = 0 с учетом истощения накачки дает
следующие алгебраические соотношения между начальными
амплитудами E1 (0) 2 , E 2 (l ) 2 и конечными E 1 (l ) 2 , E 2 (0) 2 :
2
2
2
2

(2.215)
E (0)  E (l )  E (0)  E (l ) ,
1
E 2 (l )
E 2 (0)

1
2
2

2
2
1  E 2 (0) / E 1 (0)
2
2l
exp[(1  E 2 (0) / E 1 (0) ) G B E 1 (0) ]  E 2 (0)E 1 (0)
2
2
.
В экспериментах по ВРМБ обычно приходится иметь дело со
значительным истощением накачки. Типичный пример приведен на
рис. 2.44, где ясно видна перекачка энергии из импульса накачки в
распространяющийся назад импульс ВРМБ. В литературе имеются
сообщения о 90%-ном преобразовании энергии.
ПЭПиУ II часть
264
Таблица 2.9
Вещество
СS2
Ацетон
n-гексан
Толуол
ССl4
Метанол
Бензол
Вода
Цикло-гексан
Частотный
сдвиг
в, МГц
5850
4600
5910
4390
4250
6470
5690
5550
Ширина линии
спонтанного
рассеяния ГВ,
МГц
52,3
224
222
579
520
250
289
317
774
ПЭПиУ II часть
Коэффициент усиления
Рассчитанный
g eв )max,
(
Измеренный
(g eв )max,
см/МВт
см/МВт
0,197
0,017
0,027
0,013
0,0084
0,013
0,024
0,0066
0,007
0,13
0,020
0,026
0,013
0,006
0,013
0,018
0,0048
0,0068
265

Время жизни для акустических волн в = 1/(2ГВ) имеет порядок 1 нс при
а/2 ~ 5 ГГц. Поэтому при длительности импульса накачки менее 1 нс ВРМБ
должно быть нестационарным. Теория нестационарного ВРМБ имеет много
общего с нестационарной теорией ВКР. Экспериментально обнаружена сильная
зависимость усиления от времени жизни акустических волн для импульсов
накачки короче ~100 в. Это особенно хорошо видно вблизи порога
вынужденного рассеяния, что согласуется как с теорией, так и с экспериментом.
Pl
1

Pв
1
0
25 t , нс 50
Pт
1
0
25 t , нс 50
0
25
t , нс 50
Осциллограммы лазерного импульса на входе Рl , сигнала ВРМБ назад Рв и
прошедшего лазерного импульса Рт в случае применения этилового эфира


ВРМБ впервые наблюдалось сотрудниками лаборатории Чиао (США) в
кварце и сапфире при использовании рубинового лазера с модуляцией
добротности. Ими анализировался спектр света, отраженного от среды, при
помощи интерферометра Фабри  Перо и обнаружены компоненты,
сдвинутые на величину мандельштам-бриллюэновской отстройки.
Благодаря высокой эффективности преоб-разования интенсивность
рассеянного назад за счет ВРМБ излучения часто бывает настолько велика,
что эффект можно обнаружить визуально. Если между образцом и лазером
нет развязки, рассеянный назад импульс ВРМБ попадает в лазер и
усиливается в нем. В результате сдвинутая по частоте мандельштамбриллюэновская компонента появится и в выходном излучении лазера.
ПЭПиУ II часть
266









На рис. 2.45 приведен экспериментально измеренный Gв ВРМБ, geВ ~ eВ, в зависимости
от частотного сдвига /2 для непоглощающей жидкости (66% CS2 и 34% CCl4). Пунктир
– лоренцевская кривая
В этих условиях иногда даже удается
20
услышать характерный звук, что связано с
генерацией в фокальном объеме ударной
волны. Может происходить и разрушение
окон кюветы вследствие генерации сильных
волн давления, но детально механизм этого
разрешения еще невыяснен. ПЭПиУ II часть
40
0
e

Этот процесс может повториться многократно, и тогда спектр излучения
лазера будет содержать набор мандельштам-бриллюэновских компонент
различных порядков. Последнее обстоя-тельство следует учитывать в
экспериментах, требующих одномодового лазерного излучения (например,
системы оптической связи).
Как и в случае ВКР, лучшим способом проверки теории ВРМБ является
измерение усиления в схеме генератор  усилитель. Результаты таких
измерений приведены на рис. 2.45. Теоретическая подгонка позволяет найти
затухание акустической волны, которое хорошо согласуется с величиной ГВ,
полученной из экспериментов по спонтанному рассеянию.
Из сравнения коэффициентов усиления для ВРМБ (2.214) и для ВКР
(2.191) следует, что в большинстве жидкостей в стационарном случае ВРМБ
должно доминировать над ВКР. В мощном пучке накачки, в особенности в
сфокусированном, ВРМБ может обладать достаточным усилением для того,
чтобы оно могло происходить во всех направлениях. В эксперименте в
фокальном объеме генерируются акустические волны различных частот.
gв , 10 -3 см/МВт

- 400 - 200 0 200 400
 / , МГц
267
2.8 Кинетика фотовозбуждения полупроводника



При анализе процессов фотовозбуждения полупроводников следует
учитывать, что в случае ЛИ для большинства полупроводниковых
материалов предположение об отсутствии пространственного заряда
(условие нейтральности) является хорошим приближением во всем объеме
материала. Это позволяет допустить равенство концентраций электронов и
дырок и игнорировать уравнение Пуассона (последнее может оказаться
грубым приближением в случае высокоомных материалов, поскольку при
этом происходит заметное разделение зарядов, что приводит к
«фотостатическому эффекту», образованию диффузионной фотоЭДС).
В случае высокоомных полупроводниковых материалов можем
определить дебаевскую длину экранирования d = (D/)0,5, которая имеет
смысл диффузионного смещения дырок с коэффициентом диффузии D за
время, приблизительно равное , т.е. равное характерному времени
перераспределения зарядов в материале, рассматриваемом как диэлектрик
с некоторой проводимостью  (максвелловское время релаксации). Для
собственного InSb, например, в статическом режиме это время порядка
1014 с, что дает дебаевскую длину экранирования d = 5010–10 м.
В высокоомном GaAs максвелловское время может достигать нескольких
микросекунд. Для такого материала при удельном сопротивлении порядка
107 Омсм и концентрации носителей 108 см3 в приповерхностном слое на
единицу площади образуется заряд величиной Q = I/q0(p + n) ~ 108 ксм2
при интенсивности освещения I = 1018 фотон/(см2с) и d < L (L  длина
амбиполярной диффузии,   подвижность).
ПЭПиУ II часть
268



При этом положительный заряд сосредоточен между
поверхностью и глубиной, на которой выполняется условие
нейтральности (~ d), а глубже (~ L)  избыточный отрицательный заряд
(поскольку электроны имеют в основном большую подвижность).
Как показано экспериментально, во всей коротковолновой
области, где поглощение велико, величина фотовольтаического
эффекта в расчете на единичный поток фотонов не должна зависеть
от длины волны и вблизи края поглощения она падает вдвое.
Величина L = (D)0,5 для различных материалов обычно меняется
незначительно. Например, для соединений АIIIВV, можно считать, что
время жизни неосновных носителей  заключено в пределах от 109 до
105 с, а D  в пределах от 10 до 103 см2с1, так что диффузионная
длина меняется от 104 до 3102 см. У большей части таких
полупроводниковых материалов (а именно у тех, у которых край
собственного поглощения определяется вертикальными оптическими
переходами) коэффициент поглощения вблизи края возрастает очень
резко  от 30 до 104 см1 (например, для GaAs коэффициент
поглощения возрастает от 30 см1 при 1,37 эВ до 3 000 см1 при 1,42
эВ).
При низких уровнях ЛИ основным процессом происходящим в
полупроводниковом материале, является фотоионизация. Наведенная
фотопроводимость и процесс релаксации рассмотрен достаточно
подробно в литературе, начиная с работ С.М. Рывкина и Р. Бьюба.
ПЭПиУ II часть
269





Основной величиной, описывающей этот процесс, является
фотопроводимость. Для однородного полупроводника удельная
проводимость  выражается формулой
  = q(nn + pp),
(2.216)
где q  заряд электрона, n и р  концентрация свободных электронов и
дырок, а n и p  их подвижности.
Фотопроводимость  возникает, если в результате поглощения ЛИ
значения n и р увеличиваются по сравнению с термически равновесными
концентрациями
  = q(nn + pp).
(2.217)
В полупроводниках с широкой запрещенной зоной или при низких
температурах значения n и p могут быть значительно больше, чем
соответствующие равновесные (темновые) концентрации носителей n0 и
p0. В полупроводниках с большой равновесной концентрацией носителей, обусловленной малой шириной запрещенной зоны или наличием
примесей, влияние ЛИ обычно сводится к созданию лишь небольших
отклонений от темновой электропроводности. В связи с этим анализ
фотоэлектрических явлений в веществах, близких к диэлектрикам, и в
«обычных» полупроводниках существенно различается.
В неоднородном полупроводнике, где значения n0 и p0 меняются
при переходе от одного участка к другому, фотопроводимость может
быть обусловлена более сложным явлением: изменением сопротивления барьеров между зернами (кристаллитами) в результате действия
ЛИ.
ПЭПиУ II часть
270





Если поверхности или области соприкосновения зерен поликристаллического образца полупроводника разделены слоями со значительно
меньшей электропроводностью, то ток сквозь такой образец будет определяться в основном именно свойствами барьеров, а не электропроводностью, характеризующей сами зерна. Изменение концентрации носителей
тока в области барьеров в результате поглощения ЛИ может привести к
резкому снижению сопротивления, т.е. к возникновению фотопроводимости.
При описании фотопроводимости в неоднородных полупроводниках иногда пользуются представлением об «эффективной подвижности»
*. При этом материал с барьерами рассматривают как однородный материал с концентрацией носителей тока, соответствующей областям с большей электропроводностью, и считают, что измеряемой общей электропроводности соответствует подвижность * в некотором эквивалентном
однородном веществе. Таким образом, в этом случае имеем
  = q(n*n + p*p).
(2.218)
Этот прием описания условен и не отображает сущности физических процессов, происходящих в полупроводнике.
Основными выражениями, используемыми при анализе стационарной фотопроводимости и одновременно представляющими собою
определение «средних времен жизни» n и p неравновесных носителей,
являются формулы
 gnn = n,
gpp = p,
(2.219)
ПЭПиУ II часть
271






В стационарных условиях добавочная концентрация n (или p) равна
скорости генерации g, т.е. числу возникающих под действием возбуждения
в единице объема за 1 секунду носителей, помноженному на среднее
время свободного существования этих носителей. При этом
фотопроводимость (gn = gp = g) можно представить выражением
  = qg(nn + pp).
(2.220)
Вообще говоря, времена жизни n и p зависят не только от состава
полупроводника (т.е. основного вещества и наличия дефектов структуры и
примесей), но и от температуры и интенсивности ЛИ.
Величина g, которую называют функцией генерации, или скоростью
генерации, имеет размерность cм–3с–1, а значение ее пропорционально
интенсивности возбуждающего ЛИ и зависит от свойств полупроводника.
При анализе явлений фотопроводимости важно иметь возможность
выделить первичный процесс генерации – фотоионизацию. При условии,
что функция генерации g известна, описание дальнейших процессов
движения и рекомбинации неравновесных электронов и дырок,
возбужденных ЛИ, в большинстве случаев одинаково.
В связи с упоминавшимся различием в анализе явлений, связанных с
неравновесными электронными процессами в полупроводниках со
значительной темновой проводимостью (например, Ge и Si в обычных
условиях) и полупроводниках с широкой запрещенной полосой (CdS, SiC,
кристаллофосфоры и др.), под «временем жизни носителей заряда» будем
понимать среднее время, в течение которого электрон или дырка участвуют
в пространственном переносе заряда.
ПЭПиУ II часть
272




Таким образом, для электрона это  время пребывания в зоне
проводимости, а для дырки  в валентной зоне. Значения n и p в формуле
(2.220) суть именно времена жизни свободных носителей. Время жизни
свободных носителей ограничено их рекомбинацией, уходом из кристалла в
электрод или на поверхность, если условия таковы, что на место ушедшего
электрона (дырки) не может войти другой. Напротив, если уход электрона в
один электрод восполняется инжекцией другого электрона с
противоположного электрода, существование свободного носителя не
оканчивается, так как носители неразличимы.
В случае существования центров нерекомбинационного захвата, или,
как их часто называют, ловушек, или уровней прилипания, время пребывания носителей в локализованном состоянии не включается во времена жизни n и p.
Время жизни возбужденного состояния учитывает весь промежуток, в
течение которого носитель существует  от момента возбуждения до рекомбинации, или выхода за пределы кристалла. В него включается и та часть
времени, которую носитель проводит в локализованном состоянии (в ловушках). Это время жизни может значительно превышать время жизни
свободных носителей.
Следует заметить, что определение времен жизни справедливо лишь
для стационарного состояния ( = const), a также при экспоненциальном
нарастании или убывании  со временем.
ПЭПиУ II часть
273







Фоточувствительностью полупроводника, подвергаемого действию
ЛИ, будем называть фотопроводимость, отнесенную к единичной интенсивности возбуждения, т.е. изменение электропроводности , отнесенное к
поглощаемой в единице объема мощности возбуждающего излучения.
Удельной чувствительностью S называют величину, полученную в
результате умножения фотопроводимости  на квадрат расстояния l
между электродами однородного полупроводника и деления на
поглощенную мощность ЛИ:
 S = l2/P [см3/ОмВт].
(2.221)
В случае, если фотопроводимость линейно зависит от Р и приложенного напряжения V, величина S является свойством полупроводникового
образца.
Фототок в однородном полупроводнике J можно выразить как
 J = qgG,
(2.222)
где g  полная генерация, равная в случае слабо поглощаемого света
произведению g на объем полупроводника. Величина G, которую называют
«коэффициентом усиления», равна отношению времени жизни свободных
носителей ко времени t прохождения их в ЭП напряженностью  = V/l от
электрода до электрода, где V  приложенное напряжение, l  длина
образца.
В случае, если поглощение ЛИ приводит к возникновению пар
электронов и дырок,
 G = n/tn + p/tp,
(2.223)
где tn и tp  соответственно времена прохождения электронов и дырок.
ПЭПиУ II часть
274


Каждое из этих времен обратно пропорционально подвижности носителей:
 t = l2/V.
(2.224)
Таким образом,



J = qg(nn + pp)V/l2 .
(2.225)
Скорости генерации определяются квантовым выходом
фотоионизации , т.е. числом пар электрон-дырка, возникающих при
поглощении фотона в основной полосе, или числом носителей одного
типа, возникающих при фотоионизации примеси.


и
G = (nn + pp)V/l2
Квантовый выход фотоионизации и его спектральная
зависимость
Современная теория внутреннего фотоэффекта основана на
представлении о квантовом характере поглощения и испускания света.
Для некоторых полупроводников и кристаллов (щелочно-галоидные
соединения, ZnS, алмаз) было доказано, что внутренний фотоэффект,
подобно внешнему фотоэффекту, обусловлен электронными, а не
фотохимическими процессами. Выбрав правильные условия опыта, можно
получить, что так называемый «первичный» фототок является следствием
внутренней фотоионизации с квантовым выходом, равным единице.
ПЭПиУ II часть
275




Выше отмечено, что благодаря неразличимости носителей заряда
одного типа в кристалле и тому, что время жизни  может превышать время
пролета t, оказалось возможным наблюдать фототоки, для которых
отношение числа перенесенных зарядов к числу поглощенных квантов во
много раз отличается от единицы, т.е. квантовый выход фотопроводимости
может в G раз отличаться от квантового выхода фотоионизации.
Это обстоятельство, а также часто наблюдаемый нелинейный
характер зависимости фототока от интенсивности возбуждения и большая
инерционность явлений фотопроводимости сильно затрудняли
интерпретацию экспериментов.
Количественный анализ процесса фотоионизации и эксперименты с
монокристаллами хорошо изученных полупроводников (Ge, Si, InSb и др.),
подтвердили  фотоионизация является типично квантовым процессом, что
позволило получить важные количественные данные о ударном
размножении фотоэлектронов и дырок.
Измерению фототоков в однородных кристаллах посвящено
значительное количество работ, первыми из которых можно считать [121,
122]. В указанных работах (первые эксперименты, приведшие к
установлению квантового характера фотоионизации, описаны) Ф. Гудден и
Р. Поль разделяли фототоки на первичные, т.е. непосредственно
связанные с поглощением света, и вторичные, природу которых в их
опытах установить не удавалось и которые были, по их мнению,
обусловлены изменениями в кристалле вследствие прохождения
первичного тока.
ПЭПиУ II часть
276






С современной точки зрения разделение фототоков в полупроводниках на первичные и вторичные нецелесообразно, так как приведенная
выше схема описания фотопроводимости позволяет естественно объяснить
особенности явлений.
Для возбуждения импульсов фототока использовался монохроматический свет небольшой интенсивности, поглощение которого кристаллом
было известно. При этом было выяснено, что в таких условиях:
 фототок пропорционален интенсивности возбуждения;
 в слабых электрических полях фототок пропорционален напряженности поля , а при дальнейшем увеличении  ток доходит до
насыщения;
 фототок нарастает при включении возбуждения и спадает после
окончания возбуждения практически мгновенно. Наконец, количественный
анализ зависимости фототока или, вернее, перенесенного заряда Q,
возникшего при освещении кристалла и измеренного баллистическим
гальванометром, от напряженности поля  в образце показал, что
 Q = Aiq(x+ + x)/l,
(2.226)
где x- и х+  так называемые «сдвиги», или «длины дрейфа», электрона и
дырки, т.е. расстояния, на которые носители, освобожденные светом,
двигаются вдоль направления поля до их захвата, l  длина кристалла, i 
длительность светового импульса. Так как максимальное значение суммы х+
+ х = l, то уравнение (2.226) показывает, что число электронных зарядов,
переносимых от электрода до электрода, не может превышать единицу в
случае, если при поглощении фотона возникли один электрон и одна дырка.
ПЭПиУ II часть
277
В соответствии с приведенными выше формулами (2.225), имеем
 x+ = pp ,
х = nn .
(2.227)

Первичные фототоки были выделены и исследованы в алмазе,
сернистом цинке, щелочно-галоидных кристаллах с нарушениями структуры
(так называемыми F-центрами) и в некоторых других веществах. Основной
вывод из этих экспериментов состоял в том, что на краю полосы поглощения, при сравнительно слабом поглощении, для фототоков насыщения
  = Q/qNh, где Nh  число поглощенных квантов, было весьма близким
к единице. По мере перехода в глубину полосы поглощения, т.е. с ростом
коэффициента поглощения и сосредоточением фотоионизации в приповерхностном слое кристалла, отношение Q/qNh всегда падало. Последнее
обстоятельство объясняется особенно большой скоростью рекомбинации у
поверхности кристалла. Величину  назвали квантовым выходом по аналогии с квантовым выходом для внешнего фотоэффекта.

Измерения фототоков в однородных кристаллах с целью определения квантового выхода фотоионизации для типичных полупроводников с
небольшой шириной запрещенной зоны были проведены в работах [121,
122, 125]. В отличие от экспериментов с «первичными» фототоками,
создание сильных полей в полупроводниках при комнатной температуре
привело бы к сильному нагреву образцов джоулевым теплом; с другой
стороны, при низких температурах уже и в сравнительно слабых полях в
полупроводниках возникает явление ударной ионизации примесей, что в
случае применения германия ведет опять-таки к резкому возрастанию
концентрации свободных носителей.

ПЭПиУ II часть
278

Так как невозможность применять сильные ЭП препятствовала
достижению фототоков насыщения, в экспериментах необходимо было
использовать независимо определенные значения подвижностей
носителей и их времени жизни. В настоящее время методика определения
времени жизни носителей в полупроводниках хорошо развита и получены
экспериментальные количественные данные о квантовом выходе
фотоионизации, которые вблизи края основной полосы, как и следовало
ожидать, оказались весьма близкими к единице.

Определение квантового выхода фотоионизации в
кристаллах полупроводников с рп-переходами

В этом случае фотоэлектрический эффект обнаруживается без
приложения поля от внешнего источника. В отличие от экспериментов с
однородными образцами, измерение фотоЭДС или фототока в таких
кристаллах позволяет исключить явления, связанные с захватом носителей
неосновного типа ловушками.
Если в одной области кристалла полупроводника путем введения
акцепторной примеси создана дырочная электропроводность, а в
примыкающей к ней области  электронная электропроводность путем
введения донорной примеси, на границе раздела возникает потенциальный
барьер. Его возникновение удобно представить себе как результат
соединения двух кристаллов, р- и n-типа, вначале не соприкасавшихся друг
с другом.

ПЭПиУ II часть
279





Когда эти кристаллы соединяются, вследствие существования
градиентов концентраций носителей часть электронов переходит из nобласти в р-область, а дырки  в обратном направлении.
Это перетекание носителей будет происходить, до тех пор, пока
вблизи рn-перехода не накопится достаточный объемный заряд (положительный в n-области и отрицательный в р-области). Пространственный
заряд вызовет существование контактной разности потенциалов, которой
должны соответствовать дрейфовые токи носителей, противоположные
диффузионным токам. Высота потенциального барьера Vk, соответствующего равенству диффузионных токов токам проводимости, т.е.
равновесным условиям, выражается формулой
 Vk = kT(ln np/nn)/q = kT(ln pn/pp)/q = kT(ln nnpp/n2i)/q,
(2.228)
где np и pn – равновесные концентрации неосновных носителей, nn и pp –
концентрации основных носителей, ni  собственная концентрация
носителей при температуре Т.
Если вблизи pn-перехода происходит поглощение ЛИ и генерация
неравновесных электронно-дырочных пар, то дырки, оказавшиеся в
результате диффузии внутри n-области на границе pn-перехода, будут
захвачены ЭП и перейдут в область р-типа; аналогичным образом
движутся и электроны. Этот процесс приводит к протеканию через pnпереход тока генерации
 J = Nq = Jp + Jn,
(2.229)
где N  полное число пар, рождающихся за счет поглощения ЛИ в 1 с,  
безразмерный коэффициент собирания, зависящий от геометрии,
скоростей объемной и поверхностной рекомбинации и постоянных
биполярной диффузии носителей в объеме полупроводника.
ПЭПиУ II часть
280



Вопрос о значении коэффициента собирания в одномерном случае
рассматривался в работе [126], где кроме того дана постановка задачи,
граничные условия и окончательное выражение для . Приведем здесь
только окончательные формулы для случаев, используемых далее в связи
с определением квантового выхода фотоионизации.
В условиях экспериментов, позволивших исследовать спектральную
зависимость квантового выхода в кристаллах германия и кремния, наибольший интерес представляло значение квантового выхода в глубине основной полосы поглощения. При этом выполняются соотношения
 1/ << xs; 1/ << Ls,
(2.230)
где  – коэффициент поглощения полупроводником (в центре полосы
поглощения); xs – глубина залегания перехода; Ls – диффузионная длина
носителей, и выражение для коэффициента собирания принимает вид


  2 /[(1  sL s / D) exp(x s / Ls )  (1  sL s / D) exp(x s / Ls )]
(2.231)
(s – скорость рекомбинации на поверхности, D – коэффициент биполярной
диффузии), причем значение  не зависит от коэффициента поглощения
света.
Следует подчеркнуть, что при постановке задачи полупроводник
предполагается однородным вплоть до геометрической поверхности и
рекомбинация вблизи поверхности описывается путем введения величины
s размерностью см/с. Возможность возникновения слоев инверсии у
поверхности или «мертвого» слоя, где свет не вызывает генерации пар, не
учитывается.

ПЭПиУ II часть
281


Таким образом, освещая кристалл с рn-переходом и измеряя ток во
внешней цепи с помощью прибора с малым сопротивлением, можно
определить квантовый выход фотоионизации , который равен
  = Jpn/[(1 – R)qNh].
(2.232)
Из последнего выражения видно, что кроме значения тока Jpn
необходимо знать отражательную способность R и число падающих на
поверхность полупроводника фотонов Nh.

Рекомбинация и захват электронов и дырок в полупроводниках

Как было указано выше, в случае заданной функции генерации
фотоэлектронов и дырок стационарное значение фотопроводимости в
однородном полупроводнике определяется временами жизни
неравновесных носителей. Ниже ограничимся рассмотрением нескольким
типичных задач теории рекомбинации, которые объясняют:
– влияние на стационарное значение и кинетику фотопроводимости
центров прилипания (ловушек);
– причину нелинейной зависимости фотопроводимости от
интенсивности возбуждения;
– «тушение» фотопроводимости;
– явление отрицательной фотопроводимости.
Анализ явлений захвата и рекомбинации носителей, связанных с
локальными центрами и дефектами, удобно провести на основании схемы
соответствующих электронных переходов, приведенной на рис. 2.46.
Переходы 1, 2 и 3 (рис. 2.46, а) соответствуют поглощению света: в
основной полосе  1 и локализованными примесями  2, 3.





ПЭПиУ II часть
282
. . . ....
c
.
c
2
1
u
o
9
5 5
..
6
3
o
u
4 4
o
o
o
8
.
c
10
7
u
o
o
а
б
в
Рис. 2.46 – Электронные переходы в полупроводнике с локальными центрами:
а – фотоионизация, б – захват носителей, в – рекомбинация


В случае 1 возникает пара свободных носителей, в случае 2  свободный электрон и связанная (локализованная) дырка, в случае 3  свободная
дырка и связанный электрон. Электронные переходы, соответствующие
возникновению экситонов или возбужденных примесных центров, а также
внутризонные переходы не указаны, так как они не сопровождаются
появлением свободных носителей.
Возникшие в результате фотоионизации неравновесные электроны и
дырки существуют до тех пор, пока они не будут захвачены примесными
центрами. Этот процесс обычно является более вероятным, чем непосредственная рекомбинация или образование экситона. Центры, способные
захватывать свободные носители (ловушки), разделяют на центры прилипания (в случае, если захваченный носитель имеет большую вероятность
обратного термического возбуждения в свободное состояние по сравнению
с вероятностью рекомбинации на центре с носителем противоположного
знака) и рекомбинационные центры (если наиболее вероятной для
захваченного носителя является рекомбинация с носителем
противоположного знака).
ПЭПиУ II часть
283





Вообще говоря, центр с энергетическим уровнем вблизи одной из зон
обычно действует как центр прилипания, а центр с уровнем вблизи
середины запрещенной полосы  как рекомбинационный центр. Различие
между центрами прилипания и рекомбинационными центрами определяется
соотношением вероятностей термического освобождения и рекомбинации.
Переходы 4 и 4 и 5 и 5 на рис. 2.46,б обозначают захват и термическое
освобождение носителей; переход 6 соответствует захвату электрона
рекомбинационным центром, а электронный переход 7  захвату дырки.
При одной температуре или уровне возбуждения центр может
действовать в качестве центра прилипания, а при других условиях  в
качестве центра рекомбинации.
На схеме рис. 2.46,в обозначены три основных электронных перехода,
соответствующих рекомбинации; во первых, свободный электрон может
непосредственно рекомбинировать со свободной дыркой (переход 8).
Переходы этого типа обычно являются излучательными, т.е.
освобождающаяся энергия излучается в виде фотона с энергией, примерно
равной ширине запрещенной зоны. Это излучение часто называют
«краевым излучением». Вероятность непосредственной рекомбинации
обычно очень мала и не определяет средних значений времени жизни
неравновесных носителей.
Более вероятным процессам рекомбинации соответствуют переходы
типа 9, т.е. захват электрона центром, вблизи которого находится связанная
с ним дырка, или типа 10, т.е. захват дырки центром, вблизи которого
локализован электрон. Эти переходы также могут быть излучательными.
ПЭПиУ II часть
284





Таким образом, возвращение электронной системы кристалла из
возбужденного состояния в равновесное может сопровождаться люминесценцией (которую называют также «рекомбинационным излучением»
полупроводников). Вероятность, т.е. «скорость» рекомбинации, в значительной мере определяется тем, каким способом преобразуется энергия
возбужденных (неравновесных) носителей. Возможны различные процессы
преобразования или рассеяния энергии неравновесных носителей, в том
числе: испускание света (фотонов); передача энергии возбуждения
кристаллической решетке, т.е. испускание фононов; передача избытка
энергии двух рекомбинирующих носителей третьему носителю, т.е. процесс, обратный ударной ионизации. Этот процесс называют «ударной
рекомбинацией», или эффектом Оже.
Разумеется, возможны и комбинации двух процессов передачи энергии, например испускание фотона и одновременное возбуждение фононов.
В случае, когда возникает несколько фононов, они могут появляться
либо одновременно, либо последовательно (каскадом) по мере того, как
захватываемый локальным центром носитель приближается к центру, а
затем движется вблизи центра, то испуская, то поглощая фононы, до тех
пор, пока не произойдет захват или пока носитель не удалится вновь от
центра.
Времена жизни, соответствующие захвату носителей водородоподобными примесными центрами в кристаллах германия, определены в работах
[129, 130] по формуле
  = 1/CTNr,
(2.233)
где NT  концентрация центров. При этом предполагалось, что полная
вероятность захвата носителей СТ равна СТ = Сизл + Сфонов + nCударн,
ПЭПиУ II часть
285

где n  концентрация свободных носителей. В области низких
температур, вероятность захвата с испусканием фотона значительно
меньше, чем вероятность захвата с передачей энергии решетке.
Вероятность ударной рекомбинации должна быть наибольшей при
высоких температурах. Однако сопоставление теоретических расчетов
с экспериментальными данными о времени жизни в Ge и Si показало,
что теоретические значения Сударн на несколько порядков завышены.
Рекомбинационный захват носителей локальными центрами




В подавляющем большинстве случаев время жизни неравновесных
носителей в полупроводниках определяется не прямой рекомбинацией, а наличием дефектов, в первую очередь  локальных центров в
кристаллах.
В отличие от прямой рекомбинации, скорость которой определяется концентрациями носителей и одной константой (вероятностью),
процесс рекомбинации на локальных центрах определяется также
степенью их заполнения. Степень заполнения связана с концентрацией свободных носителей через вероятность (эффективное поперечное сечение) захвата электрона незанятым центром и эффективное
сечение захвата дырки центром, на котором локализован электрон.
Если в единице объема содержится N центров рекомбинации, то
время жизни свободного носителя относительно захвата выражается
как
  = 1/ЭN,
(2.234)
где  = (2kT/m*)0,5 – скорость теплового движения носителей и Э –
эффективное сечение захвата.
ПЭПиУ II часть
286


Величина Э определяется характером изменения потенциала вблизи
центра.
Эксперимент показывает, что большие эффективные сечения имеют
центры, электрический заряд которых притягивает свободные носители
противоположного знака. Обычно считают, что центр захватывает
свободный носитель, если последний приблизится настолько, что энергия
связи станет равной средней энергии теплового возбуждения kT.
а
б
в
Схематическое изображение распределения потенциала вблизи центров захвата: а
– кулоновское притяжение; б – нейтральный центр; в – кулоновское отталкивание




Таким образом, для центра с единичным зарядом
 q/r = kT,
(2.235)
т.е. при комнатной температуре Э = r2 10102 см2, чему, в случае Ge, Si
и ряда других веществ, имеющих  порядка 10, соответствует Э  1012
см2. Для нейтрального центра можно ожидать значений Э, близких к 1015
см2, порядка «атомного поперечного сечения», что согласуется с данными
опыта.
ПЭПиУ II часть
287



С другой стороны, центр, имеющий заряд одного знака со
свободным носителем, окружен потенциальным барьером,
обусловленным электростатическим отталкиванием. Такие центры
должны иметь очень малые поперечные сечения захвата.
Процессы, связанные с захватом (прилипанием) носителей
Захват свободных носителей локальными центрами (ловушками),
не сопровождающийся последующей рекомбинацией, как уже
указывалось выше, во многих случаях определяет кинетику и
стационарное значение фототока. Кинетическое уравнение,
описывающее изменение со временем концентрации nt электронов,
захваченных центрами, для ловушек одного типа можно записать как
n t

(2.236)
  n ( N  n )  n N  exp(E / kT),
t






n
t
t
t
c
n
t
где Nt – концентрация ловушек, имеющих энергетические уровни на
расстоянии Et от зоны проводимости.
s
Типичная кривая нарастания и спадания фотоst
проводимости в кристалле с ловушками схемаt,c
s
тически изображена на рисунке (t1  момент
t
t
включения освещения, t2  момент выключения,
1  добавочная проводимость, соответствующая добавочной
концентрации носителей ne; 1 + t  стационарное значение
фотопроводимости). Немедленно после включения возбуждающего
света концентрация свободных электронов возрастает на величину ne
за время порядка , определенное рекомбинацией.
1
1
ПЭПиУ II часть
2
288






За счет избыточной концентрации электронов и дырок проводимость
образца увеличивается следующим образом:
 1 = qpne(1 + b),
(2.237)
где b  отношение подвижностей электронов и дырок. Избыточная
концентрация электронов увеличивает скорость захвата ловушками;
ловушки постепенно заполняются. Скорость заполнения ловушек
можно изменять, варьируя интенсивностью возбуждающего света.
Захваченные ловушками электроны не участвуют в переносе
зарядов. Однако избыточная концентрация дырок, необходимая для
нейтрализации зарядов захваченных электронов, увеличивает
проводимость. Этому эффекту на рисунке соответствует величина t.
Значение nt можно вычислить из соотношения
 t = qpnt .
(2.238)
После выключения возбуждающего света концентрация
захваченных электронов и избыточная проводимость, соответствующая компенсирующим дыркам, убывает.
Кривые нарастания и затухания фотопроводимости часто используют для определения времени жизни неравновесных носителей.
Хотя кинетика фотопроводимости в полупроводнике с ловушками
и зависит в первую очередь от параметров ловушек, нельзя считать
характеристические времена простыми функциями температуры и
постоянных, характеризующих ловушки.
ПЭПиУ II часть
289
Влияние примесей на скорость рекомбинации носителей
Наиболее эффективно повышают темп рекомбинации носителей тока
примеси, которые создают в запрещенной зоне уровни глубокого залегания.
Такие примеси способны снижать  неосновных носителей тока до 107 –
109 с. Поскольку скорость рекомбинации неосновных носителей
ограничивается обычно эффективностью их захвата, то определяющее
значение в этом процессе имеют те уровни (с наибольшим сечением
захвата), концентрация которых максимальна.
В Ge и р-Si акцепторные примеси являются обычно центрами
рекомбинации электронов и дырок, поскольку в большинстве случаев
сечение захвата ими основных носителей намного превышает значение
этого параметра для неосновных носителей.







Основные виды рекомбинации
В зависимости от того, с помощью какого механизма и в каком виде
высвобождается энергия носителя, переходящего на примесный центр,
различают несколько видов рекомбинации.
– Излучательная рекомбинация, результатом которой является
возникновение световых квантов. Вероятность излучательной
рекомбинации может быть рассчитана как квантовомеханически (для
водородоподобных и для глубоких уравнений), так и на основе применения
принципа детального равновесия – для центров с различными сечениями.
– Ударная рекомбинация характеризуется передачей энергии,
высвобождающейся при рекомбинации другому носителю, который
рассеивает ее впоследствии при взаимодействии с колебаниями решетки.
Ударная рекомбинация представляет собой процесс, обратный процессу
ударной ионизации.
290
ПЭПиУ II часть



– Плазменная рекомбинация характеризуется передачей энергии
рекомбинации колебаниям электронно-дырочной плазмы. Плазменный
механизм рекомбинации возможен лишь в сильно легированных
кристаллах (n0 > 1018 см– 3), однако в этих условиях сечения захвата для
электронов (и дырок) могут достигать величины порядка 10– 13  10– 15 см2.
– Под экситонной рекомбинацией понимают такую рекомбинацию,
при которой высвобождающаяся энергия идет на образование экситонов
малого радиуса с большой энергией диссоциации (экситоны Френкеля).
– Выделяющаяся при переходе носителя тока на локальный центр
энергия в процессе так называемой фононной рекомбинации переходит в
энергию тепловых колебаний решетки. Вероятность фононной
рекомбинации сильно зависит от глубины залегания уровня.



Процессы на поверхности полупроводников
Поверхность полупроводника представляет собой неизбежное макроскопиеское нарушение периодичности кристаллической решетки. На электронные процессы на поверхности и вблизи поверхности полупроводника
оказывают влияние не только сами центры захвата и рекомбинации, но и
состояние области пространственного заряда, которая обусловлена
существованием поверхностных локальных центров. Такие центры могут
быть связаны как непосредственно с обрывом периодичности (уровни
Тамма), так и с адсорбированными атомами или молекулами.
Рекомбинация и захват носителей центрами, расположенными в слое
пространственного заряда вблизи поверхности, во многих случаях сильно
влияют на стационарное значение и кинетику фотопроводимости.
ПЭПиУ II часть
291



Рекомбинация посредством захвата поверхностными центрами может
существенно изменить спектральную зависимость фотопроводимости в
основной полосе поглощения.
Одним из простейших и часто применяемых способов выделения
поверхностных эффектов является измерение фотопроводимости в
образцах полупроводника в виде пластинок разной толщины. В этом
случае при возбуждении достаточно слабо поглощаемым светом часто
удается определить скорость поверхностной рекомбинации. Для очень
тонкой пластинки толщиной d, малой в сравнении с 1/, измеряемое
«эффективное» время жизни связано со временем жизни ,
характеризующим объем материала, и скоростью поверхностной
рекомбинации s соотношением
 эфф = 1/ + 2s/d
(2.239)
при условии слабого возбуждения (концентрация избыточных носителей
неосновного типа много меньше равновесной). Количественные данные о
соотношении вероятностей объемной и поверхностной рекомбинации
удается получить также, анализируя форму кривых спектральной
зависимости фототока, отнесенного к числу генерируемых светом
неравновесных носителей. Характерная кривая представляет собою
область постоянного значения относительной величины фототока,
соответствующей сильному поглощению внутри основной полосы; по мере
увеличения длины волны фототок возрастает вследствие того, что
генерация пар имеет место не только у поверхности, но и в глубине
кристалла.
ПЭПиУ II часть
292

Заметим, что пользоваться представлением о скорости
поверхностной рекомбинации s как характеристической постоянной
при количественном анализе фотоэлектрических явлений в
полупроводниках следует c осторожностью, так как во многих случаях
значение s резко зависит от интенсивности возбуждения.



Зависимость фотопроводимости от интенсивности
 возбуждения
Рассмотрим простую модель полупроводника без ловушек: в
стационарных условиях скорость генерации свободных носителей
равна скорости рекомбинации. В отсутствие возбуждения получаем
(2.240)
g n   N ,

i



i
0

i
i
i
где n0  равновесная (темновая) концентрация электронов, gi 
скорость термической генерации центров типа i, a i и Ni 
соответственно сечение рекомбинационного захвата и концентрация
центров типа i.
Если избыточная концентрация электронов n создается за счет
оптического возбуждения (скорость генерации gr), то
g r   g i  (n 0  n) i N i .
i
i
ПЭПиУ II часть

(2.241)
293




Предположим, что имеется один тип центров рекомбинации и как
термическая, так и оптическая генерация осуществляются с этих
центров; при этом
g r  g  (n 0  n)N

(2.242)
и, так как при этих условиях N = n0 +n, имеем

(2.243)
g r  g  (n 0  n) 2 .
Обозначим через  отношение
(n0 + n)/(gr + g).
Тогда из последнего выражения следует, что

(2.244)
n  n  [(g  g) / ]0,5 ,
0




r
  [(n 0  n)]1.
(2.245)
Смысл уравнений прост для изолятора (когда n0 << n и g << gr) и
полупроводника (n0 >> n). Для изолятора (большая ширина
запрещенной полосы)
 n = (gr/)0,5;
 = 1/(n) = (gr)0,5, (2.246)
т.е. значение , соответствующее микроскопическому «времени
жизни», обратно пропорционально фототоку, а фототок
пропорционален квадратному корню из интенсивности возбуждения.
Этот случай соответствует бимолекулярной рекомбинации.
В случаях, когда концентрация неравновесных носителей
значительно превосходит термически равновесную концентрацию,
существенные отклонения от линейного возрастания
фотопроводимости с интенсивностью возбуждения могут быть связаны
с изменением степени заполнения уровней захвата.
ПЭПиУ II часть
294



Если известны концентрация и положение уровней локальных центров в
запрещенной зоне, а также сечение захвата носителей, то зависимость
вероятности рекомбинации от интенсивности возбуждения и, следовательно,
зависимость фотопроводимости от уровня возбуждения может быть
вычислена.
В настоящее время значительно чаще экспериментаторам приходится
решать обратную задачу, т.е. по данным о времени жизни носителей при
различном уровне возбуждения или при различной температуре определять
параметры локальных центров захвата. Во многих случаях, например для
кристаллов германия и кремния, анализ данных эксперимента на основе
статистики Холла  Шокли  Рида и ее обобщений для нескольких уровней
весьма удачен. Однако для окончательной идентификации доминирующего
вида локальных центров, как правило, требуются независимые опыты помимо
определения времен жизни. В большинстве других полупроводников, например
в веществах со сравнительно широкой запрещенной полосой, часто
используемых в качестве фотосопротивлений, природа и свойства
рекомбинационных центров изучены в меньшей степени, и для описания
особенностей фотопроводимости обычно пользуются качественным анализом
явлений, развитым главным образом А. Роузом.
Основой этого анализа является понятие «демаркационных линий»,
или линий раздела в запрещенной зоне. Если распределение центров с
уровнями, соответствующими разным энергиям в запрещенной зоне,
достаточно равномерно (концентрация центров меняется медленнее, чем
функция еxp(Ek/kT), где Ek  энергия k-го уровня), то, согласно
представлениям Роуза, линию раздела для электронов следует провести там,
где вероятность их теплового выброса в зону проводимости равна вероятности
захвата дырки.
ПЭПиУ II часть
295






Аналогично этому линия раздела для дырок проходит там, где одинаковы
вероятности возбуждения в валентную зону и захвата свободного электрона.
В этом случае скорость рекомбинации определяется локальными
уровнями, расположенными между линиями раздела.
Уровни, расположенные вне области энергий, ограниченной линиями
раздела, оказывают на скорость рекомбинации относительно малое влияние.
Положение линий раздела практически совпадает со «стационарными»
уровнями Ферми. Представление о «стационарных» уровнях Ферми, или
«квазиуровнях Ферми»,  математический прием, удобный для рассмотрения
стационарных неравновесных состояний в полупроводнике, по аналогии с
равновесным распределением Ферми. В условиях теплового равновесия
концентрация электронов в зоне проводимости выражается как
 n0 = Ncexp(–EF/kT),
(2.247)
где Nc  плотность состояний, ЕF  расстояние от дна зоны проводимости до
уровня Ферми. Подставляя в это выражение стационарное значение
концентрации электронов в неравновесных условиях nc, определяют величину
ЕF, т.е. расстояние от дна зоны проводимости до «квазиуровня Ферми» ЕF:
 nc = Ncexp(–EF/kT),
(2.248)
Таким образом, уровнями рекомбинации являются уровни,
расположенные между квазиуровнями Ферми, положение которых, в свою
очередь, определяется концентрациями электронов и дырок в зонах. С этой
точки зрения различие между ловушками и центрами рекомбинации носит
статистический характер.
ПЭПиУ II часть
296




С увеличением скорости генерации неравновесных носителей
их концентрации в зонах растут и квазиуровни Ферми смещаются к
краям зон. В результате этого уровни, игравшие при слабом
возбуждении роль ловушек, становятся центрами рекомбинации.
Наоборот, при прекращении генерации неравновесных носителей
концентрация их убывает и квазиуровни Ферми сближаются,
приближаясь к равновесному положению. При этом уровни, бывшие в
условиях интенсивного возбуждения уровнями рекомбинации,
переходят в состояние ловушек.
В работах [131] рассмотрен ряд случаев, когда зависимость
фотопроводимости от интенсивности возбуждения удается
удовлетворительно описать, подбирая параметры локальных центров
в полупроводниках со сравнительно широкой запрещенной зоной.
Следует заметить, что одно из важных исходных условий,
вводимых в [131],  действие одних и тех же центров то в качестве
ловушек, то в качестве центров рекомбинации  имеет место далеко не
всегда, так как показано, что локальные центры могут быть иногда
только ловушками, т.е. иметь чрезвычайно малое сечение для
носителей одного знака,
Такие явления, как сенсибилизация (повышение
фоточувствительности полупроводника путем введения примесей),
сверхлинейность и «тушение» фотопроводимости, качественно
объясняют с помощью модели, включающей, по крайней мере, два
типа локальных центров.
ПЭПиУ II часть
297

При слабом возбуждении, когда концентрации свободных
носителей тока малы в сравнении с концентрациями связанных
электронов и дырок, полные концентрации связанных электронов и
дырок почти не меняются. Однако имеет место перераспределение
локализованных электронов и дырок между уровнями первого и
второго типа посредством промежуточных переходов в зоны и из зон
на уровни. Математический анализ процессов для подобной модели
возможен, но окончательные формулы чрезвычайно громоздки и не
дают наглядного представления о явлении [116]. Мы ограничимся
качественным рассмотрением нескольких случаев.
ПЭПиУ II часть
298