Transcript 第２章

第２章 情報の表現
コンピュータの世界において，
どんな情報でも，例えば，数値，文
字，音声，画像など，すべて２進数
で表現されている．
この章では，10進数，２進数，８進数と16進数および
各進数間の変換方法，また，コンピュータのデータとし
て，数値，文字，音声，画像の表現方法について学ぶ．
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
2.1 10進数と２進数，８進数，16進数の記数法
324個のものを10進数で表すことを考えると，下
図のように100（102）位に3個をおき，10（101）位に2
個をおき，1（100）位に4個をおけば，324個のもの
が表現できる．
100（102）位
10（101）位
1（100）位
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
●位取り法
位取り法とは，それぞれの位の数字を用いて数を表現する
方法である．例えば，
324 = 3×102 + 2×101 + 4×100
と表される．小数点の数も，位取り法で表現できる．例えば，
5309.18 = 5×103 + 3×102 + 0×101 + 9×100 + 1×10-1 + 8×10-2
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
● r 進数記数法
一般に任意の数N を
N  an  r n  an1  r n1    a1  r 1  a0  r 0  a1  r 1    am  r m
で表され，r 進数の記数法という．ここに r を基数，ai（0≦ai<r）を
係数と呼ぶ．
■10進数の場合，r =10，ai =0, 1, 2, ……, 9
■ ２進数の場合，r =2，ai =0, 1
■ ８進数の場合，r =8，ai =0, 1, 2, ……, 7
■ 16進数の場合，r =16，ai =0, 1, 2, ……, 9, A, B, C, D, E, F
（16進数について，A，B，C，D，EとFは数字であり，10進数の数
に対応すると，A＝10，B＝11，C＝12，D＝13，E＝14，F＝15）
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
●10進数と２進数，８進数，16進数の加法
■10進数の(7) 10+(8) 10
■２進数の(1101) 2+(1110) 2
1
+ 1
桁上げ → 1 0
1 1 0 1
+ 1 1 1 0
1 1 0 1 1
■16進数の(8) 16+(A) 16 と (A5) 16+(8C) 16
8
+ A
桁上げ → 1 2
A 5
+ 8 C
1 3 1
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第２章 情報の表現
●10進数と２進数，８進数，16進数の関係
10 進数 ２進数
0
1
2
3
4
5
6
7
８進数 16 進数 10 進数 ２進数
0
1
10
11
100
101
110
111
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
８進数 16 進数
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10
11
12
13
14
15
16
17
8
9
A
B
C
D
E
F
(13)10＝(1101)2＝(15)8＝(D)16
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第２章 情報の表現
●ビットとバイト
■２進数において，その数の桁数をビット数（bit）という．２進
数 (10101101)2は8桁からなるので，8ビットの２進数という．
■約定：
1バイト＝ 1B（byte） ＝ 8ビット
と定義する．(10101110 11100001)2は2バイトのデータである．
■コンピュータにおいて，次の単位がよく使われている．
１KB＝1キロバイト＝1,024（210）バイト＝8192ビット
１MB＝1メガバイト＝1,048,576（220）バイト＝8388608ビット
１GB＝1ギガバイト＝1,073,741,824（230）バイト
＝8589934592ビット
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第２章 情報の表現
2.2 基数の変換
●２進数⇒10進数
与えられた２進数の数を位取りの形式に展開して計算すれば，
10進数の数になる．例えば，
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第２章 情報の表現
●２進数⇒10進数
小数の部分も位取りの形式に展開して変換する．
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第２章 情報の表現
●10進数⇒２進数
10進数の数(135)10 を２進
数に変換する場合，上のよ
うに商が0となるまでに2で
連続割って，最後にその余
りを下から上へ読むと，変
換した２進数(10000111)2 が
得られる．
下
か
ら
上
へ
読
む
よ
う
に
(135)10＝(10000111)2
10
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第２章 情報の表現
●10進数⇒２進数
小数点の数(0.375)10は次のように変換する．
0
0.375×2= 0 .75
1
小数部分のみ ↓
0.75×2= 1 .50
1
小数部分のみ ↓
0.5×2= 1 .00 結果： 011
０となり、誤差なく終了 ↑
よって，誤差が出なく，(0.375)10＝(0.011)2となる．
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第２章 情報の表現
●10進数⇒２進数
しかし，(0.35)10の場合，誤差が出る．
0
0.35×2= 0 .7
1
小数部分のみ ↓
0.7×2= 1 .40
0
小数部分のみ ↓
0.40×2= 0 .80 結果： 010
小数点3桁では、誤差が出る ↑
小数点3桁では誤差があり，(0.35)10≒(0.010)2となる．よって，10
進数（小数点数）を２進数に変換するとき、誤差が出ることがある．
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第２章 情報の表現
●２進数⇒８進数（16進数）
整数の場合，２進数の数を最下位から左へ3（4）桁ずつ区切っ
て分ける．最上位が3(4)桁に足りないとき，0を入れる．そして，
その3(4)桁の２進数をそれぞれ８(16)進数に変換する．
( 011 010 111 )2 = ( 327 )8
↓ ↓ ↓
8進数 3
2
7
小数の場合( 11010111.01111 )2 ，小数点より左へと右へそれぞ
れ3桁(16進数の場合4桁)ずつ区切る ．
( 011 010 111 . 011 110 )2 = (327.36)8
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
8進数 3
2
7 . 3
6
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第２章 情報の表現
●８（16）進数⇒２進数
８（16）進数の数を２進数に変換するとき，それぞれの数字
を3(4)桁の２進数で表せばよい（小数点の部分も同様）．ただ
し，位とりの“0”を取り除く．
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6 . 2
6 )8 = (10101110.01011)2
( 2
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
８進数⇒２進数
２進数 010 101 110 . 010 110
)2 2
( 4 A 5 . 2 C )16 =(10010100101.00101100)
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
16進数⇒２進数
2進数 0100 1010 0101.0010 1100
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
●８進数⇔16進数
８進数と16進数の変換は，２進数を介して変換を行う．
８進数（16進数） ⇔ ２進数 ⇔ 16進数（８進数）
のように簡単に変換できる．例えば，８進数の数(542)8を16進
数に変換すると，
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第２章 情報の表現
●10進数⇒８（16）進数
８進数と16進数は簡単に２進数に変換できるから，８進数
または16進数を２進数を介して10進数に変換を行う.
例えば，10進数を８進数，16進数に変換するとき，
( 1234 )10＝( 10011010010 )2
＝( 010 011 010 010 ) 2＝(2322)8
＝( 0100 1101 0010 ) 2＝(4D2)16
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第２章 情報の表現
2.3 数値データの表現（整数）
コンピュータの世界で扱われる数値は大きく次のように分
けることができる．
正の整数
整数
数値データ
負の整数
実数（有限桁数の小数）
整数の表現法には，■固定小数点形式，■２進化10進数
ゾーン形式と■２進化10進数パック形式という3種類がある．
実数の表現法には，■浮動小数点形式がある．
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第２章 情報の表現
●固定小数点形式
整数には正の整数と負の整数がある．nビットの２進数を
用いて，整数を表現する場合，下図のように最上位のビット
bn-1 を符号ビットとし，bn-1 ＝0のとき正の整数を表し，bn-1 ＝1
のとき負の整数を表す．
bn-1
bn-2
……
b1
b0
符号ビット
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第２章 情報の表現
正と負の整数の固定小数点形式
●正の整数の場合，単に２進数で表現する．
例：(+5)10を4ビットと8ビットの固定小数点形式で表現すると，
( +5 )10＝( 0101 )2
( +5 )10＝(00000101 )2
●負の整数の場合，２の補数で表現する．
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
●２の補数の求め方
２の補数とは，nビットの２進数aに対して，nビットの２進数a’
があり，a と a’ の和はオーバフローにより，nビットの数が全部0
となる．このとき， a とa’は互いに２の補数という．例えば，4ビッ
トの( 0100 )2の２の補数は( 1100 )2となる．
0100
 1100
1 0000
オーバフロー
aの２の補数の求め方（反転して，プラス１）：
● aの各ビットを全て反転する（1→0，0→1）．
●それに1を加える．
4ビット
0100 反転

1011 ＋１

 1100
0100と 1100は互いに 2の補数である
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
【例題2.1】 (－98 )10を8ビットの固定小数点形式で表現せよ．
[解答]：まず，8ビットで( 98 )10を２進数に変換する．
次に，( 01100010 )2 の２の補数を求める．
01100010 反転

10011101 ＋１

 10011110
よって，(－98)10を固定小数点形式で表すと，次のようになる．
(－98 )10＝( 10011110 )2
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第２章 情報の表現
●固定小数点形式の性質
n ビットの固定小数点形式では，表現できる整数の範囲は
 2 n 1 ～2 n 1  1
である．コンピュータは，一般に整数を16ビットで表現している．
つまり，表現できる整数の範囲は
－32768 ( 215 ) ～32767( 215－1)
となる．この範囲を超える場合，ビット数を長くする必要がある．
4ビットの場合，表せる範囲は－8～＋7である（表2.2を参照）
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第２章 情報の表現
●固定小数点形式のメリット
コンピュータの基本的な計算機能は加算である．どんな
複雑な計算でも加算に変換して計算できる．
固定小数点形式を用いることにより，負の数を２の補数
で表現するから，a－b＝a＋(－b)のように減算を加算で計
算することができる．
例えば，4ビットを用いて， (7) 10－(5) 10 を
計算する場合，(－5 )10は( 1011 )2となり，
(7) 10－(5) 10＝(7) 10＋(－5) 10＝(0111) 2＋
(1011) 2＝(0010) 2のように加算で減算する
オーバフロー
（オーバフローは巧みに利用される）．
0111
 1011
1 0010
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
●２進化10進数ゾーン形式
10進数の数を下記の対応で4ビットの２進数で表す方法を
２進化10進数ゾーン法という．
4ビット
4ビット
4ビット
4ビット
……
4ビット
4ビット
ゾーン部
数字
ゾーン部
数字
……
符号部
数字
ASCIIコード場合
10進数
2進数
0
1
正 １１００
００１１
2
負 １１０１
3
4
5
6
7
8
9
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001
例：  24710  0011 0010 0011 0100 1101 01112  3234D716
ASCIIコードの2である．表2.4
コンピュータとネットワーク概論
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第２章 情報の表現
●２進化10進数パック形式
10進数の数を下記の対応で4ビットの２進数で表す方法を
２進化10進数パック法という．
10進数
2進数
例：
4ビット
4ビット
……
4ビット
4ビット
数字
数字
……
数字
符号部
0
1
2
0000 0001 0010
 24710  0010
……
8
9
正
１１００
……
1000
1001
負
１１０１
0100 011111012  247D16
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
●２進化10進数法の特徴
２進化10進数法は，固定小数点形式に比べて，同じビット
数で表現できる整数の範囲は狭い．しかも計算時間もかか
る．しかし，10進数の数を２進数で表すには便利である．特
に，次に紹介するASCIIコードとなるので，そのまま数値デー
タとして使える．
よって，数字の文字列データと数値データの高速変換が
可能である．
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
2.3 数値データの表現（実数）
コンピュータの世界では，実数を浮動小数点形式で表現
する．例えば，
874.345＝874345×10－3＝8.74345×102
のようになっている．指数の大きさを変えれば，小数点の位
置が浮動するから，浮動小数点法と呼ばれている．一般に
実数を
 ar
b
で表す．aを仮数，bを指数，rを基数という．
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
浮動小数点形式について
一般的に（単精度の場合），実数を下図のように4バイト
（32ビット）で表現し，３つの部分に分けられている．
符号部 S
指数部 E
仮数部 F
１ビット
8ビット
23ビット
●符号部S： 実数の正負を示す．正：S＝0，負：S＝1
●指数部E：正規化した場合の指数部分である．
●仮数部F：正規化した場合の仮数部分である．
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
●正規化について
正規化とは，アメリカのIEEE（電気電子学会）により定めら
れた浮動小数点表示の規格のことである．この規格により，
指数部と仮数部を次のように表現する．
N  (1. a1a2 a3 a4
……

a
m)2
b
ai は2進数の数とし，bは8ビットの整数（固定小数点形式）
である．IEEE規格では，指数部分E＝b + (01111111)2（バイア
ス表示という）の2進数を記入する．仮数部分Fにa1 a2 a3
a4……amを記入する（左詰め記入，後ろに23ビットまで0で詰
める）．
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
【例題2.3】 (－111011.101)2 をIEEE規格の単精度
浮動小数点形式で表せ．
[解答]：まず，(－111011.101)2を正規化した2進数で表すと，
 1111011.1012  (1.111011101) 2  2 6
2  2 00000110
 1.111011101
となる．負の数であるので，符号部（1ビット）S＝1となる．仮数部
（23ビット）F＝11101110100000000000000で，指数部（8ビット）は
E＝(00000110)2 + (01111111)2＝(10000101)2となる．すなわち，
(－111011.101)2は，次のように表現されている．
(1100 0010 1111 0111 0100 0000 0000 0000)2＝(C2F74000)16
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
浮動小数点形式法の性質
IEEE規格の浮動小数点形式
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
2.4 文字データの表現
文字情報（数字，アルファベット，記号，ひらがな，カタカナ，
漢字など）をある一定体系に基づく２進数の“0”と“1”で表現し
たものをコード（code）という．
英数字にはASCIIコードなどがある．
日本語にはJISコード，シフトJISコードとEUCコードなどがある．
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
●ASCII(アスキー)コードについて
英数字は大文字，小文字，記号など全部で100種類を超えな
い．そこで，8ビット（1バイト）で全ての英数文字が表現できる
（28＝256種類）．
ASCIIコードとは，American Standard Code for Information
Interchangeの略で，1バイトを使っているが，実際には下図のよ
うに7ビットしか使われていない．
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
上位 3 ビット
000
001
010
011 １００
100
101
110
111
下位 4 ビット
(0)16
(1)16
(2)16
(3)16
(4)16
(5)16 (6)16
(7)16
0000
(0)16
NUL
DLE
SP
0
@
P
`
p
0001
０００１
(1)16
SOH
DC1
!
1
A
Q
a
q
0010
(2)16
STX
DC2
"
2
B
R
b
r
「A」は，
0011
(3)16
ETX
DC3
#
3
C
S
c
s
0100
(4)16
EOT
DC4
$
4
D
T
d
t
(100 0001)2
0101
(5)16
ENQ
NAC
%
5
E
U
e
u
0110
＝(41)16
(6)16
ACK
SYN
&
6
F
V
f
v
0111
(7)16
BEL
ETB
'
7
G
W
g
w
1000
(8)16
BS
CAN
(
8
H
X
h
x
「I like computer.」
1001
(9)16
HT
EM
)
9
I
Y
i
y
1010
(A)16
LF/NL
SUB
*
:
J
Z
j
z
(49 20 6C 69 6B 65 20 63
6F 6D 70 75 74 65 72 2E)16
1011
(B)16
VT
ESC
+
;
K
[
k
{
1100
(C)16
FF
FS
,
<
L
¥
l
|
1101
(D)16
CR
GS
－
=
M
]
m
}
1110
(E)16
SO
RS
.
>
N
^
n
~
1111
(F)16
SI
US
/
?
O
_
o
●ASCIIコード
スペースは20である．
コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
34
DEL
●日本語文字の表現
日本語では，アルファベットと数字以外にひらがな，カタカナ
と漢字もある．漢字だけでも数千個以上あるため，1バイトで
は表現できない．したがって，日本語の文字は2バイト（16ビッ
トを用いて表現する．よって， 216＝65,536種類の文字が表現
できる．
日本語の文字を表現するコードはJIS（日本工業規格）に規
定されている．「JISコード」，「シフトJIS」と「EUC」などが挙げら
れる．これらは一般に「文字コード」と呼ばれている．
35
コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
●日本語文字コードの構成
文字コードは，実際には「文字集合」と「符号化方式」という要
素から成り立っている．
文字集合は，JIS X 0213（区点コードともいう）（11,223個文字）
符号化方式は，JIS X 0202（ISO 2022）
JISコ ード
JIS漢字コ ード
JIS X 0213
エンコーディング
符号化方式によ る
JIS X 0202
SJISコ ード
EUCコ ード
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
●句点コードとJISコードの関係
区点コードでは，漢字の読みの
五十音順に配列されている．例
えば，「愛」の句点コードは1606
（区番号：16，点番号：06）である．
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
●ユニコードについて
最近，Unicode（ユニコードという）がパソコンに導入されて
いる．Unicodeはアメリカのコンピュータ・メーカー連合により
作られた16ビットのコードである．Unicodeは，コンピュータ
の機種に係わらず，すべての文字に独立した番号を与えて
いる．複数の言語，複数の国をカバーすることができる．特
にデータを多くの異なるシステムの間に，何の乱れもなしに
転送することが可能である．
Unicodeは2バイト方式によるもので，65,536文字を割り当
てることができる．この中に約2万個の日本語，中国語，韓
国語の漢字が含まれる．各国で用いられている漢字コード
から重複する文字を統合している．
38
コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
2.5 音声データの表現
音声は右図のようなアナロ
グ信号である．すなわち，時
間に対して音声の変化が連
続である．
電圧
アナログ音声信号
t
コンピュータはアナログ信
号が扱えないため，アナログ
音声信号をディジタル信号
に変換しなければならない．
2進数のディジタル信号
01101111
10110101
11001101
……
00110100
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
●アナログ信号⇒デジタル信号へ
電圧
電圧
アナログ音声信号
標本化データ
標本化
t
（サンプリング）
量
子
化
t
電圧
量子化
2進数のディジタル信号
01101111
10110101
11001101
……
00110100
デジタル化
t
40
コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
●標本化について
1秒間に標本化されたデータの数をサンプリング周波数とい
う．シャノンの理論により，サンプリング周波数が音声の最高
周波数の２倍より大きいならば復元できる．サンプリング周波
数が高ければ，復元した音声の品質が保持できるが，標本
化データも多くなる．
電話品質程度： 11025Hz （1秒間11025個のデータを取る）
中程度の品質： 22050Hz （コンピュータの標準として）
高品質，楽音： 44100Hz （CD, DVDなどに用いる）
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
●量子化とデジタル化について
標本化されたデータをディジタル量にすることを量子化とい
う．また，そのデータを何段階の数値で表現するかを示す値
を量子ビット数と呼ぶ．
量子化ビット数が8ビットの場合は，得られた標本化データ
を0～255の256段階の数値で表現することができる．16ビット
になると，0～65535の65536段階で表現するため，8ビットの
場合よりも細かい違いを表現できる．
高品質の音楽などをディジタル信号に変換するためには
16ビット必要になる．
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
●音声の情報量の計算例
例えば，サンプリング周波数44100Hzでの標本化データを16ビット
で量子化する場合は，１秒当たり（簡単に1KB=1000Bとする）
44100（データ/s）×16（bit）＝705600（bit/s）／(8×1000)≒88（KB/s）
１時間の音声データは（1MB=1000KBとする）
88（KB/s）×3600（s）≒317（MB）
となる．量子化された数値を２進数に変換すれば，ディジタル信号
化は完了となる．
43
コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
2.6 画像データの表現
dot または pixelという
画像は右図のようにフレームの中で点
の集まりで構成される．この点のことを
画素，ドット（dot）またはピクセル（pixel）
という．
右図は16×16（256）個の画素からなる．
1インチの長さに存在する画素数を解像
度といい，dpi（dpi＝dots per inch）または
ppi（ppi＝pixels per inch）で表される．こ
の値が大きいほど画質が良くなる．
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
●画像の構成
画像はドットからなる
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
●三原色の表現
フルカラー画像のドット（画素）の色は，三原色の赤（red），
緑（green）と青（blue）の濃淡を組み合わせて表示されている．
これを，RGB表示という．各画素の色は，それぞれの濃さを8
ビットで256の諧調で表し，0のときは一番薄い，255のときは
一番濃いということになる．つまり，各色の濃さは2桁の16進
数で (r1r2g1g2b1b2)16で指定される．
388551
R:72G132B:81
?
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
●画像の情報量と計算例
1色につき8ビットであるので，１つのドット（画素）の色を表
現するのに3×8＝24ビット（3バイト）のデータが必要となる．
24ビットで各画素につき，約1677万色が表現できる．
画素数1024×768（横×縦）ドットの画像について，各画素
を24ビットで表すとすると，１枚の静止画像のデータ量は
1024×768×24＝18,874,368（bit）≒2.3 MB
となる．
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
●解像度の計算例
画素数1024×768（横×縦）ドットの画像を17インチのコン
ピュータ画面で表すと，解像度は次のように求められる．
768
ドット
17インチ
1024ドット
対角線上の1インチに当たるドットが求
められるので，この画面の解像度は
10242  7682
解像度＝
≒75dpi
17
dpi: dots per inch（1インチに当たるドット数）
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
●動画の情報量と計算例
動画の場合は，１秒間に24枚（フレームという）以上の画
像をスライドショーのようにすると連続の動画に見える．動
画にすると，データ量がさらに大きくなる．例えば，
1024×768ドットの画像を１秒間30枚（コンピュータの規格）
用いる動画では，1秒間に，
2.3 MB（bit/frame）×30（frame/s）≒ 69（MB/s）
のデータが必要になる．1時間の動画データなら，
69（MB/s）×3600（s）≒ 248 GB
となる．
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
第２章のまとめ
１．コンピュータには２進数が使われている．
●２進数と10進数の変換
●２進数と８進数，16進数の関係
２．数値データの表現
●整数の表現法には，固定小数点形式法， ２進化10進数
ゾーン形式法と２進化10進数パック形式法がある．
●実数の表現法には，浮動小数点法がある．浮動小数点
法は符号部，指数部と仮数部からなる．
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現
第２章のまとめ
完
３．文字データの表現
●英数字には，ASCIIコードなどがある．●漢字には
JISコード，シフトJISコードとEUCコードなどがある．
４．音声データの表現
●アナログ信号とディジタル信号 ●標本化と量子化
５．画像データの表現
●画像はドット（画素）からなる ●フルカラー画像の画
素は三原色の濃淡を組み合わせて表示する ●解像度，
静止画像と動画
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コンピュータとネットワーク概論
第２章 情報の表現