Transcript Document

2. ROZHODOVÁNÍ ZA NEJISTOTY
Motivace:
Máme na výběr ze dvou her založených na jednom hodu mincí.
Pro kterou se rozhodnete (hraje se jen jednou)?
Výhra (Kč)
Líc
Rub
Hra č. 1
+2
-1
Hra č. 2
+2000
-1000
Problémy:
- neznáme s jistotou budoucnost, někdy ani (objektivní)
pravděpodobnost (dále jen „pst“)
- vliv individuality rozhodovatele - vztah k riziku (většinou
odpor), subjektivní názor na budoucí vývoj (subjektivní
pravděpodobnosti)
Rozhodování za nejistoty
• rozhodování za jistoty – všechny faktory známe jistě
• rozhodování za nejistoty – faktory náhodné, známe
s větší či menší nejistotou
za rizika – známe aspoň rozdělení pravděpodobností
za neurčitosti – neznáme rozdělení, krajní nejistota
2.1 Subjektivní pravděpodobnosti
Pravděpodobnost
• objektivní
− vyjadřuje míru výskytu nějakého jevu
− z minulých (statistických) údajů nebo symetrie
• subjektivní
− vyjadřuje míru osobního přesvědčení rozhodovatele
ve výskyt nějakého jevu
− stanovení různými odhady dle znalostí subjektu
Vyjádření subjektivních pravděpodobností
• číselné
− přímé: 0 ≤ p ≤ 1
− poměr: m/n (m případů z n možných)
− poměr sázek (šancí): p/q=p/1−p
• slovní
− např. tabulkou (zcela vyloučeno − 0, krajně
nepravděpodobné − 0,1 atp.)
Stanovení subjektivních pravděpodobností
• metoda relativních velikostí
− nejprve se určí pst nejpravděpodobnějšího jevu
(modus)
− ostatní psti se vyjadřují relativně k psti modu
• metoda kvantilů
− pro mnoho diskrétních hodnot i pro spojité veličiny
− určujeme kvartily rozdělení (medián, Q1 a Q3)
• metoda volby typu rozdělení pravděpodobnosti
− různá běžná, co nejjednodušší rozdělení, diskrétní n.
spojité veličiny
2.2 Pravděpodobnostní stromy
• Zobrazují v podobě grafu - stromu možnosti
budoucího vývoje, jejich pravděpodobnosti a
důsledky pro dané kritérium
• Rizikové situace znázorňujeme uzly (kroužky) a
jejich možné výsledky hranami pravděpodobnostního
stromu.
• Při počítání výsledných (nepodmíněných)
pravděpodobností jednotlivých variant se užívá
pravidlo násobení (podmíněných) pravděpodobností.
Příklad 1
Podnik zvažuje zavedení nového výrobku. Náklady
na_jeho vývoj jsou 5 mil. Kč a jeho úspěch 80 %,
náklady na zahájení výroby 2 mil. Kč s pstí neúspěchu
10 %, náklady na uvedení na trh jsou 1 mil. Kč a zisk
z_prodeje na trhu se očekává 10, 15, n. 20 mil. Kč
s_pstmi 25, 50 a 25 %.
Znázorněte možné scénáře - varianty budoucího vývoje
pomocí pravděpodobnostního stromu a určete jejich
pravděpodobnosti a zisky.
Řešení - pravděpodobnostní strom
Celkem tedy může v tomto případě nastat 5 možných scénářů
A-E.
Jejich pravděpodobnost je dána součinem dílčích
pravděpodobností (příslušných hran od kořene k větvím) a
hodnota kritéria součtem jeho dílčích hodnot, např. výsledek C
(úspěšný vývoj i výroba, ale nízký prodej) má pravděpodobnost:
pC = 0,8 ∙ 0,9 ∙ 0,25 = 0,18
a hodnotu celkového zisku
ZC = 10 − 1 − 2 − 5 = + 2 (mil. Kč)
Výsledky analýzy můžeme shrnout do následující tabulky:
Varianta
Situace
Zisk
(MKč)
Pravděpodobnost
A
Neúspěch vývoje
-5
0,20
B
Neúspěch výroby
-7
0,08
C
Nízká poptávka
+2
0,18
D
Průměrná poptávka
+7
0,36
E
Vysoká poptávka
+12
0,18
Pak lze spočítat např. střední hodnotu zisku apod..:
E(Z) = ∑ pizi = −5 ∙ 0,2 − … + 12 ∙ 0,18 = +3,48 (MKč)
2.3 Rozhodovací matice
Příklad (znovu):
Máme na výběr ze dvou her založených na jednom hodu mincí.
Pro kterou se rozhodnete (hraje se jen jednou)?
Výhra (Kč)
Líc
Rub
Pravděpodobnost
0,5
0,5
Hra č. 1
+2
-1
Hra č. 2
+2000
-1000
Často čelíme podobným rozhodnutím, navíc neznáme ani
pravděpodobnosti tzv. „stavů světa“ (zde líc, rub).
Rozhodovací matice
Znázorňuje hodnotu kritéria rozhodování v závislosti na variantě
rozhodování a stavech světa, tj. náhodných, vzájemně se
vylučujících možnostech budoucího vývoje, jejich
pravděpodobnosti jsou většinou neznámé.
Kritérium z
Pravděpodobnosti
Varianty
rozhodnutí
V1
V2
…
Vm
S1
p1
z11
Stavy světa
S2
…
p2
…
Sn
pn
zmn
Pravidla rozhodování za neurčitosti
Uvádíme pro kritérium výnosového typu, jinak obdobné.
• Pravidlo nedostatečného důvodu (Laplace)
− předpokládáme, že všechny stavy světa jsou stejně možné
(rovnoměrné rozdělení pstí) a rozhodujeme se jakoby pomocí
pravidla střední hodnoty:
∑j (1/n)zij = MAX!
∑j zij = MAX!
• Pravidlo optimismu (MAXIMAX)
− pro každé rozhodnutí předpokládáme, že nastane nejpříznivější
situace, tzn. hledáme maximum v každém řádku a vybereme
řádek s maximální hodnotou
MAXj zij = MAX!
− hledáme vlastně maximum celé matice
− jedná se o extrémně optimistický přístup
• Pravidlo pesimismu (mininax/maximin, Wald)
− pro každé rozhodnutí předpokládáme, že nastane nejhorší
situace, takže v každém řádku nalezneme minimum a volíme
řádek s jeho maximální hodnotou
minj zij = MAX!
− jedná se o extrémně pesimistický přístup
• Pravidlo ukazatele optimismu (Hurwicz)
− zobecňuje předchozí krajní pravidla pomocí ukazatele
optimismu α, 0 ≤ α ≤ 1:
α.MAXj zij + (1- α).minj zij = MAX!
− pro α=100 % přechází na p. optimismu, pro α=0 % na p.
pesimismu
• Pravidlo minimaximální lítosti/ztráty (Savage)
− pokud víme, jaká situace nastala, tak víme, jaké rozhodnutí by
bylo nejlepší, rozdíl mezi jeho hodnotou a hodnotou našeho
minulého rozhodnutí vyjadřuje jakousi ztrátu, lítost; chceme, aby
byla co nejmenší (ochrana před těmi, kteří jsou „po bitvě
generály“)
− nejprve se vypočte matice ztrát (lítosti) tak, že pro každý prvek
určíme rozdíl mezi příslušným sloupcovým maximem a tímto
prvkem, a na ni aplikujeme princip pesimismu (minimax, jedná
se o kritérium nákladového typu):
sij = zij − MAXi zij
MAXj sij = min!
Příklad 2
Vydavatel časopisu se rozhoduje o velikosti jeho nákladu zvažuje 3 varianty: 20, 30 a 40 tis. výtisků měsíčně. Prodej je
nejistý, předpokládá se také 20, 30 anebo 40 tis. ks za měsíc.
Měsíční fixní náklady výroby jsou 1 mil. Kč, variabilní náklady
na jeden výtisk jsou 50 Kč/ks a jeho prodejní cena 100 Kč/ks.
Vydavatel se rozhoduje na základě zisku, neprodané časopisy
nepřinášejí žádné dodatečné náklady ani výnosy.
Sestavte rozhodovací matici a najděte optimální rozhodnutí
pomocí všech známých pravidel rozhodování za neurčitosti.
Řešení
Zisk
Odbyt
[tis. Kč/měs]
20
30
40
MAXI MAXI
Laplace MAX
min
Hurwicz
(α=0,6)
Tisk 20
0
0
0
0
0
0
0
30
-500
500
500
167
500
-500
100
40
-1000
0
1000
0
1000
-1000
200
Lítost S
[tis. Kč/měs]
Odbyt
20
30
40
mini
MAX
Tisk 20
0
500
1000
1000
30
500
0
500
500
40
1000
500
0
1000
2.4. Rozhodovací stromy
• nástroj pro víceetapové rozhodování za nejistoty, zahrnují více
navazujících rozhodnutí
• zobecňují rozhodovací matice i pravděpodobnostní stromy,
• varianty neznámého budoucího vývoje se znázorňují (stejně
jako u pravděpodobnostních stromů) pomocí tzv. situačních
uzlů (kroužky), rozhodování pomocí tzv. rozhodovacích uzlů
(čtverce)
• rozhodovací strom se vyhodnocuje od konce (zezadu, zprava,
od větví), situační uzly se v nejjednodušším případě nahrazují
střední hodnotou kritéria a podle ní se rozhodujeme
v_rozhodovacích uzlech
• výsledkem je výchozí rozhodnutí na počátku (ostatní
rozhodnutí se mohou změnit podle budoucího vývoje)
Příklad 3
Vedení podnik rozhoduje, jestli 1000 ks dané součásti vyrobit
anebo dovézt (za cenu 2000 Kč/ks). Výroba vyžaduje
jednorázovou investici ve výši 1 mil. Kč, a v případě jejího
úspěchu (pravděpodobnost je odhadnuta na 80 %) budou
variabilní náklady činit jen 600 Kč/ks. Při neúspěchu výroby
nelze investici využít jinak a je nutno součást koupit, hrozí však
zvýšení ceny na 2200 Kč/ks vlivem změny devizového kurzu
(s_pravděpodobností 50 %).
Znázorněte rozhodovací problém pomocí rozhodovacího stromu
a najděte optimální rozhodnutí pomocí pravidla střední hodnoty.
Řešení
Postup
Postupujeme od konce, situačního uzlu týkajícího se kurzu –
střední hodnota ceny je (2000+2200)/2=2100 (Kč/j). Touto
hodnotou situační uzel vlastně nahradíme a postupujeme dál
k_uzlu týkajícího se úspěchu výrobní investice. Střední hodnota
nákladů je 0,8∙600+0,2∙2100=900 (Kč/j). Po přičtení průměrných
fixních nákladů 1000 Kč/j dostáváme hodnotu 1900 Kč/j a
v_rozhodovacím uzlu volíme mezi touto hodnotou a cenou
2000_Kč/j v případě nákupu, takže volíme v průměru levnější
(ale rizikovější) variantu investovat.
3. ANALÝZA RIZIKA
Riziko
– zde možnost nepříznivého náhodného vývoje faktoru,
ovlivňujícího nějaké kritérium
Analýza rizika
– volba kritérií
– stanovení faktorů rizika
– stanovení rozdělení pravděpodobností faktorů rizika
– stanovení závislosti faktorů rizika
Simulace Monte Carlo
– (umělý) pravděpodobnostní model, lze řešit i některé
deterministické úlohy (např. výpočet určitých integrálů)
– založena na generování hodnot náhodných veličin (na počítači)
– základem jsou nezávislá „náhodná čísla“ s rovnoměrným
rozdělením na intervalu <0; 1>
Příklad:
Popište simulaci házení (symetrickou) mincí
Metoda inverzní transformace
– založena na tzv. kvantilové funkci rozdělení, pro rostoucí
distribuční funkci F je to její inverzní funkce F–1
– pokud náhodná veličina R rovnoměrné rozdělení R(0;1), má
náhodná veličina daná vztahem
FX–1(R)
požadované rozdělení s distribuční funkcí FX
– stačí tedy mít k dispozici inverzi distribuční funkce, což např.
u_normálního rozdělení je bohužel dost složité
Příklad
Popište postup generování náhodných čísel s exponenciálním
rozdělením se střední hodnotou 1.
Vylučovací metoda
– pro n. v. s hustotou f nenulovou jen na omezeném intervalu
<a;b> a omezenou hodnotou M.
– R1 s rozdělením R(a;b), R2 s rozdělením R(0;M)
– Pokud bod <r1; r2> leží pod grafem hustoty,
r2 ≤ f(r1)
bereme r1 jako hodnotu náhodné veličiny s hustotou f, jinak
postup opakujeme (pokud možno M = MAX f).
Příklad
Trojúhelníkové rozdělení
Generování normálního rozdělení
Generování normálního rozdělení
4. TEORIE HER
Rozhodování dle existence a strategie protivníka
Rozhodovací situace
• nekonfliktní – jeden (inteligentní) subjekt rozhodování (dosud)
• konfliktní – výsledek závisí i na akci jiného subjektu
 teorie her (samostatný předmět Ing. studia)
Hry
• proti inteligentnímu protivníkovi – např. konkurent
• proti neinteligentnímu hráči („přírodě“) – náhodná strategie
Příklady her
1) Hra proti přírodě
Výhra (Kč)
Hra č. 1
Hra č. 2
Líc
+2
+2000
Rub
-1
-1000
– rozhodovací matice = tzv. výplatní matice hry, udává vlastně
výhru inteligentního hráče (volí strategii - řádek) ve hře proti
přírodě (volí sloupec)
2) Kámen – nůžky – papír
Výhra
K
N
P
K
0
–1
+1
N
+1
0
–1
P
–1
+1
0
– výplatní matice hry, hraje se o nějakou konstantní výhru, takže
stačí jedna matice, udává výhru prvního inteligentního hráče (volí
strategii - řádek), druhý vyhrává opačnou hodnotu, jedná se o tzv.
hru s nulovým součtem
3) Konkurence
Dva konkurenti zvažují volbu ceny svého výrobku (2 možnosti),
v závislosti na tom a na rozhodnutí druhého tabulka udává jejich
zisky:
Zisk (mil. Kč/rok)
Cena 100 Kč/j
Cena 200 Kč/j
Cena 100 Kč/j
(1;1)
(0;20)
Cena 200 Kč/j
(20;0)
(10;10)
– zde máme obecněji 2 výplatní matice, pro každého hráče udává
jeho výhru (levé číslo pro prvního hráče, „řádkového“, druhé
pro_druhého)
Maticová hra
– tzv. konečná hra
– hráči mají konečný počet možností volby, „strategií“, takže
místo obecné výplatní funkce máme pro každého tabulku –
„výplatní matici“ hráče, udává jeho výhru v závislosti na jeho
rozhodnutí a rozhodnutí protihráčů.
Hra s konstantním součtem
– pokud je součet výplat konstantní, hrají vlastně hráči o nějakou
danou částku, kterou si rozdělí, mluvíme o antagonistickém
konfliktu a hře
– u dvou hráčů pak stačí jen jedna matice (pro 1. hráče, volí
řádkové strategie)
– stačí dokonce bez újmy na obecnosti pro jednoduchost
uvažovat jen hry s nulovým součtem – výhra protivníka je opačná
hodnota (viz KNP)
Příklad
aij
1
2
3
1
0
–60
40
2
60
0
120
3
–40
–120
0
– výplatní matice
– hledáme sedlo(vý prvek) – minimum v řádku a zároveň
maximum ve sloupci (nemusí existovat)
– tzn. používáme pravidlo MINIMAX
Příklad
Výhra
K
N
P
K
0
–1
+1
N
+1
0
–1
P
–1
+1
0
– sedlo nemusí existovat, tzn. neexistuje optimální ryzí strategie
– smíšená strategie – spočívá v náhodné volbě čisté strategie
podle nějakého optimálního rozdělení pravděpodobností, tzv.
smíšené rozšíření hry
Smíšené rozšíření hry
– řídíme se vlastně střední hodnotou výhry
– optimum už vždy pro každou maticovou hru existuje
(von Neumann, Morgenstern)
Příklad (KNP):
– zde je optimální smíšenou strategií střídat (náhodně)
rovnoměrně ryzí strategie (tahy)