Transcript Wiskunde leren vanuit abstracte voorbeelden

Wiskunde leren vanuit
abstracte voorbeelden:
hoe overtuigend zijn de
resultaten van Kaminski?
Dirk De Bock, Johan Deprez,
Wim Van Dooren, Michel Roelens,
Lieven Verschaffel
(slides op: www.ua.ac.be/johan.deprez)
VLEKHO-HONIM
Over onszelf
• Johan Deprez
♦ docent wiskunde, Faculteit Economie en
Management, HUBrussel (EHSAL)
♦ docent/praktijkassistent, lerarenopleiding
wiskunde Universiteit Antwerpen en KULeuven
♦ redactielid Uitwiskeling
• Dirk De Bock
♦ docent wiskunde en coördinator onderzoeksgroep
Educational Research & Development, Faculteit
Economie en Management, HUBrussel (EHSAL)
♦ wetenschappelijk medewerker aan het Centrum
voor Instructiepsychologie en –technologie
(Departement Pedagogische Wetenschappen,
KULeuven)
VLEKHO-HONIM
VLEKHO-HONIM
Les exemples sont mauvais
pour l’apprentissage des
mathématiques
(25 april 2008)
VLEKHO-HONIM
VLEKHO-HONIM
Inleiding
krantenartikels gebaseerd op
• doctoraatsverhandeling
Kaminski, J. A. (2006). The effects
of concreteness on learning,
transfer, and representation of
mathematical concepts.
• reeks onderzoeksartikelen
…
Kaminski, J. A., Sloutsky, V. M., &
Heckler, A. F. (2008). The advantage
of abstract examples in learning
math. Science, 320, 454–455.
…
VLEKHO-HONIM
Kaminski et al.
• stellen ter discussie dat wiskundeleren ‘van
concreet naar abstract’ verloopt
“Instantiating an abstract concept in concrete contexts
places the additional demand on the learner of
ignoring irrelevant, salient superficial information,
making the process of abstracting common structure
more difficult than if a generic instantiation were
considered”
(Kaminski, 2006, p. 114)
• voerden een reeks van gecontroleerde
experimenten uit met (voornamelijk)
bachelorstudenten in de psychologie
VLEKHO-HONIM
Kaminski et al.
• enkele besluiten (Kaminski et al., 2008, p. 455)
♦ “If the goal of teaching mathematics is to produce
knowledge that students can apply to multiple situations,
then representing mathematical concepts through generic
instantiations, such as traditional symbolic notation, may be
more effective than a series of “good examples”.”
♦ “Moreover, because the concept used in this research
involved basic mathematical principles and test questions
both novel and complex, these findings could likely be
generalized to other areas of mathematics. For example,
solution strategies may be less likely to transfer from
problems involving moving trains or changing water levels
than from problems involving only variables and numbers.”
VLEKHO-HONIM
Kritische reacties van collega’s
onderzoekers
• in Educational Forum en e-letters in Science:
♦ Cutrona, 2008
♦ Mourrat, 2008
♦ Podolefsky & Finkelstein, 2008
♦ …
• research commentary door Jones in Journal for
Research in Mathematics Education (2009)
• informele reacties
♦ McCallum, 2008
♦ Deprez, 2008
VLEKHO-HONIM
In deze presentatie
1.
2.
3.
4.
Inleiding
Commutatieve groepen van orde 3
De studie van Kaminski et al.
Enkele belangrijke elementen van kritiek
1.
2.
3.
4.
Onfaire vergelijking
Transfer naar orde 4
Wat hebben leerlingen precies geleerd?
Enkele andere elementen van kritiek
5. Nieuw empirisch onderzoek door De Bock et al.
6. Algemene discussie
VLEKHO-HONIM
Commutatieve groepen van
orde 3
VLEKHO-HONIM
Commutatieve groep met 3 elementen
• een verzameling G met 3 elementen …
bijvoorbeeld
♦ {0,1,2}
♦ {r120°, r240°, r0°} , waarbij r120° staat voor een rotatie over
120°
♦ {a, b, c} met a, b en c niet verder gespecifieerd
• met een bewerking * gedefinieerd op die elementen
…
♦ {0,1,2}: optelling modulo 3, bijvoorbeeld: 2+2=1
♦ {r120°, r240°, r0°}: pas achtereenvolgens rotaties toe,
bijvoorbeeld: eerst r120°, daarna r240° geeft r0°
♦ {a, b, c}: de bewerking wordt gegeven door een 3 bij 3 tabel
• die voldoet aan de volgende eigenschappen:
VLEKHO-HONIM
Commutatieve groep met 3 elementen
0
• een verzameling G met 3 elementen …
• met een bewerking * gedefinieerd op die
elementen …
• die voldoen aan volgende eigenschappen:
2
♦ commutativiteit: x*y=y*x voor elke x en y in G
♦ associativiteit: (x*y)*z=x*(y*z) voor elke x, y en z
in G
♦ bestaan van een neutraal element: G bevat een
element n waarvoor x*n=x=n*x voor elke x in G
♦ bestaan van inversen: voor elk element x in G is er
een element x’ waarvoor x*x’=n=x’*x
de twee voorbeelden zijn isomorfe groepen
alle groepen van orde 3 zijn isomorf
VLEKHO-HONIM
1
De studie van Kaminski et al.
VLEKHO-HONIM
Basisexperiment in Kaminski et al.
(80 bachelorstudenten)
Fase 1:
Instructiedomein
studie + toets
Fase 2:
Transferdomein
presentatie + toets
A: Kleitabletten van
archeologische site
C1: Maatbekers
C2: Maatbekers +
Pizza’s
VLEKHO-HONIM
C3: Maatbekers +
Pizza’s +
Tennisballen
T: Kinderspel
Fase 1
• studie:
♦ inleiding
♦ expliciete presentatie
van de regels d.m.v.
voorbeelden
♦ opgaven met
feedback
♦ complexe
voorbeelden
♦ samenvatting van de
regels
• leertoets: 24
meerkeuzevragen
VLEKHO-HONIM
Fase 2
• presentatie
♦ Inleiding tot het spel
♦ “De regels van het systeem dat je leerde zijn
zoals de regels van het spel.”
♦ 12 voorbeelden van combinaties
• transfertoets
24 meerkeuzevragen
VLEKHO-HONIM
Resultaten
• leertoets: A = C1 = C2 = C3
• transfertoets: A > C1 = C2 = C3
VLEKHO-HONIM
Belangrijke elementen van
kritiek
VLEKHO-HONIM
1. Onfaire vergelijking
• Kaminski controleerde voor “superficial similarity”
(andere) bachelorsstudenten lazen beschrijvingen van T-A
or T-C, maar werden niet getraind in de regels
“similarity ratings” laag
geen significante verschillen tussen T-A vs. T-C
• kritieken: onfaire vergelijking t.g.v. “deep level
similarity” tussen T en A op vlak van
1. rol die gespeeld wordt door aanwezige voorkennis
2. het centrale wiskundige concept dat geleerd wordt
3. structuur
(McCallum, 2008; Cutrona, 2009; Deprez, 2008; Jones,
2009a, 2009b; Mourrat, 2008, Podolefsky & Finkelstein,
2009)
VLEKHO-HONIM
A
C
T
1. Onfaire vergelijking
1. rol van voorkennis
A en T:
♦ ‘willekeurige’ symbolen
A
♦ bewerkingen bepaald door formele regels
♦ boodschap: maak geen gebruik van voorkennis!
C: fysische/numerieke referent
C
♦ fysische/numerieke referent voor de symbolen
♦ fysische/numerieke referent voor de bewerkingen
♦ boodschap: voorkennis kan nuttig gebruikt worden!
VLEKHO-HONIM
T
1. Onfaire vergelijking
2. centrale wiskundige concept
A en T: commutatieve groep
(commutativiteit, associativiteit, bestaan van een neutraal
element, bestaan van inverse elementen)
C: expliciet gecommuniceerd (commutatieve groep)
vs. impliciet gecommuniceerd (modulaire optelling)
beide zijn betekenisvolle wiskundige concepten
… maar verschillend!
♦ 2 en 3 elementen: groep bepaald door modulaire optelling is
de enige groep
♦ n elementen, n>3, niet priem: ook andere groepen dan de
groep bepaald door modulaire optelling
A en C leren verschillende concepten!
concept geleerd in A is beter bruikbaar voor T
VLEKHO-HONIM
A
C
T
1. Onfaire vergelijking
3. structuur
A : neutraal elt. n, 2 symmetrische generatoren a en b
♦
♦
♦
♦
{n,a,b},
(1.1) a+a=b,
(1.2) b+b=a
(1.3) a+b=b+a=n
A
C: symmetrie verbroken (1 vs. 2), één generator
♦ {n,a,b}
♦ (2.1) a+a=b
♦ (2.2) a+a+a=n
1+1=2
1+1+1=3
equivalent, maar focus op verschillende aspecten
A/C leerden/negeerden verschillende aspecten
in T: geen aanknopingspunten voor 2de set basisregels
VLEKHO-HONIM
C
T
2. Transfer naar groep van orde 4
• een experiment uit doctoraat van Kaminski
waarover niet gerapporteerd wordt in
Science en andere tijdschriften
• onze interpretatie van de resultaten van dit
experiment
• transfertoets over een groep van orde 4: zie
volgende slide
• Los de eerste drie vragen van de toets op!
VLEKHO-HONIM
Experiment 6
VLEKHO-HONIM
2. Transfer naar groep van orde 4
• eerste instructiedomein nieuwe experiment =
A-instructiedomein uit het basisexperiment
(kleitabletten uit een archeologische site)
• resultaten op de orde-4-transfertoets niet
beter dan puur gokken
• transfer vanuit A-instructiedomein blijkt erg
beperkt! ( affirmatieve titel van Kaminski
et al in Science)
• concept van modulaire optelling werd
inderdaad niet geleerd door de Aproefpersonen
VLEKHO-HONIM
2. Transfer naar groep van orde 4
• tweede instructiedomein nieuwe experiment
= A-instructiedomein uit het basisexperiment
+ ‘relational diagram’
• goede resultaten op de orde-4-transfertoets
• diagram communiceert het cyclische karakter
van de groep (equivalent met modulaire
optelling)
VLEKHO-HONIM
2. Transfer naar groep van orde 4
• derde instructiedomein nieuwe experiment is
een concreet instructiedomein met een
‘grafische voorstelling’
• goede resultaten op de orde-4-transfertoets
• ook vanuit een concreet instructiedomein
treedt transfer op
VLEKHO-HONIM
2. Transfer naar groep van orde 4
De experimenten van Kaminski et al geven een
meer genuanceerd beeld dan de beweringen in
het artikel in Science!
VLEKHO-HONIM
3. Wat leerden de studenten precies?
• Meerkeuzetoetsen tonen enkel het eindresultaat, maar
niet hoe dat antwoord werd gevonden.
• Wat leerden de studenten?
♦
♦
♦
♦
een set van specifieke regels?
modulaire optelling?
groepseigenschappen (commutativiteit, …)?
…
• Is er enige evidentie van een bewuste toepassing van
groepseigenschappen of modulair optellen?
Met commutativiteit, … is men ook vertrouwd vanuit het
rekenen met (gewone) getallen!
De proefpersonen kennen geen rekensystemen waarin
commutativiteit, … niet gelden: daardoor hebben ze een
evident karakter.
VLEKHO-HONIM
4. Enkele andere elementen van kritiek
• Transfer in experimenten van Kaminski is
♦ nabije transfer
♦ onmiddellijke transfer (i.t.t. op lange termijn)
♦ uitgelokte transfer (i.t.t. spontaan)
… erg verschillend van transfer in een echte
onderwijssituatie!
• De concrete instructiefase is geen goede
wiskundeles:
♦ erg gekunstelde contexten
♦ geen abstraheringsfase
♦ regels zijn niet functioneel (je gebruikt voorkennis i.p.v.
regels) en worden dus niet geleerd
♦ …
VLEKHO-HONIM
Een empirische studie door
De Bock et al.
VLEKHO-HONIM
Methode
• Subjecten: 130 bachelorsstudenten in de
pedagogische wetenschapen
• Twee fasen
(1) instructiedomein: studie en toets
(2) transferdomein: presentatie en toets
• Vier experimentele condities
(A = abstract, C = concreet)
♦
♦
♦
VLEKHO-HONIM
AA, CA, AC, and CC
AA and CA: “Kaminski condities”
AC and CC: belangrijke toevoegingen door ons
Methode
Operationalizering van de domeinen
• A-learning: kleitabletten van archeologische
site
• A-transfer: kinderspel
• C-learning: maatbekers
• C-transfer: pizza’s
(stukken pizza die zich op dezelfde manier gedragen
als de maatbekers)
VLEKHO-HONIM
Methode
VLEKHO-HONIM
Methode
VLEKHO-HONIM
Methode
VLEKHO-HONIM
Methode
VLEKHO-HONIM
Methode
In alle condities:
Juist voordat de test werd afgenomen, werd
een samenvatting van de regels
gepresenteerd.
VLEKHO-HONIM
Methode
VLEKHO-HONIM
Methode
Toets op het einde van de instructiefase
bestond uit 24 ‘isomorfe’ meerkeuzevragen
VLEKHO-HONIM
Methode
VLEKHO-HONIM
Methode
VLEKHO-HONIM
Methode
Tweede belangrijk verschilpunt met Kaminski’s
procedure:
Open vraag op het einde van de instructiefase
Bijv., na de “concrete” instructiefase:
?
Wat komt er op de plaats van het vraagteken?
Leg zo precies als mogelijk uit hoe je dit
gevonden hebt.
VLEKHO-HONIM
Methode
Of na de abstracte instructiefase:
?
Wat komt er op de plaats van het vraagteken?
Leg zo precies als mogelijk uit hoe je dit
gevonden hebt.
Instructie + toetsing
♦
♦
♦
♦
VLEKHO-HONIM
individueel
twee fasen onmiddellijk na elkaar
eigen tempo
computer
Methode - Analyse
• Scores op instructie- en transfertest:
statistische analyse (ANOVA + Tukey HSD)
na verwijdering van een aantal ‘outliers’
(volgens eenzelfde procedure als Kaminski)
• Verklaringen ‘open vraag’:
scoringssystem ontwikkeld en toegepast op
de data door twee onafhankelijke
beoordelaars.
VLEKHO-HONIM
Methode - Analyse
Scoringssysteem
• Analyse-eenheid = verklaring van een
deelnemer
• Vier hoofdcategorieën:
♦
♦
♦
♦
G (Groep)
M (Modulo)
R (Regels)
N (Niet)
• Subcategorieën:
♦ G1 , G2 , G3 , G4
♦ M1, M2
• Scores: 2, 1 of 0
VLEKHO-HONIM
Methode - Analyse
Scoringssysteem
• 2 = formulering op algemeen niveau
Voorbeelden
♦ “volgorde doet er niet toe”
♦ “als je een vlag combineert met een ander
symbool dan krijg je altijd dat andere symbool”
♦ “2 + 2 = 4 – 3 = 1”
• 1 = ondubbelzinnige toepassing
• 0 = anders
VLEKHO-HONIM
Resultaten – Kwantitatieve resultaten
Gemiddelde en standaarddeviatie van
de toetsscores (Max = 24)
Conditie
Instructietest
Transfertest
AA (N = 23)
17.1 (3.9)
18.1 (3.8)
AC (N = 30)
15.3 (3.5)
17.4 (4.2)
CA (N = 28)
18.5 (2.9)
12.0 (4.3)
CC (N = 24)
18.3 (3.5)
20.2 (2.4)
• Instructietoets: AC < CA, CC
• Transfertoets: CA < AA, AC, CC en AC < CC
VLEKHO-HONIM
Resultaten – Kwantitatieve resultaten
• Kaminski bevestigd (transfertoets: AA > CA)
• Omgekeerde geldt ook (transfertoets: CC > AC)
• Ondanks AC < CX (instructietoets), AC = AA
(transfertoets): studenten lijken “modulo 3
rekenen” te “leren” met weinig of geen hulp van
de instructieconditie
VLEKHO-HONIM
Resultaten – Kwalitatieve resultaten
G
Instructie
Score
-domein
A
(N = 66)
M
R
N
G1
G2
G3
G4
M1
M2
2
0
6
0
0
0
0
–
–
1
16
43
0
3
0
0
62
11
0
50
17
66
63
66
66
4
55
• Letterlijk herhalen van combinatieregels
• Formuleringen van groepseigenschappen op
algemeen niveau komen nauwelijks voor
(ondanks het feit dat expliciet werd gevraagd om “zo precies
als mogelijk” te verklaren)
VLEKHO-HONIM
Resultaten – Kwalitatieve resultaten
G
Instructie
domein
C
(N = 52)
M
R
N
Score
G1
G2
G3
G4
M1
M2
2
0
0
0
0
7
0
–
–
1
13
7
0
2
22
5
5
14
0
39
45
52
50
23
47
47
38
• Toepassing van “modulo 3” rekenen door ongeveer de
helft van de deelnemers (geen expliciet doel van
instructieomgeving!)
• In sommige gevallen: zonder referentie naar de context
• …
VLEKHO-HONIM
Resultaten – Kwalitatieve resultaten
G
Instructie
domein
C
(N = 52)
M
R
N
Score
G1
G2
G3
G4
M1
M2
2
0
0
0
0
7
0
–
–
1
13
7
0
2
22
5
5
14
0
39
45
52
50
23
47
47
38
• …
• Pure herhalingen van combinatieregels komen zelden voor
• Enkele spontane toepassingen van groepseigenschappen
(hoewel minder dan in de A-instructiegroepen)
VLEKHO-HONIM
Belangrijkste besluiten
Onze resultaten bevestigen die van Kaminski:
Transfer naar een nieuw “abstract” domein wordt
bevorderd door een abstract, eerder dan een concreet
instructiedomein
Maar…
• Transfer naar een nieuw “concreet” domein wordt ook
bevorderd door een concreet, eerder dan door een
abstract instructiedomein
(http://www.klasse.be/leraren/15549)
• Ernstige twijfels over wat de studenten werkelijk leerden
uit de abstracte instructieomgeving
(groepseigenschappen vs. formeel leren toepassen van
combinatieregels)
• Sommige studenten bereikten een hoger
abstractieniveau vanuit de concrete instructieomgeving.
VLEKHO-HONIM
Algemene discussie
VLEKHO-HONIM
Algemene discussie
• Onwijs om de resultaten van Kaminski te
extrapoleren naar het gehele
wiskundeonderwijs.
• Zelfs een extrapolatie naar commutatieve
groepen van orde 4 is problematisch…
• Een wiskundig begrip vatten heeft ook een
epistemologische betekenis (waar komt het
vandaan en waaraan ontleent het zijn ‘kracht’?).
Noch de abstracte, noch de concrete
representaties van Kaminski’s (en onze) studie
werpen enig licht op deze fundamentele
kwestie…
VLEKHO-HONIM
VLEKHO-HONIM